TÀI LIỆU TOÁN THPT www.k2pi.net MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Nguyễn Đông Sơ Sở Giáo dục Đào tạo Hải Dương Trong chương trình môn Hình học không gian lớp11, bên cạnh toán xác định, tính toán yếu tố chứng minh tính chất kể đến toán cực trị có ứng dụng lớn Những dạng toán sách giáo khoa phổ thông ít; nhiều học sinh gặp khó khăn xác định phương pháp giải Sau vài định hướng giúp học sinh có kinh nghiệm giải toán loại dạng Giải toán cực trị hình học liên hệ yếu tố: độ dài đoạn vuông góc chung khoảng cách ngắn giƣã hai điểm hai đƣờng thẳng chéo Bài toán: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Xét mặt phẳng qua BD’ cắt AA’ M, cắt CC’ N Xác định vị trí M, N cho diện tích thiết diện tạo thành có diện tích nhỏ Giải: Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Một mặt phẳng qua BD’ cắt AA’ M, cắt CC’ N (như hình vẽ) C' D' B' A' N M C D A B TÀI LIỆU TOÁN THPT www.k2pi.net Do mặt bên đối diện song song với nhau, nên cạnh đối thiết diện song song; mặt phẳng qua BD’ cắt hình hập phương theo thiết diện hình bình hành BMD’N Gọi H hình chiếu M BD’ Diện tích S thiết diện lần diện tích tam giác MBD ’ Ta có: S = MH BD’ Vì BD’ = a không đổi Suy S nhỏ MH nhỏ ’ Do M thuộc AA , H thuộc BD’ MH nhỏ đường vuông góc chung AA’ BD’ Khi dễ chứng minh H tâm hình lập phương M trung điểm AA’, N trung điểm CC’ Giải toán cực trị hình không gian thông qua toán cực trị hình học phẳng Bài toán: Chứng minh cạnh dài hình tứ diện khoảng cách lớn hai điểm thuộc tứ diện Giải: Trước tiên ta xét toán hình học phẳng: “ Chứng minh tam giác, cạnh dài khoảng cách lớn điểm thuộc tam giác” Gọi điểm thuộc tam giác M, N Ta xét trường hợp sau: Trường hợp M, N trùng với hai đỉnh tam giác ta có ngay: MN  max (AB, AC, BC) Trường hợp M, N trùng với đỉnh tam giác (giả sử M trùng với A) Khi N thuộc AB N thuộc AC ta có lời giải Nếu N thuộc BC thig\f tuỳ theo vị trí N ta có MN < AB MN < AC Do dó MN  max (AB, AC, BC) Trường hợp M N không trùng với đỉnh tam giác Ta đưa trường hợp cách nối NB, ta có: MN < max (AB, BN, NA)  max (AB, BC, CA) Bài toán chứng minh Ta sử dụng kết đẻ giải toán không gian Xét khoảng cách giữ M N điểm thuộc tứ diện ABCD Bao dựng tam giác có cạnh thuộc mặt tứ diện chứa M, N (chỉ cần dựng mặt phẳng chứa MN đỉnh tứ diện (hình vẽ) Nối AM cắt BC E, nối AN cắt CD F A A TÀI LIỆU TOÁN THPT www.k2pi.net B M N C B N C A M N D B E F C Theo kết toán phẳng: MN  max (AE, EF, FA) Mà AE  max (AB, BC, CA); EF  max (BC, CD, DB); AF  max (AC, CD, DA) Từ suy max (AE, EF, FA)  max (AB, AC, AD, BC, CD, DA) Tức MN không lớn cạnh tứ diện Giải toán cực trị hình học phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức liên hệ yếu tố Bài toán: Trong tứ diện vuông (tứ diện có mặt vuông xuất phát từ đỉnh) nằm mặt cầu bán kính R; tìm kích thước tứ diện ngoại tiếp mặt cầu có bán kính lớn Giải: Dễ thấy tứ dịên vuông cần tìm nội tiếp mặt cầu bán kính R cho trước Gỉa sử tứ diện vuông OABC có mặt vuông OAB, OBC, OCA vuông O OA = a , OB = b , OC = c; ta có: R = Thể tích tứ diện OABC là: V= a2  b2  c2 ; a.b.c ; (1) TÀI LIỆU TOÁN THPT www.k2pi.net C k R O j B A Gọi r bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC ta có: V= r r ( S OAB +SOBC + SOCA+SABC) = ( a.b + b.c + c.a + a 2b  a c  b c ) (2) 1 1 1   = + + + r a b c a b c R 1 1 1  a  b2  c2 ( + + +   ) Do : r a b c a b c Từ (1) (2) suy ra: Ta có: a  b  c 1 + +  a b c Vì 3 3.3 a.b.c , đẳng thức có : a = b = c; 3.3 a b c   a.b.c a2  b2  c2 , đẳng thức có : a = b = c 1    a b c 1 (a  b  c ) = 3, a b c đẳng thức có : a = b = c; Suy ra: 2R R R.(  1) 3 + ; hay r  = ,  r 3.(1  ) 2R đẳng thức có a = b = c = Vậy tứ diện vuông cần tìm có cạnh a = b = c= kính lớn r = 2R , chứa mặt cầu có bán R.(  1) TÀI LIỆU TOÁN THPT www.k2pi.net Giải toán cực trị hình học phƣơng pháp diện tích, thể tích Bài toán: Cho tứ diện mặt vuông OABC đỉnh O, có OA = a , OB = b , OC = c Gọi x, y, z khoảng cách từ điểm M mặt ABC đến mặt OBC, OCA, OAB Tìm giá trị lớn tích T = x y z Giải: Cho tứ diện vuông OABC, có OA = a , OB = b , OC = c, vẽ hình hộp chữ nhật nội tiếp có đỉnh M nằm mặt ABC, đỉnh lại nằm mặt vuông tứ diện (như hình vẽ) C M Y O Q B X P I K A Đặt kích thước hình hộp chữ nhật OX = x, OY = y, OZ = z Khi x, y, z tương ứng khoảng cách từ M đến mặt OBC, OCA, OAB Ta tích hình hộp là: V = x y z Vẽ CM cắt AB K; gọi I hình chiếu M mặt OAB đỉnh hình hộp chữ nhật, ta có O, I, K thẳng hàng; gọi KQ = x1 , KP = y1 tương ứng đoạn vuông góc từ K đến OB, OA Khi sử dụng tỷ số diện tích hai hình chữ nhật OXIY OPKQ đồng dạng với hệ số tỷ lệ là: OI/ OK = ZM/ OK = CZ/ CO = (c - z )/ c; ta : TÀI LIỆU TOÁN THPT www.k2pi.net x y = (c – z)2 x1 y1/ c2 Do thể tích hình hộp chữ nhật có ba kích thước: x, y, z V = x y z = (c – z)2 z x1 y1/ c2 (*) Từ suy có đồng thời x1 y1 lớn (c – z)2 z lớn V đạt giá trị lớn Ta có hai lần diện tích tam giác OAB a b = x b + y1 a ; áp dụng bất đẳng thức Cô si ta x1 y1 lớn a b/ 4, x1 = a/ y1 = b/ Khi K trung điểm AB Hàm số F (z) = (c – z)2 z đạt giá trị lớn là: c3/ 27, z = c / Kết hợp lại V (*) đạt giá trị lớn : V = a b c / 27 ; x = a/ , y = b/ , z = c/ (tương thích) Khi M trọng tâm tam giác ABC Vậy với M trọng tâm tam giác ABC, T = x y z lớn là: a b c/ 27 với x = a/ , y = b/ , z = c/ Cách giải khác (lớp 12) Xét hệ tọa độ trực chuẩn oyz Ta có: A (a, 0, 0); B (0, b, 0); C (0, 0, c) (với x, y, z a, b, c số dương) Khi phương trình đoạn chắn mặt phẳng qua A, B, C có dạng: x/ a + y/ b + z/ c = Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được: 13  33 x.y.z / a.b.c Đẳng thức có x/a = y/ b = z/ c = 1/3 Hay x y z  a b c / 27 Đẳng thức có với x = a/ , y = b/ , z = c/ Vậy giá trị lớn x y z là: a b c/ 27; với x = a/ , y = b/ , z = c/ Giải toán cực trị hình học ứng dụng phƣơng pháp tối ƣu hoá Bài toán: Cho bìa hình vuông cạnh a Cắt theo cạnh hình vuông tam giác cân nhau; trồi gấp lên ghép lại thành hình chóp tứ giác Tìm kích thước hình chóp tích lớn Giải: Giả sử hình chóp tứ giác S.ABCD dựng được, có cạnh đáy x Trải mặt bên mặt phẳng đáy, ta có hình khai triển hình chóp hình vẽ (các đỉnh hình vuông trùng với đỉnh hình chóp) TÀI LIỆU TOÁN THPT www.k2pi.net C Dj B A Bây ta xét với giá trị x (0 < x  a / 2), thoả mãn yêu cầu đề bài? Gọi V thể tích hình chóp S.ABCD, có đường cao SH ta có: V = x2 SH/ Gọi M trung điểm AB, tam giác vuông SMH có: SH2 = SM2 – HM2 Dẽ thấy SM = a / – x/2 HM = x/2 Vậy V = x (a / 2)2 - a x / Đặt t = x / (a / ) ta V = (a 2 / 4) t  t (với < t  1) V đạt giá trị lớn t2  t đạt giá trị lớn Chuyển t vào thức áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số t/4 số 1-t, ta tìm t = 4/5 a , thoả mãn điều kiện đặt, V đạt giá trị lớn Vậy hình chóp có cạnh đáy x = a thỏa mãn yêu cầu toán Suy x =