HèNH KHễNG GIAN CC BI TON V TH TCH CHểP a ã ã , SA = a , SAB = SAC = 30 Gi M l trung im SA , chng minh SA ( MBC ) Tớnh VSMBC CU 1) Cho hỡnh chúp S.ABC cú AB = AC = a, BC = GII Cho hỡnh chúp S.ABC cú AB = AC = a, BC = ã ã SAB = SAC = 30 a , SA = a , Gi M l trung im SA , chng minh SA (MBC ) Tớnh VSMBC Theo nh lớ cụsin ta cú: ã SB = SA + AB 2SA.AB.cos SAB = 3a + a 2.a 3.a.cos30 = a Suy SB = a Tng t ta cng cú SC = a Gi M l trung im ca SA , hai tam giỏc SAB v SAC l hai tam giỏc cõn nờn MB SA, MC SA Suy SA (MBC) Hai tam giỏc SAB v SAC cú ba cp cnh tng ng bng nờn chỳng bng Do ú MB = MC hay tam giỏc MBC cõn ti M Gi N l trung im ca BC suy MN BC Tng t ta cng cú MN SA 2 a a 3a a MN = AN AM = AB BN AM = a = MN = 16 4 2 2 Do ú VS MBC = SM MN BC = 2 a a a a3 (vtt) = 32 CU 2) Cho t diờn SABC cú tam giỏc ABC vuụng cõn inh B, AB = a; cỏc cnh SA = SB = SC = 3a , (a > 0) Trờn cnh SA, SB lõn lt ly im M, N cho SM = BN = a Tớnh th tớch chúp C.ABNM theo a GII * Chõn ng cao cua t diờn h t nh S l trung im H ca canh AC a 34 12 * CM c VS MNC = VS ABC 7 a 34 VC.ABNM = VS ABC = 108 * Tinh c VS ABC = Cõu V (1.0 im) Cho t din ABCD bit AB = CD = a, AD = BC = b, AC = BD = c Tớnh th tớch ca t din ABCD GII Qua B, C, D ln lt dng cỏc ng thng Song song vi CD, BD, BC ct ti M, N, P Ta cú MN = 2BD, MP = 2CD, NP = 2BC t ú ta cú cỏc tam giỏc AMN, APM, ANP vuụng ti A t x = AM, y = AN, AP = z ta cú x = 2(a + c b ), y = 2(b + c a ) z = 2(a + b c ) Vy V = 12 2(a + c b )(b + c a )(a + b c ) CU ) Cho hỡnh chúp t giỏc u S ABCD cú tt c cỏc cnh u bng a Tớnh theo a th tớch chúp S ABCD v tớnh bỏn kớnh mt cu tip xỳc vi tt c cỏc mt ca hỡnh chúp ú G Gi O l giao im AC v BD SO ( ABCD ) Ta cú: SO = SA2 OA2 = a P 2a a = S ABCD = a VS ABCD = a D B A Gi M, N l trung im AB v CD v I l tõm ng trũn ni tip tam giỏc SMN Ta chng minh I cỏch u cỏc mt ca hỡnh chúp SSMN = pr r = ( 2a 2 a+a ) = a ( ) N C M l bỏn kớnh cn tỡm CU 4) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi ; hai ng chộo AC = 3a , BD = 2a v ct ti O; hai mt phng (SAC) v (SBD) cựng vuụng gúc vi mt a , tớnh th phng (ABCD) Bit khong cỏch t im O n mt phng (SAB) bng tớch chúp S.ABCD theo a GII T gi thit AC = 2a ; BD = 2a v AC ,BD vuụng gúc vi ti trung im O ca mi ng ã B D = 600 chộo.Ta cú tam giỏc ABO vuụng ti O v AO = a ; BO = a , ú A Hay tam giỏc ABD u T gi thit hai mt phng (SAC) v (SBD) cựng vuụng gúc S vi mt phng (ABCD) nờn giao tuyn ca chỳng l SO (ABCD) Do tam giỏc ABD u nờn vi H l trung im ca AB, K l trung im ca HB ta cú DH AB v DH = a ; OK // DH v OK = a OK AB AB (SOK) DH = 2 Gi I l hỡnh chiu ca O lờn SK ta cú OI SK; AB OI OI (SAB) , hay OI l khong cỏch t O n mt phng (SAB) Tam giỏc SOK vuụng ti O, OI l ng cao Din tớch ỏy S ABC D = 4S ABO = 2.OA.OB = 3a ; ng cao ca hỡnh chúp SO = a I D O C 1 a = + SO = 2 OI OK SO a A 3a B K H Th tớch chúp S.ABCD: VS ABC D = S ABC D SO = 3a 3 CU 5) Cho t din u ABCD cú cnh bng Gi M, N l cỏc im ln lt di ng trờn cỏc cnh AB, AC cho ( DMN ) ( ABC ) t AM = x, AN = y Tớnh th tớch t din DAMN theo x v y Chng minh rng: x + y = 3xy GII Dng DH MN = H Do ( DMN ) ( ABC ) DH ( ABC ) m D ABC l t din u nờn H l tõm tam giỏc u ABC Trong tam giỏc vuụng DHA: DH = DA AH = ữ = ữ Din tớch tam giỏc AMN l S AMN = D AM AN sin 600 = xy Th tớch t din D AMN l V = S AMN DH = N xy 12 B C H M Ta cú: S AMN = S AMH + S AMH xy.sin 600 = x AH sin 300 + y AH sin 300 A x + y = 3xy Trc ht ta cú: x3 + y ( x + y) (bin i tng ng) ( x y ) ( x + y ) t x + y + z = a Khi ú 4P ( x + y) a (vi t = + 64 z 3 = P ( a z) a + 64 z 3 = ( t ) + 64t 3 z , t 1) a D B Xột hm s f(t) = (1 t)3 + 64t3 vi t [ 0;1] Cú A f '(t ) = 64t ( t ) , f '(t ) = t = [ 0;1] M C N Lp bng bin thiờn Minf ( t ) = t[ 0;1] 64 GTNN ca P l 16 t c x = y = 4z > 81 81 CU 6) Cho hỡnh chúp S.ABC cú chõn ng cao l H trựng vi tõm ca ng trũn ni tip tam giỏc ABC v AB = AC = 5a , BC = 6a Gúc gia mt bờn (SBC) vi mt ỏy l 600 Tớnh theo a th tớch v din tớch xung quanh ca chúp S.ABC GII Gi M l trung im BC A , M , H thng hng BC AM BC SM SMH = 600 AM=4a S ABC = 12a ; p = 8a r = SH = S ABC 3a = =MH p 3a VS ABC = 6a 3 H HN , HP vuụng gúc vi AB v AC AB SN ; AC SP HM = HN = HP SM = SN = SP = 3a S XQ = 3ap = 24a ã CU 7) Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA=SB=SC= a ỏy l tam giỏc ABC cõn BAC = 1200 , cnh BC=2a Tớnh th tớch ca chúp S.ABC.Gi M l trung im ca SA.Tớnh khong cỏch t M n mt phng (SBC) * p dng nh lớ cosin ABC cú AB = AC = 2a SABC = AB.AC.sin1200 = a Gi H l hỡnh chiu ca S lờn (ABC), theo gt: SA = SB = SC HA = HB = HC H l tõm ng trũn ngoi tip ABC 2a BC * Theo nh lớ sin ABC ta cú: = 2R R = = HA sin A SHA vuụng ti H SH = VS ABC = SA2 HA2 = a P 1S a2 SH = ABC * Gi hA, hM ln lt l khong cỏch t A, M ti mp(SBC) hM SM 1 = = hM = hA hA SA 2 SBC vuụng ti S SSBC = a2 S * Li cú: VS ABC = hA hA = SBC Vy hM = d(M;(SBC)) = CU 8) D B A M C N 3VS ABC a = VSBC a Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn nh A, AB = a Gi I l trung im ca BC, hỡnh chiu vuụng gúc H ca S lờn mt ỏy (ABC) tha món: IA = IH , gúc gia SC v mt ỏy (ABC) bng 60 Hóy tớnh th tớch chúp S.ABC v khong cỏch t trung im K ca SB ti (SAH) Ta cú IA = IH H thuc tia i ca tia IA v IA = 2IH BC = AB = 2a ; AI= a ; IH= AH = AI + IH = 3a IA a = 2 Ta cú HC = AC + AH AC AH cos 45 HC = a Vỡ SH ( ABC ) ( SC ; ( ABC )) = SCH = 60 SH = HC tan 60 = a 15 1 VS ABC = S ABC SH = (a ) a 15 a 15 = BI AH BI (SAH ) BI SH Ta cú d ( K ; ( SAH )) SK 1 a = = d ( K ; ( SAH )) = d ( B; ( SAH ) = BI = d ( B; ( SAH )) SB 2 2 CU 9) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi ; hai ng chộo AC = 3a , BD = 2a v ct ti O; hai mt phng (SAC) v (SBD) cựng vuụng gúc vi mt phng (ABCD) a , tớnh th tớch chúp S.ABCD Bit khong cỏch t im O n mt phng (SAB) bng theo a T gi thit AC = 2a ; BD = 2a v AC ,BD vuụng gúc vi ti trung im O ca mi ng chộo.Ta cú tam giỏc ABO vuụng ti O v AO = a ; BO = a , ú S ã B D = 600 A Hay tam giỏc ABD u T gi thit hai mt phng (SAC) v (SBD) cựng vuụng gúc vi mt phng (ABCD) nờn giao tuyn ca chỳng l SO (ABCD) Do tam giỏc ABD u nờn vi H l trung im ca AB, K l trung im ca HB ta cú DH AB v DH = a ; OK // DH v OK = I D O a C A 3a H B K a OK AB AB (SOK) DH = 2 Gi I l hỡnh chiu ca O lờn SK ta cú OI SK; AB OI OI (SAB) , hay OI l khong cỏch t O n mt phng (SAB) Tam giỏc SOK vuụng ti O, OI l ng cao 1 a = + SO = 2 OI OK SO Din tớch ỏy S ABC D = 4S ABO = 2.OA.OB = 3a ; a ng cao ca hỡnh chúp SO = H Th tớch chúp S.ABCD: VS ABC D = S ABC D SO = M K I E A 3a 3 D O M C CU 10) Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng tõm O, SA vuụng gúc vi đáy hỡnh chúp.Cho AB = a, SA = a Gi H v K ln lt l hỡnh chiu vuông góc ca A lờn SB, SD Chng minh SC (AHK) v tớnh th tớch khối chúp OAHK +BC vuụng gúc vi (SAB) BC vuụng gúc vi AH m AH vuụng vi SB AH vuụng gúc vi (SBC) AH vuụng gúc SC (1) + Tng t AK vuụng gúc SC (2) (1) v (2) SC vuụng gúc vi (AHK ) P D B SB2 = AB2 + SA = 3a2 SB = a A a 2a AH.SB = SA.AB AH= SH= 3 SK= 2a 3 M C N (do tam giỏc SAB v SAD bng v cựng vuụng ti A) Ta cú HK song song vi BD nờn HK SH 2a = HK = BD SB kẻ OE// SC OE ( AHK )(doSC ( AHK )) suy OE đờng cao hình chóp OAHK OE=1/2 IC=1/4SC = a/2 Gi AM l ng cao ca tam giỏc cõn AHK ta cú AM = AH HM = 2a 4a2 AM= 1a a3 (đvtt) VOAHK = OE.SAHK = HK.AM = 32 27 S CU 11) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang vuụng ti A v D; AB = AD = 2a, CD = a; gúc gia hai mt phng (SBC) v (ABCD) bng 600 Gi I l trung im ca cnh AD Bit hai mt phng (SBI) v (SCI) cựng vuụng gúc vi mt phng (ABCD), tớnh th tớch chúp S.ABCD theo a Gii: Vỡ (SBI)v (SCI)vuụng gúc vi (ABCD) nờn SI (ABCD) Ta cú IB = a 5; BC = a 5; IC = a 2; H IH BC tớnh c IH = 3a ; Trong tam giỏc vuụng SIH cú SI = IH tan 600 = 3a 15 SABCD = SAECD + SEBC = 2a + a = 3a (E l trung im ca AB) 1 3a 15 3a 15 V = SABCDSI = 3a = 3 5 Cõu V (1.0 im) CU 12) Cho hỡnh chúp S.ABCD ỏy ABCD l hỡnh thoi SA = x (0 < x < ) cỏc cnh cũn li u bng Tớnh th tớch ca hỡnh chúp S.ABCD theo x Ta cú SBD = DCB (c.c.c) SO = CO Tng t ta cú SO = OA vy tam giỏc SCA vuụng ti S S CA = + x C Mt khỏc ta cú AC + BD = AB + BC + CD + AD BD = x (do < x < 3) S ABCD = + x2 x2 D H O B A Gi H l hỡnh chiu ca S xung (CAB) Vỡ SB = SD nờn HB = HD H CO 1 x = + SH = M 2 SH SC SA + x2 Vy V = x x (dvtt) CU 13) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht vi AB = a , AD = 2a Cnh SA vuụng gúc vi mt phng ỏy , cnh bờn SB to vi mt phng ỏy mt gúc 600 Trờn cnh SA ly im M cho AM = a , mt phng ( BCM) ct cnh SD ti N Tớnh th tớch chúp S.BCNM Tớnh th tớch hỡnh chúp SBCMN ( BCM)// AD nờn mt phng ny ct mp( SAD) theo giao tuyn MN // AD BC AB BC BM T giỏc BCMN l hỡnh thang vuụng cú BM l ng cao BC SA Ta cú : Ta cú SA = AB tan600 = a , a MN SM MN =2 = = AD SA 2a a 2a 4a Suy MN = BM = 3 S a N M Din tớch hỡnh D A thang BCMN l : 4a 2a + ữ 2a 10a BC + MN BM = = S = ữ 2 ữ 3 B C H AH BM Ta cú SH BM v BC (SAB) BC SH Vy SH ( BCNM) SH l ng cao ca chúp SBCNM AB AM = = SB MS ã Vy BM l phõn giỏc ca gúc SBA SH = SB.sin300 = a SBH = 30 Trong tam giỏc SBA ta cú SB = 2a , 10 3a3 Gi V l th tớch chúp SBCNM ta cú V = SH (dtBCNM ) = 27 CU 14)Cho hỡnh chúp S.ABC cú AB = AC = a BC = ã ã SAB = SAC = 30 Tớnh th tớch chúp S.ABC a SA = a , P D B A Do ú VS ABC = SA MN.BC = a a a a = 16 N C M ã Theo nh lớ cụsin ta cú: SB = SA + AB 2SA.AB.cos SAB = 3a + a 2.a 3.a.cos30 = a Suy SB = a Tng t ta cng cú SC = a Gi M l trung im ca SA , hai tam giỏc SAB v SAC l hai tam S giỏc cõn nờn MB SA, MC SA Suy SA (MBC) 3 Ta cú VS ABC = VS MBC + VA.MBC = MA.S MBC + SA.S MBC = SA.S MBC M Hai tam giỏc SAB v SAC cú ba cp cnh tng ng bng nờn chỳng bng Do ú MB = MC hay tam giỏc MBC cõn ti M Gi N l trung im ca BC suy MN BC Tng t ta cng cú MN SA 2 a a 3a MN = AN AM = AB BN AM = a = 16 2 2 2 A C N B a Cõu 14 ) Cho hai hỡnh chúp S.ABCD v S.ABCD cú chung ỏy l hỡnh vuụng ABCD cnh a Hai nh S v S nm v cựng mt phớa i vi mt phng (ABCD), cú hỡnh chiu vuụng gúc lờn ỏy ln lt l trung im H ca AD v trung im K ca BC Tớnh th tớch phn chung ca hai hỡnh chúp, bit rng SH = SK =h MN = S S' SABS v SDCS l hỡnh bỡnh hnh => M, N l trung im SB, SD : V = VS ABCD VS AMND N VS AMND = VS AMD + VS MND ; M VS AMD SM VS MND SM SN D C = = ; = = ; VS ABD SB VS BCD SB SC H K VS ABD = VS ACD = VS ABCD ; VS AMND = VS ABCD V = VS ABCD A 8 B V = ah 24 Cõu 15 ) Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a, tõm O Cnh bờn SA vuụng gúc vi mp (ABCD) v SA = a; M l trung im cnh SD a) Mt phng () i qua OM v vuụng gúc vi mt phng (ABCD) ct hỡnh chúp SABCD theo thit din l hỡnh gỡ? Tớnh din tớch thit din theo a b) Gi H l trung im ca CM; I l im thay i trờn SD Chng minh OH (SCD); v hỡnh chiu ca O trờn CI thuc ng trũn c nh S a K MQ//SA => MQ ( ABCD ) ( ) ( MQO ) Thit din l hỡnh thang vuụng MNPQ (MN//PQ) ( MN + PQ).MQ 3a (vdt) Std = = b M I N QI A D H O B P C AMC : OH / / AM , AM SD, AM CD AM ( SCD ) OH ( SCD ) Gi K l hỡnh chiu ca O trờn CI OK CI , OH CI CI (OKH ) CI HK Trong mp(SCD) : H, K c nh, gúc HKC vuụng => K thuc ng trũn g kớnh HC Cõu 16) Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, BC, CD đôi vuông góc với AB = BC = CD = a Gọi C D lần lợt hình chiếu điểm B AC AD Tính thể tích tích tứ diện ABC D CÂU Vì CD BC , CD AB nên CD mp ( ABC ) mp( ABC ) mp ( ACD) Vì BC ' AC nên BC mp ( ACD) dt ( AC ' D' ).BC ' a Vì tam giác ABC vuông cân nên AC ' = CC ' = BC ' = Ta có AD = AB + BD = AB + BC + CD = 3a nên AD = a Vì BD đờng cao tam giác vuông ABD a nên AD'.AD = AB , Vậy AD ' = Ta có Suy V thể tích tứ diện ABCD V = 1 CD a a a2 a2 a a3 Vậy V = dt ( AC ' D' ) = AC '.AD' sin CAD = AC '.AD' = = = 36 2 AD 2 12 3 12 Cõu 17 ) Trờn ng thng vuụng gúc ti A vi mt phng ca hỡnh vuụng ABCD cnh a ta ly im S vi SA = 2a Gi B, D l hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn SB v SD Mt phng (ABD ) ct SC ti C Tớnh th tớch a din ABCDD C B S + Trong tam giỏc SAB h AB ' SC Trong tam giỏc SAD h AD ' SD D cú: BC SA, BC BA BC (SAB ) Suy ra: AB ' BC , m AB ' SB T ú cú AB ' ( SAC ) AB ' SC (1) Tng t ta cú: AD ' SC (2) T (1) v (2) suy ra: SC ( AB ' D ') B ' D ' SC D' C' B' A D O B C T ú suy ra: SC ' ( AB ' C ' D ') + Ta cú: 1 5a = 2+ AB ' = 2 AB ' SA BA 4 SB ' = SA2 AB '2 = 4a a = a , SB = SA2 + AB = 5a 5 SB ' = ; Suy ra: SB Li cú BD // BD (cựng thuc mp(SBD) v cựng vuụng gúc vi SC) nờn B ' D ' AC ' (vỡ d cú BD ( SAC ) nờn BD AC ' ) Xột hai tam giỏc ng dng SBD v SBD suy ra: B ' D ' SB ' = = BD SB 2a 1 3a Ta cú: = 2+ AC ' = SC ' = SA2 AC '2 = a 2 AC ' SA AC 3 1 16 + Ta cú: VS AB 'C ' D ' = S AB 'C ' D ' SC ' = B ' D ' AC '.SC ' = a 3 45 VS ABCD = S ABCD SA = a Suy th tớch a din cn tỡm l: 3 14 V = VS ABCD VS AB 'C ' D ' = a 45 Cõu 18 ) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi ; hai ng chộo AC = 3a , BD = 2a v ct B'D' = ti O; hai mt phng (SAC) v (SBD) cựng vuụng gúc vi mt phng (ABCD) Bit khong cỏch t im O n mt phng (SAB) bng a , tớnh th tớch chúp S.ABCD theo a T gi thit AC = 2a ; BD = 2a v AC ,BD vuụng gúc vi ti trung im O ca mi ng ã B D = 600 chộo.Ta cú tam giỏc ABO vuụng ti O v AO = a ; BO = a , ú A Hay tam giỏc ABD u T gi thit hai mt phng (SAC) v (SBD) cựng vuụng gúc vi mt phng (ABCD) nờn giao tuyn ca chỳng l SO (ABCD) Do tam giỏc ABD u nờn vi H l trung im ca AB, K l trung im ca HB ta cú DH AB v DH = a ; OK // DH v OK = a OK AB AB (SOK) DH = 2 Gi I l hỡnh chiu ca O lờn SK ta cú OI SK; AB OI OI (SAB) , hay OI l khong cỏch t O n mt phng (SAB) Tam giỏc SOK vuụng ti O, OI l ng cao 1 a = + SO = 2 OI OK SO S Din tớch ỏy S ABC D = 4S ABO = 2.OA.OB = 3a ; ng cao ca hỡnh chúp SO = a Th tớch chúp S.ABCD: VS ABC D = S ABC D SO = 3a 3 I D O C A 3a a H B K *Gi H l trung im BC , chng minh S H (A B C ) *Xỏc nh ỳng gúc gia hai mt phng (SAB) , (SAC) vi mt ỏy l S EH = S FH = 600 *K H K S B , lp lun suy gúc gia hai mt phng (SAB) v (SBC) bng H K A a a *Lp lun v tớnh c AC=AB=a , H A = , S H = H F tan 600 = 2 1 = + K H =a *Tam giỏc SHK vuụng ti H cú 2 HK HS HB 10 a AH 20 = = *Tam giỏc AHK vuụng ti H cú tan A K H = KH 3 a 10 cos A K H = 23 Cõu 43 ) Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú cnh ỏy bng ng cao, bng a Tớnh khong cỏch gia hai ng thng SC v AB a 2a ta tớnh c OI = MH= S 5 2) * Xỏc nh k/c(AB;SC) Vỡ AB//mp(SDC) d(AB,SC) = d(AB,mp(SDC)) Ly M,N ln lt l trung im ca AB,DC;Gi O = AC BD mp(SMN) mp(SDC) B H MH SN , (H SN) MH mp(SDC) MH = d(M; O M (SDC)) = d(AB; A (SDC))= d(AB;SC) * Tớnh MH: H OI SN MH = 2.OI 1 ON OS2 = + OI = SNO vuụng cú: OI ON OS2 ON + OS2 Vi ON = Cõu H I C N D a ; OS = a 44) Cho hỡnh chúp t giỏc S.ABCD cú ỏy l hỡnh ch nht vi SA vuụng gúc vi ỏy, G l trng tõm tam giỏc SAC, mt phng (ABG) ct SC ti M, ct SD ti N Tớnh th tớch ca a din MNABCD bit SA=AB=a v gúc hp bi ng thng AN v mp(ABCD) bng 300 + Trong mp(SAC) k AG ct SC ti M, mp(SBD) k BG ct SD ti N + Vỡ G l trng tõm tam giỏc ABC nờn d cú SG = suy G cng l trng tõm tam giỏc SBD SO T ú suy M, N ln lt l trung im ca SC, SD 2 + D cú: VS ABD = VS BCD = VS ABCD = V Theo cụng thc t s th tớch ta cú: VS ABN SA SB SN 1 = = 1.1 = VS ABN = V VS ABD SA SB SD 2 VS BMN SB SM SN 1 1 = = = VS ABN = V VS BCD SB SC SD 2 S T ú suy ra: VS ABMN = VS ABN + VS BMN = V + Ta cú: V = SA.dt ( ABCD) ; m theo gi thit SA ( ABCD) nờn gúc hp bi AN vi mp(ABCD) ã chớnh l gúc NAD , li cú N l trung im ca SC nờn ã ã tam giỏc NAD cõn ti N, suy NAD = NDA = 300 Suy ra: AD = N M G D A O SA =a tan 300 3 Suy ra: V = SA.dt ( ABCD) = a.a.a = 3 a C B 8 Suy ra: th tớch cn tỡm l: VMNABCD = VS ABCD VS ABMN = V V = V = 3a 24 Cõu 45 ) Cho hỡnh chúp S.ABC cú mt ỏy (ABC) l tam giỏc u cnh a Chõn ng vuụng gúc h t S xung mt phng (ABC) l mt im thuc BC Tớnh khong cỏch gia hai ng thng BC v SA bit SA=a v SA to vi mt phng ỏy mt gúc bng 300 Gi chõn ng vuụng gúc h t S xung BC l H Xột SHA(vuụng ti H) AH = SA cos 300 = a S M ABC u cnh a, m cnh AH = a K => H l trung im ca cnh BC => AH BC, m SH BC => BC(SAH) T H h ng vuụng gúc xung SA ti K => HK l khong cỏch gia BC v SA => HK = AH sin 300 = A C AH a = H Vy khong cỏch gia hai ng thng BC v SA bng a B Cõu 46 ) Cho hỡnh chúp S ABC cú gúc ((SBC), (ACB)) = 60 0, ABC v SBC l cỏc tam giỏc u S cnh a Tớnh theo a khong cỏch t B n mt phng (SAC) Gi M l trung im ca BC v O l hỡnh chiu ca S lờn AM Suy ra: SM =AM = a ; ãAMS = 600 v SO mp(ABC) 3a d(S; BAC) = SO = Gi VSABC- l th tớch ca chúp S.ABC VS.ABC = 13 SABC SO = a 16 (vtt) A C Mt khỏc, VS.ABC = 13 SSAC d ( B; SAC ) O B M SAC cõn ti C cú CS =CA =a; SA = a SSAC = a 13 16 Vy: d(B; SAC) = 3VS ABC = 3a SSAC 13 (vd) CC BI TON V CHểP CT Cõu 47 ) Cho hỡnh chúp ct tam giỏc u ngoi tip mt hỡnh cu bỏn kớnh r cho trc Tớnh th tớch hỡnh chúp ct bit rng cnh ỏy ln gp ụi cnh ỏy nh GII Gi H, H l tõm ca cỏc tam giỏc u ABC, ABC Gi I, I l trung im ca AB, AB Ta cú: AB IC AB ( CHH ') ( ABB ' A ' ) ( CII ' C ' ) AB HH ' Suy hỡnh cu ni tip hỡnh chúp ct ny tip xỳc vi hai ỏy ti H, H v tip xỳc vi mt bờn (ABBA) ti im K II ' Gi x l cnh ỏy nh, theo gi thit 2x l cnh ỏy ln Ta cú: x x I ' K = I ' H ' = I 'C ' = ; IK = IH = IC = 3 Tam giỏc IOI vuụng O nờn: x x = r x = 6r h Th tớch hỡnh chúp ct tớnh bi: V = B + B '+ B.B ' I ' K IK = OK ( Trong ú: B = ) 4x x 3r = x = 6r 3; B ' = = ; h = 2r 4 T ú, ta cú: V = 2r 3r 3r 21r 6r + ữ= + 6r 3 2 ữ Cõu 48 ) Cho hỡnh chúp ct tam giỏc u ngoi tip mt hỡnh cu bỏn kớnh r cho trc Tớnh th tớch hỡnh chúp ct bit rng cnh ỏy ln gp ụi cnh ỏy nh Gi H, H l tõm ca cỏc tam giỏc u ABC, ABC Gi I, I l trung im ca AB, AB Ta cú: AB IC AB ( CHH ') ( ABB ' A ' ) ( CII ' C ' ) AB HH ' Suy hỡnh cu ni tip hỡnh chúp ct ny tip xỳc vi hai ỏy ti H, H v tip xỳc vi mt bờn (ABBA) ti im K II ' Gi x l cnh ỏy nh, theo gi thit 2x l cnh ỏy ln Ta cú: x x I ' K = I ' H ' = I 'C ' = ; IK = IH = IC = 3 Tam giỏc IOI vuụng O nờn: I ' K IK = OK x x = r x = 6r Th tớch hỡnh chúp ct tớnh bi: V = ( h B + B '+ B.B ' Trong ú: B= 4x x 3r = x = 6r 3; B ' = = ; h = 2r 4 ) T ú, ta cú: V = 2r 3r 3r 21r 6r + ữ= + 6r 3 2 ữ CC BI TON V TH TCH LNG TR Cõu 49 ) Cho lng tr tam giỏc u ABC A ' B ' C ' cú cnh ỏy l a v khong cỏch t A n mt a phng (ABC) bng Tớnh theo a th tớch lng tr ABC A ' B ' C ' G Gi M l trung im BC, h AH vuụng gúc vi AM BC AM BC ( AA ' M ) BC AH BC AA ' a M AH A ' M AH ( A ' BC ) AH = 1 a Mt khỏc: = + AA ' = 2 AH A' A AM 3a KL: VABC A ' B ' C ' = 16 Cõu 50 ) Cho lng tr ng ABC A' B 'C ' cú th tớch V Cỏc mt phng ( ABC ' ), ( AB 'C ), ( A' BC ) ct ti Ta cú: O Tớnh th tớch t din O.ABC theo V A' Gi I = AC AC, J = AB AB C' (BA'C) (ABC') = BI (BA'C) (AB'C) = CJ O l im cn tm Goi O = BI CJ B' I J O Ta cỳ O l trng từm tam gic BAC Gi H l hnh chiu ca O ln (ABC)Do V ABC l hnh vung gỳc ca V BAC trn (ABC) nn H l trng từm ABC Gi M l trung im BC Ta cú: A C H M B chiu V OH HM = = A ' B AM Cõu 51 ) Cho lng tr ng ABC.ABC cú tt c cỏc cnh u bng a Gi M l trung im ca AA Tớnh th tớch ca t din BMBC theo a v chng minh rng BM vuụng gúc vi BC Gi H l trung im ca BC d ( M ; ( BB ' C ) ) = AH = SBB ' C = a a2 a3 BB '.BC = VMBB ' C = AH SBB ' C = 2 12 Gi I l tõm hỡnh vuụng BCCB (Hc sinh t v hỡnh) Ta cú B ' C MI ; B ' C BC ' B ' C MB ã ã Cõu 52 ) Cho t din OABC cú OA = 4, OB = 5, OC = v ãAOB = BOC = COA = 600 Tớnh th tớch t din OABC (Hc sinh t v hỡnh) Ly B trờn OB; C trờn OC cho OA = OB ' = OC ' = Ly M l trung im ca BC ( OAM ) ( OB ' C ') K AH OM AH ( OB ' C ') Ta cú AM = OM = MH = AH = 3 15 ã SOBC = OB.OC.sin BOC = 2 Vy VOABC = AH SOBC = 10 Cõu 53 ) Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có cạnh AB = AD = a, AA' = a góc BAD = 600 Gọi M N lần lợt trung điểm cạnh A'D' A'B' Chứng minh AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN Chng t AC BD C/m AC PQ, vi P,Q l trung im ca BD, MN Suy AC (BDMN) Tớnh ỳng chiu cao AH , vi H l giao ca PQ v AC Nu dựng cỏch hiu cỏc th tớch thỡ phi ch cỏch tớnh 3a Tớnh ỳng din tớch hỡnh thang BDMN Suy th tớch cn tỡm l: 16 Cõu 54 ) Cho hỡnh lng tr ABC.ABC cú ỏy l tam giỏc u cnh a, hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn mt phng (ABC) trựng vi tõm O ca tam giỏc ABC Tớnh th tớch lng tr ABC.ABC bit khong cỏch gia AA v BC l a C A B H C A O B Gi M l trung im BC ta thy: M AM BC BC ( A' AM ) A' O BC K MH AA' , (do A nhn nờn H thuc on AA.) Do BC ( A' AM ) HM BC Vy HM l an vụng gúc chung ca HM ( A' AM ) AAv BC, ú d ( AA' , BC) = HM = a Xột tam giỏc ng dng AAO v AMH, ta cú: A' O HM = AO AH suy A' O = AO.HM = a a = a AH 3a 1aa a3 Th tớch lng tr: V = A' O.S ABC = A' O.AM.BC = a= 23 12 Cõu 55 ) Cho lng tr ABC.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn cú cnh huyn AB = Mt bờn (AABB) vuụng gúc vi mt phng (ABC), AA ' = , gúc ãA ' AB nhn v mt phng (AACC) to vi mt phng (ABC) mt gúc 600 Tớnh th tớch lng tr HD Hạ AH AB Từ H kẻ đt //BC cắt AC M góc AMH góc mp (ACCA) với mp(ABC).Đặt AH=x V= Cõu 56) Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình vuông tâm O cạnh a, SO (ABCD) Gọi M, N lần lợt trung điểm SA BC Tính góc đờng thẳng MN mặt phẳng (ABCD) thể tích khối chóp M.ABCD, biết MN = a 10 SO (ABCD) Dựng MH//SO, H thuộc AC, MH (ABCD), suy góc đờng thẳng MN với mp(ABCD) góc MN H = Ta cần tính S Xét tam giác CNH có : 3a a HC = AC = , CN = 4 2 2 HN = HC + CN HC.CN cos 45 Hay HN = 2 9a a 3a + 4 M D a 10 2 A C O H a HN a 10 a 10 = = Suy HN = Vậy cos = MN a 10 N B Dẫn đến = 60 Vậy góc đờng thẳng MN mặt phẳng (ABCD) 600 Thể tích khối chóp M.ABCD Trong tam giác HMN có, tan 60 = MH a 10 a 30 MH = HN tan 60 = = HN MH chiều cao khối chóp M.ABCD Vậy thể tích khối chóp là: V = 1 a 30 a 30 S ABCD MH = a = 3 24 Cõu 57 ) Cho lng tr ABC.ABC cú cnh bờn bng a, ỏy ABC l tam giỏc u, hỡnh chiu ca A trờn (ABC) trựng vi trng tõm G ca ABC Cnh bờn to vi ỏy gúc 600 Tớnh th tớch lng tr ABC.ABC theo a A C B C' A' G M' B' Hỡnh chiu ca AA trờn (ABC) l AG nờn gúc to bi AAv (ABC) l ãAA ' G = 600 gi Ml trung im BC A,G, M thng hng t x=AB x x ABC u cnh x cú AM l ng cao A ' M ' = , A'G = A' M ' = 3 a a x a Trong AAG vuụng cú AG=AAsin600= ; A ' G = AA ' cos600 = = x= 2 2 a 3a 9a th tớch lng tr l VABC A' B 'C ' = AG.S ABC = = 16 32 din tớch ABC l S ABC = AB AC sin 600 = x2 3 a 3a = ( ) = 4 16 Cõu 58 ) Cho lng tr ABC.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u, hỡnh chiu ca A trờn 3a (ABC) trựng vi trng tõm G ca ABC v AG = Mt phng (BBCC) to vi (ABC) gúc 600 Tớnh th tớch lng tr ABC.ABC theo a A C H M B a C' A' G M' B' gi M,M ln lt l trung im BC,BC A,G,M thng hng v AAMM l hỡnh bỡnh hnh AM BC, AG BC BC (AAMM) gúc gia (BCCB) v (ABC) l gúc gia AM ã ' MA = 600 v MM bng M t x=AB x x ABC u cnh x cú AM l ng cao AM = = A ' M ', A ' G = AM = 3 a Trong AAG vuụng cú AG = AGtan600 = x; x = 2 x 3 a 3a din tớch ABC l SABC = AB AC.sin 600 = = ( ) = 4 16 a 3a 9a th tớch lng tr l VABC A' B 'C ' = AG.S ABC = = 16 32 CC BI TON V SO SNH TH TCH TRONG LNG TR Cõu 59 ) Cho hỡnh lng tr ABC.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a, cnh bờn hp vi ỏy mt gúc l 450 Gi P l trung im BC, chõn ng vuụng gúc h t A xung (ABC) l H uuur cho AP = uuur AH gi K l trung im AA, ( ) l mt phng cha HK v song song vi BC ct BB v CC ti M, N Tớnh t s th tớch VABCKMN VA ' B 'C ' KMN GII Gi Q, I, J ln lt l trung im BC, BB, CC ta cú: AP = A' a AH = a Q B' Vỡ ' AHA' vuụng cõn ti H Vy A' H = a K J a a2 (vdt) = a 3a (vtt) (1) V ABCA'B 'C ' = a = 4 Vỡ ' AHA' vuụng cõn HK AA' HK ( BB' C ' C ) G i E = MN KH BM = PE = CN (2) Ta cú S ABC = a m AA = C' A' H + AH = I N E A 45 C M P B H 3a + 3a = a a a BM = PE = CN = V = S MNJI KE Ta cú th tớch K.MNJI l: 1 a KE = KH = AA ' = 4 AK = a a2 a a a3 = (dvdt ) VKMNJI = = (dvtt ) 4 4 a =1 a3 + S MNJI = MN MI = a VABCKMN VA ' B 'C ' KMN 3a = 82 3a Cõu 60 ) Cho hỡnh lng tr ABC.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a, cnh bờn hp vi ỏy mt gúc l 450 Gi P l trung im BC, chõn ng vuụng gúc h t A xung (ABC) l H uuur uuur AH gi K l trung im AA, ( ) l mt phng cha HK v song song vi BC VABCKMN ct BB v CC ti M, N Tớnh t s th tớch VA ' B 'C ' KMN cho AP = A' Gi Q, I, J ln lt l trung im BC, BB, CC ta cú: C' Q B' K a AP = AH = a Vỡ ' AHA' vuụng cõn ti H Vy A' H = a V ABCA'B 'C ' = S ABC A' H J I A N E 45 C M P B H a a Ta cú S ABC = a (vdt) = 2 a 3a (vtt) (1) V ABCA'B 'C ' = a = 4 Vỡ ' AHA' vuụng cõn HK AA' HK ( BB' C ' C ) G i E = MN KH BM = PE = CN (2) m AA = AK = A' H + AH = 3a + 3a = a a a BM = PE = CN = Ta cú th tớch K.MNJI l: V = S MNJI KE 1 a KE = KH = AA ' = 4 a a2 S MNJI = MN MI = a = (dvdt ) 4 a2 a a3 VKMNJI = = (dvtt ) 4 KHONG CCH V GểC TRONG LNG TR Cõu 61 ) Cho lng tr tam giỏc ABC.A1B1C1 cú tt c cỏc cnh bng a, gúc to bi cnh bờn v mt phng ỏy bng 300 Hỡnh chiu H ca im A trờn mt phng (A 1B1C1) thuc ng thng B1C1 Tớnh khong cỏch gia hai ng thng AA1 v B1C1 theo a A GII Do AH ( A1 B1C1 ) nờn gúc AA1 H l gúc gia AA1 v (A1B1C1), theo gi thit thỡ gúc AA1 H bng 300 Xột tam giỏc vuụng AHA1 cú AA1 = a, gúc AA1 H =300 A1 H = a Do tam giỏc A1B1C1 l tam giỏc B C K A C H B1 u cnh a, H thuc B1C1 v A1 H = B1C1 ( AA1 H ) a nờn A1H vuụng gúc vi B1C1 Mt khỏc AH B1C1 nờn K ng cao HK ca tam giỏc AA1H thỡ HK chớnh l khong cỏch gia AA1 v B1C1 Ta cú AA1.HK = A1H.AH HK = A1 H AH a = AA1 Cõu 62 ) Mt hỡnh nún nh S , cú tõm ng trũn ỏy l O A, B l hai im trờn ng trũn ã ỏy cho khong cỏch t O n ng thng AB bng a , ãASO = SAB = 600 Tớnh theo a chiu cao v din tớch xung quanh ca hỡnh nún GIi Gi I l trung im ca AB , nờn OI = a t OA = R ã SAB = 600 SAB u 1 OA R S IA = AB = SA = = 2 sin ãASO Tam giỏc OIA vuụng ti I nờn OA2 IA2 = IO R2 a R = a2 R = SA = a a Chiu cao: SO = a Din tớch xung quanh: S xq = Rl = a = a2 Cõu 63 ) Cho hỡnh lng tr tam giỏc ABC.ABC vi A.ABC l hỡnh chúp tam giỏc u cnh ỏy AB = a; cnh bờn AA = b Gi l gúc gia hai mp(ABC) v mp(ABC) Tớnh tan v th tớch chúp A.BCCB B Gi O l tõm ỏy suy A ' O ( ABC ) v gúc = ãAIA ' *)Tớnh tan A 'O 1a a vi OI = AI = = OI 3 2 a 3b a A ' O = A ' A2 AO = b = 3 3b a tan = a *)Tớnh VA ' BCC ' B ' VA ' BCC ' B ' = VABC A ' B 'C ' VA ' ABC = A ' O.S ABC A ' O.S ABC tan = 3b a a a 3b a = a = ( dvtt ) 2 I A Cõu 64 ) Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cạnh a, góc tạo cạnh bên mặt phẳng đáy 300 Hình chiếu H điểm A mặt phẳng (A 1B1C1) thuộc đờng thẳng B1C1 Tính khoảng cách hai đờng thẳng AA1 B1C1 theo a A B A1 H AH a = Ta có AA1.HK = A1H.AH HK = AA1 Do AH ( A1 B1C1 ) nên góc AA1 H góc AA1 (A1B1C1), theo giả thiết góc AA1 H 300 Xét tam giác vuông AHA1 có AA1 = a, góc AA1 H C K Kẻ đờng cao HK tam giác AA1H HK khoảng cách AA1 B1C1 A C H B 1 a Do tam giác A1B1C1 tam giác a cạnh a, H thuộc B1C1 A1 H = nên A1H vuông góc với B1C1 Mặt khác AH B1C1 nên B1C1 ( AA1 H ) Cõu 65 ) Cho lng tr tam giỏc ABC.A1B1C1 cú tt c cỏc cnh bng a, gúc to bi cnh bờn v =300 A1 H = mt phng ỏy bng 300 Hỡnh chiu H ca im A trờn mt phng (A1B1C1) thuc ng thng B1C1 Tớnh khong cỏch gia hai ng thng AA1 v B1C1 theo a Do AH ( A1 B1C1 ) nên góc AA1 H góc AA1 (A1B1C1), theo giả thiết góc AA1 H a 300 Xét tam giác vuông AHA1 có AA1 = a, góc AA1 H =300 A1 H = Do tam giác A1B1C1 tam giác cạnh a, H thuộc B1C1 A1 H = AH B1C1 nên B1C1 ( AA1 H ) a nên A1H vuông góc với B1C1 Mặt khác A Kẻ đờng cao HK tam giác AA1H HK khoảng cách AA1 B1C1 Ta có AA1.HK = A1H.AH B C K A1 H AH a = AA1 Cõu 66 ) Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất HK = A a, góc tạo cạnh bên mặt phẳng đáy chiếu H điểm A mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đB1C1 Tính khoảng cách hai đờng thẳng AA1 B1C1 theo a B H C cạnh 300 Hình ờng thẳng 1 Do AH ( A1 B1C1 ) nên góc AA1 H góc AA1 (A1B1C1), theo giả thiết góc AA1 H 300 Xét tam giác vuông AHA1 có AA1 = a, góc =300 AA1 H a Do tam giác A1B1C1 tam giác cạnh a, H thuộc A1 H = a B1C1 A1 H = nên A1H vuông góc với B1C1 Mặt khác AH B1C1 nên B1C1 ( AA1 H ) A B C K A B H C Kẻ đờng cao HK tam giác AA1H HK khoảng cách AA1 B1C1 Ta có AA1.HK = A1H.AH HK = A1 H AH a = AA1 TH TCH V XQ DIN TCH NểN Cõu 67 ) Mt hỡnh nún nh S , cú tõm ng trũn ỏy l O A, B l hai im trờn ng trũn ã ỏy cho khong cỏch t O n ng thng AB bng a , ãASO = SAB = 600 Tớnh theo a chiu cao v din tớch xung quanh ca hỡnh nún Gi I l trung im ca AB , nờn OI = a t OA = R ã SAB = 600 SAB u 1 OA R S IA = AB = SA = = 2 sin ãASO Tam giỏc OIA vuụng ti I nờn OA2 IA2 = IO R2 a R2 = a2 R = SA = a O a Chiu cao: SO = a Din tớch xung quanh: S xq = Rl = a = a2 IV +) Gi rC l bỏn kớnh mt cu ni tip nún, v cng l bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc SAB B S SAB = prC = (l + r ).rC = Ta cú: A I SM AB l r 2r l r rC = =r 2(l + r ) l+r +) Scu = r S l r = r l+r l C +) t : y(r ) = I lr r ,0 < r < l l+r l r = 2 2r ( r + rl l ) +) y '(r ) = =0 (l + r ) l r = +) BBT: r y'(r) y(r) l l A M r B ymax +) Ta cú max Scu t y(r) t max r = l Cõu 68 ) Cho hỡnh nún cú nh S, ỏy l ng trũn tõm O, SA v SB l hai ng sinh, bit SO = 3, khong cỏch t O n mt phng SAB bng 1, din tớch tam giỏc SAB bng 18 Tớnh th tớch v din tớch xung quanh ca hỡnh nún ó cho Gi E l trung im ca AB, ta cú: OE AB, SE AB , suy ( SOE ) AB Dng OH SE OH ( SAB ) , vy OH l khong cỏch t O n (SAB), theo gi thit thỡ OH = Tam giỏc SOE vuụng ti O, OH l ng cao, ta cú: 1 1 1 = + = = = 2 2 2 OH SO OE OE OH SO 9 OE = OE = 2 81 SE = OE + SO = + = SE = 8 2 2S 36 S SAB = AB.SE AB = SAB = =8 SE 2 ( ) 9 265 OA = AE + OE = AB ữ + OE = + = 32 + = 8 1 265 265 = Th tớch hỡnh nún ó cho: V = OA2 SO = 3 8 2 Din tớch xung quanh ca hỡnh nún ó cho: SA2 = SO + OA2 = + 265 337 337 = SA = 8 265 337 89305 = 8 S xq = OA.SA = Cõu 69 ) Cho hỡnh nún nh S cú di ng sinh l l, bỏn kớnh ng trũn ỏy l r Gi I l tõm mt cu ni tip hỡnh nún (mt cu bờn hỡnh nún, tip xỳc vi tt c cỏc ng sinh v ng trũn ỏy ca nún gi l mt cu ni tip hỡnh nún) Tớnh theo r, l din tớch mt cu tõm I; Gi s di ng sinh ca nún khụng i Vi iu kin no ca bỏn kớnh ỏy thỡ din tớch mt cu tõm I t giỏ tr ln nht? r +) Gi C l bỏn kớnh mt cu ni tip nún, v cng l bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc SAB S SAB = prC = (l + r ).rC = Ta cú: rC = SM AB S l r 2r l r =r 2(l + r ) l+r 2 +) Scu = r C = r l l r l+r I A M r B y(r ) = +) t : lr r ,0 < r < l l+r l r = 2r ( r + rl l ) +) y '(r ) = = (l + r ) l r = +) BBT: r l l y'(r) y(r) ymax +) Ta cú max Scu t y(r) t max r = l Cõu 70 ) Cho hỡnh nún nh S cú di ng sinh l l, bỏn kớnh ng trũn ỏy l r Gi I l tõm mt cu ni tip hỡnh nún (mt cu bờn hỡnh nún, tip xỳc vi tt c cỏc ng sinh v ng trũn ỏy ca nún gi l mt cu ni tip hỡnh nún) 1.Tớnh theo r, l din tớch mt cu tõm I; 2.Gi s di ng sinh ca nún khụng i Vi iu kin no ca bỏn kớnh ỏy thỡ din tớch mt cu tõm I t giỏ tr ln nht? +) Gi rC l bỏn kớnh mt cu ni tip nún, v cng l bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc SAB S SAB = prC = (l + r ).rC = Ta cú: SM AB l r 2r l r rC = =r 2(l + r ) l+r 2 +) Scu = r C = r S l r l+r l +) t : I lr r y(r ) = ,0 < r < l l+r r= l 2r (r + rl l ) +) y '(r ) = = (l + r ) l r = 2 +) BBT: r y'(r) l l A M r B y(r) ymax +) Ta cú max Scu t y(r) t max r = l TH TCH V XQ DIN TCH TR Cõu 71 ) Cho mt hỡnh tr trũn xoay v hỡnh vuụng ABCD cnh a cú hai nh liờn tip A, B nm trờn ng trũn ỏy th nht ca hỡnh tr, hai nh cũn li nm trờn ng trũn ỏy th hai ca hỡnh tr Mt phng (ABCD) to vi ỏy hỡnh tr gúc 45 Tớnh din tớch xung quanh v th tớch ca hỡnh tr Gi M, N theo th t l trung im ca AB v CD Khi ú OM AB v O ' N CD Gi s I l giao im ca MN v OO t R = OA v h = OO Khi ú: IOM vuụng cõn ti O nờn: OM = OI = h 2a IM = h= a 2 2 2 a a 3a a a = + = Ta cú: R = OA = AM + MO = ữ + ữ 8 ữ 3a a a V = R 2h = = , 16 a a a = v S xq = Rh=2 2 2 2 2 [...]... · SMN = α,d ( A; ( SBC ) ) = d ( N; ( SBC ) ) = NH = 2 S NH 2 4 = ⇒ SABCD = MN 2 = sin α sin α sin 2 α tan α 1 SI = MI.tan α = = sin α cosα 1 4 1 4 ⇒ VSABCD = × 2 × = 2 3 sin α cosα 3.sin α.cosα sin 2 α + sin 2 α + 2cos 2α 2 sin 2 α.sin 2 α.2cos 2α ≤ = 3 3 1 ⇒ sin 2 α.cosα ≤ 3 2 VSABCD min ⇔ sin α.cosα max ⇒ MN = H C D N M I A B 1 3 Câu 35 ) Trên cạnh AD của hình vng ABCD có độ dài là a, lấy điểm M... = AC = , CN = 4 4 2 2 2 2 HN = HC + CN − 2 HC.CN cos 45 0 Hay HN 2 = 2 2 9a a 3a + − 8 4 4 M D a 10 2 2 A C O H a HN a 10 2 1 a 10 = = Suy ra HN = VËy cos α = MN 4 a 10 2 4 α N B DÉn ®Õn α = 60 0 VËy gãc gi÷a ®êng th¼ng MN vµ mỈt ph¼ng (ABCD) b»ng 600  ThĨ tÝch khèi chãp M.ABCD Trong tam gi¸c HMN cã, tan 60 0 = MH a 10 3 a 30 ⇒ MH = HN tan 60 0 = = HN 4 2 8 MH lµ chiỊu cao cđa khèi chãp M.ABCD... ) = 600 m C A’ 1 B’ 0 1 120 D 3 C’ ⇒ ∠DBC ' = 60 0 hc ∠DBC ' = 120 0 - NÕu ∠DBC '= 600 V× l¨ng trơ ®Ịu nªn BB ' ⊥ ( A' B ' C ' ) ¸p dơng ®Þnh lý Pitago vµ ®Þnh lý cosin ta cã BD = BC ' = m 2 + 1 vµ DC ' = 3 KÕt hỵp ∠DBC '= 600 ta suy ra ∆BDC ' ®Ịu Do ®ã m 2 + 1 = 3 ⇔ m = 2 - NÕu ∠DBC '= 120 0 ¸p dơng ®Þnh lý cosin cho ∆BDC ' suy ra m = 0 (lo¹i) VËy m = 2 * Chó ý: - NÕu HS chØ xÐt trêng hỵp gãc 600 ... mặt phẳng (SAB) , (SAC) với mặt đáy là S EH = S FH = 600 *Kẻ H K ⊥ S B , lập luận suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng H K A a 2 a 3 *Lập luận và tính được AC=AB=a , H A = , S H = H F tan 600 = 2 2 1 1 1 3 = + ⇒ K H =a *Tam giác SHK vng tại H có 2 2 2 HK HS HB 10 a 2 AH 20 = 2 = *Tam giác AHK vng tại H có tan A K H = KH 3 3 a 10 3 ⇒ cos A K H = 23 Câu 43 ) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD... → → AH AC1 → = B1 → AH A1C1 A AH AC1 = C1 C H AH AC cos 30 0 AH AC1 3 3 B a 1 2 2 = = → ( AH , AC1 ) = 60 0 Vậy (AH , AC1) = 600 2 3 a a 3 2 a Vậy (AH , AC1) = 600 Câu 41 ) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại A với AB = a, các mặt bên là các tam giác cân tại đỉnh S Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Tính cơsin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC)... bên tạo với đáy góc 600 Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a A C B C' A' G M' B' Hình chiếu của AA’ trên (A’B’C’) là A’G nên góc tạo bởi AA’và (A’B’C’) là ·AA ' G = 600 gọi M’là trung điểm B’C’ ⇒ A’,G, M’ thẳng hàng đặt x=AB x 3 2 x 3 ∆ A’B’C’ đều cạnh x có A’M’ là đường cao ⇒ A ' M ' = , A'G = A' M ' = 2 3 3 a 3 a x 3 a 3 Trong ∆ AA’G vng có AG=AA’sin600= ; A ' G = AA ' cos600 = = ⇔x= 2 2 3 2... tại C ; M,N là hình chiếu của A trên SB, SC Biết MN cắt BC tại T Chứng minh rằng tam giác AMN vng và AT tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB 1.Theo định lý ba đường vng góc BC ⊥ (SAC) ⇒ AN ⊥ BC và AN ⊥ SC AN ⊥ (SBC) ⇒ AN ⊥ MN Ta có: SA2 = SM.SB = SN.SC Vây ∆MSN ∼ ∆CSB ⇒ TM là đường cao của tam giác STB ⇒ BN là đường cao của tam giác STB Theo định lý ba đường vng góc, ta có AB ⊥ ST ⇒AB ⊥ (SAT) hay AB⊥... kh¸c : ΔANH = ΔCNK nªn AH = CK Mµ trong tam gi¸c vu«ng SAN l¹i cã : 1 1 1 1 5 = + = + 1 ⇒ AH = 2 2 2 AH SA AN 25 26 5 VËy kho¶ng c¸ch gi÷a BC vµ SD lµ : CK = 26 Câu 40 ) Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a 2 Tính thể tích khối lăng trụ và góc giữa AC1 và đường cao AH của mp(ABC) +Thể tích lăng trụ : V = dt ( ABC ) AA1 = a 3 6 4 A1 → →  →  AH  AA1 + A1C1  + cos(AH... B’C’, AG ⊥ B’C’ ⇒ B’C’ ⊥ (AA’M’M) ⇒ góc giữa (BCC’B’) và (A’B’C’) là góc giữa A’M’ · ' MA = 600 và MM’ bằng M đặt x=AB x 3 2 x 3 ∆ ABC đều cạnh x có AM là đường cao ⇒ AM = = A ' M ', A ' G = AM = 2 3 3 a 3 Trong ∆ AA’G vng có AG = A’Gtan600 = x; ⇒ x = 2 2 1 x 3 3 a 3 2 3a 2 3 diện tích ∆ ABC là S∆ABC = AB AC.sin 600 = = ( ) = 2 4 4 2 16 2 3 a 3 3a 3 9a thể tích khối lăng trụ là VABC A' B 'C ' = AG.S... O đến đường thẳng AB bằng a , ·ASO = SAB = 600 Tính theo a chiều cao và diện tích xung quanh của hình nón GIẢi Gọi I là trung điểm của AB , nên OI = a Đặt OA = R · SAB = 600 ⇒ ∆SAB đều 1 1 1 OA R S IA = AB = SA = = 2 2 2 sin ·ASO 3 Tam giác OIA vng tại I nên OA2 − IA2 = IO 2 R2 a 6 2 ⇔R − = a2 ⇔ R = 3 2 ⇒ SA = a 2 a 2 Chiếu cao: SO = 2 a 6 Diện tích xung quanh: S xq = π Rl = π a 2 = π a2 3 2 Câu 63