Sáng kiến Sử dụng đồ thị hàm số và tính biến thiên của hàm số để giải toán I . Đặt vấn đề Khái niệm tơng quan hàm số là một vấn đề quan trọng ở bậc học phổ thông . Học sinh đợc bắt đầu làm quen với khái niệm này từ quan hệ tỉ lệ thuận ở lớp 7 , hàm số bậc nhất và hàm số y= ax 2 ở lớp 9 , và còn đợc tiếp tục ở trờng THPT . Theo mục tiêu của chơng trình Toán THCS thì việc dạy học khái niệm hàm số chỉ yêu cầu hình thành khái niệm tơng quan hàm số thông qua quan hệ tỉ lệ thuận, quan hệ bậc nhất. Tuy nhiên thực tế quan điểm hàm số đợc hàm ẩn trong nhiều vấn đề khác. Các biểu thức chứa biến nhận những giá trị khác nhau khi các giá trị của biến thay đổi . Giải phơng trình là tìm các giá trị của biến để các giá trị tơng ứng của hai biểu thức ở hai vế bằng nhau. Giải bất phơng trình là tìm những giá trị của biến để các giá trị tơng ứng của hai biểu thức ở hai vế thỏa mãn bất đẳng thức đã cho . Trong quá trình giải toán, chúng ta gặp những bài toán khi giải bằng phơng pháp thông thờng gặp nhiều khó khăn ,nhng khi sử dụng tơng quan hàm số thì việc giải bài toán đó dễ dàng hơn . Sau đây tôi xin trình bầy một vài ứng dụng của đồ thị hàm số và tính biến thiên của hàm số trong giải toán . II. Giải quyết vấn đề A . Trớc hết ta nhắc lại một số khái niệm 1) Khái niệm hàm số Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ,ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x, và x đợc gọi là biến số . 2) Đồ thị hàm số Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá tri tơng ứng (x ; f(x)) trên mặt phẳng tọa độ đợc gọi là đồ thị của hàm số y = f(x) . 3) Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến Với x 1 , x 2 bất kì thuộc R ( hoặc thuộc tập D ) Nếu x 1 < x 2 mà f(x 1 ) < f(x 2 ) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R ( hoặc trên D ) Nếu x 1 < x 2 mà f(x 1 ) > f(x 2 ) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R(hoặc trên D) Hàm số y = ax + b (a 0 ) Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến trên R Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến trên R Hàm số y = ax 2 ( a 0 ) Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0 Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến khi x > 0 và đồng biến khi x < 0 B .Những ứng dụng của hàm số trong giải toán Sử dụng đồ thị hàm số và tính biến thiên của hàm số trong việc giải các bài toán về phơng trình , bất phơng trình , chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN , GTNN của biểu thức . Sau đây là một số ví dụ Dạng 1 : Giải phơng trình , bất phơng trình Ví dụ 1 : a) Trên cùng một hệ trục tọa độ vẽ đồ thị các hàm số : y = 2 2 x ( P ) và y = x + 3 2 ( d) b) Dùng đồ thị cho biết ( có giải thích ) nghiệm của phơng trình 2 3x x+ = ( Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Thái Bình năm học 1998 1999 ) Giải : a) Vẽ đồ thị hai hàm số f(x)=0.5*x^2+0*x+0 f(x)=x+ 1.5 f(x)=x+ 1.5 Series 1 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y b) 2 3x x+ = Điều kiện x 0 Bình phơng cả hai vế của phơng trình ta đợc : 2x + 3 = x 2 <=> x + 3 2 = 2 2 x Đặt y = 2 2 x ( P) và y = x + 3 2 (d) Nghiệm của phơng trình đã cho là hoành độ giao điểm của (P) và (d) với x 0, (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm (3; 9 2 ) và ( -1; 1 2 ) . Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm x = 3 . Ví dụ 2 : Giải bằng đồ thị hàm số các phơng trình và bất phơng trình a) x 2 x + 1 = 0 b) x 2 2x + 1 = 0 c) x 2 + 2x - 3 = 0 d) x 2 + 2x - 3 < 0 Giải a) x 2 x + 1 = 0 <=> x 2 = x 1 Đặt y = x 2 và y = x 1 .Vẽ đồ thị hai hàm số y = x 2 và y = x 1 trên cùng một hệ trục tọa độ . Hai đồ thị không có điểm chung .Vậy phơng trình vô nghiệm . f(x)=1*x^2+0*x+0 f(x)=x - 1 f(x)=2x - 1 f(x)=-2x + 3 Series 1 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y b) x 2 2x + 1 = 0 <=> x 2 = 2x 1 Đặt y = x 2 và y = 2x 1 .Vẽ đồ thị hai hàm số y = x 2 và y = 2x 1 trên cùng một hệ trục tọa độ . Hai đồ thị tiếp xúc nhau tại điểm ( 1; 1 ) .Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 1 . c) x 2 + 2x 3 = 0 <=> x 2 = -2x + 3 Đặt y = x 2 và y = -2x + 3 .Vẽ đồ thị hai hàm số y = x 2 và y = -2x + 3 trên cùng một hệ trục tọa độ . Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm ( 1; 1) và ( -3; 9). Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1 = 1 ; x 2 = -3 . d) x 2 + 2x 3 < 0 <=> x 2 < -2x + 3 Đặt y = x 2 và y = -2x + 3 .Vẽ đồ thị hai hàm số y = x 2 và y = -2x + 3 trên cùng một hệ trục tọa độ . Ta thấy ứng với -3 < x < 1 đồ thị hàm số y = x 2 nằm phía dới đồ thị hàm số y = -2x + 3 hay x 2 < -2x +3 . Vậy nghiệm của bất phơng trình là -3 < x < 1 . Dạng 2 : Biện luận số nghiệm của phơng trình Ví dụ 3 : Dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của phơng trình 1 1x x+ + = m ( m là tham số ) Giải Đặt y = 1 1x x+ + và y = m Vẽ đồ thị hai hàm số y = 1 1x x+ + và y = m trên cùng một hệ trục tọa độ rồi tìm số giao điểm của chúng . - 2x nếu x 1 * Ta có y = 1 1x x+ + = 2 nếu -1 x 1 2x nếu x 1 Đồ thị hàm số y = 1 1x x+ + gồm đoạn thẳng AB , tia AC và tia BD . *Đồ thị của hàm số y = m là một đờng thẳng song hoặc trùng với trục hoành. f(x)=-2x f(x)=2 f(x)=2x f(x)=1 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y A B C D y = m Nhìn trên hình vẽ ta thấy : - Nếu m < 2 thì hai đồ thị không cắt nhau , do đó phơng trình vô nghiệm - Nếu m = 2 thì hai đồ thị có chung đoạn thẳng AB , do đó phơng trình có vô số nghiệm -1 x 1. - Nếu m > 2 thì hai đồ thị có hai giao điểm , do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt . Ví dụ 4 : Với giá trị nào của tham số a , phơng trình sau có nghiệm duy nhất 2 1x a + = 3x + (1) Giải Phơng trình (1) <=> 2x a = 3x + - 1 Đặt y = 2x a và y = 3x + - 1.Vẽ đồ thị hai hàm số y = 2x a và y = 3x + - 1 trên cùng một hệ trục tọa độ. 2x a nếu x 2 a Ta có y = 2x a = -2x + a nếu x 2 a x + 2 nếu x - 3 y = 3x + - 1 = - x 4 nếu x -3 f(x)=2x + 1 f(x)=-2x - 1 f(x)=x + 2 f(x)=-x - 4 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y * Nếu 2 a < -4 hoặc 2 a > -2 <=> a < -8 hoặc a > - 4 thì hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt => phơng trình có hai nghiệm phân biệt . * Nếu -4 < 2 a < -2 <=> -8 < a < -4 thì hai đồ thị không cắt nhau => phơng trình vô nghiệm . Phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hai đồ thị trên có điểm chung duy nhất . Điều này xảy ra khi và chỉ khi 2 a = - 4 hoặc 2 a = - 2 <=> a = -8 hoặc a = -4 Vậy với a = -8 hoặc a = -4 thì phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất . Bài tập tơng tự 1 . Dùng đồ thị để : a) Giải phơng trình : 2 x = - x + 3 b) Chứng minh phơng trình x = x - 2 vô nghiệm . 2 . Biện luận số nghiệm của phơng trình bằng đồ thị a) 1 1 1 2 x x+ + = m ( m là tham số ) b) x 2 -4 x + 1 = k ( k là tham số ) 3 . Dùng đồ thị để giải phơng trình và bất phơng trình a) x 2 x 2 = 0 b) x 2 x 2 < 0 Dạng 3 : Chứng minh bất đẳng thức Ví dụ 5 : Cho hàm số y = f(x) nghịch biến trong khoảng (0 ; 1) , biết f( 2 2 ) = 0 . Chứng minh rằng ( 3 2) 0f > và f ( 2 2 3 ) < 0. Giải Ta có 2 2 (0 ;1) ; 3 2 (0 ;1) ; 2 2 3 (0 ;1) 2 2 = 1 2 , 3 2 = 1 3 2+ , 2 2 3 = 2 2 3 Hàm số f(x) nghịch biến trong khoảng (0 ;1) Vì 3 2+ > 2 nên 1 3 2+ < 1 2 hay 3 2 < 2 2 suy ra f( 3 2 ) > f( 2 2 ) hay f( 3 2 ) > 0 Vì 4 2 6 > 3 2 6 => 2 2 3 > 2 2 hay 2 2 3 > 2 2 suy ra f( 2 2 3 ) < f( 2 2 ) hay f( 2 2 3 ) < 0 . Ví dụ 6 : Cho hàm số y = f(x) = ( m 2 + m + 1)x 2 . Chứng minh rằng với mọi m thì f( 3 2 ) < f( 2 1 ) Giải : Ta có m 2 + m + 1 = m 2 + m + 1 4 + 3 4 = ( m + 1 2 ) 2 + 3 4 > 0 m Suy ra hàm số y = f(x) = ( m 2 + m + 1)x 2 đồng biến khi x > 0 ( 3 2 )( 3 2+ ) = 1 => 3 2 = 1 3 2+ ( 2 1 )( 2 1+ ) = 1 => 2 1 = 1 2 1+ Vì 3 2+ > 2 1+ nên 1 3 2+ < 1 2 1+ hay 3 2 < 2 1 Do 0< 3 2 < 2 1 và hàm số y= f(x) = (m 2 + m + 1)x 2 đồng biến khi x > 0 nên f( 3 2 ) < f( 2 1 ) . Bài tập tơng tự 1) Cho hàm số y= f(x) = (- m 2 - m - 1)x 2 . Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì f( 2008 2007 ) > f( 2007 2006 ) . Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức Ví dụ 7 : Cho phơng trình bậc hai x 2 + 2(m 2)x 2m + 7 = 0. Gọi x 1 ,x 2 là các nghiệm của phơng trình , tìm giá tri nhỏ nhất của biểu thức x 1 2 + x 2 2 . Giải : = ( m -2) 2 + 2m 7 = (m 3)(m + 1) Để phơng trình có nghiệm thì 0 hay (m 3)(m + 1) 0 <=> m -1 hoặc m 3 . Theo định lí Vi-ét ta có : x 1 + x 2 = -2( m 2) x 1 . x 2 = -2m + 7 Do đó x 1 2 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 2 x 1 . x 2 = [- 2(m 2)] 2 - 2(- 2m + 7) = 4m 2 12m + 2 Ta cần tìm min(4m 2 12m + 2) với m -1 hoặc m 3 . Đặt f(m) = 4m 2 12m + 2 Ta có f(m) = 4m 2 12m + 2 = (2m 3) 2 7 -7 Dấu = xảy ra khi 2m 3 = 0 <=> m = 1,5 ( không thỏa mãn điều kiện trên ) Vẽ đồ thị hàm số f(m) = 4m 2 12m + 2 . Nhìn trên hình vẽ ta thấy Với m = 3 ta có f(3) = 2 Với m = - 1 ta có f(-1) = 18 f(x)=4*x^2-12*x+2 Series 1 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y Do đó hàm số f(m) = 4m 2 12m + 2 với m -1 hoặc m 3 có giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi m = 3 Vậy min (x 1 2 + x 2 2 ) = 2 khi m = 3. Ví dụ 8 : Giả sử ( x;y) là nghiệm của hệ phơng trình x + y = 2a 1 ( I ) x 2 + y 2 = a 2 + 2a - 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x.y Giải : Ta có x 2 + y 2 = a 2 + 2a 3 <=> (x+y) 2 2xy = a 2 + 2a 3 <=> ( 2a 1) 2 2xy = a 2 + 2a 3 <=> xy = 3 2 a 2 3a + 2 x + y = 2a 1 Hệ phơng trình (I) <=> xy = 3 2 a 2 3a + 2 Suy ra x , y là hai nghiệm của phơng trình : X 2 ( 2a 1)X + 3 2 a 2 3a + 2 = 0 (1) Phơng trình (1) có nghiệm khi 0 hay -2a 2 + 8a 7 0 <=> 4 2 4 2 2 2 a + Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(a) = 3 2 a 2 3a + 2 với 4 2 4 2 2 2 a + (2) Ta có f(a) = 3 2 (a- 1) 2 + 1 2 Xét hàm số g(a) = 3 2 (a- 1) 2 đồng biến khi a 1 > 0 Từ (2) => a- 1 2 2 2 > 0 . Do đó g(a) = 3 2 (a- 1) 2 3 2 ( 2 2 2 ) 2 Suy ra f(a) 3 2 ( 2 2 2 ) 2 + 1 2 = 11 6 2 4 Dấu = xảy ra khi a 1 = 2 2 2 <=> a = 4 2 2 Vậy min ( xy ) = 11 6 2 4 khi a = 4 2 2 Bài tập tơng tự Bài 1 : Giả sử ( x;y) là nghiệm của hệ phơng trình x + y = a + 1 x 2 + y 2 = 2a 2 - 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x.y Bài 2 : Gọi x 1 , x 2 là các nghiệm của phơng trình x 2 + 2(m 2)x 3m + 10 = 0 Tìm m để x 1 2 + x 2 2 có giá trị nhỏ nhất . Bài 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 1 1 1 2 x x+ + III. Kết luận Việc sử dụng đồ thị hàm số và tính biến thiên của hàm số vào việc giải các bài toán đại số gặp rất nhiều thuận lợi và nó có thể giải quyết đợc nhiều bài toán khó . Trong quá trình giảng dạy, tôi đã áp dụng với nhiều đối tợng học sinh , đặc biệt là đối tợng học sinh giỏi và thấy đa số học sinh vận dụng tốt vào giải toán . Do trong khuôn khổ của một chuyên đề , tôi không thể trình bày hết đợc các dạng toán sử dụng hàm số để giải .Trong quá trình thực hiện không tránh khỏi những sai sót ,kính mong đợc sự đóng góp ý kiến , chỉ bảo của quý thày cô và các . Sáng kiến Sử dụng đồ thị hàm số và tính biến thiên của hàm số để giải toán I . Đặt vấn đề Khái niệm tơng quan hàm số là một vấn đề. khi sử dụng tơng quan hàm số thì việc giải bài toán đó dễ dàng hơn . Sau đây tôi xin trình bầy một vài ứng dụng của đồ thị hàm số và tính biến thiên của hàm