đề thi học sinh giỏi khối 12 Môn: Toán Thời gian: 180 phút Bài 1(4đ): Cho hàm số y= (x-1) 2 (x+1) 2 (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b) Tìm giá trị b để Parabol y= 2x 2 + b tiếp xúc với (C). Viết phơng trình tiếp tuyến chung của chúng tại tiếp điểm. Bài 2(5đ): a) Tính tích phân: + 0 9 7 3 2 )1)(1( xx dx b) Tìm m để hàm số: mxxxy 22 2 +++= có cực đại và giá trị cực đại y CĐ <10 Bài 3(3đ): a) Giải phơng trình: 2 x + 3 x = 3x + 2 b) Giải hệ phơng trình: [ ] +=+ =+ )2(1)()1( 5 22 22 yyyxyxy yx Bài(4đ): a) Chứng minh rằng với mọi [ ] 1;0 x ta đều có: )1(2 1 1 4 2 + + + < x x x x e x x b) Cho ABC với các góc A, B đều là các góc nhọn và thỏa mãn 9 22 SinCBSinASin =+ . Tính góc C. Bài 5(4đ): Cho góc tam diện ba mặt vuông Oxyz. Trên Ox, O y, Oz lần lợt lấy các điểm A, B, C sao cho OA = a, OB= b, OC = c. a) Tính diện tích tam giác ABC theo a, b, c. b) Cho A, B, C thay đổi trên các tia thỏa mãn OA + OB + OC + AB + AC + BC = k , không đổi. Hãy xác định giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện OABC. hớng dẫn chấm đề tham gia xây dựng đề thi học sinh giỏi khối 12 Bài 1(4đ): a) 2 điểm: 1) TXĐ: D= R 0,25 điểm 2) y , = 4x 3 - 4x =4x(x 2 -1) y , = 0 khi x= 0 hoặc x= 1 Dấu của y , : y , > 0 );1()0;1( + x y , < 0 )1;0()1;( x 0,25 điểm Hàm số đạt cực đại tại x= 0, và cực tiểu tại x=-1, x=1 0,25điểm Tính lồi lõm, điểm uốn: y ,, = 12x 2 -4 y ,, = 0 3 3 = x , y ,, > 0 );; 3 3 () 3 3 ;( + x đồ thị lõm ) 3 3 ; 3 3 (0 ,, < xy đồ thị lồi 0,25 điểm Đồ thị hàm số có hai điểm uốn M 1 (- 3 3 , ) 9 4 ; M 2 ( 3 3 , ) 9 4 Giới hạn +=+= + yy xx lim;lim Đồ thị không có tiệm cận 0,25điểm Bảng biến thiên 0,25điểm x - -1 3 3 0 3 3 1 + y , - 0 + 0 - 0 + y - 1 + 9 4 9 4 0 0 3) Đồ thị: - Nhận Oy làm trục đối xứng - Cắt Ox tại hai điểm (1;0); (-1;0) - Cắt Oy tại (0;1) - Đồ thị nh hình vẽ - Đi qua (2;9); (-2;9) 0,25 điểm 0,5 điểm c) Parabol y= 2x 2 + b tiếp xúc với (C) = +=+ xxx bxxx 444 212 3 224 có nghiệm 0,25điểm d) 4x 3 - 4x= 4x 2;00)2(4 3,21 2 === xxxx 0,25 điểm Ta có: 32;10 3,21 ==== bxbx tiếp điểm M 1 (0;1);M 2 (- 2 ;1); M 3 ( 2 ;1) Kết luận: b= 1; b= -3 0,25 điểm phơng trình tiếp tuyến chung tại M 1 : y= y , (0)(x-0)+ 1= 1 0,25điểm - Phơng trình tiếp tuyến tại M 2 : y= y , (- 2 )(x+ 2 )+ 1 hay tiếp tuyến (d 2 ) y= 724 x 0,25điểm - Phơng trình tiếp tuyến tại M 3 : y= y , ( 2 )(x- 2 )+1 hay(d 3 ) y= 4 2 x 7 0,25 điểm Kết luận 0,25 điểm Bài 2(5đ): a)(2,5 điểm) Tính I = + 0 9 7 3 2 )1)(1( xx dx . Đặt t = 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 t t x x x t x x + = + = + dt t t dx 3 2 )1( 6 = 0,25 điểm Đổi cận ta có x= 2 9 7 = t ; x= 10 = t . 0,25 điểm Khi đó: I = dt t t dt t t t t = 1 2 3 1 2 3 23 2 1 3 1 2 )1( 6 0,25 điểm Tìm A,B,C để 3 1 t t = 2 1 1 tt CBt t A ++ + + Đồng nhất thức : =+ =+ = 0 1 0 CA CBA BA 0,25điểm Khi đó: I= -3 dt t t 1 2 3 1 =-3 1 2 ( 2 1 1 tt CBt t A ++ + + )dt= dt tt t t dt ++ 1 2 2 1 2 1 1 1 = ++ + = ++ 1 2 22 1 3)12( 2 1 3 2 ln 1 22 2 1 2 1 1ln tt t dt tt t t dt = ++ + ++ 1 2 22 2 ) 2 3 ()1( 2 3 2 1 1ln 2 1 3 2 ln t dt tt 0,25 điểm Đặt duutgdtutgut )1( 2 3 ) 2 ; 2 (; 2 3 1 2 +==+ 0,25 điểm Đổi cận: Khi t=-2 6 1; 3 == = utu 0,25 điểm ++ 1 2 22 ) 2 3 ()1(t dt = + + 6 3 22 2 )1() 2 3 ( )1( 2 3 utg duutg = 9 3 3 32 6 3 = du 0,5 điểm Kết luận: I= 3 2 ln + 6 3 9 32 ln 6 3 3ln 2 1 +=+ 0,25 điểm b) (2,5đ): Xét g(x)=x 2 + 2x + 2m, có , = 1- 2m Xét hai trờng hợp sau: -Trờng hợp 1: Nếu , 2 1 0 m thì g(x) 0 với mọi x. Khi đó y= x 2 + 2x + 2m. hàm số không có cực trị, hay trờng hợp này loại.0,25 điểm -Trờng hợp 2: Nếu , 2 1 0 <> m thì phơng trình g(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt: x 1 = -1- mxm 211;21 2 −+−=− Khi ®ã ta cã:      <<−−− ≥∨≤++ = 21 2 21 2 ;2 ;23 xxxmxx xxxxmxx y 0,25 ®iÓm    −− ∨+ =⇒ 21 21 ' ;12 ;32 xxxx xxxxx y   0,25 ®iÓm XÐt c¸c kh¶ n¨ng sau: a.NÕu 2 1 211 8 3 2 1 21211 2 3 21 − −≤−+−=⇒≥⇔≤−⇔−−−=≤ − mxmmmx 0,25 ®iÓm ta cã b¶ng biÕn thiªn: x ∞− 2 3 − x 1 x 2 2 1 − ∞+ y , - 0 + + + y ∞+ ∞+ CT Hµm sè kh«ng cã cùc ®¹i. 0,5 ®iÓm b.NÕu 2 1 211 8 3 211 2 3 21 − >−+−=⇒⇔−−−= − mxmmx  0,25 ®iÓm ta cã b¶ng biÕn thiªn : x ∞− x 1 2 3 − 2 1 − x 2 ∞+ y , - 0 + + 0 - 0 + y + CĐ + CT CT y CĐ = y( 2 1 )= ( 2 1 ) 2 - ( 2 1 )- 2m = 8 37 102 4 3 >< mm 0,5 điểm Kết luận: Với 8 3 8 37 << m thì thỏa mãn yêu cầu bài toán. 0,25 điểm Bài 3(3đ): a) (1 điểm)Giải phơng trình 2 x + 3 x = 3x + 2 Ta có phơng trình tơng đơng dơng với: 2 x + 3 x ( 3x + 2) = 0 Xét hàm số f(x) = 2 x + 3 x - 3x 2 trên tập xác định R Ta có: f , (x) = 2 x ln2 + 3 x ln3 3 0,25 điểm f ,, (x) = 2 x ln 2 2 + 3 x ln 2 3 > 0 Rx suy ra f , (x) đồng biến trên R 0,25 điểm hay phơng trình f , (x) = 0 không có quá một nghiệm. Do đó phơng trình f(x) = 0 không có quá 2 nghiệm . 0,25 điểm Nhẩm nghiệm ta thấy x = 0; x = 1 là hai nghiệm của phơng trình. 0,25 điểm b) (2 điểm)Giải hệ phơng trình: [ ] +=+ =+ )1)1((1)()1( 5 22 22 yyxyxy yx 0,25 điểm = + + =+ 1 1 1 1 5 22 y y yx yx yx do (x+y)(y-1) 0 0,25 điểm Xét hàm số f(t) = 0; 1 t t t ; 2 , 1 1)( t xf += > 0 0 t . Suy ra f(t) đồng biến trên R\{0}. 0,25 điểm Khi đó (2) 1 =+ yyx 0,25 điểm Hệ trở thành: [ ] +=+ =+ )2(1)()1( 5 22 22 yyyxyxy yx =+ =+ =+ =+ =+ yyx yyx y yx yyx yx 1 1 0 5 1 5 22 22 =+ =+ = =+ 1 12 5 1;1 5 22 22 y yx yx yx yx 0,25 điểm + = = = = = = = 5 622 5 641 2 1 1 1 0445 2 1 2 y x y x y x yy y x 0,5 điểm Kết luận: Hệ có hai cặp nghiệm (-1;2) và ( 5 641 , 5 622 + ) 0,25điểm Bài 4(4đ): a)(2điểm) Chứng minh rằng với mọi [ ] 1;0 x ta đều có: )1(2 1 1 4 2 + + + < x x x x e x x Ta có: )1(2 1 1 4 2 + + + < x x x x e x x 2 1 4 22 2 x xexx x +< + < )2( 2 1 )1( 4 2 2 2 2 x xe exx x x 0,5điểm Ta có: [ ] 1;0 x thì -x 2 x -x 2 < 1-x 2 + Ta chứng minh 1- x 2 10: 2 xxe x Thật vậy: xét hàm số f(u) = e u - u 1 trên đoạn [ ] 0;1 0,25điểm f , (u) = e u -1 [ ] )(0;10 ufu nghịch biến trên đoạn đang xét suy ra 0)0()( = fuf hay e u u 1 0 suy ra e u u + 1 với u = -x 2 [ ] )1(0;1 đợc chứng minh. 0,5điểm + Chứng minh (2): Đặt t= - x 2 [ ] 0;1 )2( 2 1 2 t te t ++ 0,25điểm . Thật vậy: 2 1)( 2 t texg t = g , (t) = e t 1 t 2 2 t ; g ,, (t) = e t 1< 0 [ ] 0;1t g , (t) nghịch biến trên khoảng đang xét. Suy ra 1,,,, )(0)1()()0( etggtgg g(t) đồng biến trên [ ] 0;1 01)0()()1( 2 < ttegtgg t . Bài toán đợc chứng minh. 0,5điểm b)(2điểm) Cho A, B nhọn và thỏa mãn Sin 2 A + Sin 2 B = 9 SinC + Nếu C < 90 0 thì A + B > 90 0 suy ra Cos( A+B) < 0 0,25điểm Nên < >+= + =+ 1 1)()(1 2 21 2 21 9 22 SinC BACosBACos BCosACos BSinASin vô lí. 0,5điểm + Nếu C > 90 0 thì A+ B < 90 0 . Từ giả thiết ta suy ra Sin 2 A + Sin 2 B = )()( 2 9 BASinBASin ++ 0,25 điểm SinBCosBCosASinABBCosSinBACosSinBSinASin .2 222222 +++ 0,25 điểm SinBCosBCosASinAABSinSinBASinSin .2 2222 + CosACosBSinASinB Cos(A+B) 0 vô lý 0,5 điểm + C = 90 0 thỏa mãn 9 22 SinCBSinASin =+ = 1. 0,25 điểm Bài5 :(4 điểm): (Vẽ hình đúng cho 0,25 điểm) 1.Hạ OH vuông góc với BC AH vuông góc với BC(định lí ba đờng vuông góc) 0,5điểm Ta có 22 22 2 22 22 222 111 cb cb OH cb cb cbOH + = + =+= 0,25điểm Lại có 22 222222 22 22 2222 cb accbba cb cb aOHOAAH + ++ = + +=+= 0,25 điểm BC 2 =b 2 +c 2 Do đó Diện tích tam giác ABC= 222222 2 1 . 2 1 accbbaBCAH ++= 0,25 điểm 2.Ta có abcSOAV OBCAOBC 6 1 . 3 1 == 0,5 điểm Từ giả thiết ta có 3 333 3 222222 )21(3)21(3 )21(3233 )(23cbaCABCABcbak + + +=+ +++++++++++=+++++= k abc k abcabcabcabc cabcababcaccbba 1,5 điểm Từ đó 3 )21(3 6 1 + k V OABC Vậy ma x V= cba k == + 3 )21(3 6 1 0,5điểm Chú ý: -Học sinh không vẽ hình bài hình không đợc chấm điểm -Học sinh giải cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa. C B O A . 0,25 ®iÓm    −− ∨+ =⇒ 21 21 ' ;12 ;32 xxxx xxxxx y   0,25 ®iÓm XÐt c¸c kh¶ n¨ng sau: a.NÕu 2 1 211 8 3 2 1 212 1 1 2 3 21 − −≤−+−=⇒≥⇔≤−⇔−−−=≤ −. (C) = +=+ xxx bxxx 444 212 3 224 có nghiệm 0,25điểm d) 4x 3 - 4x= 4x 2;00)2(4 3 ,21 2 === xxxx 0,25 điểm Ta có: 32;10 3 ,21 ==== bxbx tiếp điểm M 1