PHÒNG GD & ĐT HUYỆN ĐỨC THỌ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: TOÁN - LỚP ĐỀ THI CÁ NHÂN Thời gian làm bài: 90 phút Phần Từ câu đến câu 10 viết đáp số Câu Kết rút gọn biểu thức: A= ( x − 50 − x + 50 ) x + x − 50 với x ≥ 50 Câu Cho a − b = 29 + 12 − Tính giá trị biểu thức: B = a (a + 1) − b (b − 1) − 11ab + 2015 Câu Tìm tập nghiệm phương trình x + 5x + = (x + 5) x + Câu Tìm x, y, z biết 4x2 + 10y2 + 2z2 – 4xy – 6yz + 6y – 6z + ≤ Câu Cho đường thẳng (d): y = x − 2m − (với m tham số) Gọi H hình chiếu O (d) Xác định giá trị m để OH = Câu Tìm số tự nhiên n cho n + 24 n – 65 hai số phương Câu Biết (a – b +2015), (b – c +2015) (c – a +2015) ba số nguyên liên tiếp (với a, b, c số tự nhiên) Ba số số nào? Câu Cho tam giác ABC vuông A Điểm M, N trung điểm cạnh AB, AC Biết độ dài BN = 2sin α , CM = 2cos α với 0o < α < 90o Tính độ dài đoạn MN Câu Cho đường tròn tâm O, đường kính AB Dây CD vuông góc với AB H; Gọi M, N hình chiếu H AC, BC Tính diện tích tứ giác CMHN biết AB = 13cm, CD = 12cm Câu 10 Cho tam giác ABC vuông A, có AB = 12 cm; AC = 15 cm Tính độ dài đường phân giác AD tam giác ABC Phần Câu 11, 12 trình bày lời giải đầy vào tờ giấy thi Câu 11 Cho hình bình hành ABCD M điểm cạnh AB cho AM = AB , N trung điểm CD, G trọng tâm tam giác BMN, I giao điểm AG BC Tính tỉ số GA IB GI IC Câu 12 Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c4 = Chứng minh rằng: 1 + + ≤ − ab − bc − ca -Hết - ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Từ câu đến câu 10 câu điểm Câu Kết A = −10 B=2051 Tập nghiệm phương trình S = 6; − { 10 } 1 x= ;y= ;z=2 m = m = - n = 2001 Ba số cần tìm 2014, 2015 2016 MN = 216 S ∆CMHN = = 16 (cm ) 13 13 20 AD = cm Điểm 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 11 Gọi E trung điểm MB, P giao điểm AI với CD Đặt AB = a AB GE AE 4a = = = Theo định lí Ta-lét ta có: = GN NP CD + CP 3a + 6CP ⇒ CP = 5a IB AB GA GE GA = = Vì = = nên = (1) ; Suy IC CP GP GN AP 0,5 0,5 IA IB IP AP 11 IA = = ⇒ +1= +1 ⇒ = ⇒ = IP IC IA IA AP 11 GI AI GA = − = − = kết hợp với (1) ta (2) AP AP AP 11 33 GA 11 = Chia theo vế (1) (2) ta GI GA 11 IB = = Tóm lại GI IC Mà 0,5 0,5 0,5 2 − ab ( − ab ) ( + ab ) = − − a 2b = − = − Ta có − ab − ab + 2ab − a 2b ( − ab ) ( + ab ) = a + b + c > a + b = ( a − b 4 4 ) 2 + 2a b ≥ 2a b ⇒ − a b > 2 2 + 2ab − a b = − ( ab − 1) ≤ Do 12 − a 2b a 2b a + b ≤1− = + ≤ + − ab 9 9 18 Tương tự: b + c4 c4 + a ≤ + ≤ + ; − bc 18 − ca 18 1 1  15 a + b + c  + + ≤ Bởi  + ÷= − ab − bc − ca  9  Dấu “=” xẩy a = b = c = Lưu ý: Mọi cách giải khác cho điểm tối đa 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 HƯỚNG DẪN GIẢI PHẦN Câu Rút gọn biểu thức: A = ( x − 50 − x + 50 ) x + x − 50 với x ≥ 50 Hướng dẫn Ta có : A = ( ) (x+ x - 50 - x + 50 ( = ( 2x - x - 50 )( ) A = x - 50 + x + 50 - x - 50 x + x - 50 A2 )( x - 50 x + x - 50 A = ( x - x + 50 ) A = 100 Nhưng theo giả thiết ta thấy A = ( ) ) x - 50 - x + 50 ) x + x - 50 bao nhiêu? a (a + 1) Câu 10 Cho tam giác ABC biết độ dài cạnh AB, BC, CA 7, 6, Đường phân giác góc A B cắt O Qua O vẽ đường thẳng song song với AB cắt hai cạnh lại M, N Tìm chu vi tam giác MNC II PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) Câu 11 Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H góc BAC 600 Gọi M, N, P chân đường cao hạ từ đỉnh A, B, C tam giác ABC I trung điểm BC a Chứng minh tam giác INP b Giả sử IA phân giác góc NIP Tính số đo góc BCP Câu 12 Viết số 1; 2; 3; 4; lên bảng Ta thực phép thay thể số theo quy luật sau: Ở bước, có số a, b thỏa mãn a − b ≥ ta xóa số viết thêm vào số a − 1, b + Hỏi ta thực tối đa bước trên? HẾT Lưu ý: -Thí sinh bắt buộc phải ghi mã đề vào tờ giấy thi; - Thí sinh không sử dụng tài liệu máy tính cầm tay; - Giám thị không giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: TOÁN - Phần thi: CÁ NHÂN Thời gian làm bài: 90 phút (Đề thi có 01 trang gồm 12 câu) Mã đề 02 I PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh cần ghi kết vào tờ giấy thi) Câu 1: Trong hộp có 55 viên bi màu gồm 30 bi màu đỏ, 15 bi màu xanh, 10 bi màu vàng Cần lấy viên bi (mà không cần nhìn vào hộp) để chắn có viên: a Màu đỏ b Cùng màu Câu 2: Tìm số a, b sơ đồ sau: a b 10 11 15 12 12 10 1616 161616 16161616 16   + + Câu 3: Giá trị biểu thức:  bao nhiêu? ÷:  6161 616161 61616161  61 Câu Tìm nghiệm phương trình x + x + = x + 18 15 21 22 20  x − y = Câu Tìm nghiệm hệ phương trình:   y − xy + x = −1 Câu Gọi a nghiệm âm phương trình x − x − = Giá trị biểu thức A = − a + + 8a bao nhiêu? an Câu Cho a1 = an +1 = với n ≥ 1, n ∈ ¥ Tìm a64 ? nan + 1 a Câu Giá trị nhỏ P = a + + với a > bao nhiêu? a (a + 1) Câu Tìm số nguyên n biết n − 4n + số phương Câu 10 Cho tam giác ABC biết độ dài cạnh AB, BC, CA 7, 6, Đường phân giác góc A B cắt O Qua O vẽ đường thẳng song song với AB cắt hai cạnh lại M, N Tìm chu vi tam giác MNC II PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) Câu 11 Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H góc BAC 600 Gọi M, N, P chân đường cao hạ từ đỉnh A, B, C tam giác ABC I trung điểm BC a Chứng minh tam giác INP b Giả sử IA phân giác góc NIP Tính số đo góc BCP Câu 12 Viết số 1; 2; 3; 4; lên bảng Ta thực phép thay thể số theo quy luật sau: Ở bước, có số a, b thỏa mãn a − b ≥ ta xóa số viết thêm vào số a − 1, b + Hỏi ta thực tối đa bước trên? Lưu ý: -Thí sinh bắt buộc phải ghi mã đề vào tờ giấy thi; - Thí sinh không sử dụng tài liệu máy tính cầm tay; - Giám thị không giải thích thêm Họ tên thí sinh…………………………………………….Số báo danh…………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: TOÁN - Phần thi: CÁ NHÂN Hướng dẫn chấm HƯỚNG DẪN CHẤM Mã 01 Lưu ý: Mọi cách giải khác đáp án, ngắn gọn cho điểm tương ứng Câu Câu Đáp án Đáp số: a=11; b=13 Điểm Câu Câu Câu Câu Quy luật: Số nằm trung bình cộng hai số nằm hàng kề a Đáp số: 28 tổng số vàng xanh 25 b Đáp số: (theo nguyên lý Dirichle) Đáp số: phân số Đáp số: 1− Ta có a = nên A= 3+ + + 72 − 32 + 9−4 = 2 (1 + 5) + (3 − 5)3 + + − = = = 2 Đáp số: n=1; n=3 Đáp số: x = Câu PT ⇔ (2x+3)2 =( x + +2)2 Với x ≥ Pt Câu ⇔ 2x+1 = x + 2017 1 = + n; ∀n ≥ an +1 an 1 1 n(n + 1) = +n= + n − + n = = + + + n = + Do an +1 an an −1 a1 2 = Suy a64 = + 63.64 2017 Đáp số: 9/4 a (a + 1) a ( a + 1) 15 (a + 1) + −2= + + −2 Ta có P = (a + 1)2 a (a + 1) 16a 16 a 15 ≥ + − = , có ‘’=’’ a=1 16 Ta có Câu −2 ta có 2x+3 > nên 1 − 21 − 21 + 21 + 21 Đáp số: (x;y) =(1;1); ( − ;-2); ( ; );( ; ); 4 Cộng hai phương trình ta được: (2x-y)2 +(2x-y)-2=0 2 x − y =  x − y = −2  +) Với: 2x-y=1 ⇔ y=2x-1 vào ta được: x=1, x= − ± 21 +) với 2x-y=-2 ⇔ y=2x+2 vào ta được: x= Đáp số Câu + 13 Câu 10 Đáp số: 13 NH OH NC 13 = = ⇒ = Ta có: NB OA BC 20 MC MN NC 13 = = = AC AB BC 20 Suy MN + NC + MC = Câu 11a 13 (7 + + 6) = 13 20 Do IP=IN =BC/2 ⇒ tam giác IPN cân I A ∠BIP = 1800 – ∠ABC ∠NIC = 1800 – ∠ACB Câu 11b Câu 12 K N P ⇒ ∠PIN =1800 – (3600 – - 2( ∠ABC + ∠ACB ) ) =1800-1200=600 C Vậy tam giác IPN B I M IA phân giác góc ∠PIN , tam giác IPN dẫn đến IA vuông góc với PN IA cắt PN trung điểm K Suy AK đường cao đường trung tuyến tam giác APN, dẫn đến tam giác APN tam giác cân A Suy AK phân giác góc ∠BAC Từ tam giác ABC cân A, kết hợp với góc ∠BAC = 600 nên tam giác ABC Vậy ∠BCP =300 Đáp số: Nhận thấy tổng số sau bước không đổi 15 S n tổng bình phương số sau thực bước n giảm xuống (do Sn − Sn+1 = a + b − (a − 1) − (b + 1) ≥ 2; ∀n ) Do trình trình dừng lại bước thứ k , với k số bước tối đa thực Ở bước cuối cùng, lại x số p − x số p + với ≤ x ≤ Ta có xp + (5 − x)( p + 1) = 15 nên | x , suy bước sau số hạng Do S k = 45 Ta có S0 − S k ≥ 2k nên k ≤ 12 + + 52 − 45 = Với k = 5, ta có cách biến đổi sau: (12345)->(22245)->(22335)->(22344)->(23334)->(33333) - HẾT - [...]... 1) 2 15 (a + 1) 2 + 2= + + 2 Ta có P = (a + 1 )2 a (a + 1) 2 16a 16 a 1 15 9 ≥ 2 + 4 − 2 = , có ‘’=’’ khi a=1 4 16 4 Ta có Câu 9 2 ta có 2x+3 > 0 nên 3 1 1 − 21 5 − 21 1 + 21 5 + 21 Đáp số: (x;y) =(1;1); ( − ; -2) ; ( ; );( ; ); 2 4 2 4 2 Cộng hai phương trình ta được: (2x-y )2 +(2x-y) -2= 0 2 x − y = 1  2 x − y = 2  1 +) Với: 2x-y=1 ⇔ y=2x-1 thế vào ta được: x=1, x= − 2 1 ± 21 +) với 2x-y= -2 ⇔ y=2x +2. .. số: 2 1− 5 Ta có a = nên 2 A= 3+ 5 3 6 + 2 5 + 3 72 − 32 5 + 9 4 5 = 2 2 (1 + 5) 2 + 3 (3 − 5)3 1 + 5 + 3 − 5 = = = 2 2 2 Đáp số: n=1; n=3 Đáp số: x = Câu 6 PT ⇔ (2x+3 )2 =( 6 x + 4 +2) 2 Với x ≥ Pt Câu 7 ⇔ 2x+1 = 6 x + 4 1 20 17 1 1 = + n; ∀n ≥ 1 an +1 an 1 1 1 1 n(n + 1) = +n= + n − 1 + n = = + 1 + + n = 1 + Do đó an +1 an an −1 a1 2 2 1 = Suy ra a64 = 2 + 63.64 20 17 Đáp số: 9/ 4 a (a + 1) 2 a (... = AB − BC ⇔ AB + BC 2  AB  AB −1 = 0 AB.BC = AB − BC ⇔  ÷−  BC  BC 2 AB 1  5  ⇔ − ÷ =  BC 2  4 2 Do đó 2 AB 1 5 AB 1 + 5 Vậy − = = BC 2 2 BC 2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 20 15 - 20 16 Môn: TOÁN - Phần thi: CÁ NHÂN Thời gian làm bài: 90 phút Mã đề 01 I PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi) Câu 1: Tìm số a,... VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 20 15 - 20 16 Môn: TOÁN - Phần thi: CÁ NHÂN Thời gian làm bài: 90 phút (Đề thi có 01 trang gồm 12 câu) Mã đề 02 I PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi) Câu 1: Trong hộp có 55 viên bi màu gồm 30 bi màu đỏ, 15 bi màu xanh, và 10 bi màu vàng Cần lấy ra ít nhất là bao nhiêu viên bi (mà không cần nhìn vào... + 15 2n + n 2 − 1 24 0 + 14 399 + + + + + 1+ 3 3+ 5 n −1 + n +1 1 19 + 121 Hướng dẫn Ta biến đổi số hạng tổng quát như sau: )( ( ) 2n + n 2 − 1 n +1 − n −1 2n + n 2 − 1 = n −1 + n +1 ( n + 1) − ( n − 1) 1 = n + 1 + ( n + 1) ( n − 1) + n − 1 n + 1 − n − 1 2 1 3 3 = ( n + 1) − ( n − 1) (Với n là số tự nhiên chẵn) 2 1 1 1 S= 33 − 13 + 53 − 33 + + 121 3 − 1 193 = 121 3 − 13 = ( 113 − 1) = 665 2 2 2 Câu 2 Tìm... tuyến AM và BN lần lượt bằng 6 cm và 9 cm Hướng dẫn: ⇒ Đặt AB = x ; AN = y AC = 2y Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền ta được BC = 2AM = 2. 6 = 12 cm Dùng định lí Pitago cho hai tam giác vuông ABC và ABN vuông tại A Ta được: x2 + 4y2 = 144 (1) và x2 + y2 = 81 ⇔ y2 = 81 – x2 (2) A Thay (2) vào (1) ta được phương trình : x2 + 4( 81 – x2 ) = 144 N Thu gọn phương trình... các số nguyên x, y thỏa mãn: x2015 = y(y + 1)(y + 2) (y + 3) + 1 Hướng dẫn ĐK: y( y + 1)( y + 2) ( y + 3) ≥ 0 ( ( ( ) )( ) ) ( ) Pt (1) ⇔ x 20 15 − 1 = ( y 2 + 3y + 1 )2 − 1 Đặt: y 2 + 3y + 1 = a (a ∈ Z ) ; Vì x nguyên nên x 20 15 − 1 nguyên, suy ra a2 − 1 = k 2 (k ∈ Z) ⇒ a2 − k 2 = 1 ⇒ (a − k)(a + k) = 1 ⇒ k = 0 y = 0 ⇒ x = 1  y 2 + 3y + 1 = 1  y = −3 ⇒ x = 1 2 2 ⇔ ⇒  2  y = −1 ⇒ x = 1 (thỏa mãn)... b ≥ 2 thì ta xóa 2 số này và viết thêm vào 2 số a − 1, b + 1 Hỏi ta có thể thực hiện được tối đa bao nhiêu bước như trên? Lưu ý: -Thí sinh bắt buộc phải ghi mã đề vào tờ giấy thi; - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay; - Giám thị không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh…………………………………………….Số báo danh…………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 NĂM... với x 2 + y 2 = 1 ta có: 1  x= 1   3 x =  ⇔ 3   x2 + y 2 = 1  y = ± 2 2   3 ( x = 0; y = 1)  y = 2x + 1  ⇔ và  2 4 3 2 ( x = − ; y = − ) x + y = 1   5 5   4 3   1 2 2   1 2 2   Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm (x, y) ∈ ( 0;1) ;  − ; − ÷;  ; ÷;  ; − ÷ 3    5 5 3 3  3  Câu 4 Tính độ dài cạnh AB của tam giác ABC vuông tại A có hai đường trung tuyến AM và BN... = 2 ⇒ x = 1 Vậy có 4 cặp nghiệm nguyên ( x; y ) = ( 1;0 ) , ( 1; −1) , ( 1; 2 ) , ( 1; −3 ) Câu 3 Tìm tất cả các cặp số (x; y) thỏa mãn 6 x 2 − 3xy + x = 1 − y và x 2 + y 2 = 1 Hướng dẫn Từ 6 x 2 − 3xy + x = 1 − y ⇔ 6x2 – 3xy + x + y – 1 = 0 ⇔ 6x2 – 3xy + 3x – 2x + y – 1 = 0 ⇔ 3x(2x – y + 1) – (2x – y + 1) = 0 1  3 x − 1 = 0 x = ⇔ 3 ⇔ (2x – y + 1)(3x – 1) = 0 ⇔  2 x − y + 1 = 0   y = 2 x