Một số dạng luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach pkhả trơn Lê Văn Dũng Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Luận án TS Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số 62 46 15 01 Người hướng dẫn: GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến Năm bảo vệ: 2013 Abstract Trình bày khái niệm kỳ vọng, kỳ vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach, số dạng hội tụ mảng biến ngẫu nhiên thiết lập bất đẳng thức cực đại cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị cho không gian Banach Thiết lập điều kiện hội tụ chuỗi kép mảng hai chiều biến ngẫu nhiên, không thiết lập luật mạch số lớn mà đưa tốc độ hội tụ luật số lớn mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Đưa định lý hội tụ theo trung bình bậc p luật yếu số lớn gồm luật yếu số lớn Feller với số ngẫu nhiên không ngẫu nhiên thiết lập điều kiện khả tích điều kiện đủ để thu luật yếu số lớn tổng kép biến ngẫu nhiên có số ngẫu nhiên: trình bày khái niệm khả tích đều, trình bày kết định lý hội tụ trung bình, trình bày kết luật yếu số lớn Keywords Biến ngẫu nhiên; Xác suất; Luật số lớn; Không gian Banach; Lý thuyết xác suất MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 1.1 Kolmogorov nói "Giá trị chấp nhận lý thuyết xác suất định lí giới hạn, kết chủ yếu quan trọng lý thuyết xác suất luật số lớn", luật số lớn đánh giá ba viên ngọc quý lý thuyết xác suất Ngày nay, luật số lớn vấn đề có tính thời lý thuyết xác suất 1.2 Từ năm 1950 trở lại đây, luật số lớn nghiên cứu mở rộng cho dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Ngày vấn đề tiếp tục nghiên cứu 1.3 Luật số lớn dãy biến ngẫu nhiên martingale nhận giá trị không gian Banach nghiên cứu nhiều tác giả có tên tuổi Tuy nhiên việc mở rộng khái niệm martingale cho mảng nhiều số gặp khó khăn nên định lí giới hạn mảng nhiều số biến ngẫu nhiên không độc lập chưa nghiên cứu nhiều Với lí định chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: Một số dạng luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach p-khả trơn Mục đích nghiên cứu Luận án nghiên cứu hội tụ chuỗi kép, luật mạnh số lớn Kolmogorov luật mạnh số lớn Marcinkiewicz - Zygmund mảng biến ngẫu nhiên, hội tụ theo trung bình bậc p, luật yếu số lớn Feller luật yếu số lớn mảng biến ngẫu nhiên điều kiện khả tích Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu luật số lớn mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng kĩ thuật giải tích xác suất, kĩ thuật martingale để chứng minh định lí hội tụ Một số bổ đề quan trọng như: Bổ đề Borel-Cantelli, Bổ đề Toeplitz Bất đẳng thức cực đại Kolmogorov, Bất đẳng thức Doob, sử dụng để chứng minh kết Ý nghĩa khoa học thực tiễn Ý nghĩa khoa học: góp phần làm phong phú thêm kết hiểu biết hội tụ chuỗi, luật mạnh số lớn, hội tụ theo trung bình luật yếu số lớn mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Ý nghĩa thực tiễn: luận án góp phần phát triển lý thuyết định lí giới hạn mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach lý thuyết xác suất Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan luận án Các định lí giới hạn lý thuyết xác suất nói chung luật số lớn nói riêng đóng vai trò quan trọng phát triển lý thuyết thực hành xác suất thống kê Luật số lớn James Bernoulli công bố năm 1713 Về sau, kết Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov mở rộng Tuy nhiên, phải đến năm 1909 luật mạnh số lớn E Borel phát Kết Borel Kolmogorov hoàn thiện vào năm 1926 Luật mạnh số lớn Kolmogorov phát biểu rằng: Nếu {Xn } dãy biến ngẫu nhiên độc lập với moment bậc hữu hạn, {bn } dãy số cho < bn ↑ ∞ Khi đó, ∞ n=1 DXn 2) chiều hoàn toàn tương tự trường hợp mảng chiều nên luận án xét cho mảng biến ngẫu nhiên chiều Các kết luận án báo cáo hội nghị: Hội nghị toàn quốc lần thứ Xác suất thống kê (Vinh, 5/2010), Hội Nghị Khoa Học Khoa Toán - Cơ - Tin học (trường ĐH Khoa học Tự nhiênĐHQG Hà Nội, 10/2010), đăng tạp chí: Acta Mathematica Vietnamica, Statistics and Probability Letters, Lobachevskii Journal of Mathematics, Bulletin of the Korean Mathematical Society, Journal of the Korean Mathematical Society 7.2 Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu, Kết luận, Danh mục báo nghiên cứu sinh liên quan đến luận án tài liệu tham khảo, luận án trình bày ba chương Chương trình bày khái niệm kì vọng, kì vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach, số dạng hội tụ mảng biến ngẫu nhiên thiết lập bất đẳng thức cực đại cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Chương thiết lập điều kiện hội tụ chuỗi kép mảng hai chiều biến ngẫu nhiên Cũng Chương không thiết lập luật mạnh số lớn mà đưa tốc độ hội tụ luật số lớn mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Chương đưa định lí hội tụ theo trung bình bậc p luật yếu số lớn gồm luật yếu số lớn Feller với số ngẫu nhiên không ngẫu nhiên thiết lập điều kiện khả tích điều kiện đủ để thu luật yếu số lớn tổng kép biến ngẫu nhiên có số ngẫu nhiên Chương gồm mục Mục 3.1 trình bày khái niệm khả tích đều, mục 3.2 trình bày kết định lí hội tụ trung bình, mục 3.3 3.4 trình bày kết luật yếu số lớn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Adler, A., Rosalsky, A., Volodin, A I (1997), "A mean convergence theorem and weak law for arrays of random elements in martingale type p Banach spaces", Statistics and Probability Letters 32, pp.167174 [2] Assouad, P (1975), Espaces p-lisses et q-convexes, Inégalités de Burkholder, Séminaire Maruey-Schwartz, Exp ZV [3] Borovskykh, Yu V and Korolyuk, V S (1997), Martingale Approximation, VSP [4] Cabrera, M O (1988), "Limit theorems for randomly weighted sums of random elements in normed linear spaces", Journal of Multivariate Analysis 25 (1), pp.139-145 [5] Cabrera, M O (1994), "Convergence of weighted sums of random variables and uniform integrability concerning the weights", Collectanea Mathematica 45 (2), pp.121-132 [6] Chandra, T K (1989), "Uniform integrability in the Cesàro sense and the weak law of large numbers", Sankhyã Ser A 51 (3), pp.309-317 [7] Choi, B.D., Sung, S.H (1985), "On convergence of (Sn − ESn )/n1/r , < r < for pairwise independent random variables", Bull Korean Math Soc 22 (2), pp.79-82 [8] Chow, Y S., Teicher, H., (1997), Probability Theory Independence, Interchangeability, Martingale, Springer, New York 68 [9] Czerebak-Mrozowicz, E B., Klesov, O I., Rychlik, Z (2002), "Marcinkiewicz-type strong laws of large numbers for pairwise independent random fields", Probability and mathematical statistics 22 (1), pp.127-139 [10] Day, M.M, (1944), "Uniform convexity in factor and conjugate spaces", Ann.of Math 45, pp.375 -385 [11] Le Van Dung, Ngamkham, Th., Nguyen Duy Tien, Volodin, A I (2009), "Marcinkiewicz-type law of large numbers for double arrays of random elements in Banach spaces", Lobachevskii Journal of Mathematics 30 (4), pp.337-34 [12] Le Van Dung, Nguyen Duy Tien (2010), "Strong laws of large numbers for random fields in martingale type p Banach spaces" Statistics and Probability letters 80 (9-10), pp.756-763 [13] Le Van Dung (2010), "Weak laws of large numbers for double arrays of random elements in Banach spaces", Acta Mathematica Vietnamica 35, pp.387-398 [14] Le Van Dung, Nguyen Duy Tien (2010), "Mean convergence theorems and weak laws of large numbers for double arrays of random elements in Banach spaces", Bull.Math Korean 47, pp.467 - 482 [15] Etemadi, N (1981), "An elementary proof of the strong law of large numbers", Z Wahrsch Verw Gebiete 55 (1), pp.119-122 [16] Edgar,G A., Louis, S (1992), Stopping times and directed processes, 47, Cambridge University, England [17] Fazekas, I., Tómács, T (1998), "Strong laws of large numbers for pairwise independent random variables with multidimensional indices", Publ Math Debrecen 53 (1-2), pp.149-161 [18] Feller, W (1971), An introduction to probability theory and its applications, 2, 2nd ed Wiley, New York 69 [19] Gut, A (2001), "Convergence rates in the central limit theorem for multidimensionally indexed random variables", Studia Sci Math Hungar 37, pp.401-418 [20] Gut, A., Spˇataru, A (2003), "Precise asymptotics in some strong limit theorems for multidimensionally indexed random variables", J Multivariate Anal 86 (2), pp.398-422 [21] Gut, A., Stadtm¨ uller, U (2009), "An asymmetric MarcinkiewiczZygmund LLN for random fields", Statistics and Probability Letters 79, pp.1016-1020 [22] Hoffmann-Jørgensen, J., Pisier, G (1976), "The law of large numbers and the central limit theorem in Banach spaces", Ann.Probability 4(4), pp.587-599 [23] Hong, J I., Tsay, J (2010), "A strong law of large numbers for random elements in Banach spaces", Southest Asian Bulletin of Mathematics 34, pp.257-264 [24] Hong, D H., Cabrera, O M., Sung S H., Volodin, A I (2000), "On the weak law for randomly indexed partial sums for arrays of random elements in martingale type p Banach spaces", Statistics and Probability Letters 46, pp.177-185 [25] Hong, D.H., Hwang, S.Y (1999), "Marcinkiewicz-type strong law of large numbers for double arrays of pairwise independent random variables", Int J Math Math Sci 22 (1), pp.171-177 [26] Hong, D.H., Volodin, A.I (1999), "Marcinkewicz-type law of large numbers for double arrays", J.Korean Math.Soc 36 (6), pp.1133 - 1143 [27] Kwapie´ n, S., Woyczy´ nski, W.A (1992), Random Series and Stochastic Integrals: Single and Multiple, Birkh¨auser, Boston 70 [28] Landers, D., Rogge, L (1987), "Laws of large numbers for pairwise independent uniformly integrable random variables", Math Nachr 130, pp.189-192 [29] Lindenstrauss J (1963), "On the modulus of smoothness and divergent series in Banach spaces", Michigan Math J 10, pp.241-252 [30] Loève, M (1977), Probability Theory, I, 4th Edition Springer, New York [31] Pisier, G (1975), "Martingales with values in uniformly convex spaces", Israel J Math 20 (3-4), pp.326-350 [32] Pisier, G (1986), "Probabilistic methods in the geometry of Banach spaces, in: Probability and Analysis (Varenna, 1985)", Lecture Notes in Math Springer, Berlin 1206, pp.167-241 [33] Nguyen Van Quang, Le Hong Son (2006), "On the weak law of large numbers for sequences of Banach space valued random elements", Bull.Korean.Soc 43 (3), pp.551-558 [34] Nguyen Van Quang, Nguyen Ngoc Huy (2008), "Weak law of large numbers for adapted double arrays of random variables", J.Korean.Soc 45 (3), pp.795-805 [35] Nguyen Van Quang, Le Van Thanh (2006), "Marcinkiewicz-Zigmund law of large numbers for blockwise adapted sequence", Bull Korean Math Soc 43 (1), pp.213-223 [36] Nguyen Van Quang, Le Van Thanh, Nguyen Duy Tien (2011), "Almost sure convergence for double arrays of block-wise M -dependent random elements in Banach spaces", Georgian Mathematical Journal 18, pp.777-800 [37] Rosalsky, A., Le Van Thanh ( 2006), "Strong and weak laws of large numbers for double sums of independent random elements in Rader71 macher type p Banach spaces", Stoch Anal Appl 24 (6), pp.10971117 [38] Scalora, F S (1961), "Abstract martingale convergence theorems", Pacific J Math 11, pp.347-374 [39] Shixin, G (2010), "On almost sure convergence of weighted sums of random element sequences",Acta Mathematica Scientia 30 (4), pp.1021-1028 [40] Su, C., Tong, T J (2004), "Almost Sure Convergence of the General Jamison Weighted Sum of B -Valued Random Variables", Acta Mathematica Sinica English Series 20 (1), pp.181-192 [41] Sung, S H (1999), "Weak law of large numbers for arrays of random variables", Statist Probab Lett 42 (3), pp.293-298 [42] Sung, S H., Hu, T.C., Volodin, A.I (2006), "On the weak laws with random indices for partial sums for arrays of random elements in martingale type p Banach spaces", Bull.Korean.Soc 43 (3), pp.543-549 [43] Stadtmulle, U., Le Van Thanh (2011), "On the limit theorems for double arrays of blockwise M-dependent random variables", Acta Math Sinica (English Series) 27, pp.1923-1934 [44] Stadtm¨ uller, U., Thalmaier, M (2009), "Strong laws for delayed sums of random fields", Acta Sci Math (Szeged) 75 (3-4), pp.723-737 [45] Le Van Thanh (2006), "Mean convergence theorems and weak laws of large numbers for double arrays of random variables", Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis, pp.1-15 [46] N D Tien (1980), "On Kolmogorov’s three series theorem and mean square convergence of martingales in a Banach space", Theory Probab Appl 24, pp.797-808 72 [47] Nguyen Duy Tien, Le Van Dung (2012), "Convergence of double random series of random elements in Banach spaces", Journal of the Korean Mathematical Society 49, pp.1053-1064 [48] Wei, D., Taylor, R L (1978), "Convergence of weighted sums of tight random elements", Journal of Multivariate Analysis (2), pp.282-294 [49] Woyczy´ nski, W.A (1978), Geometry and martingales in Banach spaces II Independent increments, Probability on Banach spaces, Adv Probab Related Topics, 4:267-517, Dekker, New York [50] Woyczy´ nski, W.A (1981), "Asymptotic behavior of martingales in Banach spaces II", Martingale theory in harmonic analysis and Banach spaces, Lecture Notes in Mathematics, 939, 216-225 73