Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Tính ổn định phương trình động lực ẩn thang thời gian TÍNH ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC ẨN TRÊN THANG THỜI GIAN Người hướng dẫn khoa học : TS Đỗ Đức Thuận Học viên : Lưu Thị Hoa Mã học viên : K24-0108 Hà Nội, 26-10-2016 Học viên: Lưu Thị Hoa Người hướng dẫn: TS Đỗ Đức Thuận Hà Nội, 26-10-2016 / 21 Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Tính ổn định phương trình động lực ẩn thang thời gian Lý chọn đề tài Trong năm gần đây, phương trình vi phân đại số quan tâm xuất nhiều toán thực tế, chẳng hạn mạch điện, phản ứng hóa học, hệ thống giao thông, thiết kế robot, Cùng với lý thuyết phương trình vi phân đại số, có quan tâm khác đến phương trình sai phân đại số xuất chúng nhiều lĩnh vực thực tế Ngoài ra, phương trình sai phân đại số xuất cách tự nhiên sử dụng kỹ thuật rời rạc hóa để giải phương trình vi phân đại số phần Sử dụng khái niệm giải tích thang thời gian, phương trình vi phân sai phân đại số viết chung dạng phương trình động lực ẩn thang thời gian Do vậy, cách tự nhiên, câu hỏi đặt là: Liệu kết biết phương trình vi phân đại số hay sai phân đại số mở rộng thống cho phương trình động lực ẩn hay không? Học viên: Lưu Thị Hoa Người hướng dẫn: TS Đỗ Đức Thuận Hà Nội, 26-10-2016 / 21 Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Tính ổn định phương trình động lực ẩn thang thời gian Cấu trúc luận văn Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trình bày khái niệm thang thời gian số kết tính ổn định phương trình động lực thường thang thời gian Chương 2: Tính ổn định phương trình động lực ẩn thang thời gian Nghiên cứu tính ổn định phương trình động lực ẩn thang thời gian Phần đầu chương xét tính ổn định phương trình động lực ẩn Phần sau dành để nói tính ổn định vững bán kính ổn định phương trình động lực ẩn tuyến tính với hệ số số Học viên: Lưu Thị Hoa Người hướng dẫn: TS Đỗ Đức Thuận Hà Nội, 26-10-2016 / 21 Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Tính ổn định phương trình động lực ẩn thang thời gian 1.1 Định nghĩa ví dụ thang thời gian Định nghĩa 1.1.1 Thang thời gian tập hợp đóng tùy ý khác rỗng tập số thực R, ký hiệu T Ta giả sử xuyên suốt thang thời T có tôpô mà cảm sinh từ tôpô tập số thực R với tôpô tiêu chuẩn Định nghĩa 1.1.2 Cho T thang thời gian, với t ∈ T, ta định nghĩa toán tử nhảy tiến, toán tử nhảy lùi hàm hạt sau: Toán tử nhảy tiến: σ : T −→ T, σ(t) := inf {s ∈ T : s > t}; Toán từ nhảy lùi: ρ : T −→ T, ρ(t) := sup{s ∈ T : s < t}; Hàm hạt: µ : T −→ R+ , µ(t) := σ(t) − t Khi T = R σ(t) = t = ρ(t) µ(t) ≡ 0; T = Z σ(t) = t + 1, ρ(t) = t − µ(t) ≡ Học viên: Lưu Thị Hoa Người hướng dẫn: TS Đỗ Đức Thuận Hà Nội, 26-10-2016 / 21 Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Tính ổn định phương trình động lực ẩn thang thời gian 1.2 Tính khả vi, tính khả tích tính hồi quy Định nghĩa 1.2.1 Xét hàm số f : T −→ R ∆- đạo hàm (còn gọi đạo hàm Hilger) f t ∈ Tk số (nếu tồn tại), ký hiệu f ∆ (t), với > cho trước tồn lân cận U t cho |[f (σ(t)) − f (s)] − f ∆ (t)[σ(t) − s]|≤ |σ(t) − s|, với s ∈ U Hàm f gọi ∆- khả vi (nói ngắn gọn khả vi) Tk f ∆ (t) tồn với t ∈ Tk Định nghĩa 1.2.14 Hàm p : T −→ K gọi hồi quy (regressive) + µ(t)p(t) = với t ∈ Tk Học viên: Lưu Thị Hoa Người hướng dẫn: TS Đỗ Đức Thuận Hà Nội, 26-10-2016 / 21 Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Tính ổn định phương trình động lực ẩn thang thời gian 1.3 Hàm mũ phương trình động lực tuyến tính thang thời gian Với h ≥ 0, ta định nghĩa phép biến đổi trụ ξh   ln(1 + hz) h > 0, ξh (z) = h z h = 0, ln nhánh logarithm phức với miền giá trị [−iπ, iπ] Định nghĩa 1.3.1 Nếu p(.) rd-liên tục hồi quy ta định nghĩa hàm mũ t ξµ(s) (p(s))∆s , với t, t0 ∈ T, ep (t, t0 ) = exp (1.2) t0 ξh (z) phép biến đổi trụ định nghĩa Học viên: Lưu Thị Hoa Người hướng dẫn: TS Đỗ Đức Thuận Hà Nội, 26-10-2016 / 21 Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Tính ổn định phương trình động lực ẩn thang thời gian 1.4 Tính ổn định mũ phương trình động lực thường thang thời gian Ta xét phương trình động lực thường thang thời gian T x ∆ = f (t, x) (1.7) f : T × Rm −→ Rm rd-liên tục f (t, 0) = Định nghĩa 1.4.1 Nghiệm x ≡ phương trình động lực (1.7) gọi ổn định mũ tồn số dương α với −α ∈ R+ cho với t0 ∈ Tτ , tồn N = N(t0 ) ≥ để nghiệm (1.7) với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 thỏa mãn x(t; t0 , x0 ) ≤ N x0 e−α (t, t0 ), với t ≥ t0 , t ∈ Tτ Nếu số N chọn không phụ thuộc vào t0 ∈ Tτ nghiệm x ≡ (1.7) gọi ổn định mũ Học viên: Lưu Thị Hoa Người hướng dẫn: TS Đỗ Đức Thuận Hà Nội, 26-10-2016 / 21 Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Tính ổn định phương trình động lực ẩn thang thời gian 1.4 Tính ổn định mũ phương trình động lực thường thang thời gian Ta gọi tập S = S(T) := {λ ∈ C : phương trình x ∆ = λx ổn định mũ đều}, miền ổn định mũ thang thời gian T Ví dụ 1.4.12 Khi T = R S(R) = {λ ∈ C : Rλ < 0} Khi T = hZ(h > 0) S(hZ) = {λ ∈ C : |1 + λh| < 1} Khi T = P1,1 = ∞ k=0 [2k, 2k + 1] S(P1,1 ) = {λ ∈ C : Rλ + ln|1 + λ| < 0} Học viên: Lưu Thị Hoa Người hướng dẫn: TS Đỗ Đức Thuận Hà Nội, 26-10-2016 / 21 Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Tính ổn định phương trình động lực ẩn thang thời gian 2.1 Khái niệm số đặc trưng Xét phương trình động lực ẩn thang thời gian T Ax ∆ (t) = Bx(t) (2.1) x ∈ Km , A, B ∈ Km×m ma trận hằng; với K trường số thực số phức Ta giả sử cặp ma trận {A, B} quy ind{A, B} = k ≥ ta có khai triển A = Wdiag (Ir , U)T −1 , B = Wdiag (B1 , Im−r )T −1 , (2.2) Ir ma trận đơn vị Rr ×r , B1 ma trận thuộc Rm×m , U ∈ K(m−r )×(m−r ) ma trận lũy linh với bậc lũy linh k Kí hiệu: Q = Tdiag (0r , Im−r )T −1 , P = Im − Q = Tdiag (Ir , 0m−r )T −1 Học viên: Lưu Thị Hoa Người hướng dẫn: TS Đỗ Đức Thuận Hà Nội, 26-10-2016 (2.3) / 21 Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Tính ổn định phương trình động lực ẩn thang thời gian 2.1 Khái niệm số đặc trưng Định nghĩa 2.1.1 Phương trình động lực ẩn (2.1) gọi là: Ổn định với Px0 < δ kéo theo > t0 ∈ Tτ , ∃δ = δ(t0 , ) > cho x(t; t0 , Px0 ) < , với t ≥ t0 Nếu δ không phụ thuộc vào t0 gọi ổn định Ổn định tiệm cận ổn định với t0 ∈ Tτ , tồn số dương δ = δ(t0 ) cho bất đẳng thức Px0 < δ kéo theo lim x(t; t0 , Px0 ) = t→∞ Nếu δ không phụ thuộc vào t0 gọi ổn định tiệm cận Học viên: Lưu Thị Hoa Người hướng dẫn: TS Đỗ Đức Thuận Hà Nội, 26-10-2016 10 / 21 Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Tính ổn định phương trình động lực ẩn thang thời gian 2.1 Khái niệm số đặc trưng Định nghĩa 2.1.1 (Tiếp theo) Ổn định mũ tồn số dương α, −α ∈ R+ cho với t0 ∈ Tτ , tồn N = N(t0 ) ≥ 1, nghiệm phương trình (2.1) với điều kiện ban đầu P(x(t0 ) − x0 ) = thỏa mãn x(t; t0 , x0 ) ≤ N Px0 e−α (t, t0 ), t ≥ t0 , t ∈ Tτ Nếu N không phụ thuộc vào t0 gọi ổn định mũ Định lý 2.1.3 Phương trình động lực ẩn tuyến tính (2.1) ổn định mũ σ(A, B) ⊂ S, S miền ổn định mũ thang thời gian T Học viên: Lưu Thị Hoa Người hướng dẫn: TS Đỗ Đức Thuận Hà Nội, 26-10-2016 11 / 21 Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Tính ổn định phương trình động lực ẩn thang thời gian 2.3 Bán kính ổn định Bây ta xét phương trình (2.1) với nhiễu có cấu trúc dạng Ax ∆ = Bx, (2.20) [A, B] = [A, B] + DΣE , (2.21) với D ∈ Km×l , E ∈ Kq×2m , nhiễu Σ ∈ Kl×q Ma trận DΣE gọi nhiễu có cấu trúc phương trình (2.1) Nếu đặt E = [E1 , E2 ] với E1 , E2 ∈ Kq×m (2.21) tương đương với A = A + DΣE1 , B = B + DΣE2 Ta lý hiệu tập ΞK = {Σ ∈ Kl×q : phương trình (2.20) không quy không ổn định mũ } Học viên: Lưu Thị Hoa Người hướng dẫn: TS Đỗ Đức Thuận Hà Nội, 26-10-2016 12 / 21 Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Tính ổn định phương trình động lực ẩn thang thời gian 2.3 Bán kính ổn định Định nghĩa 2.3.1 Bán kính ổn định phương trình (2.1) nhiễu có cấu trúc có dạng (2.20) định nghĩa rK (A, B; D, E ) = inf { Σ : Σ ∈ ΞK } Sử dụng ký hiệu Eλ = E λIm ký hiệu ∂S biên tập S, ta có −Im định lý sau Định lý 2.3.2 Bán kính ổn định phức phương trình (2.1) nhiễu có cấu trúc dạng (2.21) cho công thức rC (A, B; D, E ) = Học viên: Lưu Thị Hoa sup Eλ (λA − B)−1 D −1 (2.22) λ∈∞∪∂S Người hướng dẫn: TS Đỗ Đức Thuận Hà Nội, 26-10-2016 13 / 21 Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Tính ổn định phương trình động lực ẩn thang thời gian 2.3 Bán kính ổn định Định lý 2.3.4 rC (B; DB , EB ) > đa thức p(λ) = EB Q(λA − B)−1 DB rC (A; DA , EA ) > đa thức q(λ) = λEA Q(λA − B)−1 DA Đặt E = [E1 , E2 ] Khi đó, rC (A, B; D, E ) > đa thức s(λ) = (λE1 − E2 )Q(λA − B)−1 D Học viên: Lưu Thị Hoa Người hướng dẫn: TS Đỗ Đức Thuận Hà Nội, 26-10-2016 14 / 21 Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Tính ổn định phương trình động lực ẩn thang thời gian 2.3 Bán kính ổn định Ví dụ 2.3.6 Ta tính bán kính ổn định phương trình Ax ∆ (t) = Bx(t) có cấu trúc nhiễu dạng [A, B] T = [A, B] = [A, B] + DΣE , ∞ k=0 [2k, 2k + 1],     1 −2 −1 A = 0 1 , B = −1 −1  , 0 −1 −1 Học viên: Lưu Thị Hoa Người hướng dẫn: TS Đỗ Đức Thuận Hà Nội, 26-10-2016 15 / 21 Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Tính ổn định phương trình động lực ẩn thang thời gian 2.3 Bán kính ổn định Ví dụ 2.3.6 (Tiếp theo)  2 D = −1 −1 3  1 E = [E1 , E2 ] = 1 −1 0 1  −1  −3 0 1 −2 0 ∞ k=0 [2k, 2k + 1], S = {λ ∈ C : Reλ + ln|λ + 1| < 0} Nên ta có ind(A, B) = σ(A, B) = − Do đó, {A, B} ổn định mũ Khi λ ∈ ∂S, cách tính toán trực tiếp ta Do T = Học viên: Lưu Thị Hoa Người hướng dẫn: TS Đỗ Đức Thuận Hà Nội, 26-10-2016 16 / 21 Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Tính ổn định phương trình động lực ẩn thang thời gian Ví dụ 2.3.6 (Tiếp theo)  λ + −1 −λ2  λ−1 −λ2 − λ  (λA − B)−1 = 3λ + −λ − 1 λ + 3λ + 1,     λ λ 1 −2 , Eλ = λE1 − E2 = λ −λ −1 , Q= −3 λ λ  đó,   −12 −12 −12  0  Eλ (λA − B)−1 D = 3λ + 6 Học viên: Lưu Thị Hoa Người hướng dẫn: TS Đỗ Đức Thuận Hà Nội, 26-10-2016 17 / 21 Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Tính ổn định phương trình động lực ẩn thang thời gian Ví dụ 2.3.6 (Tiếp theo) Đặt chuẩn lớn C3 Ta có v ∞ Eλ (λA − B)−1 D = ∞ chuẩn tạo sup Eλ (λA − B)−1 D v ∞ ∞ 36 , |3λ + 1| Suy = E0 (−B)−1 D ∞ = 36 λ∈∞∪∂S Từ ta rC (A, B; D, E ) = Học viên: Lưu Thị Hoa 36 Người hướng dẫn: TS Đỗ Đức Thuận Hà Nội, 26-10-2016 18 / 21 Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Tính ổn định phương trình động lực ẩn thang thời gian Ví dụ 2.3.6 (Tiếp theo) Hơn nữa, ta thấy [A, B] [A, B] = [A, B] + DΣE ⇐⇒ A B A = A + DΣE1 B = B + DΣE2 , đa thức   3λ 3λ 3λ q(λ) = λE1 Q(λA − B)−1 D =  λ λ λ  = số 2λ 2λ 2λ   3λ 3λ 3λ p(λ) = E2 Q(λA − B)−1 D =  λ + λ + λ +  = số 2λ − 2λ − 2λ − Do đó, rC (A; D, E1 ) = rC (B; D, E2 ) = Học viên: Lưu Thị Hoa Người hướng dẫn: TS Đỗ Đức Thuận Hà Nội, 26-10-2016 19 / 21 Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Tính ổn định phương trình động lực ẩn thang thời gian Kết luận chung Trình bày khái niệm thang thời gian số kết tính ổn định phương trình động lực thường thang thời gian Trình bày tính ổn định phương trình động lực ẩn tuyến tính với hệ số Nghiên cứu đặc trưng cho tính ổn định vững phương trình chịu nhiễu Lipschitz chịu nhiễu cấu trúc Đưa công thức ví dụ tính bán kính ổn định phương trình Ax ∆ (t) = Bx(t) với cấu trúc nhiễu dạng [A, B] [A, B] = [A, B] + DΣE Học viên: Lưu Thị Hoa Người hướng dẫn: TS Đỗ Đức Thuận Hà Nội, 26-10-2016 20 / 21 Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Tính ổn định phương trình động lực ẩn thang thời gian EM XIN TRÂN TRỌNG CẢM ƠN! Học viên: Lưu Thị Hoa Người hướng dẫn: TS Đỗ Đức Thuận Hà Nội, 26-10-2016 21 / 21 [...]... Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương 2 Tính ổn định của phương trình động lực ẩn trên thang thời gian Kết luận chung Trình bày các khái niệm cơ bản về thang thời gian và một số kết quả về tính ổn định của phương trình động lực thường trên thang thời gian Trình bày tính ổn định của phương trình động lực ẩn tuyến tính với hệ số hằng Nghiên cứu các đặc trưng cho tính ổn định vững của phương trình chịu nhiễu... là ổn định mũ đều Định lý 2.1.3 Phương trình động lực ẩn tuyến tính (2.1) là ổn định mũ đều khi và chỉ khi σ(A, B) ⊂ S, ở đây S là miền ổn định mũ đều của thang thời gian T Học viên: Lưu Thị Hoa Người hướng dẫn: TS Đỗ Đức Thuận Hà Nội, 26-10-2016 11 / 21 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương 2 Tính ổn định của phương trình động lực ẩn trên thang thời gian 2.3 Bán kính ổn định Bây giờ ta xét phương trình. .. )Q(λA − B)−1 D là hằng Học viên: Lưu Thị Hoa Người hướng dẫn: TS Đỗ Đức Thuận Hà Nội, 26-10-2016 14 / 21 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương 2 Tính ổn định của phương trình động lực ẩn trên thang thời gian 2.3 Bán kính ổn định Ví dụ 2.3.6 Ta tính bán kính ổn định của phương trình Ax ∆ (t) = Bx(t) có cấu trúc nhiễu dạng [A, B] ở đó T = [A, B] = [A, B] + DΣE , ∞ k=0 [2k, 2k + 1],     1 0 1 −2 −1 0... trúc của phương trình (2.1) Nếu đặt E = [E1 , E2 ] với E1 , E2 ∈ Kq×m thì (2.21) tương đương với A = A + DΣE1 , B = B + DΣE2 Ta lý hiệu tập ΞK = {Σ ∈ Kl×q : phương trình (2.20) hoặc không chính quy hoặc không ổn định mũ đều } Học viên: Lưu Thị Hoa Người hướng dẫn: TS Đỗ Đức Thuận Hà Nội, 26-10-2016 12 / 21 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương 2 Tính ổn định của phương trình động lực ẩn trên thang thời gian. ..Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương 2 Tính ổn định của phương trình động lực ẩn trên thang thời gian 2.1 Khái niệm và một số đặc trưng Định nghĩa 2.1.1 (Tiếp theo) 3 Ổn định mũ nếu tồn tại hằng số dương α, −α ∈ R+ sao cho với mỗi t0 ∈ Tτ , tồn tại N = N(t0 ) ≥ 1, nghiệm của phương trình (2.1) với điều kiện ban đầu P(x(t0 ) − x0 ) = 0 thỏa mãn x(t; t0... Lipschitz và chịu nhiễu cấu trúc Đưa ra công thức và ví dụ tính bán kính ổn định của phương trình Ax ∆ (t) = Bx(t) với cấu trúc nhiễu dạng [A, B] [A, B] = [A, B] + DΣE Học viên: Lưu Thị Hoa Người hướng dẫn: TS Đỗ Đức Thuận Hà Nội, 26-10-2016 20 / 21 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương 2 Tính ổn định của phương trình động lực ẩn trên thang thời gian EM XIN TRÂN TRỌNG CẢM ƠN! Học viên: Lưu Thị Hoa Người... Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương 2 Tính ổn định của phương trình động lực ẩn trên thang thời gian 2.3 Bán kính ổn định Ví dụ 2.3.6 (Tiếp theo)  2 2 D = −1 −1 3 3  1 0 1 E = [E1 , E2 ] = 1 −1 0 0 1 1  2 −1 3  0 −3 0 0 0 1 −2 0 0 ∞ k=0 [2k, 2k + 1], S = {λ ∈ C : Reλ + ln|λ + 1| < 0} Nên ta có 1 ind(A, B) = 2 và σ(A, B) = − Do đó, {A, B} ổn định mũ Khi λ ∈ ∂S, 3 bằng cách tính toán trực tiếp... phương trình động lực ẩn trên thang thời gian 2.3 Bán kính ổn định Định nghĩa 2.3.1 Bán kính ổn định của phương trình (2.1) dưới nhiễu có cấu trúc có dạng (2.20) được định nghĩa là rK (A, B; D, E ) = inf { Σ : Σ ∈ ΞK } Sử dụng ký hiệu Eλ = E λIm và ký hiệu ∂S là biên của tập S, ta có −Im định lý sau đây Định lý 2.3.2 Bán kính ổn định phức của phương trình (2.1) dưới nhiễu có cấu trúc dạng (2.21) được cho... B; D, E ) = Học viên: Lưu Thị Hoa sup Eλ (λA − B)−1 D −1 (2.22) λ∈∞∪∂S Người hướng dẫn: TS Đỗ Đức Thuận Hà Nội, 26-10-2016 13 / 21 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương 2 Tính ổn định của phương trình động lực ẩn trên thang thời gian 2.3 Bán kính ổn định Định lý 2.3.4 1 rC (B; DB , EB ) > 0 khi và chỉ khi đa thức p(λ) = EB Q(λA − B)−1 DB là hằng 2 rC (A; DA , EA ) > 0 khi và chỉ khi đa thức q(λ) = λEA Q(λA... 1 6 6 6 Học viên: Lưu Thị Hoa Người hướng dẫn: TS Đỗ Đức Thuận Hà Nội, 26-10-2016 17 / 21 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương 2 Tính ổn định của phương trình động lực ẩn trên thang thời gian Ví dụ 2.3.6 (Tiếp theo) Đặt là chuẩn lớn nhất trong C3 Ta có v ∞ Eλ (λA − B)−1 D = ở đó ∞ là chuẩn được tạo bởi sup Eλ (λA − B)−1 D v ∞ ∞ 36 , |3λ + 1| Suy ra = E0 (−B)−1 D ∞ = 36 λ∈∞∪∂S Từ đây ta được rC (A,