ÔN LUYỆN TRƯỚC KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA Môn: TOÁN BÀI 02+03 Bài 02+03: Cực trị hàm số bậc ( Tự luận) Bài tập tự luyện Đáp án chi tiết Bài toán 1: Cho hàm số: y  x  m  1 x  9x  m Tìm m để hàm số cho đạt cực trị x ; x cho: x  x  Bài giải: ; y '  3x  m  1 x  Tập xác định: D  Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x ; x  phương trình y '  có nghiệm phân biệt x ; x m  1    'y '   m   27   m  2m     m  1      Khi đó, hàm số cho có điểm cực trị: A x1; y1  B x ; y2  ( x ; x nghiệm phương trình y '  ) x  x  m  1 Theo định lý Vi-et, ta có:  x x    Khi đó: x  x    x  x   4x x   m  1  12   m  1   3  m  2  2 Kết luận: Từ 1   suy giá trị cần tìm là: m  3; 1    1  3;1     Bài toán 2: Cho hàm số: y    x  m  x  m  4m  x , với m tham số thực   Gọi điểm cực trị x ; x Tìm Max biểu thức: A  x1.x  x1  x  Bài giải:  Tập xác định: D   ; y '  2x  m  x  m  4m  Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x ; x  phương trình y '  có nghiệm phân biệt x ; x       'y '   m   m  4m    m  6m    5  m  1 Khi đó, hàm số cho có điểm cực trị: A x1; y1  B x ; y2  ( x ; x nghiệm phương trình y '  )   x  x   m   m  4m  x x   Theo định lý Vi-et, ta có:   Ta có:   A  x1.x  x1  x  ( Do: 5  m  1  A m  4m  1  m   m  8m   m  m 1   m  m 1 2 2        1 m 7 m 1   m  m 1 ) 2         1 9  m  8m  16   9  m         2 2   Dấu xảy khi: m  4 Kết luận: Vậy MaxA=  m  4 Bài toán 3: Tìm m để hàm số: y  m   x  3x  mx  , với m tham số thực Tìm giá trị m để điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số cho có hoành độ số dương Bài giải: Các điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số cho có hoành độ số dương  Phương trình y '  m    6x  m  có nghiệm dương phân biệt   a  m     '   3m m    m  P   0 m 2   S  3   m 2      '  m  2m     m  m    3  m    3  m  2 m  m  2  Kết luận: Vậy m   3; 2  để điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số cho có hoành độ số dương Bài toán 4: Cho hàm số: y  x  3x  mx  , với m tham số thực Xác định m để đồ thị hàm số có điểm cực đại cực tiểu cách đường thẳng y  x  Bài giải: Tập xác định: D  ; y '  3x  6x  m Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x ; x  phương trình y '  có nghiệm phân biệt x ; x     'y '    3m   m  3 * Khi đó, hàm số cho có điểm cực trị: A x1; y1  B x ; y2  ( x ; x nghiệm phương trình y '  ) Thiện phép chia y cho y ' ta được: 1  2m    2m    2m   1 m m m y   x   y '    x      y1  y x      x     ; y2      x2     3 3 3 3 3           2m   m  Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là:  : y      x2     3      Các điểm cực trị cách đường thẳng y  x   xảy trường hợp sau: Trường hợp 1: Đường thẳng qua điểm cực trị song song trùng vơi đường thẳng  2m   2   m   ( Thỏa mãn ) y  x 1      Trường hợp 2: Trung điểm I AB nằm đường thẳng: y  x   yI  x I   y1  y 2  x1  x 2  2m   m 1     x1  x      x1  x  3         2m  2m      m 0    3 2 Kết luận: Vậy giá trị cần tìm m là: m  0;    Bài toán 5: Cho hàm số: y  x  3x  mx  , với m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số cho có điểm cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực trị song song với đường thẳng d : y  4x  Bài giải: Tập xác định: D  ; y '  3x  6x  m Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x ; x  phương trình y '  có nghiệm phân biệt x ; x   'y '    3m   m  3 Khi đó, hàm số cho có điểm cực trị: A x1; y1  B x ; y2  ( x ; x nghiệm phương trình y '  ) Thiện phép chia y cho y ' ta được: 1  2m    2m    2m   1 m m m y   x   y '    x      y1  y x      x     ; y2      x2     3 3 3 3 3           2m   m  Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là:  : y      x2     3      Đường thẳng qua điểm cực trị song song với d : y  4x    2m     4        m  ( Thỏa mãn)   m      3 Kết luận: Vậy m  để đồ thị hàm số cho có điểm cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực trị song song với đường thẳng d : y  4x  Bài toán 6: Cho hàm số: y  x  3x  mx  , với m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực trị tạo với đường thẳng d : x  4y   góc 45 Bài giải: Tập xác định: D  ; y '  3x  6x  m Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x ; x  phương trình y '  có nghiệm phân biệt x ; x    'y '    3m   m  3 * Khi đó, hàm số cho có điểm cực trị: A x1; y1  B x ; y2  ( x ; x nghiệm phương trình y '  ) Thiện phép chia y cho y ' ta được: 1  2m    2m    2m   1 m m m y   x   y '    x      y1  y x      x     ; y2      x2     3 3 3 3 3           2m   m  Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là:  : y      x2     3       2m    Đường thẳng d : x  4y   có hệ số góc    Đặt: k       1 39 k   1 k k  m     4  10  Ta có: tan 45  1 1    k   1  k k  m 1 k  4   k Kết hợp điều kiện *  , suy giá trị cần tìm m là: m   để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực trị tạo với đường thẳng d : x  4y   góc 45 Kết luận: Vậy m   Chú ý: Nếu k1; k2 theo thứ tự hệ số góc d1;d2 Gọi  góc hai đường thẳng d1;d2 Khi ta có công thức sau: tan   k1  k2  k1 k2 ( Điều kiện: d1 KHÔNG vuông góc với d ) Bài toán 7: Tìm m để hàm số: y  x  mx  m  m  1 x  đạt cực tiểu x  Bài giải: Tập xác định: D  ; y '  x  2mx  m  m  1; y ''  2x  2m    m  3m    m   m  ( Vô nghiệm )   m 1  2m  y ''          y '  Hàm số đạt cực tiểu x  khi:  Kết luận: Vậy không tồn giá trị m để hàm số đạt cực tiểu x  Bài toán 8: Tìm m để hàm số: y  m   x  3x  mx  có cực đại cực tiểu Bài giải: Hàm số có cực đại cực tiểu  y '  x  đổi dấu lần    Phương trình y ' x  có hai nghiệm phân biệt    m  x  6x  m  có hai nghiệm phân biệt m      '  3m  6m    m  2   m  2m   m  2  3  m  Kết luận: Vậy m   3; 1  \ 2 để hàm số tồn điểm cực trị Bài toán 9: Cho hàm số: y  x  3x  mx  m  C m  , với m tham số thực Xác định m để đồ thị hàm số có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục hoành Bài giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm C m  trục hoành: x  1 x  3x  mx  m     x  2x  m     C  có điểm cực trị nằm phía trục hoành m    Phương trình có nghiệm phân biệt  có nghiệm phân biệt khác 1   '   m   m3 g 1  m     Kết luận: Vậy m  để đồ thị hàm số có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục hoành Bài toán 10: Cho hàm số: y  x  3x  m * Xác định m để đồ thị hàm số *  có hai điểm cực trị A; B cho AOB  120 Bài giải: x  2  y  m  Tập xác định: D  ; y '  3x  6x  y '    x 0y m  Vậy hàm số có hai điểm cực trị: A  0; m  B  2; m       OA  0; m ;OB  2; m  Để AOB  120 c osAOB     m m4    m   m       4  m   m   m    2m m    3m  24m  44           4  m  12    (Thỏa mãn) 12   m  m   Kết luận: Vậy m  12  để đồ thị hàm số * có hai điểm cực trị A; B cho AOB  120  Bài toán 11: Cho hàm số: y  x  3mx   m2  1 m  m3  m  *  , với m tham số thực  Tìm m để hàm số * có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O Bài giải: Tập xác định: D   ; y '  3x  6mx  m   Hàm số *  có cực trị phương trình y '  có nghiệm phân biệt  x  2mx  m   có nghiệm phân biệt     0, m Khi đ: Điểm cực đại: A m  1;2  2m  điểm cực tiểu B m  1; 2  2m  Ta có: OA  2OB  m2  6m    m  3  2 ( Thỏa mãn ) Kết luận: Vậy m  3  2 để hàm số  *  có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O đến gốc tọa độ O lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số Bài toán 12: Cho hàm số: y  x  3x  1  m  x   3m C m  Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu, đồng thời điểm cực đại cực tiểu với gốc tọa độ O tạo thành tam giác có diện tích Bài giải: Tập xác định: D   ; y '  x  2x   m  Hàm số *  có cực trị phương trình y '  có nghiệm phân biệt     m  * Khi đó, hàm số cho có điểm cực trị: A x1; y1  B x ; y2  ( x ; x nghiệm phương trình y '  ) Thiện phép chia y cho y ' ta phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là:  : y  2mx  2m   y1  2mx1  2m  2; y2  2mx  2m    Ta có: AB  x  x1;2m x1  x   AB  x  x1    4m x  x1   x  x1 4m  Gọi H hình chiếu vuông góc O lên  AB  , h khoảng cách từ O đến AB thì: h  2m  1  S  AB.h  x  x1 2 4m  Theo giả thiết:  4m  2m  4m   x  x1 m  m m   m m    m m  1     4  m  2m2  m    m  m  3m    m  ( Thỏa mãn ) Kết luận: Vậy m  để hàm số có cực đại, cực tiểu, đồng thời điểm cực đại cực tiểu với gốc tọa độ O tạo thành tam giác có diện tích