Chuyên đề: Tỉ lệ thức i. l ý THUYếT 1. Định nghĩa tỉ lệ thức: d c b a = với b, d 0 gọi là một tỉ lệ thức 2. Tính chất của tỉ lệ thức : d c b a = ad = bc với a,b,c,d 0 3. Tính chất của dãy ti số bằng nhau: . = = + + == db ca db ca d c b a ( Với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa ) 4. Mở rộng: + = + + = = ++ ++ === tgndmb tencma gdb eca gdb eca g e d c b a + ( ) ( ) 22 22 2 2 2 2 2 2 = = + + ==== db ca db ca bd ac d c b a d c b a + 33 33 3 3 3 3 3 3 = + + ====== ndmb ncma bdg ace g e d c b a g e d c b a ( Với giả thiết các tỉ số dều có nghĩa ) GV gợi ý cho HS chứng minh các tính chất này 5. Chú ý: Các số a,b,c tỉ lệ với các số x,y,z khi và chỉ khi z c y b x a == hoặc a:b:c = x:y:z II. Một số dạng toán: 1. Dạng 1: Lập tỉ lệ thức VD 1 : Lập các tỉ lệ thức từ đẳng thức sau: 7.(-28)=(-49).4 HD: áp dụng tc của tỉ lệ thức ta đợc 4 tỉ lệ thức VD 2 : Các số sau có lập thành tỉ lệ thức không: 0,9; -1,7; 4,25; -0,36 HD: Cách 1: Xét tích: (-0,36).4,25=0,9.(-1,7)(=-1,53) => Lập đợc tỉ lệ thức Kinh nghiệm: So sánh tích của số có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất và số có giá trị tuyệt đối lớn nhất với tích của 2 số còn lại Cách 2: Xét thơng = = 5 2 25,4 7,1 9,0 36,0 => Lập đợc tỉ lệ thức Kinh nghiệm: So sánh thơng của 2 số có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn với thơng của 2 số còn lại 2. Dạng 2: Tìm số hạng cha biết trong tỉ lệ thức VD: Tìm x biết: a) 7 3 13 37 = + x x ; b) 3 2 2 1 + = + x x x x ; c) x x 25 24 6 = HD: a) Cách 1: 7 3 13 37 = + x x => 7.(37-x)=3.(x+13) => Tìm đợc x Cách 2: 7 3 13 37 = + x x => 5 10 50 73 1337 7 13 3 37 == + ++ = + = xxxx => Tìm đợc x Cách 3: 7 3 13 37 = + x x => 1+ 7 3 1 13 37 += + x x => 7 10 13 50 7 10 13 3713 = + = + ++ xx xx => Tìm đợc x Với các cách làm tơng tự ta tính đợc x ở phần b và phần c 3. Dạng 3: Chứng minh tỉ lệ thức (Với giả thiết các tỉ số đa ra đều có nghĩa) VD 1 : Cho tỉ lệ thức d c b a = . Chứng minh rằng: a) dc c ba a = b) dc dc ba ba + = + c) 22 2 22 2 811 37 811 37 dc cdc ba aba + = + HD: a) Cách 1: Đặt d c b a = =k với k 0 => a=kb; c=kd. Ta tính ba a theo k và dc c theo k rồi suy ra đpcm Cách 2: d c b a = => dc ba d b c a == => đpcm Cách 3: d c b a = => c dc a ba c d a b c d a b = == 11 => đpcm b) Với các cách làm tơng tự nh phần a c) Cách 1: Nh cách 1 ở phần a Cách 2: d c b a = => 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 11 11 3 3 8 8 7 7 c a cd ab d b c a cd ab d b c a d b c a ======= => đpcm Kinh nghiệm: Với cách 1 ta sẽ giải đợc tất cả các bài toán nh VD1 VD2: Cho a+c=2b và 2bd=c(b+d) . Chứng minh 4 số a,b,c,d lập đợc tỉ lệ thức HD: Từ a+c=2b => d(a+c)=2bd => d(a+c)=c(b+d) => ad=bc => đpcm VD3: Cho cd ab dc ba = + + 22 22 CMR: d c b a = hoặc c d b a = HD: cd ab dc ba = + + 22 22 = cddc abba cddc abba cd ab 2 2 2 2 2 2 22 22 22 22 + + = ++ ++ = => dc ba dc ba dc ba dc ba = + + = + + 22 Khi dc ba dc ba = + + biến đổi ta đợc d c b a = Khi dc ba dc ba = + + biến đổi ta đợc c d b a = 4) Dạng 4: Tìm số hạng cha biết thoả mãn điều kiện cho trớc VD: Tìm x,y,z biết: a) 53 yx = và x+y=16 b) 53 yx = và xy=90 c) 352 == zyx và 3x+y-2z=34 d) x:y:z=2:5:(-3) và xyz=-120 e) x:y:z=2:5:(-3) và x 2 -y 2 +2z 2 =78 f) 3x=5y; 7y=2z và 2x-3y+z=46 g) 5x=8y=20z và y 2 -z 2 =42 HD: Cách 1: Cách làm chung đối với các bài tập dạng này là: Đặt điều kiện thứ nhất là k (k 0). Rút x,y,z theo k Thay x,y,z vào điều kiện thứ 2 để tìm k Thay k trở lại điều kiện 1 ta tìm đợc x,y,z Cụ thể: a) Gọi 53 yx = =k (k 0) => x=3k, y=5k => x+y=8k=16 => k=2 => x=6 và y=10 Tuy nhiên ở phần d),e),f),g) ta phải biến đổi điều kiện 1 về dạng nh phần c) Cách 2: a) HS dễ dàng làm đợc b) HS dễ mắc sai lầm là áp dụng 53 yx = = 15 90 5.3 = xy =6 => x,y . GV cần lu ý để HS không phạm sai lầm đó 53 yx = => 6 15 90 5.3259 22 ==== xyyx => x 2 =54 => x= 54 y 2 =150 => y= 150 => (x;y) = ( 150;54 );(- 150;54 ) c) HS làm đợc d) x:y:z=2:5:(-3) và xyz=-120 Từ x:y:z=2:5:(-3) => 352 == zyx => 4 30 120 )3.(5.2271258 333 = = = == xyzzyx . Từ đó tìm đợc x 3 ,y 3 ,z 3 rồi suy ra x,y,z ( Cần nhấn mạnh để HS không mắc sai lầm nh ở phần b) e) x:y:z=2:5:(-3) và x 2 -y 2 +2z 2 =78 Từ x:y:z=2:5:(-3) => 352 == zyx => 26 3 78 9.2254 2 9254 2222222 = = + + === zyxzyx => Không có giá trị của x,y,z thoả mãn đầu bài f) 3x=5y; 7y=2z và 2x-3y+z=46 3x=5y => 61035 yxyx == 7y=2z => 21672 zyzy == => 21610 zyx == kết hợp với 2x-3y+z=46 tìm đợc x,y,z g) 5x=8y=20z và y 2 -z 2 =42 Từ 5x=8y=20z => 25840 20 40 8 40 5 zyxzyx ==== = => 2 21 42 42542564 22222 == === zyzyx . Tìm đợc x,y,z 5. Dạng 5: áp dụng vào giải toán VD1: Chia một số M thành 3 phần sao cho phần thứ nhất và phần thứ hai tỉ lệ với 5 và 6, phần thứ hai và phần thứ ba tỉ lệ với 8và 9, phần thứ ba hơn phần thứ hai là 150. Tìm số M HD: Gọi mỗi phần lần lợt là x,y,z (x,y,z > 0) Theo bài ta có: 98 , 65 zyyx == và z - y=150 Theo dạng 4 tìm đợc x,y,z VD2: Tìm ba số tự nhiên, biết rằng BCNN của chúng là 3150. Tỉ số của số thứ nhất và số thứ hai là 5:9, tỉ số của số thứ nhất và số thứ ba là 10:7 HD: Gọi mỗi số lần lợt là a,b,c ( a,b,c N * ) Ta có: BCNN(a,b,c)=3150, 9 5 = b a và 7 10 = c a Từ 9 5 = b a và 7 10 = c a => k cba === 71810 (k > 0) => a=10k, b=18k, c=7k => BCNN(10k,18k,7k)=3150 => 630k=3150 => k=5 => Tìm đợc a,b,c VD3: Ba lớp 7A,7B,7C có 144 HS. Nếu rút ở lớp 7A đi 4 1 số HS của lớp đó, rút ở lớp 7B đi 7 1 số HS của lớp đó, rút ở lớp 7C đi 3 1 số HS của lớp đó thì số HS của ba lớp bằng nhau. Tính só HS lúc đầu ở mỗi lớp HD: Gọi số HS cần tìm là x,y,z (x,y,z N * ) Ta có: zzyyxx 3 1 7 1 4 1 == và x+y+z=144 Từ zzyyxx 3 1 7 1 4 1 == => 9783 2 7 6 4 3 zyx zyx ==== kết hợp với x+y+z=144 tìm đợc x,y,z 6) Một số dạng toán khác VD1: Cho 3 số a,b,c 0 thoả mãn b bac a acb c cba + = + = + . Hãy tính giá trị của biểu thức: P= + + + a c c b b a 111 HD: Xét 2 trờng hợp: - Nếu a+b+c 0 ta có: 1= ++ ++ = + = + = + cba cba b bac a acb c cba => a+b=2c => b c b a 2 1 =+ b+c=2a => c a c b 2 1 =+ c+a=2b => a b a c 2 1 =+ => P= 8 2 . 2 . 2 = a b c a b c ( V× a,b,c ≠ 0) - NÕu a+b+c=0 => a+b=-c, b+c=-a, c+a=-b => P= 1 −= −−− = +++ a b c a b c a ca c cb b ba VËy . VD2: Cho c bxay b azcx a cybz − = − = − . Chøng minh: z c y b x a == HD: Tõ c bxay b azcx a cybz − = − = − => 0 0 222222 = ++ = − = − = − cbac bcxacy b abzbcx a acyabz . Chuyên đề: Tỉ lệ thức i. l ý THUYếT 1. Định nghĩa tỉ lệ thức: d c b a = với b, d 0 gọi là một tỉ lệ thức 2. Tính chất của tỉ lệ thức : d c. toán: 1. Dạng 1: Lập tỉ lệ thức VD 1 : Lập các tỉ lệ thức từ đẳng thức sau: 7.(-28)=(-49).4 HD: áp dụng tc của tỉ lệ thức ta đợc 4 tỉ lệ thức VD 2 : Các số