TỔNG HỢP CÁC BÀI OXY HAY VÀ KHÓ Hoàng Trung Hiếu-facebook.com/hoangtrunghieuthaibinh Link youtube: https://youtu.be/oMSvvvpzG2w Đề Hie u √ Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 2 Gọi M, N lần lượt√là trung điểm BC, CD Cho biết tam giác AMN vuông M(0; 1), AN có phương trình: 2x + y − = Tìm tọa độ điểm A biết A có hoành độ lớn Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng cạnh AB (d) : 4x + 3y − = 0.Phân giác góc A cắt cạnh BC D đường tròn ngoại tiếp 13 −7 63 −8 tam giác ABC điểm E Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD có tâm ; ; 22 11 Tìm tọa độ điểm A biết B có hoành độ nguyên ng Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC Biết M (3; −1) trung điểm cạnh BD, điểm C (4; −2) , Điểm N (−1; −3) , nằm đường thẳng qua B vuông góc với AD Đường thẳng AD qua điểm P (1; 3) Tìm tọa độ đỉnh A, B, D Tru Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB Gọi M, N trung điểm cạnh AD BC, K điểm đối xứng N qua M Biết K (3; −2) , phương trình đường chéo AC: x − 7y + 13 = Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D biết đỉnh A có hoành độ bé 2 Ho ang Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I Điểm M(2; −1) trung điểm cạnh BC 31 −1 điểm E hình chiếu B lên AI Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC biết ; 13 13 đường thẳng AC : 3x + 2y − 13 = Hướng dẫn giải Bài √ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 2 Gọi M, N trung √ điểm BC, CD Cho biết tam giác AMN vuông M(0; 1), AN có phương trình: 2x + y − = Tìm tọa độ điểm A biết A có hoành độ lớn Hướng dẫn SAM N = SABCD − SABM − SADN − SCM N √ 3 = SABCD = A B M N D C ng Hie u √ √ |2 2.0 + 1.1 − 4| 2SAM N d(M/AN) = = ⇒ AN = = √ d(M/AN) (2 2)2 + 12 √ √ Gọi tọa độ điểm A(a; − 2a) N(b; − 2b) điểm thuộc đoạn thẳng AN Chú ý a>1  √ √ AM MN = ab + (3 − 2a)(3 − 2b) = √ ⇔ Sử dụng giả thiết:  AN = (a − b)2 + 8(a − b)2 =     √   a + b = √ a + b = √ a = a = √ 3√ Chú ý a > nên ⇔ hoặc √ b =   ab =    ab = b= 2 √ Vậy điểm A( 2; 0) A( √ ; ) 3 Tru Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng cạnh AB (d) : 4x + 3y − = 0.Phân giác góc A cắt cạnh BC D đường 13 −7 tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm E Đường tròn ngoại tiếp tam giác ; 63 −8 ABD có tâm Tìm tọa độ điểm A biết B có hoành độ nguyên ; 22 11 Ho ang A K B C D E Hướng dẫn Ta chứng minh: KB ⊥ BE 180o − BKD = 90o − BAD = 90o − CBE − 4a ý a ∈ Z Gọi B a; −−→ −−→ 63 13 − 4a KB.BE = ⇒ a − a− + + 22 11 14 a = a = (loại) A = (K; KB) ∩ AB(= B) Giải hệ tìm :A(1; 1) KBD = − 4a + =0 Hie u Bài 3:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC Biết M (3; −1) trung điểm cạnh BD, điểm C (4; −2) , Điểm N (−1; −3) , nằm đường thẳng qua B vuông góc với AD Đường thẳng AD qua điểm P (1; 3) Tìm tọa độ đỉnh A, B, D D ng P M Tru A B N Ho ang Hướng dẫn Giả sử D (a; b) ⇒ B (6 − a; −2 − b) −−→ −−→ CD = (a − 4; b + 2) NB = (7 − a; − b) −−→ −−→ Ta có CD//NB ⇒ (a − 4) (1 − b) − (b + 2) (7 − a) = ⇔a=b+6 −−→ P D = (a − 1; b − 3) Ta có −−→ −−→ CD⊥P D; ⇒ (a − 4) (a − 1) + (b + 2) (b − 3) = ⇔ (b + 2) (b + 5) + b2 − b − = b = −1 ⇒ a = ⇔ b2 + 3b + = ⇔ b = −2 ⇒ a = D (5; −1) B (1; −1) −−→ Phương trình AD: P D = (4; −4) (x − 1) + (y − 3) = ⇔ x + y − = a+4 2−a ; A ∈ (AD) ⇒ A (a; − a) ⇒ I 2 C a−4 ⇔ a = ⇒ A (2; 2) IA = IB ⇔ 6−a + = −a − 2 + −4 + a 2 Bài 4:Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB Gọi M, N trung điểm cạnh AD BC, K điểm đối xứng N qua M Biết K (3; −2) , phương trình đường chéo AC: x − 7y + 13 = Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D biết đỉnh A có hoành độ bé A M ng I Hie u K B Tru N D C Ho ang Hướng dẫn Ta chứng minh BK vuông góc với AC cách chứng minh Tam giác KBN tam giác CAB để suy BKN = BCA BKN = ABC ABC = BCA Phương trình KB:(KB) : (x − 3) + (y + 2) = ⇔ (KB) : 7x + y − 19 = Gọi I giao điểm BK  AC Tọa độ I nghiệm hệ:  x = 12 12 11 x − 7y + 13 = ⇔ ⇒I ; 11 7x + y − 19 =  5 y = Ta có:  12 12   −3 + xB =  −→ −→ 5 IB = KI ⇒ 11 11   +2 +  yB = 5 xB = ⇒ B (2; 5) ⇒ yB = Ta có: (3 − 2)2 + (−2 − 5)2 √ BK √ = 10 BN = √ = 5 Hie u A ∈ (AC) : x − 7y + 13 = ⇒ A (7a − 13; a) √ AB = (2 − 7a + 13)2 + (5 − a)2 = 10 ⇔ 50a  − 220a + 240 = a = ⇒ A (1; 2) 19 12 12 ⇔ ⇒A ; a= 5 Theo giả thiết toán A (1; 2) Phương trình (BC): −→ AB = (1; 3) (BC) : (x − 2) + (y − 5) = ⇔ (BC) : x + 3y − 17 = Tọa độ C nghiệm hệ: x + 3y − 17 = x=8 ⇔ ⇒ C (8; 3) x − 7y + 13 = y=3 xD = xA + xC − xB xD = + − = Tọa độ D: ⇔ ⇒ D (7; 0) yD = yA + yC − yB yD = + − = H Tru C ng Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I Điểm M(2; −1) trung điểm 31 −1 cạnh BC điểm E hình chiếu B lên AI Xác định tọa độ đỉnh ; 13 13 tam giác ABC biết đường thẳng AC : 3x + 2y − 13 = M E Ho ang I A B Hướng dẫn Chứng minh: BH ⊥ AC P = ME ∩ AC ˆ Do tứ giác IMEB tứ giác nội tiếp nên BME = BIE = 180o − AIB = 2(90o − C) Suy ∆MHC cân M ⇒ MH = MC = MB ⇒ ∆BHC vuông H x−2 y+1 = hay 12(x − 2) = 5(y + 1) hay 12x − 5y − 29 = 31 −1 −2 +1 13 13 Tọa độ điểm H: nghiệm hệ phương trình: 12x − 5y − 17 = 3x + 2y − 13 = 41 23 ; Giải hệ H 13 13 Phương trình đường thẳng BH có dạng: 2x − 3y + a = (do véc tơ pháp tuyến AC vec tơ phương BH) Và BH qua H nên a = 2m − 13 − 3n Gọi tọa độ điểm B(m; ) C(n; ) 2m − 13 − 3n Do M(2; −1) trung điểm BC nên : m + n = + = −2 Kết quả: B(−1; −1) C(5; −1) Phương trình đường thẳng BE là: 3(x + 1) = 11(y + 1) Phương trình đường thẳng AI 11x + 3y − 16 = A = AI ∩ AC nên A(1; 5) Ho ang Tru ng Hie u Phương trình đường thẳng ME: TỔNG HỢP CÁC BÀI OXY HAY VÀ KHÓ Hoàng Trung Hiếu-facebook.com/hoangtrunghieuthaibinh Link youtube: https://youtu.be/YbUUNSI2Bt8 Video trước: https://www.youtube.com/watch?v=oMSvvvpzG2w Đề u Hie Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông A(AB < AC), phương trình đường trung tuyến AM là: (d) : x − 2y − = Đường tròn có tâm thuộc đoạn AC qua điểm A M cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC H 4; (H không thuộc AC) Xác định tọa độ 25 đỉnh tam giác ABC biết diện tích tam giác ABC ng Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD, M(5; 7) điểm thuộc cạnh BC Đường tròn đường kính AM cắt đường chéo BD N(6; 2); điểm C thuộc đường thẳng (d) : 2x−y−7 = Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết hoành độ điểm A nguyên hoành độ điểm C bé Tru Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD có N trung điểm CD BN có phương trình 13x − 10y + 13 = điểm M(−1; 2) thuộc đoạn thẳng AC cho AC = 4AM Gọi H điểm đói xứng N qua C Tìm tọa độ đỉnh hình bình hành ABCD biết 3AC = 2AB H ∈ ∆ : 2x − 3y = Bài 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD Qua B kẻ đường thằng vuông góc với AC H GỌi E, F, G trung điểm đoạn thẳng CH,BH AD.Cho 17 29 17 E ,F G(1; 5) Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE ; ; 5 5 Ho ang Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho hình bình hành ABCD có góc B nhọn Điếm A(−2; −1) Gọi H, K, E hình chiếu vuông góc A đường thẳng BC, BD, CD Đường tròn (C) : x2 + y + x + 4y + = ngoại tiếp tam giác HKE Tìm tọa độ B, C, D biết H có hoành đọ âm, C có hoành độ dương nằm đường thẳng x − y − = Hướng dẫn giải Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông A(AB < AC), phương trình đường trung tuyến AM là: (d) : x − 2y − = Đường tròn có tâm thuộc đoạn AC qua điểm A M cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC H 4; (H không thuộc AC) Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC biết diện tích tam giác ABC 25 B M C u A Hie H Ho ang Tru ng BA tiếp tuyến dường tròn ngoại tiếp tam giác AHM nên BAM = HAM (góc tiếp tuyến góc nội tiếp) Chú ý hai tam giác cân BAM HAM có chung cạnh AM góc nên chúng nên AH = AB Suy AM ⊥ BH Gọi I giao điểm BH AM Phương trình đường thẳng BH (đi qua H vuông góc với AM) là: 4x + 2y − 21 = −3 Tọa độ điểm I(5; ) ; suy tọa độ điểm B(6; ) 2 √ 5 2.SABM = BM = AM = BI √ 5 Gọi tọa độ điểm M(2a + 4; a) BM = (2a − 2)2 + (a + )2 = −1 ⇔ 4a − 4a − = ⇔ a = a = 4 13 5 Nếu M( ; ) C(7; 4) suy A(4; 0) A(9; ) −3 −1 ) C(1; 1) suy A(6; 1) A(1; ) Nếu M( ; Bài 7:Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD, M(5; 7) điểm thuộc cạnh BC Đường tròn đường kính AM cắt đường chéo BD N(6; 2); điểm C thuộc đường thẳng (d) : 2x − y − = Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết hoành độ điểm A nguyên hoành độ điểm C bé Hướng dẫn Gọi O tâm hình vuông,I trung điểm AM Do NMA = NBA = 45o nên tam giác AMN MIN vuông cân Phương trình trung trực MN:x − 5y + 17 = Gọi tọa độ điêm I(5b − 17, b) sử dụng IM = √ MN √ = 13 b = ⇒ I(3, 4) ⇒ A(1, 1) ⇒ (5b − 22)2 + (b − 7)2 = 13 ⇔ b = ⇒ I(8, 5) ⇒ A(11, 3)(loi) C D N M O Hie u I B A c+1 , c − 3), AC ⊥ NO, ⇒ AC.NO = ng Gọi tọa độ C(c, 2c − 7) ,(c nguyên)⇒ O( (c − 1)(c − 11) + (2c − 8)(c − 5) = ⇒ c = ⇒ C(7, 7), O(4, 4) Phương trình BD : x + y − = 0, ptBC : x − = Tọa độ B(7, 1) ⇒ D(1, 7) Tru ⇒ D Ho ang Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD có N trung điểm CD BN có phương trình 13x − 10y + 13 = điểm M(−1; 2) thuộc đoạn thẳng AC cho AC = 4AM Gọi H điểm đói xứng N qua C Tìm tọa độ đỉnh hình bình hành ABCD biết 3AC = 2AB H ∈ ∆ : 2x − 3y = C N H G M B A u AC Gọi G = BN ∩ AC G trọng tâm tam giác BCD suy GC = Mà AC = 4AM nên MG = AC, suy CG = MG 12 Theo định lí Thales: d(C/BN) = d(M/BN) Lại có: HN = 2CN nên : d(H/BN) = 2d(C/BN) = d(M/BN) −45 20 điểm H(3t, 2t) Nên ta tìm t = 1; t = Mà d(M/BN) = √ 19 269 Do M H nằm khác phái với BN nên ta H(3; 2) Mặt khác 3AC = 2AB = 2CD = 2NH suy 2MC = NH suy ∆MNH vuông M tìm N(−1; 0) −5 7 13 Từ tìm C(1; 1); D(−3; −1); A ;B ; ; 3 3 Hie Bài 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD Qua B kẻ đường thằng vuông góc với AC H GỌi E, F, G trung điểm đoạn thẳng CH,BH 17 29 17 AD.Cho E ,F G(1; 5) Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ; ; 5 5 ABE A ng Ho ang D Tru G B F H E C 1 EF đường trung bình tam giác ABC nên EF = BC = AD = AG 2  17 17  1 − xA = − −→ −→ 5 ⇒ AG = F E ⇔ ⇔ A(1, 1) 29   − yA = − 5 −→ EF (0, −4) vecto pháp tuyến AB mà AB qua A(1, 1) nên (AB) : y − = −→ 12 24 17 nên (BH) : 3x + 6y − 21 = , AE( , ) vecto pháp tuyến BH mà BH qua F 5 5 Do AB cắt BH B nên tọa độ B nghiệm hệ pt: (AB) : y = ⇔ B(5, 1) (BH) : 3x + 6y − 21 = Gọi I(a, b) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE ⇒ IA2 = IB = IE   (1 − a)2 + (1 − b)2 = (5 − a)2 + (5 − b)2 ⇔ 17 29 2 (5 − a) + (5 − b) = −a + −b 5 33 − 4b Trừ theo vế pt ta được: a = Khi thay lại vào hệ pt ta a = b = Vậy I(3, 3) A I H Tru B ng K Hie u Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho hình bình hành ABCD có góc B nhọn Điếm A(−2; −1) Gọi H, K, E hình chiếu vuông góc A đường thẳng BC, BD, CD Đường tròn (C) : x2 + y + x + 4y + = ngoại tiếp tam giác HKE Tìm tọa độ B, C, D biết H có hoành đọ âm, C có hoành độ dương nằm đường thẳng x−y−3= D E C Ho ang Gọi I = AC ⊥ BD ta chứng minh I ∈ (C) cách HKIE tứ giác nội tiếp Thật vậy, AHCE nội tiếp đường tròn tâm I nên HIE = 2HAE Do tứ giác ABHK, AKED nội tiếp nên: HKE = 180o − HKB − EKD = (90o − HAB) + (90o − EAD) = 2HAE = HIE nên tứ giác HKIE nội tiếp c−2 c−4 Mặt khác I trung điểm AC C(c; c − 3) ∈ d nên I ; 2 Do I ∈ (C) suy c = I(0; −1); C(2; −1) Gọi (C ′ ) đường tròn đường kính AC: (C ′ ) : x2 + (y + 1)2 = −8 −11 E, H = (C) ∩ (C ′ ) ta tìm , E(0; −3) ; 5 Suy B(−4; −3); C(2; −1); D(4; 1) [...]... được: a = 7 Khi đó thay lại vào hệ pt trên ta được a = b = 3 Vậy I(3, 3) 2 A I H Tru B ng K Hie u Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho hình bình hành ABCD có góc B nhọn Điếm A(−2; −1) Gọi H, K, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng BC, BD, CD Đường tròn (C) : x2 + y 2 + x + 4y + 3 = 0 ngoại tiếp tam giác HKE Tìm tọa độ B, C, D biết H có hoành đọ âm, C có hoành độ dương và nằm trên đường... Gọi I = AC ⊥ BD ta sẽ chứng minh I ∈ (C) bằng cách chỉ ra HKIE là tứ giác nội tiếp Thật vậy, AHCE nội tiếp đường tròn tâm I nên HIE = 2HAE Do các tứ giác ABHK, AKED nội tiếp nên: HKE = 180o − HKB − EKD = (90o − HAB) + (90o − EAD) = 2HAE = HIE nên tứ giác HKIE nội tiếp c−2 c−4 Mặt khác I là trung điểm AC và C(c; c − 3) ∈ d nên I ; 2 2 Do I ∈ (C) suy ra c = 2 và I(0; −1); C(2; −1) Gọi (C ′ ) là đường tròn