B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI TRN HU HI PHẫP BIN I TCH PHN KIấU TCH CHP KONTOROVICH - LEBEDEV FOURIER COSINE V NG DNG LUN VN THAC s TON HOC TRN HU HI PHẫP BIN I TCH PHN KIấU TCH CHP KONTOROVICH - LEBEDEV FOURIER COSINE V NG DNG Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC s TON HC B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI NGI HNG DN KHOA HC PGS.TS TRNH TUN Li cm n Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca thy giỏo PGS.TS Trnh Tuõn S giỳp v hng dn tn tỡnh, nghiờm tỳc ca thy sut quỏ trỡnh thc hin lun ny ó giỳp tỏc gi trng thnh hn rt nhiu cỏch tip cn mt mi Tỏc gi xin by t lũng bit n, lũng kớnh trng sõu sc nht i vi thy Tỏc gi xin trõn trng cm n Ban giỏm hiu trng i hc S phm H Ni 2, phũng sau i hc, cỏc thy cụ giỏo nh trng cựng cỏc bn hc viờn ó giỳp , to iu kin thun li cho tỏc gi sut quỏ trỡnh hc Tỏc gi xin chõn thnh cm n Ban giỏm hiu, cỏc thy cụ giỏo, bn bố ng nghip trng PTDT Ni Trỳ THCS-THPT Bc H, Lo Cai ó quan tõm, ng viờn v to iu kin tỏc gi hon thnh khúa hc Thc s v hon thnh lun ny ! H Ni, ngy 22 thỏng nm 2016 rp> _ Tỏc giỏ Trn Hu Hi Li cam oan Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni Tụi xin cam oan lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi di s hng dn ca PGS.TS Trnh Tuõn Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh lun tụi ó k tha nhng thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc v ng nghip vi s trõn trng v bit n Tụi xin cam oan rng cỏc thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc H Ni, ngy 22 thỏng nm 2016 rp> _ Tỏc giỏ Trn Hu Hi Danh muc kớ hiờu F Fs F7 Phộp bin i Fourier; Phộp bin i Fourier sine; l Phộp bin i Fourier sine ngc; F Phộp bin i Fourier cosine; F~l Phộp bin i Fourier cosine ngc; K Phộp bin i Kontorovich-Lebedev; K Co (K-h) Phộp bin i Kontorovich-Lebedev ngc; L khụng gian cỏc hm s liờn tc trờn M+; [ f * 9) (f*g) Tớch chp ca hai hm / v g ; \ f ; 9) Tớch chp ca hai hm / v g vi hm hng 7; Ă 9) Tớch chp ca hai hm / v g i vi phộp bin i F ; Tớch chp ca hai hm / v g vi hm trng i vi phộp bin i F ; m+,) L { ^ + > sinh X^ l cỏc hm / v g xỏc nh hờn (0, -l-x>) saocho \ - \ f { x ) \ d x < + ^ > ; l cỏc hm / v g xỏc nh hờn (0, -hx>) cho \ \ g { x ) \ d x < +30 sinh X Mc lc V Lũi m u Lý chn ti i vi mi tớch chp [ h * f ) ca hai hm h \ f , nu ta c nh mt hai hm, chng hn c nh hm h v cho hm / bin thiờn trờn khụng gian hm xỏc nh Ta cú th nghiờn cu phộp bin i tớch phõn kiu tớch chp dng D : f > g D { h * f ) ú: g { x ) D { h V /) (re) v D l mt toỏn t no ú Phộp bin i tớch phõn kiu tớch chp u tiờn c xõy dng theo kiu ny ni ting nht l phộp bin i liờn quan n tớch chp ca phộp bin i tớch phõn Mellin ([4]) k {xy) f {y) dy, X > g{x) - Tip ni ý tng ny, nhng nm (1999-2003) GS TSKH V Kim Tun (i hc West Georgia, M) v cỏc ng nghip ó xõy dng c mt lp phộp bin i tớch phõn dng trờn i vi tớch chp Fourier cosine ' h ' j v tớch chp suy rng Fourier cosine v Fourier sine [ f h ) ([5]) ú toỏn t V FC,F } D c xỏc nh nh sau d x2 - - Nm 2003, s B Yakubovich cng ó nghiờn cu kt qu tng t núi trờn i vi tớch chp KontorovichLebedev ( K ) ([] ] ]) Nm 2013 tỏc gi N.T.Hng, Trnh Tuõn, N.X.Tho ([6]) ó xõy dng phộp bin i tớch phõn cho tớch chp suy rng vi hm trng i vi cỏc phộp bin i tớch phõn Fourier cosine, Kontorovich-lebedev ngc ( F c K ~ l ) t ú ch c tớnh Unita ca phộp bin i ny v nghiờn cu ng dng ca phộp bin i trng hp bc ca toỏn t D l hu hn Vi mong mun c tỡm hiu tớch chp, tớch chp suy rng v phộp bin i tớch phõn kiu tớch chp, c s hng dn ca PGS.TS Trnh Tuõn tụi ó chn ti Phộp bin i tớch phõn kiu tớch chp Kontorovich- Lebedev Fourier cosine v ng dng nghiờn cu ti lun Thc s c trỡnh by 35 trang A4, ngoi phn li núi u v ti liu tham kho lun c chia lm chng Chng Nờu túm tt cỏc kin thc c bn dựng nghiờn cu cho cỏc chng sau Chng Trỡnh by tớch chp suy rng vi hm trng i vi hai phộp bin i tớch phõn F c , K (2.1) Nghiờn cu s tn ti ca chỳng trờn cỏc khụng gian hm, nhn c ng thc nhõn t húa v cỏc bt ng thc dng chun ca chỳng T ú i nghiờn cu phộp bin i tớch phõn kiu tớch chp suy rng (2.1) Ni dung chớnh ca chng ny l cỏc nh lý: nh lý 2.1, nh lý 2.4 v nh lý 2.6 Chng S dng phộp bin i tớch phõn kiu tớch chp suy rng i vi hai phộp bin i F c , K (2.1) chng II Trong trng hp phộp bin i ny cú bc ca toỏn t D l hu hn gii úng mt lp bi toỏn dng Cauchy m phng trỡnh ca nú l phng trỡnh vi-tớch phõn Kt qu chớnh ca chng ny l nh lý 3.1 tin theo dừi quỏ trỡnh vit lun Chỳng tụi ó a vo danh mc cỏc kớ hiu toỏn hc trang u Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu phộp bin i tớch phõn kiu tớch chp suy rng Fourier Cosine, Kontorovich - Lebedev ngc ([6]) / j I ^-ôcoshớx^) + -ucosKx-v)^ e f{x)->g = D h ^ J ^ dudv Vrỡ ú D x> / V 11 [ k t f 2) t ú nghiờn cu mt s tớnh cht ca -1 ' x ' / (1) toỏn t D v ng dng gii úng mt lp bi toỏn dng Cauchy m phng trỡnh ca nú l phng trỡnh vi-tớch phõn Nhim v nghiờn cu Lun trỡnh by chớnh Vn Tớch chp suy rng vi hm trng i vi phộp bin i tớch phõn { F c , K~l) Vn Phộp bin i tớch phõn kiu tớch chp suy rng [ F c , K ~ l ) vi hm trng Vn ng dng gii úng mt lp bi toỏn dng Cauchy i tng v phm vi nghiờn cu Nghiờn cu phộp bin i tớch phõn kiu tớch chp suy rng F c , K ~ l vi hm trng trờn khụng gian L (RI) v ng dng Phng phỏp nghiờn cu Dựng k thut gii tớch hm; K thut hm c bit; Dựng k thut tớch chp; K thut phộp bin i tớch phõn kiu tớch chp suy rng Chng Tớch chp i vúi phộp bin i tớch phõn Trong chng ny chỳng tụi trỡnh by túm tt mt s kin thc c bn v mt s khụng gian hm, phộp bin i tớch phõn, tớch chp dựng nghiờn cu cho hai chng chớnh ca lun l chng v chng Ti liu chớnh vit chng ny l ([1, 2, 3, 6]) 1.1 Mt s kin thc c bn 1.1.1 Mt s khụng gian hm dựng lun L (K) l hp tt c cỏc hm / xỏc nh trờn (X), -fx>) cho v L \ (M) l mt khụng gian nh chun vi chun c xỏc nh \f{x)\dx L i (M-I-) l hp tt c cỏc hm / xỏc nh trờn (0, -hx>) cho j \f{x)\dx < +30, x' - r^r K ~ l [ h \ { y ) c f ) { y ) cos{xy)dy J y sinh 7T y T ú ta nhn c ng thc Parseval (2.14), v nh lý ó c chng minh Trờn khụng gian Lp7(M+) chỳng ta cng cú ỏnh giỏ bt ng thc chun cho tớch chp suy rng (2.1) nh lý 2.3 ( [ ] ) C h o < p < X) l m t s thc v q l s m liờn hp ca nú, ngha l - + - Khi ú vi h E Z/pP,/3(K-|-) v f E L q { M + ) , tớch chp suy rng h * / j (2.1) cng c xỏc nh nh mt hm liờn tc b chn trờn thuc Lp7(M+), vi ^ r < X), < ^ cho trc Hn na, thỡ õyCa:1^{^)Y [h (2.16 L Chng minh S dng biu din tớch phõn (2.15) cho hm K Q { U ) , bt ng thc Holder, v hin nhiờn eucoah(.z-Hh eucosh[x-v) ^ 2e~u vi tt c u, X, V dng, ta cú 30 30,0 h{ 1rf D u cosh(x+i;) _|_ giớ dudv J K{u)du\ u u 00 /30x> h[ giớ cosh(a;-|-ii) _|_ giớ dud u Vo x> 30 X liằl giớ coshớx-Hi) _|_ giớ dud (2.17) Do ú, tớch chp suy rng c xỏc nh rừ rng l mt toỏn t b chn v ỏnh giỏ (2.17) ỳng Hn na, ta cú Suy (2.16) nh lý ó c chng minh nh lý Youngs ó c phỏt biu cho tớch chp Fourier, chỳng tụi xin nhc li nh sau: nh lý Youngs ([9]) Cho p , q , r l cỏc s thc (1; x>) cho - -h - v cho h (x) t L p (K), / [ x ) b L q (K) , k { x ) t L r (M) Khi ú ta cú -|-x> r y ú h * f j l tớch chp Fourier, F l phộp bin i tớch phõn Fourier c xỏc nh (1.2), (1.14), (1.15) Bõy gi chỳng ta phỏt biu nh lý dng Youngs cho tớch chp suy rng (2.1) Tuy nhiờn cỏc khụng gian hm c s dng õy hon ton khỏc, cng nh h s ca bt ng thc nhn c õy l phc nh lý 2.4 (nh lý dng Youngs) ( [ ] ) C h o p q , r c ỏ c s thc (.1; x>) cho + ^ + = v cho f E L~P'P{R+), < /3 ^ 1, g E L q { R + ) , h t Lr(M+) K h i ú J {f*g) {x)h{x)dx p-1 (2.18 Chng minh Cho Pi, i, Ti l cỏc s m liờn hp ln lt ca p, q, r, ngha l 1 1 1 p p q i r r - + - Khi ú, rừ rng l + -+- = t F{x,u,v) - \g(v)\pi \h(x)\^ G[x, u, V) u I/ [ô) I gii cosh(x-N;) _|_ gUcosh(x v ) p gU cosh(x-|-i;) _|_ gUcoshớx li) | h(z)| u cosh^x-hi;) Mcosh(x v ) r Ta cú /(ô) _ii cosh[x-h;) __ lớcosh^x v ) l (2.19) Mt khỏc, khụng gian L P l (R--) ta cú |[...]... {x)\rxae~xdx \ L?P 0/ 1.1.2 Phộp bin i tớch phõn Fourier, Fourier cosine nh ngha 1.1 ([4]) Cho hm f { x ) t Zq(M) Khi ú phộp bin i tớch phõn Fourier (F ) i vi hm / c nh ngha nh sau f { x ) - { F f ) { y ) - 1= e ~ i x y f { y ) d y ] ti (1.1) ú F c gi l phộp bin i Fourier hoc toỏn t Fourier V F cú phộp bin i Fourier ngc (F1-1) c nh ngha nh sau Phộp bin i Fourier ngc ca hm / c xỏc nh bi cụng thc lF~'f){y)... phõn Fourier sine (1.4) c xỏc nh nh sau + s i g n [ x y + l ) g \ x y + 1 \ g { x + y + 1) - s i g n { x - y - l ) g [ \ x - y - 1|) d y (1.21) Tớch chp [ f * g ) thuc khụng gian L] (R_) v tha món ng thc nhõn 1 Chng 2 Phộp bin i tớch phõn kiu tớch chp suy rng Fourier cosine, KontorovichLebedev ngc Trong chng ny chỳng tụi trỡnh by v tớch chp suy rng i vi phộp bin i tớch phõn Fourier cosine, Kontorovich- Lebedev. .. liu chớnh nghiờn cu chng ny l ([5,6]) 1 2.1 Tớch chp suy rng vi hm trng i vi phộp bin i tớch phõn Fourier cosine, Kontorovich- Lebedev ngc 1 inh ngha 2.1 ( [ 8 ] ) Tớch chõp suy rụng vi hm trong 7l y ) y sinh(7t/) ca hm h v / vi phộp bin i tớch phõn Fourier cosine v phộp bin i tớch phõn Kontorovich- Lebedev ngc c nh ngha nh sau (hlf){x)- -L< - e - ằ K * + v ) + e - u K * - v ) h ( u ) f y )... bin i Fourier cosine { F c ) ca mt hm / t L i (M+) l mt hm c xỏc nh bi cụng thc [ F J ) { x ) - y- J cosx y f { y ) d y, X > 0 (1.3) 0 Phộp bin i Fourier cosine ngc [ F ~]) ca hm / c xỏc nh nh sau (F1/)^) - \ j - j cosx y f { y ) d y, X > 0 (1.4) 0 Nhn xột 1.2 Vỡ I COSS/I ^ 1, I s i n x y ^ 1 v f { x ) e nờn cỏc tớch phõn (1.3), (1.4) u hi t vi mi X M 1.1.3 Phộp bin i tớch phõn Kontorovich - Lebedev. .. mt s Trong phn ny chỳng ta trỡnh by mt s cỏc kt qu v tớch chp i vi cỏc phộp bin i tớch phõn Fourier, Fourier cosine v Kontorovich- Lebedev minh ha cho nh ngha 1.4, ngoi ra cỏc tớch chp ny cũn dựng nghiờn cu cỏc chng sau ca lun vn 1.2.2 Vớ d Vớdl ([4]) Cho f , g b L i (M), tớch chp i vi phộp bin i tớch phõn Fourier (1.1) i vi hai hm /, g , ký hiu [ f Ơ g ) { x ) c xỏc nh bi cụng thc F Tớch chp (/ *... 1, I s i n x y ^ 1 v f { x ) e nờn cỏc tớch phõn (1.3), (1.4) u hi t vi mi X M 1.1.3 Phộp bin i tớch phõn Kontorovich - Lebedev nh ngha 1.3 ([6]) Phộp bin i tớch phõn Kontorovich- Lebedev c nghiờn cu u tiờn bi M J Kontorovich v N N Lebedev trong khong (1938-1939) v cú dng nú bao hm cỏc ht nhõn v hm Macdonald x K v [ x ) ca ch s o thun tỳy V i y Hm K v { z ) thaK món [ f \ { phng y ) - trỡnh Kix Bessel... tớch phõn Fourier cosine ca hai hm / v g ký hiu: (/ > g ) [ x ) c xỏc nh bi cụng thc if * g){x) = -7= 1 Fc V 27 f { y ) [ g { \ x - y \ ) + y { x + y ) \ d y ; X > 0 (1.16) Tớch chp ny thuc khụng gian L (K--) v tha món ng thc nhõn t húa F a { f - g ) { y ) - { F c f ) ( y ) { F c g ) { y ) , V y > 0 Fc (1.17) Vớ d 3 ([11]) Cho f , g t L i (K-I-) Tớch chp i vi phộp bin i tớch phõn KontorovichLebedev... 8 ] ) G i s h i : L { R + , -) v e L { R + , - r ^-) K h i ú tớch chp suy rng [ h * f ) { x ) thuc L(M-I-) v tha món ng thc nhõn t húa sau trong ú K 1 l phộp bin i Kontorovich- Lebedev ngc c xỏc nh (1.12) Fc l phộp bin i Fourier cosine c xỏc nh (1.4) Nhn xột: Nh vy ta thy trong ng thc nhõn t húa (2.2) ca tớch chp suy rng (2.1) cú hai phộp bin i khỏc nhau tham gia l [ F c , K ^ 1 ) 0S Chng minh... tớch vụ hn ca sinhz ta cú 4d \ y2 U i1 +x2) [Fch){x) SJ(Z) - N , k2dx L*J 1+ iu ny ch L2(M+) pKdng phộp bin i Fourier cosine cho < c hai v ca quan h trờn, ta cú y raUrng gN thuc (/) 2 k ) y , (i + Ê) k -1 ki F c 9 N ) { y ) - y2 n (x ) v do ú nú b chn Vỡ th 1 v / X 2\ i vi phộp bin i Fourier cosine Ngoi ra, t ng thcNParseval 1 4r K-\h\{y)J){y) t L2(RX 2 \ F c f \ L yR }fi(1+ - l/L2']M>suyra:... Suy ra (2.16) nh lý ó c chng minh nh lý Youngs ó c phỏt biu cho tớch chp Fourier, chỳng tụi xin nhc li nh sau: nh lý Youngs ([9]) Cho p , q , r l cỏc s thc trong (1; x>) sao cho - -h - 2 v cho h (x) t L p (K), / [ x ) b L q (K) , k { x ) t L r (M) Khi ú ta cú -|-x> r y trong ú h * f j l tớch chp Fourier, F l phộp bin i tớch phõn Fourier c xỏc nh (1.2), (1.14), (1.15) Bõy gi chỳng ta phỏt biu nh lý