ÔN LUYỆN TRƯỚC KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA Môn: TOÁN BÀI 04 Bài 04: Cực trị bậc Bài tập tự luyện Bài toán 1: Tìm tham số m để đồ thị thàm số y  x4  2m2 x2  có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông cân Bài giải: Tập xác định: D  x  ; y '  4x  4m 2x ; y '     Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị phương trình *  có nghiệm phân biệt khác 2 x  m *  m2   m  Khi đó, đồ thị hàm số có điểm cực trị là: A  0;1 ; B m;1  m  ;C  m;1  m  Nhận xét: Do A  0;1  Oy , B m;1  m  C  m;1  m  đối xứng với qua Oy nên ABC tam giác cân A Vậy ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông cân, điều tương đương với ABC vuông A Gọi M  0;1  m  trung điểm BC Tam giác ABC vuông A  BC  2AM Ta có: AM    0  1  m  1  m ; BC  m   m   1  m  1  m  4 2m BC  2AM  m  2m  m  1 ( Do: m  )  m  1 ( Thỏa mãn ) Kết luận: Vậy m  1 để đồ thị thàm số có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông cân Bài toán 2: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  (3m  1)x2  có ba điểm cực trị tạo thành tam giác cân cho độ dài cạnh đáy lần độ dài cạnh bên Bài giải: x  Tập xác định: D  ; y '  4x   3m  1 x ; y '     x2    3m  *  Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị phương trình *  có nghiệm phân biệt khác  3m  1 0m  Khi đó, đồ thị hàm số có điểm cực trị là:    3m  3m  A 0; 3 ; B   ;          3m  3m    ;C    ;         3           3m  3m  3m  3m    Nhận xét: Do A 0; 3  Oy , B   ;  C    ;   4       đối xứng với qua Oy nên ABC tam giác cân A   Mà yêu cầu toán: độ dài cạnh đáy 3m  Ta có: BC   ; AB          2 lần độ dài cạnh bên nên: BC  AB 3      3m  16  3m  1 3m   BC  AB   3   3m  1  3m  1  3m   3m     16        3m  3m  1     3m  1 16  5 TM m   m   L     3m  16     5 để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác cân cho độ dài cạnh đáy lần độ dài cạnh bên Kết luận: Vậy m  Bài toán 3: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2(m  2)x2  m2  5m  có cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác Bài giải: Tập xác định: D  x  ; y '  4x  m   x ; y '     x2   m *  Để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình *  có nghiệm phân biệt khác  m   m  Khi đó, đồ thị hàm số có điểm cực trị là:    A 0;m2  5m  ; B Nhận xét: Do A  0;m2  5m    Oy , B     m ;1  m ;C   m ;1  m  m ;1  m     C   m ;1  m đối xứng với qua Oy nên ABC tam giác cân A Yêu cầu toán: ABC tam giác  AB  BC ( Do: ABC cân A ) Ta có: AB  m  8m  24m  33m  18 ; BC  2  m AB  BC  m  8m  24m  33m  18  2  m  m  8m  24m  29m  10        m  m  6m  12m    m   m           m  L   m    3  m   3 ( Thỏa mãn )  m   3   Kết luận: Vậy m   3 để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác Bài toán 4: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2mx2  m2  m có ba điểm cực trị ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 120o Bài giải: Tập xác định: D  x  ; y '  4x  4mx ; y '     Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị phương trình *  có nghiệm phân biệt khác x  m *  m   m  Khi đó, đồ thị hàm số có điểm cực trị là: A  0;m2  m  ; B Nhận xét: Do A  0;m2  m   Oy , B        m ; m ;C  m ; m  m ; m C  m ; m đối xứng với qua Oy nên ABC tam giác cân A Yêu cầu toán: Tam giác có góc 120  BAC  120 ( Do ABC cân A )  cosBAC  cos120   Ta có: AB     m ; m ; AC   m ; m m m Vậy nên: AB.AC   2 AB AC m4  m   m 1   m   m   3 ( Thỏa mãn điều kiện ) m 1   Kết luận: Vậy: m   3 để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 120o Bài toán 5: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2mx2  2m  m4 có cực đại, cực tiểu mà cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác có diện tích Bài giải: Tập xác định: D  x  ; y '  4x  4mx ; y '     Để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình *  có nghiệm phân biệt khác x  m * m 0 Khi đó, đồ thị hàm số có điểm cực trị là:    A 0; m4  2m ; B Nhận xét: Do A  0;m4  2m   Oy , B     2m  C   m ;m  m  2m  đối xứng m ; m4  m  2m ;C  m ; m4  m  2m  m ; m4  m với qua Oy nên ABC tam giác cân A Gọi M  0;m4  m  2m  trung điểm cạnh BC Do ABC cân A nên SABC  AM BC  1 2 Mà: AM  m ; BC  m  m m   m   m  ( Thỏa mãn ) Kết luận: Vậy m  để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu mà cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác có diện tích Bài toán 6: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  2x4  m2 x2  m2  có ba điểm cực trị A, B, C cho bốn điểm O, A, B, C bốn đỉnh hình thoi Bài giải: x  Tập xác định: D  ; y '  8x  2m 2x ; y '    m2 x2  *   Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị phương trình *  có nghiệm phân biệt khác  m2 0m 0 Khi đó, đồ thị hàm số có điểm cực trị là:  m m4   m m  A 0; m2  ; B  ;   m   ;C  ;  m   8 2    4     m m m m Nhận xét: Do A 0;m2   Oy , B  ;   m   C  ;  m   đối xứng với 8 2    qua Oy nên ABC tam giác cân A    m4    Gọi M   0;   m   trung điểm cạnh BC   O, A, B,C bốn đỉnh hình thoi  M trung điểm đoạn thẳng OA  x A  xO x M  m4 m2     m2    m  4m    m   m   y  y O y  A  M Kết luận: Vậy m   để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A, B, C cho bốn điểm O, A, B, C bốn đỉnh hình thoi Bài toán 7: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x  ( m  1)x  m  có điểm cực đại A, hai  5   điểm cực tiểu B C cho tứ giác ABIC hình thoi với I  0;   Đáp án: m  Bài toán 8: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2m2 x2  m4  có ba điểm cực trị A, B, C cho bốn điểm A, B, C, O nằm đường tròn Đáp án: m  1 Bài toán 9: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2mx2  m có ba điểm cực trị A, B, C, cho đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính Đáp án: m  1; m  1 Bài toán 10: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2(m  1)x2  m có ba điểm cực trị A, B, C cho độ dài OA  BC với A cực trị thuộc trục tung Đáp án: m   2