Thông tin tài liệu
1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II LÊ HƯƠNG GIANG VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA TOÁN TỬ VÀ ÁP DỤNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II LÊ HƯƠNG GIANG VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA TOÁN TỬ VÀ ÁP DỤNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Lê Dũng Mưu HÀ NỘI, 2016 3 LỜI CẢM ƠN Trong quá trình học tập và thực hiện luận văn, tôi đã nhận được sự dạy bảo tận tình của các thầy cô giáo ở trường Đại học Sư phạm Hà nội II. Đặc biệt là sự chỉ bảo, hướng dẫn trực tiếp của GS. TSKH. Lê Dũng Mưu. Qua đây, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS. TSKH. Lê Dũng Mưu, các thầy cô giáo cùng các bạn đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn. Hà Nội, tháng 7 năm 2016 Tác giả Lê Hương Giang 4 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 7 năm 2016 Người cam đoan Lê Hương Giang 5 Mục Lục Trang phụ bìa 2 Lời cảm ơn 3 Lời cam đoan 4 Mục lục 5 Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt 6 Mở đầu 7 Nội dung 9 Chương Toán tử đơn điệu 9 § 1.1 Không gian Hilbert 9 1.1.1 Định nghĩa và ví dụ 9 1.1.2 Một số tính chất quan trọng 11 § 1.2 Toán tử đơn điệu 12 1.2.1 Tập lồi và hàm lồi 12 1.2.2 Toán tử đơn điệu 25 Kết luận chương 43 Chương Bất đẳng thức biến phân 44 § 2.1 Phát biểu bài toán bất đẳng thức biến phân 44 § 2.2 Sự tồn tại ngiệm của bài toán bất đẳng thức 45 biến phân đơn điệu Kết luận chương 54 Tài liệu tham khảo 55 6 Các ký hiệu danh mục từ viết tắt H - Không gian Hilbert. - Tập số thực a, b - Đoạn đóng của tập hợp số thực với các đầu mút a, b và a [...]... toàn tính đơn điệu) i Cho T : H 2 H là toán tử đơn điệu khi và chỉ khi T 1 : H 2 H là toán tử đơn điệu ii Nếu T1 ,T2 là các toán tử đơn điệu từ H 2 H và 1 , 2 0 thì 1 T1 2 T2 cũng là toán tử đơn điệu Đặc biệt, nếu T1 hoặc T2 là đơn điệu ngặt thì 1 T1 2 T2 cũng đơn điệu ngặt với 1 0, 2 0 iii Nếu T : H 2 H là toán tử đơn điệu và: A : H H là toán tử tuyến tính ( A là toán. .. Một toán tử đơn điệu đều có thể mở rộng thành toán tử đơn điệu cực đại nhờ có mệnh đề sau. Mệnh đề 1.13 Với mọi toán tử đơn điệu T : H 2 H luôn tồn tại toán tử đơn và T : H 2H sao cho gphT gphT được gọi là toán tử điệu cực đại T đơn điệu cực đại mở rộng của T Mệnh đề 1.14. Toán tử T : H 2 H là đơn điệu cực đại khi và chỉ khi với mọi a, b H H... T là toán tử đơn điệu cực đại. Ngược lại giả sử T là toán tử đơn điệu cực đại và 0 Đặt T T, khi đó T 1 T là toán tử đơn điệu cực đại. Định nghĩa 1.33 Cho toán tử đa trị S : H 2H S được gọi là toán tử tràn khi và chỉ khi với mỗi v H tồn tại x H thỏa mãn v S x Định lý 1.7 (Định lý Min-ty) Cho T : H 2H là toán tử đơn điệu và 0 Khi đó, T là toán tử đơn điệu cực... gph T Và suy ra b T a , từ đó ta có a, b gph T gphT Tức là gphT Vậy T là toán tử đơn điệu cực đại. Mệnh đề 1.15 Toán tử đa trị T : H 2 H là đơn điệu cực đại khi và chỉ khi T là toán tử đơn điệu cực đại 0 Chứng minh: Giả sử T là toán tử đơn điệu cực đại và 0, theo phép bảo toàn tính đơn điệu ta có ... iii Nếu T : H 2 H là toán tử đơn điệu và: A : H H là toán tử tuyến tính ( A là toán tử liên hợp của A ), b H thì S x A T(Ax b) cũng là toán tử đơn điệu Ngoài ra nếu A là đơn ánh và T là toán tử đơn điệu ngặt thì S là toán tử đơn điệu ngặt Chứng minh: i Theo định nghĩa, toán tử T là đơn điệu khi và chỉ khi u v, x y 0, x, y domT, u T x , v T y Hay ... thực sự của đồ thị của bất kỳ một toán tử đơn điệu nào khác Mệnh đề 1.12 Cho ánh xạ đơn trị A : H H là toán tử đơn điệu và liên tục Khi đó, A là toán tử đơn điệu cực đại Chứng minh: Giả sử x, u có tính chất u T y , x y 0, y ta phải chứng minh u T x Đặt y x v với 0, v H 33 Ta thấy u T x v , v 0 Do tính chất liên tục của T nên ... T y , x y : u v, x y 0 Nhận xét 1.2 - T là đơn điệu mạnh thì T cũng đơn điệu ngặt. - T là đơn điệu ngặt thì T cũng đơn điệu. - T là đơn điệu thì T cũng là giả đơn điệu. Ví dụ 1.11 Cho f : H f : H , hàm lồi, chính thường. Khi đó f là toán tử đơn điệu đa trị. Chứng minh: Lấy x, u và y, v dom f Khi đó, ta có ... là toán tử đơn điệu ngặt nên v1 u1 , Ay b Ax b 0 Suy ra v u, y x >0 Chứng tỏ S là đơn điệu ngặt. 1.2.2.3 Toán tử đơn điệu cực đại Định nghĩa 1.32. Toán tử đơn điệu T : H 2 H được gọi là đơn điệu cực đại nếu đồ thị của T... Do tính đơn điệu của T nên ta có v u, y x A v1 A u1 , y x = v1 u1 , Ay b (Ax b) 0 Vậy S là toán tử đơn điệu. Giả sử A là đơn ánh và T là toán tử đơn điệu ngặt. Khi đó, nếu x y thì Ax Ay kéo theo Ax b Ay b Giả sử u, v, u1 , v1 được lấy như trên, vì T là toán tử đơn điệu ngặt nên ... 2 v 2 Do T1 ,T2 là các toán tử đơn điệu nên ta có u1 v1 , x y 0 u 2 v 2 , x y 0 Nhân các bất đẳng thức trên lần lượt với 1 và 2 rồi cộng lại ta được u v, x y 0 Vậy 1T1 2 T2 là toán tử đơn điệu. Hiển nhiên khi T1 hoặc T2 là ngặt thì bất đẳng thức trên là ngặt. iii. Lấy x,
Ngày đăng: 21/10/2016, 10:58
Xem thêm: Về tính đơn điệu của toán tử và áp dụng trong bất đẳng thức biến phân, Về tính đơn điệu của toán tử và áp dụng trong bất đẳng thức biến phân