Chương Chương Chương MỐI LIÊN HỆ GIỮA MÔĐUN LIÊN TỤC CỦA HỆ SỐ VÀ TÍNH TỰA GIẢI TÍCH CỦA NGHIỆM TRONG BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC MẠNH Người hướng dẫn khoa học : TS Phạm Triều Dương Học viên : Lê Đức Tâm Mã học viên : K24-0137 Hà Nội, 26-10-2016 Học viên: Lê Đức Tâm Người hướng dẫn: TS Phạm Triều Dương Hà Nội, 26-10-2016 / 25 Chương Chương Chương Lý chọn đề tài Học viên: Lê Đức Tâm Người hướng dẫn: TS Phạm Triều Dương Hà Nội, 26-10-2016 / 25 Chương Chương Chương Lý chọn đề tài Bài toán Cauchy phương trình hyperbolic mạnh [0, T ] × Rn : utt − a(t, x)uxx = 0, (t, x) ∈ (0, T ) × Rn , u(0) = u0 (x); u (0) = u1 (x), với hệ số a(t, x) liên tục theo thời gian thỏa mãn điều kiện hyperbolic ngặt: a(t, x) ≥ γ > Học viên: Lê Đức Tâm Người hướng dẫn: TS Phạm Triều Dương Hà Nội, 26-10-2016 / 25 Chương Chương Chương Lý chọn đề tài Bài toán Cauchy phương trình hyperbolic mạnh [0, T ] × Rn : utt − a(t, x)uxx = 0, (t, x) ∈ (0, T ) × Rn , u(0) = u0 (x); u (0) = u1 (x), với hệ số a(t, x) liên tục theo thời gian thỏa mãn điều kiện hyperbolic ngặt: a(t, x) ≥ γ > Mối liên hệ môđun liên tục hệ số đảm bảo cho tồn nghiệm lớp rộng tính giải tích thực thông thường Học viên: Lê Đức Tâm Người hướng dẫn: TS Phạm Triều Dương Hà Nội, 26-10-2016 / 25 Chương Chương Chương Lý chọn đề tài Bài toán Cauchy phương trình hyperbolic mạnh [0, T ] × Rn : utt − a(t, x)uxx = 0, (t, x) ∈ (0, T ) × Rn , u(0) = u0 (x); u (0) = u1 (x), với hệ số a(t, x) liên tục theo thời gian thỏa mãn điều kiện hyperbolic ngặt: a(t, x) ≥ γ > Mối liên hệ môđun liên tục hệ số đảm bảo cho tồn nghiệm lớp rộng tính giải tích thực thông thường Thiết lập tích phân dao động chứng minh tính đặt toán tổng quát với hệ số a(t, x) phụ thuộc vào biến không gian thời gian Học viên: Lê Đức Tâm Người hướng dẫn: TS Phạm Triều Dương Hà Nội, 26-10-2016 / 25 Chương Chương Chương Lý chọn đề tài Bài toán Cauchy phương trình hyperbolic mạnh [0, T ] × Rn : utt − a(t, x)uxx = 0, (t, x) ∈ (0, T ) × Rn , u(0) = u0 (x); u (0) = u1 (x), với hệ số a(t, x) liên tục theo thời gian thỏa mãn điều kiện hyperbolic ngặt: a(t, x) ≥ γ > Mối liên hệ môđun liên tục hệ số đảm bảo cho tồn nghiệm lớp rộng tính giải tích thực thông thường Thiết lập tích phân dao động chứng minh tính đặt toán tổng quát với hệ số a(t, x) phụ thuộc vào biến không gian thời gian Học viên: Lê Đức Tâm Người hướng dẫn: TS Phạm Triều Dương Hà Nội, 26-10-2016 / 25 Chương Chương Chương Cấu trúc luận văn Học viên: Lê Đức Tâm Người hướng dẫn: TS Phạm Triều Dương Hà Nội, 26-10-2016 / 25 Chương Chương Chương Cấu trúc luận văn Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Học viên: Lê Đức Tâm Người hướng dẫn: TS Phạm Triều Dương Hà Nội, 26-10-2016 / 25 Chương Chương Chương Cấu trúc luận văn Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Bài toán Cauchy phương trình hyperbolic mạnh hệ số phụ thuộc thời gian Học viên: Lê Đức Tâm Người hướng dẫn: TS Phạm Triều Dương Hà Nội, 26-10-2016 / 25 Chương Chương Chương Cấu trúc luận văn Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Bài toán Cauchy phương trình hyperbolic mạnh hệ số phụ thuộc thời gian Phần này, ta trình bày định nghĩa tương đương lớp siêu khả vi với trọng số theo Beurling Ruomieu, đặc số dạng dao động quan trọng hệ số, kết tính đặt đúng, tính tối ưu điều kiện thông qua phản ví dụ Học viên: Lê Đức Tâm Người hướng dẫn: TS Phạm Triều Dương Hà Nội, 26-10-2016 / 25 Chương Chương Chương 2.3 Phép hiệu chỉnh quy hóa hệ số thiết lập đánh giá trung gian Chứng minh kết tính đặt Định lí 2.3.3 Giả sử hàm a(t) thỏa mãn điều kiện (2.2) (2.3) với hàm trọng số không tựa giải tích ω Do đó, với u0 , u1 ∈ E(ω) cho trước, toán Cauchy (2.1) cho nghiệm u ∈ C ([0, T ]; E(ω) ) Học viên: Lê Đức Tâm Người hướng dẫn: TS Phạm Triều Dương Hà Nội, 26-10-2016 14 / 25 Chương Chương Chương Chương 3: Bài toán Cauchy phương trình hyperbolic mạnh hệ số phụ thuộc không gian thời gian Học viên: Lê Đức Tâm Người hướng dẫn: TS Phạm Triều Dương Hà Nội, 26-10-2016 15 / 25 Chương Chương Chương 3.1 Các kết tích phân dao động Trong mục này, ta chứng minh kết tính đặt toán Cauchy trường hợp tổng quát (1) Bên cạnh điều kiện (2), giả sử rằng, với số cố định λ0 > 0, hệ số a(t, x) thỏa mãn a(., t + τ ) − a(., t) ≤ Mτ ω |τ | , M > 0, t, t+τ ∈ [0, T ], τ = (3.1) ‘ Học viên: Lê Đức Tâm Người hướng dẫn: TS Phạm Triều Dương Hà Nội, 26-10-2016 16 / 25 Chương Chương Chương 3.1 Các kết tích phân dao động Bổ đề 3.1.1 Cho f (x) ∈ E{ω} hàm cho f λ0 ≤ M với λ0 cố định, M > Khi tồn số δ0 > 0, phụ thuộc vào λ0 , cho λ với ≤ λ ≤ δ0 , toán tử fλ (x, Dx ) = e λω(Dx ) f (x)e −λω(Dx ) có biểu trưng (R) lớp S0,0 fλ (x, ξ) = f (x) + rλ,ω (x, ξ) (3.4) với rλ,ω (x, ξ) cho ∂xβ Dξα rλ,ω (x, ξ) ≤ Cα,β ξ −1 (3.5) ω(ξ) Hằng số dương Cα,β phụ thuộc vào M λ0 α, β Đặc biệt phụ thuộc vào f λ với điều kiện f λ0 ≤ M ≤ λ ≤ δ0 Học viên: Lê Đức Tâm Người hướng dẫn: TS Phạm Triều Dương Hà Nội, 26-10-2016 17 / 25 Chương Chương Chương 3.2 Ứng dụng lý thuyết giả vi phân nghiên cứu tính đặt Định lí 3.2.1 Giả sử hàm a(t, x) thỏa mãn điều kiện (2) (3.1) với hàm trọng số ω ta ký hiệu toán tử L công thức: L := ∂t2 + a(t, x)Dx2 Khi đó, tồn số dương δ0 λ∗ cho hàm u(t, x), u ∈ ∩ C j [0, T ∗ ]; Hωs+2−j,λ j=0 ∗T ∗ , T ∗ = {T , δ0 /λ∗ } , thỏa mãn đánh giá Học viên: Lê Đức Tâm Người hướng dẫn: TS Phạm Triều Dương Hà Nội, 26-10-2016 18 / 25 Chương Chương Chương 3.2 Ứng dụng lý thuyết giả vi phân nghiên cứu tính đặt Định lí 3.2.1.(tiếp theo) u(t) s,λ∗ (T ∗ −t),ω + ut (t) s−1,λ∗ (T ∗ −t),ω t ≤C u(0) s,λ∗ T ∗ ,ω + ut (0) s−1,λ∗ T ∗ ,ω + Lu(τ ) s,λ∗ (T ∗ −τ ),ω dτ (3.6) với t ∈ [0, T ∗ ] Học viên: Lê Đức Tâm Người hướng dẫn: TS Phạm Triều Dương Hà Nội, 26-10-2016 19 / 25 Chương Chương Chương 3.2 Ứng dụng lý thuyết giả vi phân nghiên cứu tính đặt Chứng minh Xét toán tử Lλ = e λω(Dx ) Le −λω(Dx ) , với λ = λ(t) = λ∗ (T ∗ − t) Từ (∂t )λ = e λω(Dx ) (∂t )e −λω(Dx ) = ∂t +λ∗ ω(Dx ), a(t, x)Dx2 λ = (a(t, x))λ Dx2 nên áp dụng Bổ đề 3.1.1 vào (a(t, x))λ ta thu Lλ = (∂t + λ∗ ω(Dx ))2 + a(t, x)Dx2 + rλ,ω (t, x, Dx )ω(Dx )Dx với rλ,ω (t, x, Dx ) họ biểu trưng bị chặn S0,0 ∗ ∗ ∗ λ T ≤ δ0 , ≤ t ≤ T Ta đưa vào biểu trưng a ∈ C [0, T ]; S1,0 sau a(t, x, ξ) := Học viên: Lê Đức Tâm a(t + τ, x)σ(τ ξ ) ξ dτ, Người hướng dẫn: TS Phạm Triều Dương Hà Nội, 26-10-2016 20 / 25 Chương Chương Chương 3.2 Ứng dụng lý thuyết giả vi phân nghiên cứu tính đặt σ ∈ C0∞ ([−1, 1]), ≤ σ ≤ 1, σ(τ )dτ = 1, đặt a(τ, x) = a(T , x) với τ > T , a(τ, x) = a(0, x) với τ < Ta có ∂ξα ∂xβ a(t, x, ξ) − a(t, x) ≤ Cα,β ξ −1−α ω(ξ) ∂ξα ∂xβ ∂t a(t, x, ξ) ≤ Cα,β ξ −α ω(ξ), Do Lλ = (∂t + i a(t, x, Dx )Dx + λ∗ ω(Dx )) (∂t − i a(t, x, Dx )Dx + λ∗ ω(Dx )) +rλ,ω (t, x, Dx )ω(Dx )Dx , với phần dư rλ,ω cho rλ,ω (t, x, ξ) họ biểu trưng bị với λ∗ T ∗ ≤ δ , ≤ t ≤ T ∗ chặn S0,0 Học viên: Lê Đức Tâm Người hướng dẫn: TS Phạm Triều Dương Hà Nội, 26-10-2016 21 / 25 Chương Chương Chương 3.2 Ứng dụng lý thuyết giả vi phân nghiên cứu tính đặt Đặt u0 = Dx u u1 = (∂t − i a(t, x, Dx )Dx + λ∗ ω(Dx )) u ẩn hàm mới, sau sử dụng phương pháp chéo hóa, phương trình với vế trái Lλ u tương đương với hệ phương trình bậc × với vế trái Lλ U Lλ = ∂t −i a(t, x, Dx )Dx 0 −a(t, x, Dx )Dx +(λ∗ I + λ (t, x, Dx )) ω(Dx ) I ma trận đơn vị λ (t, x, Dx ) ma trận họ biểu trưng bị với λ∗ T ∗ ≤ δ , ≤ t ≤ T ∗ chặn S0,0 Bởi (3.1.2) Định lí Calderon- Vaillancourt, ta cố định số λ∗ đủ lớn, đồng thời số T ∗ ≤ δ0 /λ∗ đủ nhỏ cho Học viên: Lê Đức Tâm Người hướng dẫn: TS Phạm Triều Dương Hà Nội, 26-10-2016 22 / 25 Chương Chương Chương 3.2 Ứng dụng lý thuyết giả vi phân nghiên cứu tính đặt λ∗ I + ω −1/2 (Dx ) (t, x, Dx )ω 1/2 (Dx ) toán tử dương, khẳng định tương tự cho (λ∗ I + (t, x, Dx )) ω(Dx ) Sử dụng phương pháp Gronwall, với hàm véctơ U(t, x), U ∈ ∩ C j [0, T ∗ ]; Hωs+1−j,λ ∗T ∗ j=0 , Vì ta thu U(t) s,λ∗ (T ∗ −t),ω ≤C U(0) s,λ∗ T ∗ ,ω LU(τ ) + s,λ∗ (T ∗ −τ ),ω dτ , với t ∈ [0, T ∗ ], điều tương đương với khẳng định (3.6) Học viên: Lê Đức Tâm Người hướng dẫn: TS Phạm Triều Dương Hà Nội, 26-10-2016 23 / 25 Chương Chương Chương Kết luận chung Học viên: Lê Đức Tâm Người hướng dẫn: TS Phạm Triều Dương Hà Nội, 26-10-2016 24 / 25 Chương Chương Chương Kết luận chung Trình bày số kết liên quan tới không gian siêu khả vi với trọng số theo Beurling-Roumieu Học viên: Lê Đức Tâm Người hướng dẫn: TS Phạm Triều Dương Hà Nội, 26-10-2016 24 / 25 Chương Chương Chương Kết luận chung Trình bày số kết liên quan tới không gian siêu khả vi với trọng số theo Beurling-Roumieu Tìm mối liên hệ môđun liên tục hệ số đảm bảo cho tồn nghiệm lớp rộng tính giải tích thực thông thường Học viên: Lê Đức Tâm Người hướng dẫn: TS Phạm Triều Dương Hà Nội, 26-10-2016 24 / 25 Chương Chương Chương Kết luận chung Trình bày số kết liên quan tới không gian siêu khả vi với trọng số theo Beurling-Roumieu Tìm mối liên hệ môđun liên tục hệ số đảm bảo cho tồn nghiệm lớp rộng tính giải tích thực thông thường Thiết lập tích phân dao động chứng minh tính đặt toán tổng quát với hệ số a(t, x) phụ thuộc vào biến không gian thời gian Học viên: Lê Đức Tâm Người hướng dẫn: TS Phạm Triều Dương Hà Nội, 26-10-2016 24 / 25 Chương Chương Chương EM XIN TRÂN TRỌNG CẢM ƠN! Học viên: Lê Đức Tâm Người hướng dẫn: TS Phạm Triều Dương Hà Nội, 26-10-2016 25 / 25 [...]... 2: Bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic mạnh hệ số phụ thuộc thời gian Phần này, ta trình bày về các định nghĩa tương đương về lớp các siêu khả vi với trọng số theo Beurling và Ruomieu, đặc số các dạng dao động quan trọng của hệ số, kết quả về tính đặt đúng, tính tối ưu của các điều kiện thông qua phản ví dụ Chương 3: Bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic mạnh hệ số phụ thuộc vào... 25 Chương 1 Chương 2 Chương 3 Chương 2 :Bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic mạnh hệ số phụ thuộc thời gian Học viên: Lê Đức Tâm Người hướng dẫn: TS Phạm Triều Dương Hà Nội, 26-10-2016 4 / 25 Chương 1 Chương 2 Chương 3 Chương 2 :Bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic mạnh hệ số phụ thuộc thời gian Xét bài toán Cauchy với phương trình hyperbolic mạnh trên [0, T ] × Rx utt − a(t)uxx =... Beurling và Ruomieu, đặc số các dạng dao động quan trọng của hệ số, kết quả về tính đặt đúng, tính tối ưu của các điều kiện thông qua phản ví dụ Chương 3: Bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic mạnh hệ số phụ thuộc vào cả không gian và thời gian Ở đây, ta đưa ra các kết quả của tính phân dao động, ứng dụng của lý thuyết giả vi phân trong nghiên cứu tính đặt đúng Học viên: Lê Đức Tâm Người hướng dẫn:... 3: Bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic mạnh hệ số phụ thuộc cả không gian và thời gian Học viên: Lê Đức Tâm Người hướng dẫn: TS Phạm Triều Dương Hà Nội, 26-10-2016 15 / 25 Chương 1 Chương 2 Chương 3 3.1 Các kết quả của tích phân dao động Trong mục này, ta đi chứng minh kết quả của tính đặt đúng của bài toán Cauchy trong trường hợp tổng quát (1) Bên cạnh điều kiện (2), giả sử rằng, với số. .. hiệu chỉnh chính quy hóa hệ số và thiết lập các đánh giá trung gian Chứng minh các kết quả của tính đặt đúng Chứng minh Ta kí hiệu v (t, ξ) là phép biển đổi Fourier của u(t, x) ứng với biến không gian x Trong trường hợp tính liên tục Lipschitz của hệ số a(t), tính đặt đúng trong không gian Sobolev thông thường có thể thu được bằng phương pháp Gronwall bằng cách lấy đạo hàm của vi năng lượng: 2 E (t,... hiệu chỉnh chính quy hóa hệ số và thiết lập các đánh giá trung gian Chứng minh các kết quả của tính đặt đúng Chứng minh Ta kí hiệu v (t, ξ) là phép biển đổi Fourier của u(t, x) ứng với biến không gian x Trong trường hợp tính liên tục Lipschitz của hệ số a(t), tính đặt đúng trong không gian Sobolev thông thường có thể thu được bằng phương pháp Gronwall bằng cách lấy đạo hàm của vi năng lượng: 2 E (t,... không gian và thời gian Học viên: Lê Đức Tâm Người hướng dẫn: TS Phạm Triều Dương Hà Nội, 26-10-2016 3 / 25 Chương 1 Chương 2 Chương 3 Cấu trúc luận văn Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic mạnh hệ số phụ thuộc thời gian Phần này, ta trình bày về các định nghĩa tương đương về lớp các siêu khả vi với trọng số theo Beurling và Ruomieu, đặc số các dạng... 26-10-2016 13 / 25 Chương 1 Chương 2 Chương 3 2.3 Phép hiệu chỉnh chính quy hóa hệ số và thiết lập các đánh giá trung gian Chứng minh các kết quả của tính đặt đúng Định lí 2.3.3 Giả sử hàm a(t) thỏa mãn điều kiện (2.2) và (2.3) với hàm trọng số không tựa giải tích ω Do đó, với mọi u0 , u1 ∈ E(ω) cho trước, bài toán Cauchy (2.1) cho nghiệm duy nhất u ∈ C 1 ([0, T ]; E(ω) ) Học viên: Lê Đức Tâm Người hướng... (2.3) với ω là một hàm trọng số ta có Định lí sau Học viên: Lê Đức Tâm Người hướng dẫn: TS Phạm Triều Dương Hà Nội, 26-10-2016 7 / 25 Chương 1 Chương 2 Chương 3 2.3 Phép hiệu chỉnh chính quy hóa hệ số và thiết lập các đánh giá trung gian Chứng minh các kết quả của tính đặt đúng Định lí 2.3.1 Giả sử hàm a(t) thỏa mãn các điều kiện (2.2) và (2.3) với hàm trọng số s , u ∈ H s−1 bài toán Cauchy (2.1) có nghiệm. .. 2.3 Phép hiệu chỉnh chính quy hóa hệ số và thiết lập các đánh giá trung gian Chứng minh các kết quả của tính đặt đúng Học viên: Lê Đức Tâm Người hướng dẫn: TS Phạm Triều Dương Hà Nội, 26-10-2016 7 / 25 Chương 1 Chương 2 Chương 3 2.3 Phép hiệu chỉnh chính quy hóa hệ số và thiết lập các đánh giá trung gian Chứng minh các kết quả của tính đặt đúng Với hàm a(t) như ở (2.2) và thỏa mãn |a(t + τ ) − a(t)| ≤