Bµi 3 Bµi 3 c¸c hÖ thøc l­îng trong c¸c hÖ thøc l­îng trong tam gi¸c vµ gi¶I tam gi¸c tam gi¸c vµ gi¶I tam gi¸c (TiÕt 25) (TiÕt 25) H·y nªu c¸c hÖ thøc l­îng trong tam gi¸c vu«ng ? b 2 = a x ? c 2 = a x ? a 2 = b 2 + ? ah = ? h 2 = ? A C B h c b’ a b c’ H c 2 c ’ b ’ x c ’ b ’ b x c sinB = cosC = ?; sinC = cosB = ?; tanB = cotC = cotB = tanC = ?; ?; a b a c c b 222 111 cbh += b c ? 2 1 h Bµi cò: a) Bài toán 1. Định lí côsin Trong tam giác ABC cho biết hai cạnh BA, BC và góc B, hãy tính cạnh AC A B C Giải Ta có 222 )(|| BCBAACAC == BCBABCBA .2 22 += .cos||.||2 22 2 BBCBABCBAAC += .cos 2 222 BBCBABCBAAC += Vậy ta có .cos 2 22 BBCBABCBAAC += a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cosA; b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cosB; c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cosC. b) §Þnh lý cosin Víi mäi tam gi¸c ABC, bÊt k× BC = a, CA = b, AB = c ta cã: A a B C b c HÖ qu¶: Tõ ®Þnh lÝ c«sin ta suy ra: ; 2 cos 222 bc acb A −+ = ; 2 cos 222 ac bca B −+ = . 2 cos 222 ab cba C −+ = *)Ví dụ1: Cho tam giác ABC biết BC= a =2cm,CA= b = 4cm, C = 60 0 . Tính cạnh c và góc A? A a =2 B C b = 4 c = ? 60 0 Giải Theo định lí hàm số côsin ta có: c 2 = a 2 + b 2 - 2abcosC = 4 +16 - 16.cos60 0 = 20 - 8 =12 32=c Mặt khác, theo hq định lí hàm số cosin ta lại có: bc acb A 2 cos 222 + = 32.4.2 2)32(4 222 + = 2 3 = A = 30 0 *)Ví dụ2: Cho tam giác ABC biết AC = cm, AB= c = 1cm, BC = a = 2cm. Tính B, tam giác ABC tù hay nhọn? Theo hệ quả định lí hàm số cosin ta có: Giải 7=b c = 1 a = 2 A B C ? 7=b ac bca B 2 cos 222 + = 1.2.2 )7(12 222 + = 2 1 = B = 120 0 (< 0) Tam giác ABC tù (Ta có thể thấy thêm một ứng dụng của định lí cosin) c) áp dụng. Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác Cho tam giác ABC, có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Gọi m a , m b , m c là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B, C của tam giác. Ta có: . 4 )(2 ; 4 )(2 ; 4 )(2 222 2 222 2 222 2 cab m bca m acb m c b a + = + = + = A B C M m a c b a/2 Chứng minh: Abc b cA b c b cm b cos 4 cos. 2 .2 2 2 2 2 22 += += B A C M m b Thật vậy, gọi M là trung điểm của AC, áp dụng định lý cosin vào tam giác AMB, ta có: c a b/2 Vì bc acb A 2 cos 222 + = nên ta suy ra: bc acb bc b cm b 2 . 4 2222 22 + += 4 )(2 222 bca + = Các đẳng thức còn lại được chứng minh tương tự. Cho tam gi¸c ABC cã c = 7 cm, b = 4 cm, a = 5 cm. H·y tÝnh ®é dµi ®­êng trung tuyÕn m c cña tam gi¸c ®ã. *)VÝ dô 3: Ta cã: Gi¶i C B A M m c = ? b = 4 a = 5 c =7 4 )(2 222 2 cab m c −+ = 4 7)54(2 222 −+ = Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b, BD = m, AC = n. Chứng minh rằng m 2 + n 2 = 2(a 2 + b 2 ). *)Ví dụ 4: Giải A B CD a b m n O Gọi O là tâm hình bình hành ABCD. O là trung điểm của AC, BD. Tam giác ABD, có: 4 )(2 222 2 BDADAB AO + = 4 )(2 2 222 2 mban + = hay (vì AO là trung tuyến) n 2 = 2(a 2 + b 2 ) m 2 n 2 + m 2 = 2(a 2 + b 2 ) (đpcm) . 0 Giải Theo định lí hàm số côsin ta có: c 2 = a 2 + b 2 - 2abcosC = 4 +16 - 16.cos60 0 = 20 - 8 =12 32=c Mặt khác, theo hq định lí hàm số cosin ta lại. = 1cm, BC = a = 2cm. Tính B, tam giác ABC tù hay nhọn? Theo hệ quả định lí hàm số cosin ta có: Giải 7=b c = 1 a = 2 A B C ? 7=b ac bca B 2 cos 222 + =