TRƯỜNG THPT LẠC NGHIỆP CHUN ĐỀ: I KIẾN THỨC CẦN VẬN DỤNG TRONG CÁC BÀI TỐN ĐA THỨC : Định lý Bezout : “ Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a là f(a) “ Hệ quả : Nếu f(a) = 0 , đa thức f(x) chia hết cho nhị thức x – a  Dư trong phép chia đa thức f(x) cho (ax + b) là f b a ỉ ư - ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç è ø  Nếu đa thức P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 +….+a 1 x + a 0 ( n  N) có n nghiệm x 1 , x 2 …x n thì đa thức P(x) phân tích được thành nhân tử : P(x) = a(x – x 1 )(x – x 2 ) ….(x – x n-1 )(x – x n ) II BÀI TẬP : Bài 1 : Tìm m để đa thức f(x) = 4x 4 – 5x 3 + m 2 x 2 – mx – 80 chia hết cho x – 2 Giải : Đặt g(x) = 4x 4 – 5x 3 – 80 ta có f(x) = g(x) +mx 2 – mx f(x)  (x – 2 )  f(2) = 0 hay g(2) +4m 2 – 2 x = 0 Ta có g(2) = –56  f(2) = 0 khi 4m 2 – 2m = 56  4m 2 – 2x – 56 = 0 Giải phương trình ẩn m , ta được m 1 = 4 và m 2 = –3,5 Nghĩa là hai đa thức f 1 (x) = 4x 4 – 5x 3 + 16 x 2 – 8x – 80 và f 2 (x) = 4x 4 – 5x 3 + 12,25 x 2 +3,5 x – 80 đều chia hết cho x – 2 Bài tập tương tự : Cho đa thức f(x) = x 5 – 3x 4 +5 x 3 – m 2 x 2 + mx + 861 . Tìm m để f(x)  (x + 3) KQ : 1 2 1 m 5 ; m 5 3 = = - Bài 2 : Tìm a và b sao cho hai đa thức f(x) = 4x 3 – 3x 2 + 2x + 2a + 3b và g(x) = 5x 4 – 4x 3 + 3x 2 – 2x –3a + 2b cùng chia hết cho (x – 3) Giải: f(x) , và g(x) cùng chia hết cho (x – 3) khi và chỉ khi f(3) = g(3) = 0 Đặt A(x) = 4x 3 – 3x 2 + 2x và B(x) = 5x 4 – 4x 3 + 3x 2 – 2x Ta có f(x) = A(x) + 2a + 3b g(x)=B(x) –3a +2b f(3) = A(3) + 2a + 3b = 87 +2a + 3b  f(3) = 0  2a + 3b = –87 g(3) = B(3) –3a + 2b = 318–3a +2b  g(3) = 0  –3a +2b = –318 Ta có hệ phương trình : 2a 3b 87 3a 2b 318 ì + = - ï ï í ï - + = - ï ỵ Vào MODE EQN gọi chương trình giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta được nghiệm ( x = 60 ; y = –69) hay a = 60 , b = –69 . Bài tập tương tự : Tìm m và n để hai đa thức P(x) và Q (x) cùng chia hết cho (x +4 ) P(x) = 4x 4 – 3x 3 + 2x 2 – x +2m – 3n Q(x) = 5x 5 – 7x 4 + 9x 3 – 11x 2 + 13x – 3m + 2n (m = –4128,8 ; n = –2335,2) Bài 3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 105x 2 + 514x – 304  Nếu khơng có sự hổ trợ của MTBT thì việc phân tích đa thức trên thành nhân tử là 1 bài tốn khó Giải tốn trên máy tính CASIO fx 500MS Lâm Ngun Thao Một số bài toán về đa thức  TRƯỜNG THPT LẠC NGHIỆP Giải: Ấn MODE MODE 2U Nhập a = 105 , b = 514 , c = –304 Tìm được nghiệm của đa thức trên : 1 2 8 38 x , x 15 7 = = - Vậy đa thức 105x 2 + 514x – 304 được phân tích thành 8 38 8 38 105 x x 15.7 x x (15x 8)(7x 38) 15 7 15 7 æ öæ ö æ öæ ö ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç - + = - + = - + ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç è øè ø è øè ø Bài tập tương tự : Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 65x 2 + 4122x +61093 b) 299 x 2 – 2004x + 3337 c) 156x 3 – 413 x 2 – 504 x+ 1265 Bài 4 : Cho đa thức x 5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e . Biết f(0) = 1 , f(1) = –2 , f(2) = –3 , f(3) = –2 ; f(4) = 1 . Tính f(100) Giải : Rõ ràng nếu ta thế 0,1,2,3,4, chỉ xác định hệ số tự do , việc còn lại là giải hệ phương trình bậc nhất 4 ẩn mà máy CASIO không thể giải quyết được . Giải bằng tay thì rất vất vả . Bài toán này có thể giải quyết như sau :  Xét đa thức phụ k(x) = x 2 – 4x + 1 Ta có : k(0) = 1 ; k(1) = –2 ; k(2) = –3 ; k(3) = –2 ; k(4) = 1 Đặt g(x) = f(x) – k(x) Ta có : g(0) = f(0) – k(0) = 0 g(1) = f(1) – k(1) = 0 g(2) = f(2) – k(2) = 0 g(3) = f(3) – k(3) = 0 g(4) = f(4) – k(4) = 0 Từ đó suy ra 0,1,2,3,4 là nghiệm của g(x) Mặt khác g(x) là đa thức bậc 5 (Cùng bậc với f(x) vì k(x) là bậc 2 mà g(x) = f(x) – k(x) ) và có hệ số cao nhất là là 1 Từ đó suy ra g(x) phân tích được thành nhân tử : g(x) = (x – 0)(x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) mà g(x) = f(x) – k(x)  f(x) = g(x) + k(x) Vậy f(x) = x .(x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) +x 2 –4x + 1 f(100) = 9034512001  Vấn đề ở đây là làm sao tìm được đa thức phụ k(x) ? Ta giả sử k(x) = ax 2 + bx + c và cho gán cho k(x) nhận các giá trị k(1) = 1 k(2) = –3 , k(3) = –2 (nhận 3 trong 5 giá trị của f(x) đã cho) ta có hệ phương trình : a b c 2 4a 2b c 3 9a 3b c 2 ì + + = - ï ï ï ï + + = - í ï ï + + = - ï ï î nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 1 , b = –4 , c = 1  k(x) = x 2 – 4x + 1 . Thử tiếp thấy k(0) = 1 và k(4) = 1 Vậy k(x) = x 2 – 4x + 1 là đa thức phụ cần tìm . Tất nhiến khi thử k(0) ≠ 1 hoặc k(4) ≠ 1 thì buộc phải tìm cách giải khác . Bài tập tương tự : a) Cho đa thức P(x) = x 5 +ax 4 +bx 3 +cx 2 +dx + e . Biết P(1) = 1 ; P(2) = 4 ; P(3) = 9 ; P(4) = 16 ; P(5) = 25 . Tính các giá trị của P(6) ; P(7) , P(8) , P(9) b) Cho đa thức Q(x) = x 4 + mx 3 + nx 2 + px + q và biết Q(1) = 5 , Q(2) = 7 , Q(3) = 9 Q(4) =11 Tính các giá trị Q(10) , Q(11) Q(12) , Q(13) c) Cho đa thức f(x) = x 5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e Biết f(1) = –1 ; f(2) = –1 ; f(3) = 1 ; f(4) = 5 ; f(5) = 11 . Hãy tính f(15) f(16) f(18,25) d) Cho đa thức f(x) = 2x 5 +ax 4 +bx 3 +cx 2 +dx + e . Biết f(1) = 1 f(2) = 3 f(3) = 7 f(4) 13 f(5) = 21 Tính f(34,567) Bài 5: Giải toán trên máy tính CASIO fx 500MS Lâm Nguyên Thao TRƯỜNG THPT LẠC NGHIỆP Cho P(x) = x 5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + 132005 Biết P(1) = 8 , P(2) = 11 , P(3) = 14 , P(4) = 17 Tính P(15) Giải : Xét đa thức phụ Q(x) = 3x + 5 Ta có Q(1) = 8 ; Q(2) = 11 ; Q(3) = 14 ; Q(4) = 17 Đặt k(x) = P(x) – Q(x) Ta có k(1) = k(2) = k(3) = k(4) = 0 hay k(x) có 4 nghiệm là 1 , 2 , 3 , 4 . Lời bình : Tới đây , làm như bài 5 thì …trật lất bởi vì k(x) phải là đa thức bậc 5 mà ta mới chỉ tìm được có 4 nghiệm !!. Bài toán này quá hay ! Đa thức k(x) phải có hệ số cao nhất là hệ số cao nhất của f(x) nên k(x) được phân tích thành nhân tử như sau k(x) = (x + J) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) . Vấn đề còn lại là tìm số J như thế nào ? Tiếp tục : Vì k(x) = P(x) – Q(x)  P(x) = k(x) + Q(x) Hay P(x) = (x + J) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 5  Hệ số tự do của P(x) là J.(–1)(–2).(–3).(–4) + 5 = 132005 hay 24J = 132000  J = 132000:24 = 5500 Vậy P(x) = (x + 5500)(x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 5  P(15) = 132492410 Bài tập tương tự : Cho đa thức f(x) = 2x 5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + 115197 Biết f(1) = –1 , f(2) = 1, f(3) = 3 , f(4) = 5 . Tính f(12) (KQ : 38206101) Bài 6: Cho f(2x – 3) = x 3 + 3x 2 – 4x + 5 a) Xác định f(x) b) Tính f(2,33) Giải: a) Đặt t = 2x – 3  t 3 x 2 + =  f(t) = 3 2 t 3 t 3 t 3 3 4 5 3 3 3 æ ö æ ö æ ö + + + ÷ ÷ ÷ ç ç ç + - + ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç è ø è ø è ø f(x) 3 2 x 3 x 3 x 3 3 4 5 2 2 2 æ ö æ ö æ ö + + + ÷ ÷ ÷ ç ç ç = + - + ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç è ø è ø è ø b)f(2,33) Qui trình ấn phím : 3 2 ( 2.33 3) 2 shift STO A alpha A x 3 alpha A x 4 alpha A 5+ + - + =¸ KQ : 34,57410463 Bài 7 Cho đa thức P(x) = 9 7 5 3 1 1 13 82 32 x x x x x 630 21 30 63 35 - + - + a) Tính f(–4) , f(–3) , f(–2) , f(–1) ,f(0) , f(1) , f(2) ,f(3) , f(4) b) Chứng minh rằng với mọi x Z thì P(x) nhận giá trị nguyên . Giải : a) Câu a thật ra là gợi ý để giải câu b . Dễ dàng tính được f(–4) = f(–3) = f(–2) = f(–1) = f(0) = f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = 0 b) Suy ra –4 ,–3 , –2 ,–1 , 0 , 1 , 2, 3 , 4 là 9 nghiệm của của P(x)  P(x) được phân tích thành nhân tử như sau : P(x) = 1 630 (x – 4)(x – 3) (x – 2 (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 ) Với x Z thì (x – 4)(x – 3) (x – 2 (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 ) là 9 số nguyên liên tiếp Tong đó có ít nhân 1 số chia hết cho 2 , 1 số chia hết cho 5 1 số chia hết cho 7 và 1 số chia hết cho 9 Đặt A = (x – 4)(x – 3) (x – 2 (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 ) Giải toán trên máy tính CASIO fx 500MS Lâm Nguyên Thao TRƯỜNG THPT LẠC NGHIỆP Vì ƯCLN(2,5) = 1  A  10 ƯCLN(7,9) = 1 A  63 ƯCLN(10 ,63) = 1  A  630  1 A 630 là một số nguyên hay P(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x Z Giải toán trên máy tính CASIO fx 500MS Lâm Nguyên Thao . THỨC CẦN VẬN DỤNG TRONG CÁC BÀI TỐN ĐA THỨC : Định lý Bezout : “ Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a là f(a) “ Hệ quả : Nếu f(a) = 0 , đa. Tới đây , làm như bài 5 thì …trật lất bởi vì k(x) phải là đa thức bậc 5 mà ta mới chỉ tìm được có 4 nghiệm !!. Bài toán này quá hay ! Đa thức k(x) phải có