MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bất đẳng thức Halan Luận văn thạc sĩ khoa học toán học BẤT ĐẲNG THỨC HALANAY SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương trình vi phân tích phân Người hướng dẫn khoa học: Học viên thực hiện: Ngô Thị Hà - PGS TS Lê Văn Hiện (HNUE) PGS TS Lê Văn Hiện Ngô Thị Hà Đại học Sư phạm Hà Nội Ngày 26 tháng 10 năm 2016 / 21 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bất đẳng thức Halan MỞ ĐẦU - Nghiên cứu tính ổn định hệ có trễ toán quan trọng nhận nhiều kết có ý nghĩa thực tiễn Ngô Thị Hà - PGS TS Lê Văn Hiện (HNUE) Đại học Sư phạm Hà Nội Ngày 26 tháng 10 năm 2016 / 21 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bất đẳng thức Halan MỞ ĐẦU - Nghiên cứu tính ổn định hệ có trễ toán quan trọng nhận nhiều kết có ý nghĩa thực tiễn - Bất đẳng thức Halanay suy rộng công cụ quan trọng nghiên cứu tính ổn định mũ suy rộng hệ phi tuyến có trễ Ngô Thị Hà - PGS TS Lê Văn Hiện (HNUE) Đại học Sư phạm Hà Nội Ngày 26 tháng 10 năm 2016 / 21 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bất đẳng thức Halan Nội dung luận văn chia làm chương: Chương Một số kết bổ trợ Chương Bất đẳng thức Halanay suy rộng Chương Tính ổn định lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bất đẳng thức Halanay suy rộng Ngô Thị Hà - PGS TS Lê Văn Hiện (HNUE) Đại học Sư phạm Hà Nội Ngày 26 tháng 10 năm 2016 / 21 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bất đẳng thức Halan Chương MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ Ngô Thị Hà - PGS TS Lê Văn Hiện (HNUE) Đại học Sư phạm Hà Nội Ngày 26 tháng 10 năm 2016 / 21 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bất đẳng thức Halan 1.1 Hệ phương trình vi phân hàm Xét toán Cauchy (IVP) cho phương trình vi phân hàm x(t) ˙ = f (t, xt ), x(t) = φ(t), t ≥ 0, t ∈ [t0 − h, t0 ], (1) đó, f : D = [t0 , +∞) × C → Rn φ ∈ C hàm ban đầu Ngô Thị Hà - PGS TS Lê Văn Hiện (HNUE) Đại học Sư phạm Hà Nội Ngày 26 tháng 10 năm 2016 / 21 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bất đẳng thức Halan 1.2 Phương pháp hàm Lyapunov - Krasovskii Định nghĩa Nghiệm x = (1) gọi ổn định với t0 ∈ R+ , ε > 0, tồn δ = δ(t0 , ε) > cho với nghiệm x(t, φ) (1), φ < δ x(t, φ) < ε, ∀t ≥ t0 Nghiệm x = gọi ổn định mũ toàn cục (GES) tồn số dương α, β cho nghiệm (1) thỏa mãn đánh giá x(t, φ) ≤ β φ e −α(t−t0 , Ngô Thị Hà - PGS TS Lê Văn Hiện (HNUE) Đại học Sư phạm Hà Nội ∀t ≥ t0 Ngày 26 tháng 10 năm 2016 / 21 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bất đẳng thức Halan 1.2 Phương pháp hàm Lyapunov - Krasovskii Định lí (Định lí ổn định mũ) Giả sử tồn hàm liên tục V : R+ × C → R số dương λ1 , λ2 λ3 thỏa mãn điều kiện sau i) λ1 x(t) ≤ V (t, φ) ≤ λ2 xt ; ii) V˙ (t, φ) + 2λ3 V (t, φ) ≤ 0, xt = sup−h≤s≤0 x(t + s) Khi hệ (1) GES Hơn nữa, nghiệm (1) thỏa mãn đánh giá mũ x(t, φ) ≤ Ngô Thị Hà - PGS TS Lê Văn Hiện (HNUE) −1 λ3 t λ2 , t ≥ φ e λ1 Đại học Sư phạm Hà Nội Ngày 26 tháng 10 năm 2016 / 21 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bất đẳng thức Halan 1.3 Bất đẳng thức Halanay Xét phương trình vi phân có trễ có dạng x(t) ˙ = −ax(t) + bx(t − h) Ngô Thị Hà - PGS TS Lê Văn Hiện (HNUE) Đại học Sư phạm Hà Nội (2) Ngày 26 tháng 10 năm 2016 / 21 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bất đẳng thức Halan 1.3 Bất đẳng thức Halanay Xét phương trình vi phân có trễ có dạng x(t) ˙ = −ax(t) + bx(t − h) (2) Bổ đề Nếu hàm vô hướng u(t) > thỏa mãn bất đẳng thức u(t) ˙ ≤ −au(t) + b sup u(s), t ≥ t0 , (3) t−h≤s≤t a > b > số tồn số dương γ cho u(t) ≤ u(t0 )e −γ(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 Ngô Thị Hà - PGS TS Lê Văn Hiện (HNUE) Đại học Sư phạm Hà Nội Ngày 26 tháng 10 năm 2016 / 21 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bất đẳng thức Halan Chương BẤT ĐẲNG THỨC HALANAY SUY RỘNG Ngô Thị Hà - PGS TS Lê Văn Hiện (HNUE) Đại học Sư phạm Hà Nội Ngày 26 tháng 10 năm 2016 / 21 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bất đẳng thức Halan 2.1 Mở đầu Xét phương trình vi phân hàm sau x(t) ˙ = (−p + sin t)x(t) + qe −t x (t) + r e s x(t + s)ds , t ≥ 0, −h (4) p, q, r ≥ số h số dương cho trước Ngô Thị Hà - PGS TS Lê Văn Hiện (HNUE) Đại học Sư phạm Hà Nội Ngày 26 tháng 10 năm 2016 10 / 21 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bất đẳng thức Halan 2.1 Mở đầu Xét phương trình vi phân hàm sau qe −t x (t) + r x(t) ˙ = (−p + sin t)x(t) + e s x(t + s)ds , t ≥ 0, −h (4) p, q, r ≥ số h số dương cho trước State trajectory x(t) 0.8 Exponential estimate 0.6 0.4 x(t) = e−0.22t 0.2 0 Ngô Thị Hà - PGS TS Lê Văn Hiện (HNUE) 10 15 20 Đại học Sư phạm Hà Nội 25 30 Ngày 26 tháng 10 năm 2016 10 / 21 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bất đẳng thức Halan 2.2 Tính ổn định mũ suy rộng Xét lớp bất đẳng thức vi phân hàm có dạng sau m D + u(t) ≤ −ϕ(t)u(t) + ψk (t) k=1 sup u(s) + γ(t), t ≥ t0 , t−τk (t)≤s≤t (5) u(t) = θ(t), t ≤ t0 , m số nguyên dương cho trước, ϕ(t) > 0, ψk (t) ≥ 0, k ∈ [m] {1, 2, , m} γ(t) ≥ hàm liên tục, τk (t) ≥ 0, k ∈ [m] hàm trễ không thiết bị chặn, θ ∈ BC ((−∞, t0 ], R) hàm ban đầu Ngô Thị Hà - PGS TS Lê Văn Hiện (HNUE) Đại học Sư phạm Hà Nội Ngày 26 tháng 10 năm 2016 11 / 21 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bất đẳng thức Halan Cùng với bất đẳng thức vi phân hàm (5), ta xét hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến sau x(t) ˙ = F t, x(t), x(t − τ1 (t)), , x(t − τm (t)) , t ≥ t0 , x(t) = φ(t), t ≤ t0 , (6) ϕ ∈ BC ((−∞, t0 ], Rn ) hàm ban đầu, τk (t), k ∈ [m], hàm trễ Hàm F (t, u, u1 , u2 , , um ) hàm liên tục [t0 , ∞) × Rm+1 , F (t, 0, , 0) = thỏa mãn điều kiện m F (t, u, u1 , , um ), u ≤ −ϕ(t) u + ψk (t) uk (7) k=1 với t ≥ t0 u, uk ∈ Rn , k ∈ [m] Ngô Thị Hà - PGS TS Lê Văn Hiện (HNUE) Đại học Sư phạm Hà Nội Ngày 26 tháng 10 năm 2016 12 / 21 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bất đẳng thức Halan Định nghĩa Hệ (6) gọi ổn định mũ toàn cục suy rộng (GGES) tồn hàm σ(t, t0 ) ≥ 0, limt→∞ σ(t, t0 ) = ∞ số N > cho nghiệm x(t, φ) (6) thỏa mãn đánh giá mũ x(t, φ) ≤ N φ ∞e −σ(t,t0 ) , t ≥ t0 (8) Hàm σ(t, t0 ) gọi hàm phân rã mũ suy rộng hệ (6) Ngô Thị Hà - PGS TS Lê Văn Hiện (HNUE) Đại học Sư phạm Hà Nội Ngày 26 tháng 10 năm 2016 13 / 21 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bất đẳng thức Halan 2.3 Bất đẳng thức Halanay suy rộng Ta xét giả thiết sau (A1) lim (t − τk (t)) = ∞, k ∈ [m] t→∞ t (A2) lim t→∞ t ϕ(s)ds = ∞ t (A3) (A4) ϕ(s)ds < ∞, k ∈ [m], gk (t) = t − τk (t) sup gk (t)≥t0 gk (t) m ψk (t) k=1 ϕ(t) ≤ 1, ∀t ≥ t0 , lim sup Ngô Thị Hà - PGS TS Lê Văn Hiện (HNUE) t→∞ ψk (t) m k=1 ϕ(t) Đại học Sư phạm Hà Nội < Ngày 26 tháng 10 năm 2016 14 / 21 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bất đẳng thức Halan Định lí Giả sử giả thiết (A1)-(A4) thỏa mãn Cho u(t) ≥ hàm liên tục thỏa mãn m D + u(t) ≤ −ϕ(t)u(t) + u(s), t ≥ t0 , sup ψk (t) t−τk (t)≤s≤t k=1 (9) u(t) = θ(t), t ≤ t0 Khi tồn số dương N λ∗ cho t u(t) ≤ N θ ∞ exp −λ∗ ϕ(s)ds , t ≥ t0 , (10) t0 θ ∞ = supt≤t0 θ(t) Ngô Thị Hà - PGS TS Lê Văn Hiện (HNUE) Đại học Sư phạm Hà Nội Ngày 26 tháng 10 năm 2016 15 / 21 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bất đẳng thức Halan Ta xét giả thiết sau m ψk (t) (A5) sup < ϕ(t) t≥t0 k=1 Với số thực α, ký hiệu α+ = max{α, 0} Ta có kết sau Định lí Giả sử giả thiết (A1)-(A3) (A5) thỏa mãn u(t) ≥ hàm liên tục thỏa mãn (5) Khi u(t) ≤ γϕ +N − δ∞ = sup δ∞ t≥t0 θ ∞− ψk (t) m k=1 ϕ(t) , γϕ − δ∞ + t exp −λ∗ γϕ = supt≥t0 ϕ(s)ds , t ≥ t0 , t0 γ(t) ϕ(t) (11) số λ∗ , N xác định H(λ) = λ + δe λI (ϕ) − = T t N = exp(λ∗ t0 ∗ ϕ(s)ds , σ(t, t0 ) = λ∗ t0 ϕ(s)ds Ngô Thị Hà - PGS TS Lê Văn Hiện (HNUE) Đại học Sư phạm Hà Nội Ngày 26 tháng 10 năm 2016 16 / 21 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bất đẳng thức Halan 3.1 Tính ổn định mũ lớp hệ phi tuyến có trễ dạng (6) Xét hệ phương trình vi phân hàm sau m y˙ (t) = −ϕ(t)y (t) + ψk (t)y (t − τk (t)), t ≥ t0 , k=1 y (t) = φ(t), (12) t ≤ t0 , φ(t) ∈ BC ((−∞, t0 ], R) điều kiện ban đầu Ngô Thị Hà - PGS TS Lê Văn Hiện (HNUE) Đại học Sư phạm Hà Nội Ngày 26 tháng 10 năm 2016 17 / 21 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bất đẳng thức Halan Định lí Giả sử giả thiết (A1)- (A4) thỏa mãn Khi đó, hệ phương trình (12) ổn định mũ suy rộng Cụ thể hơn, nghiệm y (t, φ (12) thỏa mãn đánh giá mũ t |y (t, φ)| ≤ N φ ∞ exp −λ∗ ϕ(s)ds , t ≥ t0 , t0 λ∗ N số xác định H(λ) = λ + δe λI (ϕ) − = T t N = exp(λ∗ t0 ∗ ϕ(s)ds , σ(t, t0 ) = λ∗ t0 ϕ(s)ds Ngô Thị Hà - PGS TS Lê Văn Hiện (HNUE) Đại học Sư phạm Hà Nội Ngày 26 tháng 10 năm 2016 18 / 21 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bất đẳng thức Halan Định lí Giả sử giả thiết (A1)-(A4) thỏa mãn Khi đó, hệ (6) ổn định mũ toàn cục suy rộng Hơn nữa, nghiệm x(t, φ) (6) thỏa mãn đánh giá mũ sau x(t, φ) ≤ √ N φ ∞ exp − λ∗ t ϕ(s)ds , t ≥ t0 , t0 λ∗ N số xác định H(λ) = λ + δe λI (ϕ) − = T t N = exp(λ∗ t0 ∗ ϕ(s)ds , σ(t, t0 ) = λ∗ t0 ϕ(s)ds Ngô Thị Hà - PGS TS Lê Văn Hiện (HNUE) Đại học Sư phạm Hà Nội Ngày 26 tháng 10 năm 2016 19 / 21 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bất đẳng thức Halan 3.2 Ví dụ minh họa Ví dụ Xét hệ phi tuyến có trễ sau b1 x1 (t − τ (t)) , + x22 (t − τ (t)) b1 x2 (t − τ (t)) x˙2 (t) = bx1 (t) − ax2 (t) + , t ≥ 0, + x12 (t − τ (t)) x˙1 (t) = −ax1 (t) + bx2 (t) + (13) a > 0, b, b1 tham số thực τ (t) độ trễ thỏa mãn ≤ τ (t) ≤ τmax Ngô Thị Hà - PGS TS Lê Văn Hiện (HNUE) Đại học Sư phạm Hà Nội Ngày 26 tháng 10 năm 2016 20 / 21 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bất đẳng thức Halan 2.5 x1(t) x2(t) Response x(t) ||x(t)|| ||φ||e−0.1363t 1.5 0.5 0 10 20 30 Time (sec) 40 50 Hình: Quỹ đạo nghiệm (13) với τ (t) = + | sin t| Ngô Thị Hà - PGS TS Lê Văn Hiện (HNUE) Đại học Sư phạm Hà Nội Ngày 26 tháng 10 năm 2016 21 / 21 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bất đẳng thức Halan EM XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN THẦY CÔ VÀ CÁC BẠN ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE! Ngô Thị Hà - PGS TS Lê Văn Hiện (HNUE) Đại học Sư phạm Hà Nội Ngày 26 tháng 10 năm 2016 22 / 21 [...]... ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan Chương 2 BẤT ĐẲNG THỨC HALANAY SUY RỘNG Ngô Thị Hà - PGS TS Lê Văn Hiện (HNUE) Đại học Sư phạm Hà Nội Ngày 26 tháng 10 năm 2016 9 / 21 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan 2.1 Mở đầu Xét phương trình. .. −σ(t,t0 ) , t ≥ t0 (8) Hàm σ(t, t0 ) khi đó được gọi là hàm phân rã mũ suy rộng của hệ (6) Ngô Thị Hà - PGS TS Lê Văn Hiện (HNUE) Đại học Sư phạm Hà Nội Ngày 26 tháng 10 năm 2016 13 / 21 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan 2.3 Bất đẳng thức Halanay suy rộng Ta xét các giả thiết sau (A1) lim (t − τk (t)) = ∞, k ∈ [m] t→∞... hằng số và h là số dương cho trước 1 State trajectory x(t) 0.8 Exponential estimate 0.6 0.4 x(t) = e−0.22t 0.2 0 0 Ngô Thị Hà - PGS TS Lê Văn Hiện (HNUE) 5 10 15 20 Đại học Sư phạm Hà Nội 25 30 Ngày 26 tháng 10 năm 2016 10 / 21 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan 2.2 Tính ổn định mũ suy rộng Xét một lớp bất đẳng thức. .. ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan 2.5 x1(t) 2 x2(t) Response x(t) ||x(t)|| ||φ||e−0.1363t 1.5 1 0.5 0 0 10 20 30 Time (sec) 40 50 Hình: Quỹ đạo nghiệm của (13) với τ (t) = 4 + | sin t| Ngô Thị Hà - PGS TS Lê Văn Hiện (HNUE) Đại học Sư phạm Hà Nội Ngày 26 tháng 10 năm 2016 21 / 21 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng. .. [m] {1, 2, , m} và γ(t) ≥ 0 là các hàm liên tục, τk (t) ≥ 0, k ∈ [m] là các hàm trễ không nhất thiết bị chặn, θ ∈ BC ((−∞, t0 ], R) là hàm ban đầu Ngô Thị Hà - PGS TS Lê Văn Hiện (HNUE) Đại học Sư phạm Hà Nội Ngày 26 tháng 10 năm 2016 11 / 21 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan Cùng với bất đẳng thức vi phân hàm... Lê Văn Hiện (HNUE) Đại học Sư phạm Hà Nội Ngày 26 tháng 10 năm 2016 12 / 21 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan Định nghĩa Hệ (6) được gọi là ổn định mũ toàn cục suy rộng (GGES) nếu tồn tại một hàm σ(t, t0 ) ≥ 0, limt→∞ σ(t, t0 ) = ∞ và một hằng số N > 0 sao cho mọi nghiệm x(t, φ) của (6) thỏa mãn đánh giá mũ x(t,... phạm Hà Nội Ngày 26 tháng 10 năm 2016 15 / 21 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan Ta xét giả thiết sau m ψk (t) (A5) sup < 1 ϕ(t) t≥t0 k=1 Với một số thực α, ký hiệu α+ = max{α, 0} Ta có kết quả sau Định lí Giả sử các giả thiết (A1)-(A3) và (A5) được thỏa mãn và u(t) ≥ 0 là một hàm liên tục thỏa mãn (5) Khi đó u(t)... ϕ(s)ds , t ≥ t0 , t0 γ(t) ϕ(t) (11) và các hằng số λ∗ , N được xác định bởi H(λ) = λ + δe λI (ϕ) − 1 = 0 và T t N = exp(λ∗ t0 ∗ ϕ(s)ds , σ(t, t0 ) = λ∗ t0 ϕ(s)ds Ngô Thị Hà - PGS TS Lê Văn Hiện (HNUE) Đại học Sư phạm Hà Nội Ngày 26 tháng 10 năm 2016 16 / 21 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan 3.1 Tính ổn định mũ của... + r e s x(t + s)ds , t ≥ 0, −h (4) ở đó p, q, r ≥ 0 là các hằng số và h là số dương cho trước Ngô Thị Hà - PGS TS Lê Văn Hiện (HNUE) Đại học Sư phạm Hà Nội Ngày 26 tháng 10 năm 2016 10 / 21 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan 2.1 Mở đầu Xét phương trình vi phân hàm sau 2 0 qe −t 2 x 2 (t) + r x(t) ˙ = (−p + sin t)x(t)... (6) Xét hệ phương trình vi phân hàm sau m y˙ (t) = −ϕ(t)y (t) + ψk (t)y (t − τk (t)), t ≥ t0 , k=1 y (t) = φ(t), (12) t ≤ t0 , ở đó φ(t) ∈ BC ((−∞, t0 ], R) là điều kiện ban đầu Ngô Thị Hà - PGS TS Lê Văn Hiện (HNUE) Đại học Sư phạm Hà Nội Ngày 26 tháng 10 năm 2016 17 / 21 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan Định lí