hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán ⇔ Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong §1 Tiếp tuyến điểm tiếp tuyến qua điểm A Tóm tắt lý thuyết Cho Tiếp tuyến điểm Tiếp tuyến với đường thẳng Ta cũng nói rằng hoặc tiếp xúc với hay tiếp xúc , tiếp xúc Chú ý Khi nói đến tiếp tuyến tiếp xúc Tiếp tuyến qua điểm Tiếp tuyến qua , ta phải hiểu rằng tiếp tuyến với thuộc hoặc không, trường hợp thuộc (xem các hình vẽ ở dưới) Tiếp tuyến tiếp xúc một điểm thì thuộc đó Điểm nơi xảy có thể lại có thể tiếp điểm hoặc không hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong Bài toán Viết phương trình tiếp tuyến qua Phương pháp giải B1 Viết phương trình tiếp tuyến điểm có hoành độ : B2 qua B3 Thay B Các Giải phương trình để tìm tìm được ở bước vào phương trình , ta được một tiếp tuyến qua ví dụ Ví dụ Cho Viết phương trình tiếp tuyến điểm có hoành độ bằng Giải Ta có Lần lượt thay vào các biểu thức Suy phương trình tiếp tuyến với , ta được là: Chú ý Ta có thể dùng ký hiệu đến một hàm số Ví dụ Cho điểm thay cho trường hợp toán đề cập Viết phương trình các tiếp tuyến với trục hoành Giải Từ phương trình , cho ta được: Tiếp tuyến tiếp xúc giao hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Suy Phạm Hồng Phong có hai giao điểm với trục hoành Từ suy các điểm , , Do đó phương trình tiếp tuyến với lần lượt là: , Ví dụ [ĐHB08] Cho Viết phương trình các tiếp tuyến qua điểm Giải Phương trình tiếp tuyến điểm có hoành độ là: Điều kiện qua tương đương với hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán ⇒ • • Vậy phương trình các tiếp tuyến qua điểm C Bài tập Bài Viết phương trình tiếp tuyến Tiếp tuyến tiếp xúc biết rằng: , hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong 1) đồ thị hàm số hoành độ tiếp điểm bằng 2) đồ thị hàm số tung độ tiếp điểm bằng 3) đồ thị hàm số tiếp điểm giao điểm 4) đồ thị hàm số 5) đồ thị hàm số tiếp tuyến qua với trục tung; ; Tìm điểm thuộc mà tiếp tuyến đó qua dẫn đáp số Bài 1 ;5 ; tiếp tuyến qua Bài Cho gốc tọa độ D Hướng ; ; , Tiếp tuyến tiếp xúc , Bài ; ; , , hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong §2 Điều kiện tồn tiếp tuyến A Tóm tắt lý thuyết Xét toán sau Bài toán Cho đồ thị hàm số thỏa mãn một điều kiện đó Tìm điều kiện tham số để Phương pháp giải B1 Viết phương trình tiếp tuyến điểm có hoành độ có tiếp tuyến : B2 Áp điều kiện toán lên đường thẳng để nhận được một phương trình ẩn tuyến tồn lại phương trình có nghiệm B Các Tiếp ví dụ Ví dụ Cho Chứng minh qua điểm không tồn tiếp tuyến Giải Xét tiếp tuyến điểm có hoành độ qua nghĩa Vậy không tồn để qua Ví dụ Cho Giải Phương trình tiếp tuyến với Nói cách khác qua Tìm để không có tiếp tuyến có tiếp tuyến qua điểm có hoành độ là: Tiếp tuyến tiếp xúc hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương có tiếp tuyến qua Phạm Hồng Phong phương trình sau có nghiệm đối với : Ta có ( Do đó ) có nghiệm Vậy có tiếp tuyến qua Ví dụ Cho Tìm đường thẳng các điểm mà qua đó có tiếp tuyến Giải Phương trình tiếp tuyến điểm có hoành độ ( ) là: Điểm Qua nằm đường thẳng có tiếp tuyến tới tọa độ có dạng phương trình sau có nghiệm đối với Ta thấy Tiếp tuyến tiếp xúc : hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong Trường hợp Khi đó trở thành Trong trường hợp có nghiệm Trường hợp có nghiệm Khi đó trường hợp phương trình bậc hai có có nghiệm Do đó, có nghiệm, tức Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu toán Ví dụ [ĐHD02] Cho Giải Phương trình tiếp tuyến Tìm điểm có hoành độ để ( tiếp xúc với ) là: tiếp xúc với tồn cho hai đường thẳng hệ sau có nghiệm đối với Ta có Tiếp tuyến tiếp xúc trùng Tức hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong • vô nghiệm • : Thay vô nghiệm vào vế trái ta có một nghiệm tiếp xúc với Ví dụ Cho Với có nghiệm Vậy Tìm để đường thẳng tìm được, hoành độ tiếp điểm Giải Phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với điểm có hoành độ là: tiếp xúc với tồn cho trùng nhau, điều đó có nghĩa hệ sau có nghiệm đối với Thay Vậy tiếp xúc với Tiếp tuyến tiếp xúc vào ta có Khi đó hoành độ tiếp điểm hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương C Bài Phạm Hồng Phong tập Bài Cho Chứng minh rằng qua , không tồn tiếp tuyến Bài Tìm cho đồ thị hàm số Bài Cho có tiếp tuyến qua điểm 1) Tìm trục tung điểm mà qua đó có thể kẻ được tiếp tuyến tới 2) Tìm điểm đường thẳng D Hướng ; mà qua đó có thể kẻ được tiếp tuyến tới dẫn đáp số Bài Những điểm cần tìm có dạng Bài tìm có dạng với với ; Những điểm cần §3 Hệ số góc tiếp tuyến A Giới thiệu Ta biết rằng hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hoành độ Trong học này, chúng ta quan tâm nhiều đến hệ số góc tiếp tuyến B Các ví dụ Ví dụ Cho Viết phương trình các tiếp tuyến có hệ số góc bằng Giải Ta có Ta có , Suy các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán là: , Tiếp tuyến tiếp xúc hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Ví dụ Cho Phạm Hồng Phong Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ Giải Hệ số góc tiếp tuyến điểm có hoành độ là: Dấu “ ” xảy Ta có Do đó nhỏ bằng , đạt được , suy tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ là: Ví dụ [ĐHD10] Cho thẳng Giải Gọi Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường tiếp tuyến với điểm có hoành độ có hệ số góc Vậy tiếp tuyến vuông góc với Chú ý (Vị trí tương đối góc hai đường thẳng có phương trình dạng hệ số góc) Cho Ta có: • ; • ; • ; 10 Tiếp tuyến tiếp xúc hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương C Bài Phạm Hồng Phong tập Bài Viết phương trình tiếp tuyến 1) đồ thị hàm số 2) đồ thị hàm số biết , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ , tiếp tuyến có hệ số góc lớn Bài Cho Tìm đồ thị Viết phương trình các tiếp tuyến đó Bài Viết phương trình tiếp tuyến 1) [ĐHB06] để hệ số góc tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ biết rằng đồ thị hàm số tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 2) đồ thị hàm số 3) đồ thị hàm số góc tiếp tuyến song song với đường thẳng tiếp tuyến tạo với đường thẳng Bài Tìm tất các điểm đồ thị vuông góc với đường thẳng hàm số Tìm điều kiện tuyến vuông góc với đường thẳng Bài 1 mà tiếp tuyến đó Bài Cho D Hướng để có tiếp dẫn đáp số ; thì tiếp tuyến 12 Tiếp tuyến tiếp xúc Bài , Bài thì tiếp tuyến , , ; hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Bài , hoặc 13 Tiếp tuyến tiếp xúc Phạm Hồng Phong , hoctoancapba.com , Bài hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong §4 Một số tính chất hình học tiếp tuyến A Tóm tắt lý thuyết Phần sử dụng một số kiến thức sau: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho điểm đến : đường thẳng Ta có công thức tính khoảng cách từ Giao điểm hai đường thẳng Tọa độ giao điểm hai đường thẳng nghiệm hệ gồm các phương trình đường thẳng B Một số ví dụ Ví dụ Cho với góc Viết phương trình các tiếp tuyến biết tiếp tuyến tạo Giải Hệ số góc tiếp tuyến điểm có hoành độ là: Ta có • +) +) 14 Tiếp tuyến tiếp xúc hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong • +) +) Các tiếp tuyến tạo với Ví dụ Cho góc là: , , , Viết phương trình tiếp tuyến một khoảng bằng Giải Phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến cách điểm có hoành độ ( ) là: Do đó: 15 Tiếp tuyến tiếp xúc hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong • • • • Vậy có bốn tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán là: , , , Ví dụ Cho điểm Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến cách đều các Giải Phương trình tiếp tuyến điểm có hoành độ ( cách đều các điểm 16 Tiếp tuyến tiếp xúc và khi: ) là: hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong • • Vậy phương trình các tiếp tuyến cách đều Ví dụ Cho tiếp tuyến Giải Giả sử Tìm tọa độ điểm , cho khoảng cách từ điểm tới đạt giá trị lớn hoành độ tiếp tuyến có phương trình: 17 Tiếp tuyến tiếp xúc hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong Theo bất đẳng thức Cô-si: , suy Đẳng thức xảy Vậy khoảng cách lớn bằng , đạt được hoặc Ví dụ [ĐHD07] Cho cắt hai trục , Giải Ta có với , Xét điểm Tìm tọa độ điểm thuộc cho tam giác có diện tích bằng , có hoành độ biết tiếp tuyến Ta có phương trình tiếp tuyến : hoctoancapba.com , Ta có , 18 Tiếp tuyến tiếp xúc hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong C Bài tập Bài Cho Tìm hoành độ bằng để tiếp tuyến tạo với một góc có cô-sin bằng Bài Cho Viết phương trình tiếp tuyến một khoảng bằng Bài Cho các điểm có biết tiếp tuyến cách Viết phương trình tiếp tuyến biết khoảng cách từ điểm tới tiếp tuyến đạt giá trị lớn Bài [ĐHA09] Cho Viết phương trình tiếp tuyến các trục tọa độ các điểm , Bài Cho Viết phương trình tiếp tuyến tọa độ các điểm , Bài Cho trục tọa độ D Hướng cho tam giác cân cho trung trực đoạn thẳng biết tiếp tuyến cắt các trục qua gốc tọa độ Viết phương trình tiếp tuyến , lần lượt hai điểm dẫn đáp số 19 Tiếp tuyến tiếp xúc , biết tiếp tuyến cắt phân biệt cho biết rằng tiếp tuyến cắt các hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Bài hoặc Bài Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán là: , cầu toán là: toán Phạm Hồng Phong , , , Bài Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu Bài Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu Bài Các tiếp tuyến thõa mãn yêu cầu toán Bài Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán 20 Tiếp tuyến tiếp xúc , hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong §5 Điều kiện tiếp xúc A Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa (Hình 1) Cho tiếp xúc với điểm • một điểm chung ; • Tiếp tuyến hai đường cong trùng Điểm được gọi gọi tiếp điểm hai đường cong cho Điều kiện tiếp xúc Để xét tiếp xúc hai đồ thị hàm số , ta xét hệ: Ta có: • • Nghiệm • tiếp xúc hệ tiếp tuyến chung là: điểm có hoành độ Hệ Đường thẳng B Một ; hoành độ tiếp điểm; hoành độ tiếp điểm hệ có nghiệm đối với tiếp tuyến đồ thị hàm số có nghiệm đối với số ví dụ 21 Tiếp tuyến tiếp xúc hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong Ví dụ [SGKNC] Cho tiếp xúc viết phương trình tiếp tuyến chung Giải Ký hiệu Chứng minh Xét hệ: Ta có Vậy tiếp xúc điểm có hoành độ bằng phương trình tiếp tuyến chung là: hay Ví dụ [SGK] Chứng minh rằng đường thẳng ( tiếp tuyến parabol ) phương trình có nghiệm kép Giải Ta có ( Do đó: ) có nghiệm kép Đường thẳng parabol cho tiếp xúc hệ sau có nghiệm đối với 22 Tiếp tuyến tiếp xúc hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong Ta có có nghiệm nghiệm có nghiệm kép (ĐPCM) hoctoancapba.com Ví dụ [SGKNC] Viết phương trình đường thẳng qua điểm tiếp xúc với parabol Giải Phương trình đường thẳng qua có hệ số góc có dạng Xét phương trình hay tiếp xúc với parabol cho ( ) có nghiệm kép • • Vậy qua điểm có hai đường thẳng tiếp xúc với parabol là: Ví dụ [ĐHB08] Cho Viết phương trình các tiếp tuyến qua điểm Giải Đường thẳng qua tiếp tuyến 23 Tiếp tuyến tiếp xúc , hệ số góc có phương trình dạng hệ sau có nghiệm hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong Thế vào ta có: Do đó: có nghiệm • Thay • Thay vào vào nghiệm hoặc ta có ta có Ví dụ [ĐHD02] Cho tiếp xúc với Do đó có nghiệm 24 Tiếp tuyến tiếp xúc , Tìm hệ sau có nghiệm đối với Ta có Vậy phương trình các tiếp tuyến qua điểm Giải nghiệm để tiếp xúc với hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong Vậy C Bài tiếp xúc với tập Bài [SGK] Chứng minh các đồ thị sau tiếp xúc viết phương trình tiếp tuyến chung 1) 2) , 3) Bài [SGK] Chứng minh có hai tiếp tuyến parabol chúng vuông góc với Bài Viết phương trình tiếp tuyến qua , 1) đồ thị hàm số , 2) đồ thị các trường hợp sau: đồ thị hàm số Bài Chứng minh rằng qua qua điểm có hai tiếp tuyến vuông góc với đồ thị hàm số Bài Tìm D Hướng Bài 1 để đường thẳng tiếp xúc với đồ thị dẫn đáp số ; ; tiếp xúc hệ 25 Tiếp tuyến tiếp xúc Chú ý Ba đồ thị hàm số , có nghiệm đối với , Bài hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Đường thẳng qua minh tồn hai giá trị nghiệm kép Bài có hệ số góc có tích bằng , Chứng minh tồn hai giá trị có nghiệm Bài 26 Tiếp tuyến tiếp xúc Phạm Hồng Phong Ta chứng cho phương trình , có tích bằng ;2 cho hệ có , Bài