MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ****************************** PHẦN I MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài Toán học là một những môn khoa học bản mang tính trừu tượng, mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng Toán học là một môn học giữ một vai trò quan trọng suốt bậc học phổ thông Tuy nhiên, nó là một môn học khó, khô khan và đòi hỏi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình Chính vì vậy, đối với giáo viên dạy toán việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học Để từ đó tìm những biện pháp dạy học có hiệu quả việc truyền thụ các kiến thức Toán học cho học sinh là công việc cần phải làm thường xuyên Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp những kiến thức bản, dạy học sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách Giải toán là một những vấn đề trung tâm của phương pháp giảng dạy, lẽ việc giải toán là một việc mà người học lẫn người dạy thường xuyên phải làm, đặc biệt là đối với những học sinh bậc THCS thì việc giải toán là hình thức chủ yếu của việc học toán Trong chương trình Toán bậc THCS, chuyên đề phương trình là một những chuyên đề xuyên suốt năm học của học sinh, bắt đầu từ những bài toán “Tìm x biết ” dành cho học sinh lớp 6, đến việc cụ thể hóa vấn đề phương trình cuối năm học lớp và hoàn thiện bản các nội dung phương trình đại số lớp Đây là một nội dung quan trọng bắt buộc học sinh bậc THCS phải nắm bắt được và có kĩ giải phương trình một cách thành thạo Trong những vấn đề phương trình, phương trình vô tỉ lại là một trở ngại không nhỏ khiến cho nhiều học sinh không ít ngỡ ngàng và bối rối giải các loại phương trình này Thực ra, cũng là một những vấn đề khó Đặc biệt, với những học sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi thì là một những vấn đề quan trọng mà bắt buộc những học sinh này phải vượt qua Là một giáo viên giảng dạy Toán bậc THCS, bản thân lại được Nhà trường trực tiếp giao trách nhiệm bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán tham dự kì thi các cấp Huyện và Tỉnh, cũng rất trăn trở vấn đề này Vấn đề đặt là làm thế nào có thể giúp cho học sinh giải thành thạo các loại phương trình vô tỉ? Và gặp bất cứ một dạng toán nào phương trình vô tỉ các em cũng có thể tìm cách giải một cách tốt nhất? Với tất cả những lí nêu Tôi quyết định chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ” khuôn khổ chương trình bậc THCS II Mục đích đề tài Trên sở những kinh nghiệm giảng dạy và thực tiễn học tập của học sinh, tìm những phương pháp giải phương trình vô tỉ một cách hiệu quả nhất III Phạm vi nghiên cứu Để thực đề tài này, thực nghiên cứu đơn vị công tác là Trường THCS Dân tộc Nội trú Cụ thể là những học sinh tham gia đội tuyển học sinh giỏi Toán của trường và của Huyện IV Cơ sở nghiên cứu Để thực đề tài này, dựa sở các kiến thức đã học Trường Cao đẳng sư phạm Yên Bái, các tài liệu phương pháp giảng dạy, các tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo của bộ môn Toán bậc trung học sở V Phương pháp nghiên cứu Thực đề tài này, sử dụng các phương pháp sau đây: ******************************* Đỗ Trung Thành – Trường THCS Dân tộc Nội tru Trang MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ****************************** – Phương pháp nghiên cứu lý luận – Phương pháp khảo sát thực tiễn – Phương pháp phân tích – Phương pháp tổng hợp – Phương pháp khái quát hóa – Phương pháp quan sát – Phương pháp kiểm tra – Phương pháp tổng kết kinh nghiệm VI Thời gian nghiên cứu Đề tài được thực từ ngày 05.09.2008 đến ngày 30.3.2009 VII Giới hạn đề tài Đề tài được sử dụng việc bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi các cấp, với đối tượng là những học sinh giỏi bộ môn Toán PHẦN II NỘI DUNG ĐỀ TÀI I Khảo sát tình hình thực tê Năm học 2008 – 2009, được Phòng giáo dục & đào tạo Lục Yên phân công tăng cường Trường THCS Dân tộc Nội trú Thực công tác bồi dưỡng học sinh giỏi hai môn Toán và giải toán máy tính cầm tay Đây là một hội rất tốt để thực đề tài này, phương trình vô tỉ là một những dạng phương trình khó Trong quá trình giải toán học sinh rất lúng túng, kể cả những học sinh tham gia hai đội tuyển thì những dạng phương trình vô tỉ cũng là một dạng toán Trước bồi dưỡng học sinh giỏi, đã thực việc khảo sát môn toán 33 học sinh của lớp 9B Kết quả thu được sau: Giỏi: 10 em Khá: 12 em Trung bình: 11 em Đội tuyển học sinh giỏi môn Toán phụ trách đầu tháng gồm 14 học sinh, qua quá trình bồi dưỡng, chọn lọc trực tiếp Tôi đã chọn được em vào đầu tháng để tiếp tục bồi dưỡng cho các em năm học này Đội tuyển học sinh giỏi môn giải toán máy tính cầm tay phụ trách và chọn lọc từ đầu tháng gồm 11 em II Một số phương pháp giải phương trình vô ti Phương pháp nâng lên lũy thừa: (36 phương pháp giải bộ đề) g(x) ≥ a) Dạng 1: f (x) = g(x) ⇔  f (x) = [g(x)] Ví dụ Giải phương trình: x + = x − (1) x ≥ x ≥  x ≥ ⇔ ⇔ Giải: (1) ⇔  x =  x + = x −  x − 3x = Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = b) Dạng 2: f (x) + g(x) = h(x) Ví dụ Giải phương trình: x + = − x − (2) Giải Với điều kiện x ≥ Ta có: (2) ⇔ x + + x − = ******************************* Đỗ Trung Thành – Trường THCS Dân tộc Nội tru Trang MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ****************************** ⇔ 2x + + (x + 3)(x − 2) = 25 ⇔ (x + 3)(x − 2) = 12 − x 2 ≤ x ≤ 12 2 ≤ x ≤ 12 ⇔ ⇔x=6 ⇔ 2 25x = 150  x + x − = 144 + x − 24x Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = c) Dạng 3: f (x) + g(x) = h(x) Ví dụ Giải phương trình: x + − x − = 12 − x (3) Giải: Với điều kiện ≤ x ≤ 12 Ta có: (3) ⇔ x + = 12 − x + x − ⇔ x + = + (12 − x)(x − 7) ⇔ 19x − x − 84 = x − ⇔ 4(19x – x2 – 84) = x2 – 8x + 16 ⇔ 76x – 4x2 – 336 – x2 + 8x – 16 = ⇔ 5x2 – 84x + 352 = 84 352  42 1764 1764 352    5 x2 − x + − + ÷= 5 x − × x + ÷ 5  25 25    42  44    = 5 x − ÷ − × = ( x − )  x − ÷ = (x − 8) ( 5x − 44 )  25    44 ⇔ x1 = ; x2 = 44 Vậy: phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = ; x2 = d) Dạng 4: f (x) + g(x) = h(x) + k(x) Ví dụ Giải phương trình: x − x − − x − + x + = (4) Giải: Với điều kiện x ≥ Ta có: (4) ⇔ x + + x = x − + x − ⇔ 2x + + x(x + 9) = 2x − + (x − 4)(x − 1) ⇔ + x(x + 9) = (x − 1)(x − 4) 2 ⇔ 49 + x + 9x + 14 x(x + 9) = x − 5x + ⇔ 45 + 14x + 14 x(x + 9) = Với x ≥ ⇒ vế trái của phương trình là một số dương ⇒ phương trình vô nghiệm 2) Phương pháp trị tuyệt đối hóa:(Phương pháp đưa bình phương tổng ) Ví dụ 54/67 TNCPT9 Giải phương trình : x + x − + x − x − = Bài 146 CĐBDHSGTHCS/118: x − + x − − x − − x − = VD1:/112 CSvaToán vô tỉ: ( x − 2) + ( x + 3) = VD2:/112 CSvaToán vô tỉ: ( x − 1) − ( x − 3) + ( x − 5) = Ví dụ Giải phương trình: x − 4x + + x = (1) Giải: (1) ⇔ (x − 2) = − x Với điều kiện x ≤ Ta có: (1) ⇔ |x – 2| = – x ******************************* Đỗ Trung Thành – Trường THCS Dân tộc Nội tru Trang MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ****************************** – Nếu x < 2: (1) ⇒ – x = – x (vô nghiệm) – Nếu ≤ x ≤ 8: (1) ⇒ x – = – x ⇔ x = HD: Đáp số: x = Ví dụ Giải phương trình x + + x + + x + 10 − x + = x + − x + (2) Giải: (2) ⇔ x + + x + + + x + − 2.3 x + + = x + − x + + ⇔ x + + 1+ | x + − |= 2.| x + − 1| Đặt y = x + (y ≥ 0) ⇒ phương trình đã cho trở thành: y + 1+ | y − |= | y − 1| – Nếu ≤ y < 1: y + + – y = – 2y ⇔ y = –1 (loại) – Nếu ≤ y ≤ 3: y + + – y = 2y – ⇔ y = – Nếu y > 3: y + + y – = 2y – (vô nghiệm) Với y = ⇔ x + = ⇔ x = Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm là x = 3) Phương pháp sử dụng bất đẳng thức :( Nâng cao và phát triển toán /69) Được thể hiện nhiều dạng a) Chứng tỏ tập giá trị hai vế là rời nhau, đó phương trình vô nghiệm Ví dụ Giải phương trình x − − 5x − = 3x − (VD57/69) Cách điều kiện x ≥ Với x ≥ thì: Vế trái: x − < 5x − ⇒ vế trái âm Vế phải: 3x − ≥ ⇒ vế phải dương Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm Cách Với x ≥ 1, ta có: x − = 5x − + 3x − ⇔ x − = 8x − + (5x − 1)(3x − 2) ⇔ − 7x = (5x − 1)(3x − 2) Vế trái là một số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥ ⇒ phương trình vô nghiệm b) Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế Ví dụ Giải phương trình: 3x + 6x + + 5x + 10x + 14 = − 2x − x (1) Giải: Ta có (1) ⇔ ⇔ 4 9    x + 2x + + ÷ +  x + 2x + + ÷ = −(x + 2x + 1) + 3 5   3(x + 1) + + 5(x + 1) + = − (x + 1) Ta có: Vế trái ≥ + = + = Dấu “=” xảy ⇔ x = –1 Vế phải ≤ Dấu “=” xảy ⇔ x = –1 Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = –1 c) Sử dụng tính đơn điệu hàm số (tìm nghiệm, chứng minh nghiệm đó là nhất) Ví dụ :58/69 Giải phương trình: x + + x = Ví dụ Giải phương trình: x+7 + = 2x + 2x − x +1 Dễ thấy x = là một nghiệm của phương trình – Nếu ≤ x < : VT = + + < + Mà: VP > + x +1 – Nếu x > 2: VP = 2x2 + 2x − > 2.22 + = + VT < + Giải: điều kiện x ≥ ******************************* Đỗ Trung Thành – Trường THCS Dân tộc Nội tru Trang MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ****************************** x > ⇒ x +1 > +1 6 1+ < 1+ =3 x +1 +1 Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm nhất là x = Ví dụ Giải phương trình: 3x − 7x + − x − = 3x − 5x + − x − 3x − Giải: Thử với x = Ta có: 3.4 − 7.2 + − 22 − = 3.2 − 5.2 + − 22 − 3.2 − ⇔ 1− = − (1) ⇔ (3x − 5x − 1) − 2(x − 2) + (x − 2) − 3(x − 2) = 3x − 5x − − x − Nếu x > 2: VT < VP Nếu x < 2: VT > VP Vậy: x = là nghiệm nhất của phương trình Ví dụ Giải phương trình: + =6 3− x 2−x Giải: ĐK: x < Bằng cách thử, ta thấy x = là nghiệm của phương trình Ta cần chứng minh đó 8 là nghiệm nhất Thật vậy: Với x < : < và 6 3− x 2−x Ví dụ Giải phương trình: 3x(2 + 9x + 3) + (4x + 2)(1 + + x + x ) = (1) ( ⇔ 3x ( + ) ( + ) = −(2x + 1) ( + ) 2 Giải: (1) ⇔ 3x + (3x) + + (2x + 1) + (2x + 1) + = (3x) (2x + 1) + ) 1 thì các biểu thức hai vế Vậy x = − là 5   một nghiệm của phương trình Hơn nữa nghiệm của (1) nằm khoảng  − ; ÷ Ta chứng   minh đó là nghiệm nhất 1 Với − < x < − : 3x < –2x – < Nếu 3x = –(2x + 1) ⇔ x = − ⇒ (3x)2 > (2x + 1)2 ⇒ + (3x) + > + (2x + 1) + ( ) ( ) 2 Suy ra: 3x + (3x) + + (2x + 1) + (2x + 1) + > ⇒ (1) không có nghiệm khoảng này Chứng minh tương tự, ta cũng đến kết luận (1) không có nghiệm − d) Sử dụng điều kiện xảy dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt x 4x − Ví dụ Giải phương trình + =2 x 4x − 1 Giải: điều kiện x > ******************************* Đỗ Trung Thành – Trường THCS Dân tộc Nội tru Trang 1 Nên: x 4x − + ≥ Dấu “=” xảy ⇔ x = 4x − ⇔ x − 4x + = x 4x − ⇔ x − 4x + − = ⇔ (x − 2) = ⇔ x − = ± ⇔ x = ± Với điều kiện x > Phương pháp đưa phương trình tích Ví dụ Giải phương trình: 2x + − x − = x + Giải ĐK: x ≥ Để ý thấy: (2x + 1) – (x – 2) = x + Do đó, nhân lượng liên hợp vào hai vế của phương trình: x + = (x + 3)( 2x + + x + − 1) = ⇔  ⇒ PT vô nghiệm  2x + + x − = x + + 2(x + 1) = x − + − x + − x (1) Ví dụ Giải phương trình: Giải ĐK: | x | ≤ 1: (1) ⇔ ( x +1 − 1− x ⇔ x1 = 0; x2 = − )(2 ) x +1 − 1− x +1 = 24 25 Ví dụ Giải phương trình: x − + x + x + x + = + x − (1) Giải Chú ý: x4 – = (x – 1)(x3 + x2 + x + 1) (1) ⇔ ( ) )( x − − 1 − x3 + x2 + x + = ⇔ x = 5) Phương pháp đặt ẩn phụ: a) Sử dụng ẩn phụ:Dạng : af (x) + b f (x) + c = f ( x) t ≥ o đưa pt dạng : at + bt + c = o Đặt : t = Ví dụ Giải phương trình: x + x + = (1) Giải Đặt x + = y (y ≥ 0) ⇒y2 = x + ⇔ x = y2 – ⇔ x2 = (y2 – 1)2 ⇒ (2) ⇔ (y2 – 1)2 + y – = ⇔ y(y − 1)(y2 + y − 1) = −   Từ đó suy tập nghiệm của phương trình là: 0; − 1;    Ví dụ Giải phương trình: ( ) ) ( x −1 +1 + x − + + x − = − x (1) x −1 +1= y HD: ĐK: x ≥ Đặt (1) ⇔ ( ) x −1 +1 − = ⇔ y3 + y2 – = ⇔ (y – 1)(y2 + 2y + 2) = ⇔ y = ⇔ x = Bài tập :VD1:/110 CSvaToán vô tỉ: ( x + 1)(2 − x) = + x − x b) Sử dụng hai ẩn phụ : Ví dụ Giải phương trình: 2(x2 + 2) = x + (3) Giải Đặt u = x + , v = x − x + (ĐK: x ≥ −1, u ≥ 0, v ≥ 0) Khi đó: u2 = x + 1, v2 = x2 – x + 1, u2v2 = x3 + ⇒ (3) ⇔ 2(u2 + v2) = 5uv ⇔ (2u − v)(u − 2v) = ******************************* Đỗ Trung Thành – Trường THCS Dân tộc Nội tru Trang MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ******************************  + 37 − 37  ; Giải ra, xác định x Kết quả là: x ∈     Ví dụ Giải phương trình: Giải ĐK: x ≥ –2 (1) ⇔ ( ( )( ) x + − x + + x + 7x + 10 = (1) )( ) x + − x + + (x + 5)(x + 2) = Đặt: x + = u, x + = v (u, v ≥ 0)⇒ u2 – v2 = (1) ⇔ (a – b)(1 + ab) = a2 – b2 ⇔ (a – b)(1 – a + ab – b) = ⇔ (a – b)(1 – a)(1 – b) = Giải ra: x = –1 là nghiệm nhất Ví dụ Giải phương trình: x + − 3x = 2x − (1) Giải ĐK: x ≥ Đặt x + = u, 3x = v (u, v ≥ 0): (1) ⇔ b – a = a2 – b2 ⇔ (a – b)(a + b + 1) = Mà a + b + > ⇒ a = b ⇔ x = là nghiệm nhất của phương trình Ví dụ Giải phương trình: + x − = x + 2x − (1) x x x Giải Đặt x − = u, 2x − = v (u, v ≥ 0) x x  5   (1) ⇔ x − −  2x − ÷ −  x − ÷ − 2x − = ⇔ u – (v2 – u2) – v = x  x  x  x ⇔ (u – v)(1 + u + v) = Vì + u + b > nên: u = v Giải ta được: x = c) Sử dụng ba ẩn phụ Ví dụ Giải phương trình: x + 3x + + x + = x + + x + 2x − (1) Giải ĐK: x ≥ (1) ⇔ (x − 1)(x − 2) + x + = x + + (x − x)(x + 3) Đặt: x − = a, x − = b, x + = c (a, b, c ≥ 0): (1) ⇔ ab + c = b + ac ⇔ (a – 1)(b – c) = ⇔ a = hoặc b = c Thay ngược trở lại ta được x = là nghiệm nhất của phương trình Ví dụ Giải phương trình : x = − x − x + − x − x + − x − x Giải Đặt : u = − x ; v = − x ; t = − x (u ; v ; t ≥ 0) ⇒ x = − u2 = − v2 = − t2 = uv + vt + tu (u + v)(u + t) = (1)  Từ đó ta có hệ: (v + u)(v + t) = (2) (t + u)(t + v) = (3)  Nhân từng vế của (1), (2), (3) ta có : [ (u + v)(v + t)(t + u) ]2 = 30 Vì u ; v ; t ≥ nên: (u + v)(v + t)(t + u) = 30 (4) Kết hợp (4) với lần lượt (1) ; (2) ; (3) dẫn đến:  30 (5) v + t =   30 (6) u + t =   30 (7) u + v =  Cộng từng vế của (5) ; (6) ; (7) ta có: ******************************* Đỗ Trung Thành – Trường THCS Dân tộc Nội tru Trang MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ****************************** 31 30 31 30 (8) ⇒ u +v+ t = 30 60 Kết hợp (8) với lần lượt (5) ; (6) ; (7) ta có:  30 u = 60   30  11 30 239  ⇒ x = −  = ÷ v = ÷ 120 60  60    19 30 t = 60  2(u + v + t) = d) Sử dụng ẩn phụ đưa hệ phương trình Ví dụ Giải phương trình x − + 2x − = Cách 1: Giải tương tự bài Ta được x = Cách 2: Đặt x − = u ≥ và Ví dụ Giải phương trình: Giải ĐK: ≤ x ≤ 25 Đặt 8+ x + 5− x = 8+ u + v = u = ⇔ v ⇒ 2 v =  u + v = 13 Ví dụ Giải phương trình: u + v = u = ⇔ ⇔ x = 2x − = v Ta có hệ:  2  v − 2u =  u = −12 x = u , − x = v (u, v ≥ 0):  u=3 Giải ta có x = là nghiệm nhất   v=2 25 − x − − x = Giải ĐK: –3 ≤ x ≤ 3: Đặt 25 − x = u, − x = v (u, v ≥ 0) u + v = u − v = u = ⇔ ⇒ ⇔ Thế ngược trở lại: x = là nghiệm nhất u + v = v =  u + v = 16 Ví dụ Giải phương trình: − x + + x = Giải ĐK: – ≤ x ≤ Đặt − x = u ; + x = v (u, v ≥ 0) u + v = x = ⇒ ⇒   x = −3 u + v = Ví dụ Giải phương trình: − x + + x + − x = (u + v) − 2uv = + x = v (u, v ≥ 0) ⇒  (u + v) + uv = Giải ta được: (a, b) = {(0 ; 2), (2 ; 0)} Từ đó thế ngược trở lại: x = ±2 Ví dụ Giải phương trình: 97 − x + x = (1) Giải Đặt 97 − x = u, x = v (u, v ≥ 0) u + v = u = u =  x = 81 ⇔ ∨  ⇔ ⇒ (1) ⇔  4 v = v =  x = 16  u + v = 97 Giải ĐK: –2 ≤ x ≤ 2: Đặt − x = u, Ví dụ Giải phương trình: x + 2x − = 12(x − 1) Giải Đặt x = u, 2x − = v (1) ⇔ u + v = 4(u + v3 ) ⇔ u + v3 + 3uv(u + v) = 4(u + v ) u = −v ⇔ 3.(u + v).(u − 2uv + v ) = ⇔ 3.(u + v).(u − v) = ⇔  ⇒ kết quả u = v ******************************* Đỗ Trung Thành – Trường THCS Dân tộc Nội tru Trang MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ****************************** 6) Giải và biện luận phương trình vô ti Ví dụ Giải và biện luận phương trình: x − = x − m x ≥ m x ≥ m ⇔ Giải Ta có: x − = x − m ⇔   2  x − = x − 4xm + m 2mx − (m + 4) = – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm m2 + m2 + – Nếu m ≠ 0: x = Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m ⇔ ≥m 2m 2m + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2 ⇔ m2 ≤ ⇔ < m ≤ + Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2 ⇔ m2 ≥ ⇔ m ≤ –2 Tóm lại: m2 + – Nếu m ≤ –2 hoặc < m ≤ 2: phương trình có một nghiệm x = 2m – Nếu –2 < m ≤ hoặc m > 2: phương trình vô nghiệm Ví dụ Giải và biện luận phương trình với m là tham số: x − = x − m (Đề thi học sinh giỏi cấp tinh năm học 1999 – 2000) x ≥ m x ≥ m ⇔ Giải Ta có: x − = x − m ⇔  2 2  x − = x + m − 2mx 2mx − (m + 3) = – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm m2 + m2 + – Nếu m ≠ 0: x = Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m ⇔ ≥m 2m 2m + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2 ⇔ m2 ≤ ⇔ ≤ m ≤ + Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2 ⇔ m2 ≥ ⇔ m ≤ − Tóm lại: m2 + – Nếu ≤ m ≤ hoặc m ≤ − Phương trình có một nghiệm: x = 2m – Nếu − < m ≤ hoặc m > : phương trình vô nghiệm Ví dụ Giải và biện luận theo tham số m phương trình: x − x = m − m Giải Điều kiện: x ≥ – Nếu m < 0: phương trình vô nghiệm – Nếu m = 0: phương trình trở thành x ( x − 1) = ⇒ có hai nghiệm: x1 = 0, x2 = – Nếu m > 0: phương trình đã cho tương đương với ( x − m)( x + m − 1) =  x − m =0 ⇔  x = − m + Nếu < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x1 = m; x2 = (1 − m) + Nếu m > 1: phương trình có một nghiệm: x = m Bài tập : VD2:/110 CSvaToán vô tỉ a+x =a− a−x II Kêt quả thực hiện Qua việc bồi dưỡng học sinh giỏi hai môn: Toán và giải toán máy tính cầm tay Tôi đã áp dụng các nội dung của đề tài vào việc bồi dưỡng cho các em Kết quả đạt được sau: Môn Giải toán máy tính cầm tay ******************************* Đỗ Trung Thành – Trường THCS Dân tộc Nội tru Trang MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ****************************** a) Cấp Huyện: Tổng số học sinh tham dự kì thi học sinh cấp Huyện: 11 em Số học sinh đạt giải: em (1 giải nhất, giải nhì, giải ba và giải khuyến khích) b) Cấp Tỉnh: Tổng số học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh: em Số học sinh đạt giải: em (3 giải nhì, giải ba và giải khuyến khích) c) Học sinh được tham dự kì thi học sinh giỏi cấp Quốc gia: em (Đạt giải ) Môn Toán a) Cấp Huyện: Tổng số học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi cấp Huyện: em Số học sinh đạt giải: em (2 giải nhất, giải nhì, giải ba, giải khuyến khích) Số học sinh được chọn tham dự kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh: em b) Cấp Tỉnh: Tổng số học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh: em Số học sinh đạt giải: III Bài học kinh nghiệm Qua việc thực chuyên đề giải phương trình vô tỉ chương trình của cấp THCS và việc bồi dưỡng học sinh giỏi hai môn Toán và Giải toán máy tính cầm tay Bản thân đã rút được một số bài học kinh nghiệm sau: Về công tác chỉ đạo Đây là một công tác quan trọng hàng đầu việc bồi dưỡng học sinh giỏi Trong năm học vừa qua, nhận được sự chỉ đạo sát sao, sự quan tâm thường xuyên từ phía Ban giám hiệu Nhà trường và Phòng giáo dục đào tạo Công tác bồi dưỡng học sinh giỏi đã và gặt hái được những thành công lớn Nhờ có sự quan tâm đó, mà ngành giáo dục Lục Yên đã vươn lên trở thành một những huyện thị đầu công tác mũi nhọn của Tỉnh Yên Bái Về phía học sinh Để gặt hái được những thành tích cao công tác mũi nhọn Học sinh là nhân vật trung tâm việc bồi dưỡng đào tạo, là nhân tố giữ vai trò quyết định sự thành công hay thất bại của giáo viên làm công tác giảng dạy, bồi dưỡng Vì chính các em là người học, là người thi và là người đem lại những thành tích đó Tuy nhiên, để giúp cho học sinh có thể gặt hái được những thành công, đòi hỏi các em phải có một sự nỗ lực rất lớn Một sự quyết tâm học tập 100% khả của bản thân mình Chính vì vậy, sự động viên, quan tâm, giúp đỡ của lãnh đạo ngành, gia đình các em và những giáo viên tham gia làm công tác bồi dưỡng là rất lớn Nhất là đối với lứa tuổi học sinh lớp 9, đặc điểm tâm lí lứa tuổi của các em có tác động không nhỏ đến việc học tập của các em Nhận thức rõ điều đó, giáo viên làm công tác bồi dưỡng cần phải dành một sự quan tâm rất lớn đến các em, thường xuyên động viên, uốn nắn kịp thời để giúp cho các em có thể có một sự quyết tâm lớn công việc học tập của mình Đặc biệt là với những học sinh tham gia học tập bộ môn Toán, là một môn học khó, có rất ít học sinh lựa chọn tham gia thi môn này Cũng chính vì lí này, công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán càng trở nên khó khăn rất nhiều Về phía giáo viên tham gia trực tiếp công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Nếu học sinh giữ vai trò trung tâm công tác bồi dưỡng học sinh giỏi thì vị trí của người thầy lại giữ vai trò chủ đạo Để thực thành công việc đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi, đặc biệt với môn Toán thì khó khăn rất nhiều so với các môn học khác Thực tế đã chứng minh điều đó, những năm qua, huyện Lục Yên cũng chỉ có một lần có học sinh giỏi cấp Tỉnh bộ môn Toán, những năm trước không có Toán học là một môn học khó, khô khan và lượng kiến thức rất rộng, vì học sinh đã được học toán từ vào lớp 1, tức là các em đã được học toán năm liền Chính vì vậy, những giáo viên tham gia bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán cần phải có thời gian bồi dưỡng nhiều hơn, phải đầu tư thời gian, công sức, tiền bạc nhiều so với những giáo viên tham gia bồi dưỡng những môn học khác Vấn đề là thời gian, vì học sinh không phải là những cái máy, cùng một lúc nhồi nhét vào đầu các em mọi vấn đề mà ******************************* Đỗ Trung Thành – Trường THCS Dân tộc Nội tru Trang 10 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ****************************** cho các em nên học Mà việc tiếp thu, học tập của các em là cả một quá trình bền bỉ, lâu dài thì mong đạt được hiệu quả Bản thân là giáo viên tham gia công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán năm là năm thứ hai, nói kinh nghiệm thì chưa nhiều Song cũng nhận thấy rằng, để bồi dưỡng được một đội tuyển thi có giải là cả một vấn đề nan giải, khó khăn Ở tồn hai vấn đề: Một là, kiến thức của người thầy, giáo viên giảng dạy toán phải là người có một cái nhìn tổng quát môn toán bậc học của mình, phải là người giải toán thường xuyên, cặp nhật thường xuyên những thuật toán, những thủ thuật giải toán hiệu quả Nói tóm lại là kiến thức của thầy phải vững vàng, thầy thực sự phải là người giỏi toán Hai là, cần phải lên được kế hoạch giảng dạy một cách chi tiết, chuẩn mực Cặp nhật thường xuyên những kiến thức mà các em vừa học để bồi dưỡng ngay, đặc biệt là phải kích thích được các em say sưa học tập, tự giác học tập, phát huy được những tố chất tốt nhất của các em để công việc học tập của các em đạt được hiệu quả cao PHẦN III KẾT LUẬN Trên là một số phương pháp giải phương trình vô tỉ khuôn khổ chương trình cấp THCS, mà cụ thể là những phương pháp giải phương trình vô tỉ của lớp Ngoài những phương pháp mà chắt lọc nêu trên, chắn nhiều phương pháp giải khác mà bản thân tôi, lực hạn chế và thời gian nghiên cứu chưa nhiều nên đề tài của không những sơ suất Chính vì vậy, rất mong có sự đóng góp, bổ xung của các đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện Người thực hiện Đỗ Trung Thành NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ CỦA TỔ CHUYÊN MÔN VÀ BGH NHÀ TRƯỜNG ******************************************* ******************************* Đỗ Trung Thành – Trường THCS Dân tộc Nội tru Trang 11 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ****************************** ******************************* Đỗ Trung Thành – Trường THCS Dân tộc Nội tru Trang 12 [...]... KẾT LUẬN Trên đây là một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong khuôn khổ chương trình cấp THCS, mà cụ thể là những phương pháp giải phương trình vô tỉ của lớp 9 Ngoài những phương pháp mà tôi chắt lọc nêu trên, chắc chắn còn nhiều phương pháp giải khác mà bản thân tôi, do năng lực còn hạn chế và thời gian nghiên cứu chưa nhiều nên đề tài của tôi không thể không... sự đóng góp, bổ xung của các đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn Người thực hiện Đỗ Trung Thành NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ CỦA TỔ CHUYÊN MÔN VÀ BGH NHÀ TRƯỜNG ******************************************* ******************************* Đỗ Trung Thành – Trường THCS Dân tộc Nội tru Trang 11 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ****************************** *******************************...MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ****************************** cho rằng các em nên học Mà việc tiếp thu, học tập của các em là cả một quá trình bền bỉ, lâu dài thì mới mong đạt được hiệu quả Bản... môn Toán năm nay là năm thứ hai, nói về kinh nghiệm thì chưa nhiều Song tôi cũng nhận thấy rằng, để bồi dưỡng được một đội tuyển đi thi có giải là cả một vấn đề nan giải, khó khăn Ở đây tồn tại hai vấn đề: Một là, kiến thức của người thầy, giáo viên giảng dạy toán phải là người có một cái nhìn tổng quát về môn toán trong bậc học của mình, phải là người