1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI KHOA CÔNG TRÌNH BỘ MÔN KẾT CẤU *** ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH Nguyễn Trung Kiên HÀ NỘI 01-2012 Mục lục Lời nói đầu 1 Khái niệm 1.1 Khái niệm động lực học công trình 1.2 Tải trọng động 1.2.1 Tải trọng có chu kỳ 1.2.2 Tải trọng chu kỳ 1.3 Bậc tự hệ dao động 1.4 Phân loại dao động 1.5 Phương pháp lập phương trình vi phân dao động 1.5.1 Phương pháp trực tiếp 1.5.2 Phương pháp công 1.5.3 Phương pháp lượng-Nguyên lý Hamilton 1.6 Mô hình hóa toán động lực học 1.6.1 Phương pháp khối lượng tập trung 1.6.2 Phương pháp chuyển vị tổng quát (phương pháp Rayleigh-Ritz) 10 1.6.3 Phương pháp phần tử hữu hạn 10 Dao động hệ bậc tự 2.1 Mô hình hệ dao động bậc tự 2.2 Phương trình vi phân dao động tổng quát 2.3 Phương pháp giải phương trình vi phân dao động 2.3.1 Phương pháp cổ điển 2.3.2 Tích phân Duhamel 2.3.3 Phương pháp biến đổi Fourier 2.3.4 Phương pháp số 2.4 Dao động tự hệ bậc tự 2.4.1 Dao động tự không lực cản 2.4.2 Dao động tự có lực cản 2.4.3 Độ suy giảm logarithme 2.5 Dao động hệ bậc tự chịu tác dụng tải trọng 2.6 Dao động cưỡng hệ bậc tự 2.6.1 Trường hợp lực cản 2.6.2 Trường hợp có lực cản i xung 13 13 13 14 14 14 15 15 15 16 19 23 24 25 26 31 ii MỤC LỤC Dao động hệ hữu hạn bậc tự 3.1 Mô hình hệ hữu hạn bậc tự 3.2 Phương trình vi phân dao động hệ hữu hạn bậc tự 3.3 Dao động tự hệ hữu hạn bậc tự 3.3.1 Ý nghĩa vật lý tần số dao động riêng dạng dao động riêng 3.3.2 Tần số dao động riêng 3.3.3 Dạng dao động riêng 3.3.4 Tính chất trực giao dạng dao động 3.3.5 Chuẩn hóa dạng dao động 3.3.6 Khai triển véc tơ chuyển vị theo dạng dao động 3.3.7 Phương trình dao động 3.4 Dao động tự hệ hữu hạn bậc tự có xét đến lực cản 3.4.1 Ma trận cản 3.4.2 Phương trình dao động 3.5 Dao động cưỡng hệ hữu hạn bậc tự 37 37 38 39 40 42 43 46 48 48 49 51 52 55 56 Hệ vô hạn bậc tự - Dao động thẳng 59 4.1 Phương trình vi phân dao động 59 4.2 Dao động tự thẳng 60 4.2.1 Phương trình dao động tự 60 4.2.2 Tính chất trực giao dạng dao động riêng 62 4.3 Dao động tự thẳng có khối lượng phân bố tiết diện không đổi 63 4.4 Dao động cưỡng thẳng có khối lượng phân bố tiết diện không đổi 68 4.5 Dao động cưỡng thẳng chịu tải trọng - Khai triển theo dạng dao động 69 Dao động hệ phức tạp 5.1 Phương pháp chuyển vị tính dao động khung 5.1.1 Dao động cưỡng 5.1.2 Dao động riêng 5.2 Phương pháp gần tính dao động khung 5.3 Phương pháp chuyển vị tính dao động dầm liên tục 5.4 Dao động dàn Phương pháp tích phân theo thời gian phân tích toán động lực học 6.1 Hệ tuyến tính bậc tự 6.1.1 Phương pháp sai phân tâm 6.1.2 Phương pháp Newmark 6.2 Hệ phi tuyến bậc tự 6.2.1 Phương trình cân động dạng gia số 6.2.2 Phương pháp Newmark 6.2.3 Giảm sai số thuật toán Newton-Raphson 73 73 73 74 78 79 82 83 83 84 87 92 92 94 97 MỤC LỤC 6.3 6.4 iii Hệ tuyến tính nhiều bậc tự 6.3.1 Phương pháp sai phân tâm 6.3.2 Phương pháp Newmark 6.3.3 Phương pháp Wilson 6.3.4 Phương pháp HHT Hệ phi tuyến nhiều bậc tự 6.4.1 Phương trình cân động dạng 6.4.2 Phương pháp Newmark Tính kết cấu chịu tác dụng động đất 7.1 Khái niệm động đất 7.1.1 Nguồn gốc động đất 7.1.2 Lan truyền sóng 7.1.3 Chuyển động mặt đất 7.1.4 Cường độ 7.2 Tính kết cấu chịu tác dụng động đất 7.2.1 Hệ tuyến tính bậc tự 7.2.2 Hệ tuyến tính nhiều bậc tự gia số 100 100 101 101 104 105 105 105 107 107 107 107 110 110 111 111 121 Phương pháp phần tử hữu hạn toán động lực học 125 8.1 Xác định tần số riêng dạng dao động tương ứng dầm đàn hồi phương pháp phần tử hữu hạn 127 iv MỤC LỤC Danh sách hình vẽ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 Tải trọng điều hòa Tải trọng có chu kỳ Tải trọng tác dụng thời gian ngắn-Tải trọng xung Tải trọng dài hạn Hệ có khối lượng tập trung: (a) hệ bậc tự do, (b) hệ hai bậc do, (c) hệ bốn bậc tự Mô hình khối lượng tập trung Mô hình Rayleigh-Ritz Mô hình phần tử hữu hạn tự Mô hình hệ dao động bậc tự (a), Các lực tác dụng lên khối lượng (b) Các thành phần dao động điều hòa: (a) thành phần phụ thuộc vào u(0), (b) thành phần phụ thuộc vào u(0), (c) dao động điều hòa: tổng (a) (b) Biểu diễn dao động điều hòa véc tơ quay Ví dụ hệ bậc tự Dao động hệ có lực cản, trường hợp tham số tắt dần ξ < Ảnh hưởng tham số tắt dần ξ đến tần số dao động Sự thay đổi chuyển vị vận tốc hệ theo thời gian trường hợp ξ = ξ > Xác định tham số tắt dần ξ Tải trọng xung (a), dao động hệ bậc tự chịu tác dụng tải trọng xung không xét đến lực cản (b) Sự phụ thuộc biên độ dao động điều hòa vào tần số tải trọng tác động ω Sự thay đổi hệ số động Rd góc lệch pha θ theo tỉ số ω/ω Ví dụ hệ bậc tự chịu tác dụng tải trọng điều hòa Ví dụ xác định biểu đồ moment uốn động hệ bậc tự chịu tác dụng tải trọng điều hòa Sự thay đổi hệ số động Rt theo thời gian xẩy tượng cộng hưởng Dao động điều hòa xét đến lực cản Biên độ trạng thái dao động ổn định v 4 5 11 13 17 18 19 21 22 22 23 25 27 28 28 30 31 32 33 vi DANH SÁCH HÌNH VẼ 2.17 Sự thay đổi hệ số động Rd góc lệch pha θ theo tỉ số ω/ω tham số tắt dần ξ 2.18 Sự thay đổi hệ số động Rt theo tham số tắt dần ξ β = 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 4.1 4.2 4.3 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 Mô hình hệ dao động hữu hạn bậc tự Lực tác dụng lên khối lượng Chuyển động hệ với điều kiện ban đầu Dạng dao động thứ hệ Dạng dao động thứ hai hệ Kết cấu nhà hai tầng, khối lượng tập trung hai sàn Dạng dao động riêng : (a) dạng dao động thứ nhất, (b) dạng dao động thứ hai Hệ dao động hai bậc tự Dạng dao động riêng : (a) dạng dao động thứ nhất, (b) dạng dao động thứ hai Khai triển véc tơ chuyển vị theo dạng dao động Lực cản tỉ lệ với khối lượng (a), lực cản tỉ lệ với độ cứng (b) Liên hệ tỉ số cản ξ tần số ω theo giả thiết Rayleigh Ví dụ xác định ma trận cản theo giả thiết Rayleigh Hệ dao động hai bậc tự chịu tác dụng tải trọng điều hòa Quy luật đạo hàm Akx , Bkx , Ckx Dkx Dầm đầu ngàm đầu tự (a), dạng dao động thứ (b), dạng dao động thứ hai (c), dạng dao động thứ ba (d) Dầm hai đầu khớp (a), dạng dao động thứ (b), dạng dao động thứ hai (c), dạng dao động thứ ba (d) Khung chịu tác dụng tải trọng động (a), Hệ (b) Biểu đồ moment uốn động khung Khung có khối lượng phân bố (a), Khung có khối lượng tập trung (b) Dầm liên tục (a), Dạng dao động đối xứng dầm liên tục (b) Dàn có khối lượng tập trung nút dàn (a), Chuyển khối lượng đường biên có xe chạy (b) Phương pháp sai phân tâm Trụ cầu chịu tác dụng tải trọng động (a), Tải trọng động (b) So sánh nghiệm xác nghiệm tính theo phương pháp sai phân tâm với bước thời gian khác Phương pháp gia tốc trung bình (a), Phương pháp gia tốc tuyến tính (b) So sánh nghiệm xác với nghiệm tính theo phương pháp gia tốc tuyến tính gia tốc trung bình Hệ bậc tự (a), Tải trọng động (b), Độ cứng phi tuyến (c), Lực cản phi tuyến (d) Quan hệ lực-chuyển vị Thuật toán Newton-Raphson (a), Thuật toán Newton-Raphson cải tiến (b) 34 36 37 38 40 40 41 43 44 45 46 49 53 53 54 57 64 66 67 75 79 79 80 82 84 86 87 90 92 93 96 98 DANH SÁCH HÌNH VẼ vii 6.9 Phương pháp Wilson 102 7.1 7.2 7.3 Các khái niệm động đất Sóng Rayleigh sóng Love Thành phần gia tốc đất theo hướng Bắc-Nam ghi lại El Centro, California trận động đất ngày 18 tháng năm 1940 Vận tốc chuyển vị đất xác định cách tích phân gia tốc đất (a) Hệ bậc tự chịu ảnh hưởng động đất, (b) Các lực tác dụng lên khối lượng (a) Nghiệm chuyển vị hệ bậc tự với ba chu kỳ dao động riêng khác nhau, (b) Phổ chuyển vị (a) Phổ chuyển vị, (b) Phổ giả vận tốc, (c) Phổ giả gia tốc Kết hợp phổ nghiệm D-V-A, trường hợp ξ = 2% Ví dụ 7.1 Các phổ nghiệm ứng với tỉ số cản khác (từ xuống ξ = 0, 2, 5, 10%) giá trị gia tốc nền, vận tốc nền, chuyển vị động đất El Centro Các phổ nghiệm ứng với tỉ số cản khác (từ xuống ξ = 0, 2, 5, 10%) với trục chuẩn hóa A/¨ ug0 , V /u˙ g0 , D/ug0 Phổ nghiệm với tỉ số cản 5% phổ nghiệm lý tưởng hóa (đường nét đứt) động đất El Centro Gia tốc động đất El Centro (a), gia tốc tổng hệ bậc tự với Tn = 0, 02s ξ = 2% (b), giả gia tốc hệ (c), hệ có độ cứng lớn (d) Chuyển vị động đất El Centro (a), biến dạng hệ bậc tự với Tn = 30s ξ = 2% (b), hệ có độ cứng nhỏ (c) Xây dựng phổ thiết kế 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12 7.13 7.14 108 109 111 112 114 115 116 118 120 121 122 122 123 123 viii DANH SÁCH HÌNH VẼ 118 CHƯƠNG TÍNH KẾT CẤU CHỊU TÁC DỤNG ĐỘNG ĐẤT Hình 7.8: Ví dụ 7.1 7.2 TÍNH KẾT CẤU CHỊU TÁC DỤNG CỦA ĐỘNG ĐẤT Lời giải: 119 Độ cứng ngang hệ bậc tự do: k= 3EI 3(29 × 103 )7, 23 = = 0, 211 kip/in L3 (12 × 12)3 (7.23) Tần số riêng chu kỳ dao động hệ: k k×g = = m Q 2π = 1, 59 s Tn = ωn ωn = 0, 211 × 386 = 3, 958 rad/s 5, (7.24) (7.25) Từ đường cong phổ nghiệm ứng với tỉ số cản 2% (hình 7.8), với chu kỳ dao động Tn = 1, 59s tìm D = 5in A = 0, 2g Vậy chuyển vị lớn nhất: u0 = D = in (7.26) Lực tĩnh tương đương lớn nhất: fS0 = A Q = 0, × 5, = 1, 04 kips g (7.27) Biểu đồ moment biểu diễn hình 7.8d với giá trị lớn ngàm M = 12, 48 kip-ft Hai điểm A B vị trí có ứng suất lớn nhất: σmax = M × d0 (12, 48 × 12)4, = = 46, ksi 2I × 7, 23 (7.28) Ví dụ 7.2: 7.2.1.6 Các đặc trưng phổ nghiệm Hình 7.9 biểu diễn số phổ nghiệm động đất El Centro với cực trị chuyển vị ug0 , cực trị vận tốc u˙ g0 cực trị gia tốc u¨g0 xác định từ hình 7.3 Để thấy rõ mối liên hệ phổ nghiệm thông số động đất, hình 7.9 biểu diễn lại hình 7.10 với trục chuẩn hóa: D/ug0 ; V /u˙ g0 ; A/¨ ug0 Hình 7.11 biểu diễn phổ nghiệm (tỉ lệ cản 5%) phổ nghiệm lý tưởng hóa (đường nét đứt) Trong phần sau trình bày cách xây dựng đường cong phổ thiết kế từ thông số cực trị động đất sở phổ nghiệm lý tưởng hóa Trong phần này, nghiên cứu tính chất phổ nghiệm ứng với khoảng chu kỳ dao động riêng hệ Xét điểm a, b, c, d, e f hình 7.11 Với hệ có chu kỳ ngắn Tn < Ta = 0, 035s, giả gia tốc A tiệm cận u¨g0 D nhỏ (đối với tỉ số cản) Đối với hệ có khối lượng cố định có chu kỳ ngắn độ cứng lớn, biến dạng nhỏ khối lượng chuyển động với (hình 7.12d) Hiện tượng kiểm chứng hình 7.12, gia tốc biểu diễn hình a, gia tốc tổng u¨t (t) hệ có Tn = 0, 02s ξ = 2% biểu diễn 120 CHƯƠNG TÍNH KẾT CẤU CHỊU TÁC DỤNG ĐỘNG ĐẤT Hình 7.9: Các phổ nghiệm ứng với tỉ số cản khác (từ xuống ξ = 0, 2, 5, 10%) giá trị gia tốc nền, vận tốc nền, chuyển vị động đất El Centro hình b, giả gia tốc A(t) hệ biểu diễn hình c Dễ thấy rằng, u¨t (t) u¨g (t) gần trùng nhau, cực trị gia tốc u¨t0 khối lượng trùng với cực trị giả gia tốc A Với hệ có chu kỳ dài Tn > Tf = 15s, D tiệm cận ug0 A nhỏ (đối với tỉ số cản) Do đó, lực tác dụng lên hệ nhỏ (fs0 = mA) Đối với hệ có khối lượng cố định có chu kỳ dài độ cứng nhỏ, dễ uốn Khối lượng giữ nguyên vị trí chuyển động (hình 7.13c) Điều thể qua hình 7.13 mà chuyển vị u(t) hệ có chu kỳ Tn = 30s tỉ số cản ξ = 2% chịu tác dụng động đất El Centro so sánh với chuyển vị ug (t) Dễ thấy cực trị u0 ug0 gần Trường hợp hệ có chu kỳ ngắn 0, 035s = Ta < Tn < Tc = 0, 5s, giả gia tốc A lớn u¨g0 với hệ số khuếch đại phụ thuộc vào Tn ξ Trường hợp hệ có chu kỳ dài 3s = Td < Tn < Tf = 15s, chuyển vị D nói chung lớn ug0 với hệ số khuếch đại phụ thuộc vào Tn ξ Trường hợp hệ có chu kỳ trung bình 0, 5s = Tc < Tn < Td = 3s, giả vận tốc V lớn u˙ g0 Trong khoảng chu kỳ này, V lý tưởng hóa số có giá trị u˙ g0 khuếch đại hệ số phụ thuộc ξ Từ nhận xét trên, dễ thấy chia phổ nghiệm thành ba khoảng Khoảng ứng với chu kỳ dài đến bên phải điểm d (Tn > Td ) gọi vùng nhậy với chuyển vị nghiệm hệ có liên hệ trực tiếp với chuyển vị Khoảng ứng với chu kỳ ngắn đến bên trái điểm c (Tn < Tc ) gọi vùng nhậy với gia tốc nghiệm hệ có liên hệ trực tiếp với gia tốc Khoảng ứng với chu kỳ trung gian điểm c d (Tc < Tn < Td ) gọi vùng nhậy với vận tốc nghiệm có liên hệ với vận tốc với thông số khác Đối với chuyển động nền, chu kỳ Ta , Tb , Te Tf phổ lý tưởng hóa độc lập lực 7.2 TÍNH KẾT CẤU CHỊU TÁC DỤNG CỦA ĐỘNG ĐẤT 121 Hình 7.10: Các phổ nghiệm ứng với tỉ số cản khác (từ xuống ξ = 0, 2, 5, 10%) với trục chuẩn hóa A/¨ ug0 , V /u˙ g0 , D/ug0 cản Tc Td thay đổi lực cản Lý tưởng hóa phổ nghiệm đường thẳng a − b − c − d − e − f hình 7.11 rõ ràng trình xác Tuy nhiên, lợi ích lớn phổ nghiệm lý tưởng hóa mà thấy phần sau việc xây dựng phổ thiết kế đại diện cho nhiều chuyển động 7.2.1.6 Phổ thiết kế Trong phần ta đưa vào khái niệm phổ thiết kế động đất hệ đàn hồi trình bày cách xây dựng phổ thiết kế từ giá trị cực trị đánh giá gia tốc nền, vận tốc chuyển vị Phổ thiết kế cần phải thỏa mãn số điều kiện mục đích nhằm thiết kế công trình hay đánh giá an toàn công trình tồn chống lại trận động đất tương lai 7.2.2 7.2.2.1 Hệ tuyến tính nhiều bậc tự Phân tích theo thời gian - Response history analysis RHA Tính chuyển vị nội lực kết cấu hàm thời gian kết cấu chịu tác dụng gia tốc u¨g (t) 7.2.2.2 Phân tích phổ nghiệm - Response spectrum analysis RSA Xác định giá trị chuyển vị lớn nội lực lớn kết cấu trực tiếp từ phổ nghiệm phổ thiết kế mà không cần phân tích theo thời gian 122 CHƯƠNG TÍNH KẾT CẤU CHỊU TÁC DỤNG ĐỘNG ĐẤT Hình 7.11: Phổ nghiệm với tỉ số cản 5% phổ nghiệm lý tưởng hóa (đường nét đứt) động đất El Centro Hình 7.12: Gia tốc động đất El Centro (a), gia tốc tổng hệ bậc tự với Tn = 0, 02s ξ = 2% (b), giả gia tốc hệ (c), hệ có độ cứng lớn (d) 7.2 TÍNH KẾT CẤU CHỊU TÁC DỤNG CỦA ĐỘNG ĐẤT 123 Hình 7.13: Chuyển vị động đất El Centro (a), biến dạng hệ bậc tự với Tn = 30s ξ = 2% (b), hệ có độ cứng nhỏ (c) Hình 7.14: Xây dựng phổ thiết kế 124 CHƯƠNG TÍNH KẾT CẤU CHỊU TÁC DỤNG ĐỘNG ĐẤT Chương Phương pháp phần tử hữu hạn toán động lực học Sự phát triển phương pháp phần tử hữu hạn giai đoạn quan trọng học ứng dụng Có nhiều công trình nghiên cứu dạng tổng quát hay ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn toán động lực học Trong chương giới thiệu số nét phương pháp Phương trình toán động lực học: M¨ u(t) + Cu(t) ˙ + Ku(t) = p(t) (8.1) M, C K ma trận khối lượng, ma trận ảnh hưởng lực cản ma trận độ cứng kết cấu Me M= e Ce C= e Ke K= e pe p= e Ma trận khối lượng phần tử xác định biểu thức: Me = ρNT NdV (8.2) cNT NdV (8.3) BT EBdV (8.4) V Ma trận ảnh hưởng lực cản phần tử: Ce = V Ma trận độ cứng phần tử: Ke = V 125 126CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC Vector tải trọng: pe = NT pdV (8.5) V với B ma trận biến dạng-chuyển vị: ε = Bu; E ma trận độ cứng vật liệu: σ = Eε; N hàm dạng Trường hợp thẳng, N có dạng sau: N1 0 N4 0 N2 N3 N5 N6 [N] = Nk Nu = đó: N1 = − N4 = Lx x L N2 = − 3x + L2 3x2 2x3 N5 = L2 − L3 2x3 L3 N3 = x − 2xL + N6 = − xL + Lx x3 L2 Nếu bỏ qua biến dạng dọc trục: [N] = [Nu ] = − 3x2 L2 + 2x3 L3 d2 [B] = [N] = − L62 + dx 12x L3 x− 2x2 L + − L4 + x3 L2 6x L2 3x2 L2 L2 − − 2x3 L3 12x L3 − xL + − L2 + x3 L2 6x L2 Ma trận độ cứng phần tử có chiều dài L  Ke = V  12 6L −12 6L L EI  6L 4L2 −6L 2L2   BT EBdV = BT EIBdx =   −12 −6L 12 −6L  L 6L 2L2 −6L 4L2 (8.6) Ma trận khối lượng phần tử có chiều dài L   156 22L 54 −13L L mL  13L −3L2   22L 4L  Me = ρNT NdV = ρANT Ndx = 54 13L 156 −22L  420  V −13L −3L2 −22L 4L2 (8.7) Trường hợp giả thiết khối lượng tập trung hai đầu nút phần tử ma trận khối lượng Me ma trận đường chéo:   0 mL  L12 0  e   M = 0 0 0 L12 (8.8) 8.1 XÁC ĐỊNH TẦN SỐ RIÊNG VÀ DẠNG DAO ĐỘNG TƯƠNG ỨNG CỦA DẦM ĐÀN HỒI BẰNG PH 8.1 Xác định tần số riêng dạng dao động tương ứng dầm đàn hồi phương pháp phần tử hữu hạn Xét dầm đàn hồi hai đầu khớp có chiều dài L, độ cứng chống uốn EI không đổi, khối lượng phân bố chiều dài dầm m 128CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC Tài liệu tham khảo [1] Bathe, K J Finite Element Procedures in Engineering Analysis, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1982 [2] Chopra, Anil K Dynamics of structures : theory and applications to earthquake engineering, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1995 [3] Clough, R W., and Penzien, J Dynamics of Structures, McGraw-Hill, New York, 1993 [4] Géradin, M., Rixen, D Mechanical vibrations : Theory and Application to Structural Dynamics, Wiley, 1997 [5] Humar, J L Dynamics of Structures, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1990 [6] Newmark, N M A Method of Computation for Structural Dynamics, Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE, 85, 1959, pp 67-94 [7] Newmark, N M., Rosenblueth, E Fundamentals of Earthquake Engineering, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1971, pp 308-312 [8] Paultre, P Dynamiques des structures : application aux ouvrages de génie civil, Hermes Science, 2005 [9] Pecker, A Dynamiques des Ouvrages, Cours ENPC [10] Dookie Kim Dynamics of Structures, 2009 [11] Lê Văn Quý, Lều Thọ Trình Động lực học công trình, Nhà xuất đại học trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1979 129 130 TÀI LIỆU THAM KHẢO [12] Phạm Đình Ba, Nguyễn Tài Trung Động lực học công trình, Nhà xuất xây dựng, Hà Nội, 2005 Phụ lục Bảng hàm số Akx , Bkx , Ckx Dkx kx 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 Akx 1,000000 1,000000 1,000070 1,000340 1,001065 1,002605 1,005405 1,010005 1,017070 1,027350 1,041690 1,061060 1,086510 1,119205 1,160435 1,211575 1,274130 1,349740 1,440135 1,547220 Bkx 0,000000 0,100000 0,200005 0,300020 0,400085 0,500265 0,600645 0,701400 0,802735 0,904925 1,008335 1,113430 1,220750 1,330970 1,444875 1,563385 1,687570 1,818645 1,958010 2,107230 131 Ckx 0,000000 0,005000 0,020000 0,045000 0,080005 0,125025 0,180065 0,245165 0,320360 0,405740 0,501390 0,607460 0,724150 0,851705 0,990465 1,140835 1,303330 1,476580 1,667335 1,870510 Dkx 0,000000 0,000170 0,001335 0,004500 0,010665 0,020835 0,036005 0,057180 0,085375 0,121595 0,166865 0,222220 0,288710 0,367410 0,459425 0,565895 0,688000 0,826985 0,984160 1,160930 132 TÀI LIỆU THAM KHẢO kx 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,50 2,60 2,70 2,80 2,90 3,00 3,10 3,20 3,30 3,40 3,50 3,60 3,70 3,80 3,90 4,00 4,10 4,20 4,30 4,40 4,50 4,60 4,70 4,80 4,90 5,00 5,10 5,20 5,30 5,40 Akx 1,673025 1,819730 1,989705 2,185470 2,409780 2,665575 2,956060 3,284700 3,655255 4,071810 4,538835 5,061180 5,644180 6,293640 7,015970 7,818180 8,708010 9,693955 10,785405 11,992710 13,327295 14,801805 16,430200 18,227940 20,212120 22,401660 24,817515 27,482870 30,423410 33,667560 37,246805 41,195990 45,553700 50,362635 55,670080 Bkx 2,268080 2,442535 2,632805 2,841335 3,070815 3,324335 3,605115 3,916820 4,263455 4,649405 5,079495 5,559015 6,093755 6,690065 7,354910 8,095925 8,921470 9,840725 10,863775 12,001665 13,266560 14,671790 16,232045 17,963470 19,883850 22,012740 24,371720 26,984560 29,877465 33,079360 36,622445 40,541050 44,874955 49,666820 54,994095 Ckx 2,089175 2,324580 2,578205 2,851750 3,147170 3,466715 3,812950 4,188770 4,597475 5,042770 5,528825 6,060320 6,642470 7,281120 7,982770 8,754640 9,604770 10,542055 11,576375 12,718640 13,980935 15,376625 16,920460 18,628740 20,549450 22,612460 24,929665 27,495260 30,335910 33,481050 36,963445 40,818040 45,085480 49,808265 55,035390 Dkx 1,358780 1,579325 1,824305 2,095625 2,395385 2,725865 3,089615 3,489440 3,928465 4,410155 4,938375 5,517435 6,152425 6,847815 7,610450 8,446705 9,363990 10,370565 11,475635 12,689435 14,023360 15,490070 17,103625 18,879640 20,835450 22,990270 25,365410 27,984480 30,873625 34,061810 37,581065 41,466860 45,758405 50,499090 55,736855