B GIO DC V O TO I HC THI NGUYấN BI VIT HNG XC NH QUY LUT BIấN PHI TUYN V XC NH NGUN TRONG CC QU TRèNH TRUYN NHIT LUN N TIN S TON HC THI NGUYấN 2015 B GIO DC V O TO I HC THI NGUYấN BI VIT HNG XC NH QUY LUT BIấN PHI TUYN V XC NH NGUN TRONG CC QU TRèNH TRUYN NHIT Chuyờn ngnh: Toỏn Gii tớch Mó s: 62 46 01 02 LUN N TIN S TON HC Ngi hng dn khoa hc: GS TSKH INH NHO HO THI NGUYấN 2015 i LI CAM OAN Tụi xin cam oan õy l cụng trỡnh nghiờn cu ca tụi, c hon thnh di s hng dn ca GS TSKH inh Nho Ho Cỏc kt qu vit chung vi tỏc gi khỏc ó c s nht trớ ca ng tỏc gi a vo lun ỏn Cỏc kt qu nờu lun ỏn l nhng kt qu mi v cha tng c cụng b cỏc cụng trỡnh no khỏc Tỏc gi Bựi Vit Hng ii LI CM N Lun ỏn c hon thnh di s hng dn khoa hc tn tỡnh, quý bỏu v nghiờm khc ca GS.TSKH inh Nho Ho Thy ó t bi toỏn v dnh nhiu cụng sc, tng bc dn dt tụi dn lm quen vi cụng vic nghiờn cu khoa hc, ng viờn khớch l tụi vt lờn nhng khú khn hc v cuc sng T tn ỏy lũng, em xin by t lũng bit n chõn thnh v sõu sc nht ti Thy v s c gng phn u hn na xng ỏng vi cụng lao ca Thy Trong quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun ỏn, tỏc gi luụn nhn c s quan tõm, giỳp ca GS TSKH H Huy Bng, PGS TS H Tin Ngon, GS TSKH Nguyn Minh Trớ, TS Nguyn Vn Ngc, TS Nguyn Th Thu Thy Tỏc gi xin by t s kớnh trng v bit n sõu sc n Thy Cụ Tỏc gi xin chõn thnh cm n anh ch em nhúm nghiờn cu ca Thy GS TSKH inh Nho Ho ó cú nhng trao i v ý kin úng gúp hu ớch thụng qua cỏc xờ mi na nhúm; Chõn thnh cm n TS Nguyn Trung Thnh, TS Phan Xuõn Thnh, NCS Nguyn Th Ngc Oanh ó hng dn tỏc gi v k thut lp trỡnh th nghim vic gii s Tỏc gi xin chõn thnh cm n Ban ch nhim Khoa Toỏn, Khoa sau i hc trng i hc S phm; Ban ch nhim khoa Toỏn Tin, Ban giỏm hiu trng i hc Khoa hc i hc Thỏi Nguyờn ó to iu kin thun li cho tỏc gi quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun ỏn Xin chõn thnh cm n cỏc anh ch em NCS chuyờn ngnh Toỏn Gii tớch, bn bố ng nghip ó luụn quan tõm, ng viờn, trao i v úng gúp nhng ý kin quý bỏu cho tỏc gi Lun ỏn s khụng th hon thnh nu thiu s cm thụng, giỳp ca nhng ngi thõn gia ỡnh Tỏc gi xin kớnh tng Gia ỡnh thõn yờu nim vinh hnh to ln ny Tỏc gi Bựi Vit Hng Mc lc Li cam oan i Li cm n ii Mc lc ii Mt s ký hiu v M u 1 Xỏc nh quy lut trao i nhit phi tuyn t quan sỏt trờn biờn 10 1.1 Mt s kin thc b tr 11 1.1.1 Nghim yu khụng gian H 1,0 (Q) 11 1.1.2 Nghim yu khụng gian W (0, T ) 15 1.2 Bi toỏn xỏc nh quy lut trao i nhit phi tuyn t quan sỏt tớch phõn trờn biờn 17 1.2.1 Bi toỏn thun 17 1.2.2 Bi toỏn bin phõn 23 1.2.3 Vớ d s 27 1.3 Bi toỏn xỏc nh quy lut trao i nhit phi tuyn t quan sỏt mt phn trờn biờn 39 1.4 Bi toỏn xỏc nh h s truyn nhit (u) t quan sỏt tớch phõn 42 Xỏc nh ngun bi toỏn truyn nhit t quan sỏt trờn biờn 46 iii iv 2.1 Phng phỏp bin phõn 48 2.2 Phng phỏp phn t hu hn 54 2.2.1 Xp x phn t hu hn ca Ak , Ak , k = 1, , N 55 2.2.2 S hi t 56 2.2.3 Vớ d s 61 2.3 Ri rc húa bi toỏn xỏc nh thnh phn ch ph thuc thi gian v phi 65 2.3.1 Ri rc húa bi toỏn thun bng phng phỏp sai phõn hu hn phõn ró 66 2.3.2 Ri rc húa bi toỏn bin phõn 70 2.3.3 Phng phỏp gradient liờn hp 74 2.3.4 Vớ d s 75 Kt lun chung 89 Danh mc cỏc cụng trỡnh ó cụng b liờn quan n lun ỏn 90 Ti liu tham kho 91 Mt s ký hiu R cỏc s thc Rn khụng gian vộct Euclide thc nchiu V khụng gian i ngu ca khụng gian V C() khụng gian cỏc hm liờn tc C([0, T ], L2 ()) khụng gian cỏc hm liờn tc trờn [0, T ] nhn giỏ tr L2 () C (Q) khụng gian cỏc hm kh vi liờn tc Q C ,/2 khụng gian Hăolder vi s m /2, (0, 1) khụng gian cỏc hm kh tớch bc p , p < Lp () khụng gian cỏc hm thuc L2 () cú xỏc nh l I L2I () khụng gian cỏc hm thuc L2 () cú o hm riờng yu thuc H () L2 () H01 () bao úng ca khụng gian C0 () khụng gian H () H 1,0 (Q) khụng gian cỏc hm y L2 (Q) cú o hm riờng yu cp mt theo bin xi thuc L2 (Q) khụng gian cỏc hm y L2 (Q) cú o hm riờng yu cp mt H 1,1 (Q) theo bin xi v o hm suy rng theo bin t thuc L2 (Q) HI1,0 (Q) ess sup L () khụng gian cỏc hm thuc H 1,0 (Q) cú xỏc nh l I xE |y(x)| := inf ( sup |y(x)|) |F |=0 xE\F khụng gian cỏc hm b chn v o c theo ngha Lebesgue vi chun c xỏc nh bi y(x) v L () = ess sup xE |y(x)| M u Cỏc quỏ trỡnh truyn nhit hay khuch tỏn thng c mụ hỡnh húa bng bi toỏn biờn cho phng trỡnh parabolic: vt lý, h s ca phng trỡnh, iu kin ban u v iu kin biờn c bit, ngi ta nghiờn cu bi toỏn biờn ny v da vo nghim ca bi toỏn a mt d oỏn v hin tng ang nghiờn cu õy l bi toỏn thun cho quỏ trỡnh m ta ang xột Tuy nhiờn, thc t, nhiu vt lý, hoc h s ca phng trỡnh, hoc iu kin biờn, iu kin ban u khụng c bit c th m ta phi xỏc nh chỳng qua cỏc o c giỏn tip, qua ú nghiờn cu li quỏ trỡnh õy chớnh l nhng bi toỏn ngc vi bi toỏn thun c núi trờn v l ch sụi ng mụ hỡnh húa toỏn hc v lý thuyt phng trỡnh vi phõn hn 100 nm qua [1], [5], [9], [33], [46], [46], [47], [70] Hai iu kin quan trng mụ hỡnh húa mt quỏ trỡnh truyn nhit ú l quy lut trao i nhit trờn biờn v ngun C hai iu kin ny u tỏc ng bờn ngoi v khụng phi lỳc no cng c bit trc, ú nhng trng hp ny, ta phi xỏc nh chỳng qua cỏc o c giỏn tip v ú l ni dung ca lun ỏn ny Lun ỏn gm hai phn, phn u nghiờn cu bi toỏn xỏc nh quy lut trao i nhit (núi chung l phi tuyn) trờn biờn qua o c trờn biờn v phn th hai nghiờn cu bi toỏn xỏc nh ngun (to quỏ trỡnh truyn nhit hay khuch tỏn) qua cỏc quan sỏt khỏc Cú rt nhiu cỏc hin tng vt lý xy iu kin nhit , ỏp sut cao hoc cỏc mụi trng khc nghit nh: cỏc bung t, cỏc tua bin khớ, cỏc quỏ trỡnh lm núng, lm ngui thộp v quỏ trỡnh dp tt khớ lũ, m ú c ngun nhit v lng nhit trao i u cha bit, hoc quỏ trỡnh trao i nhit trờn biờn cha bit tuõn theo quy lut no (quy lut truyn nhit tuyn tớnh ca Newton hay quy lut bc x nhit bc bn ca Stefan-Boltzmann chng hn) Khi ú, chỳng ta mụ hỡnh húa cỏc quỏ trỡnh truyn nhit ny nh cỏc bi toỏn ngc xỏc nh quy lut truyn nhit khụng tuyn tớnh trờn biờn hoc xỏc nh nhit ph thuc vo h s truyn nhit Trong mt s lnh vc ng dng khỏc, cỏc bi toỏn ny cú th xem nh cỏc dng mụ hỡnh v s khuch tỏn khớ cỏc phn ng húa hc cha bit trờn b mt vt cht hay mt dõn s ti vựng giỏp ranh vi quy lut di trỳ cha bit [88] Nm 1989, Pilant v Rundell [69] xột bi toỏn xỏc nh quy lut truyn nhit g(ã) v nhit u(x, t) bi toỏn giỏ tr biờn ban u mt chiu ut uxx = (x, t), < x < 1, < t < T, u(x, 0) = u0 (x), < x < 1, (0.1) ux (0, t) = g(u(0, t)), t T, ux (1, t) = g(u(1, t)), t T, t iu kin quan sỏt b sung u(0, t) = h(t), (0.2) ú , u0 v h l cỏc hm cho trc, tng ng vi ngun nhit, nhit ti thi im ban u v nhit trờn biờn T phng trỡnh (0.1) ta thu c ux (0, t) = g(h(t)) vi t [0, T ] Vi mt s iu kin nht nh, cỏc tỏc gi ó chng minh tn ti nht cp (u, g) ca phng trỡnh (0.1) khong t t , vi t (0, T ] no ú Cỏc tỏc gi cng ó xut phng phỏp lp gii bi toỏn ngc ny v th nghim thut toỏn trờn mỏy tớnh Sau ú, vo nm 1990, Rundell v Yin [79] ó nghiờn cu bi toỏn tng t nhng trng hp nhiu chiu C th, cho T > v Q = ì (0, T ] vi l gii ni Rn , cỏc tỏc gi xột bi toỏn tỡm cp hm u(x, t) v g(s) xỏc nh tng ng trờn Q v [A, B], tha ut u = (x, t) u(x, 0) = u0 (x) u = g(u) + h phng trỡnh Q, , trờn S := ì [0, T ], (0.3) vi quan sỏt b sung ti mt im trờn biờn u(0 , t) = h(t), t [0, T ], (0.4) ú cỏc hm , u0 , v h cho trc, l mt im c nh trờn biờn ca , l vộc t phỏp tuyn n v ngoi trờn biờn S, A = minQ u(x, t) v B = maxQ u(x, t) Vi mt s gi thit nht nh, cỏc tỏc gi ó a ỏnh giỏ n nh cho hm g v t ú h thu c tớnh nht nghim ca bi toỏn (0.3) Ta thy, hm g ch cú th xỏc nh khong [A, B] ch khụng xỏc nh trờn ton trc thc R Vỡ th vo nm 1999, Choulli [14] ó t mt cõu hi rt t nhiờn: chỳng ta phi cn n bao nhiờu o c tỡm li hm g(s) vi s R? Choulli ó chng minh rng: (i) nu tt c cỏc o c trờn biờn u thc hin c v hm g b chn thỡ bi toỏn cú nghim nht; (ii) nu cỏc o c trờn biờn c thc hin cỏc khụng gian vect mt chiu thỡ ta cng cú nghim nht, v ụng ó chng minh hm g biu din c di dng g = g0 + g1 , ú g0 l hm ó bit cũn g1 l hm cha bit v khụng cú im t Theo hng nghiờn cu ny, cỏc tỏc gi ca [18] ó phng phỏp tuyn tớnh húa t nhiờn (natural linearization) xỏc nh li quy lut truyn nhit khụng tuyn tớnh g(u) (0.3) vi gi thit l nhit trờn ton b biờn S o c, thay vỡ cỏc o c ti tng im nh (0.4) Trong mt chui cỏc bi bỏo ([51], [80] [86]), Trăoltzsch v Răosch cng ó nghiờn cu bi toỏn tng t C th, cỏc tỏc gi xột bi toỏn xỏc nh h s truyn nhit (u) bi toỏn giỏ tr biờn ut u = u(x, 0) = u0 (x) u = (u(, t))(u u(, t)) ban u Q, trờn , (0.5) trờn S = ì [0, T ], ú u l nhit mụi trng xung quanh, c bit l mt hng s cho trc, t cỏc iu kin quan sỏt b sung khỏc nh: u(x, t) c cho trờn c Q, hoc u(x, ti ) c cho ti mt thi im c nh ti , i = 1, , L, [80], [86], hoc u cho trờn ton b biờn S [83] Cỏc tỏc gi ó chuyn bi toỏn ngc v bi toỏn iu khin ti u, ri chng minh tớnh kh vi Frộchet ca phim hm cn cc tiu húa, sau ú ó s dng phng phỏp lp gii s bi toỏn Chỳng ta cng lu ý rng, quỏ trỡnh truyn nhit, h s truyn nhit bi toỏn (0.5) cú th ph thuc c vo nhit u v thi gian t [28], nhng vic nghiờn cu bi toỏn ngc ú rt phc v khụng nm khuụn kh ca lun ỏn ny Ngoi ta, chỳng tụi cng mun b sung thờm rng, vo nm 2009, Lesnic v cỏc ng tỏc gi [58], [67], Janicki v Kindermann [50] cng nghiờn cu cỏc phng phỏp s gii bi toỏn (0.1) v bi toỏn (0.5) Trong phn u ca lun ỏn ny, c th Chng 1, chỳng tụi nghiờn cu bi toỏn ngc xỏc nh hm g(ã, ã) bi toỏn giỏ tr biờn ban u [87] ut u = Q, (0.6) u(x, 0) = u0 (x) , u = g(u, f ) trờn S, t iu kin quan sỏt b sung (0.4) õy, g : I ì I R (vi I l khong ca R) c gi s l hm liờn tc Lipschitz a phng, n iu gim theo bin u, n iu tng theo bin f v tha g(u, u) = 0, u0 v f l cỏc hm cho trc cú giỏ tr thuc I, tng ng thuc L2 () v L2 (S) Chỳng tụi cng lu ý rng, chng minh bi toỏn thun cú nghim ta cn n gi thit hm g n iu gim theo bin u, n iu tng theo bin f Hn na, vi gi thit ny ta cú nguyờn lý maximum, iu ny l cn thit cho vic gii bi toỏn ngc, cng nh iu kin quy lut biờn n iu l cn thit gii bi toỏn ngc Thụng thng, h s truyn nhit c xem nh hm ca bin thi gian v khụng gian [36], nhiờn lun ỏn chỳng tụi ch cp n nhng ng dng m h s truyn nhit ch ph thuc vo nhit trờn biờn Ta bit rng, bi toỏn (0.6) mụ t nhiu tỡnh thc t [4], [87] Nú bao gm iu kin biờn tuyn tớnh dng g(u, f ) = c(f u) vi c l mt hng s dng Nú cng bao gm iu kin biờn phi tuyn dng g(u, f ) = (f ) (u), vi l hm Lipschitz, n iu tng trờn I; gm c iu kin bc x Stefan-Boltzmann nh (w) = w4 vi I = [0, ), quy lut trao i enzim ca Michaelis-Menten vi (u) = cu/(u+k), ú c v k l cỏc hng s dng iu kin biờn dng ny cng bao gm c trng hp g(u, f ) = (f u), vi l hm Lipschitz, n iu tng khong I I; v c bit l (w) = w5/4 vi w > 0, v (w) = vi w < 0, mụ t hin tng i lu t nhiờn trờn biờn Quan sỏt theo tng im (0.4) thng khụng cú ý ngha nghim ca (0.6) c hiu theo ngha nghim yu Do ú, lun ỏn chỳng tụi s thay th quan sỏt ny bi cỏc quan sỏt sau 1) Quan sỏt trờn mt phn ca biờn u| = h(x, t), (0.7) (x, t) , vi = ì (0, T ], l mt phn ca cú o khỏc 0; 2) Quan sỏt tớch phõn biờn (x)u(x, t)dS = h(t), lu := (0.8) t (0, T ], ú l hm khụng õm, xỏc nh trờn , L1 () v (x)dS > Chỳng tụi lu ý rng, nu ta chn hm nh l xp x ca hm Dirac thỡ cỏc quan sỏt (0.8) cú th coi l trung bỡnh ca quan sỏt (0.4) Quan sỏt tớch phõn l la chn thay th cho quan sỏt o c theo tng im (khi thit b o c cú dy khỏc 0) v bi toỏn ngc s c gii mt cỏch d dng hn nh phng phỏp bin phõn Ngoi vi cỏch t bi toỏn nh trờn, ta ch cn o c mt phn ca biờn l cú th xỏc nh c quy lut truyn nhit trờn biờn, õy l mt iu quan trng thc t Chỳng tụi tin hnh nghiờn cu bi toỏn (0.6) vi quan sỏt (0.8) v quan sỏt (0.7), nghiờn cu bi toỏn (0.5) vi quan sỏt (0.8) Trong mi bi toỏn, chỳng tụi trỡnh by mt vi kt qu ó bit v bi toỏn thun (0.6), s dng phng phỏp bin phõn gii bi toỏn ngc v chng minh s tn ti nghim ca bi toỏn ti u húa, cng nh a cụng thc tớnh gradient ca phim hm cn cc tiu húa; phn cui cựng mi mc, chỳng tụi dnh trỡnh by v tho lun v phng phỏp s gii cỏc bi toỏn trờn Phn th hai ca lun ỏn dnh cho bi toỏn xỏc nh ngun quỏ trỡnh truyn nhit Bi toỏn ny c nhiu nh khoa hc nghiờn cu vũng hn 50 nm qua Mc dự cú khỏ nhiu kt qu v tớnh tn ti, nht v ỏnh giỏ n nh cho bi toỏn, nhng tớnh t khụng chnh v cú th phi tuyn ca bi toỏn, nờn thi gian gn õy ó cú rt nhiu nh toỏn hc v k s ó t li nghiờn cu chỳng minh cho nhn nh ny, chỳng tụi xin trớch dn cỏc sỏch chuyờn kho [9], [33], [46], [47], [70] v bi bỏo mi õy [75] v tng quan ca bi toỏn cho c th, gi s Rn l Lipschitz, gii ni vi biờn Ký hiu Q := ì (0, T ], vi T > v biờn S = ì (0, T ] Gi s aij , i, j {1, 2, , n}, b L (Q), i, j {1, 2, , n}, aij = aji , n Rn i,j=1 aij (x, t)i j b(x, t) à1 , u0 L2 (), Rn , Rn , hu khp Q, , L2 (S), v l cỏc hng s dng v à1 Xột bi toỏn giỏ tr ban u n u t i,j=1 xi aij (x, t) u xj + b(x, t)u = F, (x, t) Q, u|t=0 = u0 (x), x , vi iu kin biờn Robin u + u|S = trờn S, N hoc iu kin biờn Dirichlet u|S = trờn S õy, n u (aij (x, t)uxj ) cos(, xi )|S , |S := N i,j=1 l vect phỏp tuyn ngoi i vi S v L (S), c gi thit l khụng õm hu khp ni trờn S 7 Bi toỏn thun l bi toỏn xỏc nh u cỏc h s ca phng trỡnh (2.7) v cỏc d kin u0 , (hoc ) cng nh F ó cho [33], [94], [97] Bi toỏn ngc l bi toỏn xỏc nh v phi F mt s iu kin b sung lờn li gii u c cho thờm vo Ph thuc vo cu trỳc ca F v cỏc quan sỏt b sung ca u, ta cú cỏc bi toỏn ngc khỏc nh sau: Bi toỏn ngc IP1: F (x, t) = f (x, t)h(x, t) + g(x, t), tỡm f (x, t), u c cho trờn Q [57], [96] IP2: F (x, t) = f (x)h(x, t) + g(x, t), h v g ó bit Tỡm f (x), u(x, T ) c cho, [41], [43], [48], [49], [52], [78] Cỏc bi toỏn ngc tng t cho phng trỡnh phi tuyn c Goldman nghiờn cu [25], [26], [27] IP2a: F (x, t) = f (x)h(x, t) + g(x, t), h v g ó bit Tỡm f (x), nu (t)u(x, t)dx c bit õy, thuc L (0, T ) v khụng õm Ngoi T ra, (t)dt > Cỏc quan sỏt dng ny c gi l quan sỏt tớch phõn v chỳng l m rng ca quan sỏt ti thi im cui T IP2, l xp x hm ti t = T Bi toỏn ny c nghiờn cu [23], [53], [65], [66], [73], [74], [75], [92] IP3: F (x, t) = f (t)h(x, t) + g(x, t), h v g ó cho Tỡm f (t), nu u(x0 , t) c bit õy, x0 l mt im thuc [6], [7], [24], [71], [72] IP3a: F (x, t) = f (t)h(x, t) + g(x, t), h v g ó cho Tỡm f (t), nu (x)u(x, t)dx [64], [66] c bit õy, L () vi (x)dx > 0, [54], IP4: F (x, t) = f (x)h(x, t) + g(x, t), h v g ó cho Tỡm f (x) nu mt iu kin b sung trờn biờn ca u c bit Vớ d, nh iu kin Dirichlet ó cho, ta cú th ly d kin b sung l iu kin Neumann c cho trờn mt phn ca S [8], [10], [11], [12], [15], [16], [22], [95], [98], [99] Bi toỏn tng t xỏc nh f (t) vi F (x, t) = f (t)h(x, t)+ g(x, t) c cp [42] IP5: Tỡm ngun im vi quan sỏt trờn biờn [2], [3], [19], [20], [21], [31], [32], [33], [39], [40], [59, 60] Mt bi toỏn liờn quan c xột [44] 8 Ta ý rng, cỏc bi toỏn ngc IP1, IP2, IP2a xỏc nh f (x, t) v f (x) ta phi ũi hi li gii u c bit trờn ton vt lý - iu ny khú cú th thc hin c thc t khc phc khim khuyt ny, chỳng tụi tip cn n bi toỏn ngc ny t mt quan im khỏc: o c u ti mt s im (hoc im biờn) x1 , x2, , xN (hoc trờn ) v t cỏc d kin ny xỏc nh v phi F Vỡ cỏc o c bao gi cng phi ly trung bỡnh, nờn vi cỏch tip cn ny ta cú cỏc d kin sau: i (x)u(x, t)dx = hi (t), li u = vi i L () v i (x)dx hi L2 (0, T ), i = 1, 2, , N, > 0, i = 1, 2, , N, l cỏc hm trng, cũn N l s cỏc o c ý rng, nu ta t , i (x) = |i | 0, nu x i , nu x i vi |i | l th tớch ca i - mt lõn cn ca xi Khi ú li u cho ta kt qu o c ti xi v cú th hiu l giỏ tr trung bỡnh ca u(xi , t) nu nh nú tn ti Nu ta cho |i | tin ti khụng, thỡ li u s hi t n u(xi , t) nu giỏ tr ny tn ti Tuy nhiờn, li gii c hiu theo ngha yu, nờn khụng phi lỳc no u(xi , t) cng cú ngha Do vy, gi thit li u cú th o c l cú ý ngha thc tin Ngoi ra, rừ rng rng, nu ta ch cú cỏc d kin li u, thỡ ta s khụng cú tớnh nht nghim ca bi toỏn, tr trng hp ta xỏc nh f (t) IP3, IP3a [6], [7], [71] Bi vy, cú tớnh nht, ta gi thit rng, ta cú mt d oỏn f ca f - gi thit thng t gii cỏc bi toỏn thc t Túm li bi toỏn ngc cỏc tip cn mi ca chỳng tụi nh sau: Gi s ta o c cỏc d kin li u = hi (t), i = 1, 2, , N, vi mt sai s no ú v mt c lng f ca f ó c bit Xỏc nh f Ta s gii bi toỏn ngc ny bng phng phỏp bỡnh phng ti thiu: cc tiu húa phim hm J (f ) = N i=1 li u hi L2 (0,T ) + f f , vi l tham s hiu chnh, ã l chun thớch hp Chỳng tụi mun nhn mnh rng, phng phỏp bin phõn dng ny ó c s dng gii cỏc bi toỏn truyn nhit ngc [29], [30], [33] v chng t nú rt hu hiu Chỳng tụi chng minh rng, phim hm ny kh vi Frộchet v a cụng thc cho gradient ca phim hm thụng qua mt bi toỏn liờn hp Sau ú chỳng tụi s ri rc húa bi toỏn bng phng phỏp phn t hu hn v phng phỏp sai phõn ri gii bi toỏn ti u ri rc bng phng phỏp gradient liờn hp Trng hp xỏc nh f (t) s c gii bng phng phỏp sai phõn phõn ró (finite difference splitting method) Cỏc kt qu s cho thy cỏch tip cn ca chỳng tụi l ỳng n v phng phỏp gii s l hu hiu Cỏc kt qu chớnh ca lun ỏn ó c bỏo cỏo v tho lun ti cỏc hi ngh, hi tho khoa hc, xờ mi na sau: - i hi Toỏn hc ton quc ln th tỏm, Nha Trang, thỏng 8, 2013 - Hi tho Quc gia ln th mi hai v Ti u v Tớnh toỏn khoa hc, Ba Vỡ, H Ni, thỏng 4, 2014 - Xờ mi na ti Phũng Phng trỡnh vi phõn, Vin Toỏn hc, Vin Hn lõm Khoa hc v Cụng ngh Vit Nam - Xờ mi na ti khoa Toỏn, trng i hc S phm, i hc Thỏi Nguyờn - Xờ mi na ti khoa Toỏn Tin, trng i hc Khoa hc, i hc Thỏi Nguyờn Chng Xỏc nh quy lut trao i nhit phi tuyn t quan sỏt trờn biờn Trong chng ny, chỳng tụi s nghiờn cu bi toỏn xỏc nh hm u(x, t) v g(u, f ) bi toỏn giỏ tr biờn ut u = u(x, 0) = u0 (x) u = g(u, f ) ban u Q, , trờn S = ì [0, T ] , t iu kin quan sỏt b sung trờn biờn Trong ú, l gii ni khụng gian Rn vi biờn trn, Q = ì (0, T ), vi T > bt kỡ, l vect phỏp tuyn n v ngoi Hm g : I ì I R (vi I R) c gi s l liờn tc Lipschitz, n iu gim theo bin u, n iu tng theo bin f v tha iu kin g(u, u) = cũn u0 v f l cỏc hm s cho trc cú giỏ tr l I, thuc vo khụng gian L2 () v L2 (S) Nu hm g tha iu kin trờn thỡ ta kớ hiu g A Thụng thng thỡ h s truyn nhit c xem nh mt hm ca bin thi gian hoc khụng gian, nhiờn chng ny, chỳng tụi ch 10 11 xột h s truyn nhit ph thuc vo nhit trờn biờn õy, chỳng tụi s dng quan sỏt trờn biờn l mt hai dng sau 1) Quan sỏt trờn mt phn ca biờn u| = h(x, t), (x, t) , vi = ì (0, T ], l mt phn biờn ca ; 2) Quan sỏt tớch phõn trờn biờn (x)u(x, t)dS = h(t), lu := t (0, T ], vi l mt hm khụng õm xỏc nh trờn tha L1 () v (x)dS > Trong Mc 1.2 v 1.3 chỳng tụi nghiờn cu bi toỏn ngc t quan sỏt tớch phõn v quan sỏt trờn mt phn ca biờn v a kt qu s minh ha; Mc 1.4, chỳng tụi xột bi toỏn xỏc nh h s truyn nhit (u) bi toỏn giỏ tr biờn ban u ut u = Q, u(x, 0) = u0 (x) , u = (u(x, t))(u u(x, t)) trờn S = ì [0, T ] , t quan sỏt tớch phõn, ú u l nhit mụi trng xung quanh v c gi s l hng s cho trc Kt qu ca chng ny c túm tt bi bỏo [34] Trc tiờn, chỳng tụi trỡnh by li mt s khụng gian hm s c s dng chng ny 1.1 Mt s kin thc b tr 1.1.1 Nghim yu khụng gian H 1,0 (Q) Cho Rn , n l Lipschitz b chn cú biờn l := , T > l mt s thc, Q = ì (0, T ) Xột bi toỏn giỏ tr biờn ban u phng trỡnh parabolic tuyn tớnh 12 y y + c0 y = f t Q, y + y = g trờn = ì (0, T ), y(ã, 0) = y0 (ã) (1.1) Trong ú, ta gi thit rng c0 , , f v g l cỏc hm ph thuc (x, t) tha c0 L (Q), L () cho (x, t) vi hu ht (x, t) v cỏc hm f L2 (Q), g L2 (), y0 L2 () Trc a cụng thc nghim yu ca bi toỏn (1.1), chỳng tụi bt u bng vic nhc li hai khụng gian hm thng xuyờn c s dng bi toỏn giỏ tr biờn ban u phng trỡnh parabolic nh ngha 1.1 Kớ hiu H 1,0 (Q) l khụng gian nh chun gm tt c cỏc hm y L2 (Q) cú o hm riờng yu cp mt theo bin x1 , ã ã ã , xn thuc L2 (Q) vi chun c xỏc nh nh sau T y H 1,0 (Q) = |y(x, t)|2 + |y(x, t)|2 dxdt 1/2 õy, l gradient theo bin x Khi ú, ta cú H 1,0 (Q) = y L2 (Q) : Di y L2 (Q), i = 1, ã ã ã , n Khụng gian H 1,0 (Q) cũn c bit n nh l khụng gian W21,0(Q) v trựng vi khụng gian L2 (0, T ; H ()) (s c nhc ti phn sau) Cỏc phn t ca khụng gian H 1,0 (Q) cú o hm riờng bc nht dng yu theo bin x, cú ngha l, tn ti hm wi L2 (Q) tha Q y(x, t)Di v(x, t)dxdt = wi (x, t)v(x, t)dxdt, Q v C0 (Q), i = 1, ã ã ã , n Khi ú, ta t Di y(x, t) := wi (x, t), i = 1, ã ã ã , n Ta ý rng W21,0 (Q) l khụng gian Hilbert [56] nh ngha 1.2 Khụng gian H 1,1 (Q) c nh ngha H 1,1 (Q) = y L2 (Q) : yt L2 (Q) v Di y L2 (Q), i = 1, ã ã ã , n , 13 l khụng gian nh chun vi chun xỏc nh nh sau T y H 1,1 (Q) 2 |y(x, t)| + |y(x, t)| + |yt (x, t)| = dxdt 1/2 , õy, l gradient theo bin x Khi ú H 1,1 (Q) l khụng gian Hilbert vi tớch vụ hng c xỏc nh tng ng Ta cng chỳ ý rng, khụng gian ny trựng vi khụng gian H (Q) v cỏc phn t ca khụng gian H 1,1 (Q) cú o hm riờng yu theo cỏc bin xi v cng cú o hm riờng theo bin t, tc l, tn ti hm w L2 (Q), kớ hiu w = yt tha Q y(x, t)vt (x, t)dxdt = w(x, t)v(x, t)dxdt, Q v C0 (Q) Bõy gi ta s bin i bi toỏn (1.1) thnh biu thc bin phõn bng cỏch nhõn phng trỡnh u vi hm th v C (Q) ri ly tớch phõn trờn Q õy ta cú th gi s rng y l nghim c in v cỏc tớch phõn bờn di l tn ti Trong trng hp c bit, y c gi thit l hm liờn tc Q Tuy nhiờn, biu thc bin phõn sau cựng ch cú ngha nu ta cú y H 1,0 (Q) v ú y c hiu nh nghim yu ca bi toỏn Sau ly tớch phõn trờn Q v ly tớch phõn tng phn, vi mi v C (Q) ta nhn c T T T = yt vdxdt c0 yvdxdt vydxdt + 0 y(x, t)v(x, t)dx|T0 Q (yvt yv c0 yv) dxdt v y dsdt (1.2) f vdxdt = Q Nu v(x, T ) = v s dng iu kin biờn y = g y, ta thu c Vi mi v H 1,1 (Q) tha v(x, T ) = 0, ta cú Q (yvt + yv + c0 yv) dxdt + Q Khi ú ta cú nh ngha sau y0 v(ã, 0)dx gvdsdt + f vdxdt + = yvdsdt (1.3) [...]... phân, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam - Xê mi na tại khoa Toán, trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên - Xê mi na tại khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Chương 1 Xác định quy luật trao đổi nhiệt phi tuyến từ quan sát trên biên Trong chương này, chúng tôi sẽ nghiên cứu bài toán xác định hàm u(x, t) và g(u, f ) trong bài toán giá trị biên   ... bài toán thuận (0.6), sử dụng phương pháp biến phân để giải bài toán ngược và chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu hóa, cũng như đưa ra công thức tính gradient của phi m hàm cần cực tiểu hóa; phần cuối cùng trong mỗi mục, chúng tôi dành để trình bày và thảo luận về phương pháp số để giải các bài toán trên Phần thứ hai của luận án dành cho bài toán xác định nguồn trong quá trình truyền nhiệt. ..4 bài toán Chúng ta cũng lưu ý rằng, trong quá trình truyền nhiệt, hệ số truyền nhiệt σ trong bài toán (0.5) có thể phụ thuộc cả vào nhiệt độ u và thời gian t [28], nhưng việc nghiên cứu bài toán ngược khi đó rất phức tạp và không nằm trong khuôn khổ của luận án này Ngoài ta, chúng tôi cũng muốn bổ sung thêm rằng, vào năm 200 9, Lesnic và các đồng tác giả [58], [67], Janicki và Kindermann [50]... một cách dễ dàng hơn nhờ phương pháp biến phân Ngoài ra với cách đặt bài toán như ở trên, ta chỉ cần đo đạc ở một phần của biên là có thể xác định được quy luật truyền nhiệt trên biên, đây là một điều quan trọng trong thực tế Chúng tôi tiến hành nghiên cứu bài toán (0.6) với quan sát (0.8) và quan sát (0.7), nghiên cứu bài toán (0.5) với quan sát (0.8) Trong mỗi bài toán, chúng tôi trình bày một vài... thấy cách tiếp cận của chúng tôi là đúng đắn và phương pháp giải số là hữu hiệu Các kết quả chính của luận án đã được báo cáo và thảo luận tại các hội nghị, hội thảo khoa học, xê mi na sau: - Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ tám, Nha Trang, tháng 8, 201 3 - Hội thảo Quốc gia lần thứ mười hai về Tối ưu và Tính toán khoa học, Ba Vì, Hà Nội, tháng 4, 201 4 - Xê mi na tại Phòng Phương trình vi phân, Viện Toán. .. trên S 7 Bài toán thuận là bài toán xác định u khi các hệ số của phương trình (2.7) và các dữ kiện u0 , ϕ (hoặc ψ) cũng như F đã cho [33], [94], [97] Bài toán ngược là bài toán xác định vế phải F khi một số điều kiện bổ sung lên lời giải u được cho thêm vào Phụ thuộc vào cấu trúc của F và các quan sát bổ sung của u, ta có các bài toán ngược khác nhau như sau: • Bài toán ngược IP1: F (x, t) = f (x,... đồng tác giả [58], [67], Janicki và Kindermann [50] cũng nghiên cứu các phương pháp số để giải bài toán (0.1) và bài toán (0.5) Trong phần đầu của luận án này, cụ thể trong Chương 1, chúng tôi nghiên cứu bài toán ngược xác định hàm g(·, ·) trong bài toán giá trị biên ban đầu [87]    ut − ∆u = 0 trong Q,    (0.6) u(x, 0) = u0 (x) trong Ω,    ∂u   = g(u, f ) trên S, ∂ν từ điều kiện quan sát... nhiệt Bài toán này được nhiều nhà khoa học nghiên cứu trong vòng hơn 6 50 năm qua Mặc dù có khá nhiều kết quả về tính tồn tại, duy nhất và đánh giá ổn định cho bài toán, nhưng do tính đặt không chỉnh và có thể phi tuyến của bài toán, nên trong thời gian gần đây đã có rất nhiều nhà toán học và kỹ sư đã đặt lại vấn đề nghiên cứu chúng Để minh họa cho nhận định này, chúng tôi xin trích dẫn các sách chuyên... phần biên của ∂Ω; 2) Quan sát tích phân trên biên ω(x)u(x, t)dS = h(t), lu := ∂Ω t ∈ (0, T ], với ω là một hàm không âm xác định trên ∂Ω thỏa mãn ω ∈ L1 (∂Ω) và ∂Ω ω(x)dS > 0 Trong Mục 1.2 và 1.3 chúng tôi nghiên cứu bài toán ngược từ quan sát tích phân và quan sát trên một phần của biên và đưa ra kết quả số minh họa; Mục 1.4, chúng tôi xét bài toán xác định hệ số truyền nhiệt σ(u) trong bài toán giá... luật biên đơn điệu là cần thiết để giải bài toán ngược Thông thường, hệ số truyền nhiệt được xem như hàm của biến thời gian và không gian [36], tuy nhiên trong luận án chúng tôi chỉ đề cập đến những ứng dụng mà hệ số truyền nhiệt chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ trên biên Ta biết rằng, bài toán (0.6) mô tả nhiều tình huống thực tế [4], [87] Nó bao gồm điều kiện biên tuyến tính dạng g(u, f ) = c(f −u) với c