Optimum Receivers for AWGN Channels Thu tối ưu cho kênh tổng quát Thu tối ưu cho kênh AWGN Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế Layout Optimum Receivers for AWGN Channels Thu tối ưu cho kênh tổng quát Thu tối ưu cho kênh AWGN Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế Optimum Receivers for AWGN Channels Thu tối ưu cho kênh tổng quát Thu tối ưu cho kênh AWGN Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế Kênh AWGN kênh có trình nhiễu cộng Gaussian trắng ảnh hưởng lên tín hiệu r (t) = sm (t) + n(t) n(t) thể cụ thể trình nhiễu trắng Gaussian, có giá trị trung bình phổ công suất N0 /2 Bộ thu nhận r (t), đưa định tối ưu tin m truyền Nguyên tắc định tối thiểu hoá xác suất định sai tin thực truyền m tin sau định m: ˆ Pe = P[m ˆ = m] Tìm hiểu kênh AWGN có hai tác dụng chủ yếu: nhiễu cộng Gaussian trắng loại nhiễu điển hình nhiều loại kênh loại nhiễu sử dụng để nghiên cứu phân tích nhiều loại nhiễu khác Optimum Receivers for AWGN Channels Thu tối ưu cho kênh tổng quát Thu tối ưu cho kênh AWGN Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế Bằng việc sử dụng sở trực chuẩn {φj (t), ≤ j ≤ N}, tín hiệu sm (t) biểu diễn vector sm ∈ RN Mọi sở trực chuẩn sử dụng khai triển trình Gaussian trắng giá trị trung bình 0, hệ số khai triển biến ngẫu nhiên Gaussian, có giá trị trung bình 0, sai phương N0 /2 (tức có phân bố giống nhau) Chúng ta chuyển từ r (t) = sm (t) + n(t) sang dạng vector r = sm + n, với vector N chiều, thành phần n biến Gaussian có phân bố giống nhau, giá trị trung bình sai phương N0 /2 Optimum Receivers for AWGN Channels Thu tối ưu cho kênh tổng quát Thu tối ưu cho kênh AWGN Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế Xác định tối ưu cho kênh tổng quát Các thành phần nhiễu nj , ≤ j ≤ N có chung luật phân bố N(0, N0 /2): N − n p(n) = √ e N0 πN0 Chúng ta tìm hiểu mô hình kênh tổng quát phần này, mà không giới hạn kênh AWGN Trong mô hình kênh tổng quát, vector sm lựa chọn từ tập hợp vector tín hiệu có, tương ứng với xác suất tiên nghiệm Pm Optimum Receivers for AWGN Channels Thu tối ưu cho kênh tổng quát Thu tối ưu cho kênh AWGN Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế Xác định tối ưu cho kênh tổng quát Ký hiệu hàm xác định phía thu g (r), g (r) = m ˆ xác suất xác định xác suất m ˆ thực truyền đi: P[correct decision|r] = P[m ˆ sent|r] P[correct decision] = P[m ˆ sent|r]p(r)dr Mục tiêu thiết kế xác định tối ưu làm tối thiểu hoá sai số hay cực đại hoá xác suất xác định P[correct decision]: m ˆ = gopt (r) = arg maxP[m|r] 1≤m≤M Optimum Receivers for AWGN Channels Thu tối ưu cho kênh tổng quát Thu tối ưu cho kênh AWGN Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế Xác định tối ưu cho kênh tổng quát Bộ thu tối ưu MAP ML Luật xác định tối ưu luật cực đại hoá xác suất hậu nghiệm, gọi luật MAP Luật viết đơn giản thành m ˆ = arg max 1≤m≤M Pm p(r|sm ) = arg maxPm p(r|sm ) p(r) 1≤m≤M Công thức đơn giản công thức trước Pm xác suất mô tả kênh p(r|sm ) tính trực tiếp Khi tin có xác suất tiên nghiệm, luật xác định tối ưu đơn giản thành m ˆ = arg maxp(r|sm ) 1≤m≤M p(r|sm ) gọi khả tin m, thu gọi thu cực đại hoá khả năng, hay thu ML Optimum Receivers for AWGN Channels Thu tối ưu cho kênh tổng quát Thu tối ưu cho kênh AWGN Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế Xác định tối ưu cho kênh tổng quát Miền xác định Mọi xác định phân chia không gian đầu RN thành M miền, D1 , D2 , , DM mà r ∈ Dm , m ˆ = g (r) = m Miền Dm gọi miền xác định cho tin m Nếu tương ứng với r, hai hay nhiều tin cực đại hoá xác suất hậu nghiệm gán tuỳ ý r cho miền xác định Optimum Receivers for AWGN Channels Thu tối ưu cho kênh tổng quát Thu tối ưu cho kênh AWGN Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế Xác định tối ưu cho kênh tổng quát Xác suất lỗi Khi sm truyền đi, lỗi xảy r không nằm Dm (xác suất sai ký hiệu hay xác suất sai tin): M M Pe = m=1 Pm P[r ∈ Dm |sm sent] = Pm Pe|m m=1 M = p(r|sm )dr Pm m=1 ′ 1≤m ≤M m′ =m Dm ′ Tính xác suất sai bit đòi hỏi có nhiều thông tin trình điều chế quĩ đạo tín hiệu phải đối xứng, không xét Optimum Receivers for AWGN Channels Thu tối ưu cho kênh tổng quát Thu tối ưu cho kênh AWGN Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế Xác định tối ưu cho kênh tổng quát Ví dụ Xét hai tin có xác suất giống s1 = (0, 0) s2 = (1, 1) Kênh có nhiễu phân bố mũ với thành phần n1 , n2 , độc lập thống kê có phân bố giống p(n) = e −n n≥0 n p(r|s2 )} Optimum Receivers for AWGN Channels Thu tối ưu cho kênh tổng quát Thu tối ưu cho kênh AWGN Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế Xác định tối ưu cho kênh tổng quát Hình: Miền xác định D1 , D2 Optimum Receivers for AWGN Channels Thu tối ưu cho kênh tổng quát Thu tối ưu cho kênh AWGN Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi tín hiệu PSK Giá trị xấp xỉ xác suất lỗi ký hiệu M SNR lớn Pe ≈ 2Q (2 log2 M) sin2 π M ζb N0 π π ≈M Khi M lớn, sử dụng xấp xỉ sin M   2π log2 M ζb  Pe ≈ 2Q  M2 N0 Optimum Receivers for AWGN Channels Thu tối ưu cho kênh tổng quát Thu tối ưu cho kênh AWGN Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi tín hiệu QAM Đối với tín hiệu QAM, miền xác định phụ thuộc vào sơ đồ không gian tín hiệu, nói chung xác suất lỗi dạng đóng Ta xét hai sơ đồ QAM với M = giả thiết dmin = 2A cho hai sơ đồ Với ứng dụng thực tế, xác suất lỗi hai sơ đồ Tiếp theo, ta xét sơ đồ QAM với M = (đều có mức biên độ khoảng cách tối thiểu hai điểm tín hiệu 2A) Sơ đồ thứ cần 1dB so với hai sơ đồ đầu 1.6dB so với sơ đồ thứ để có xác suất sai Sơ đồ thứ coi sơ đồ QAM với M = tốt Optimum Receivers for AWGN Channels Thu tối ưu cho kênh tổng quát Thu tối ưu cho kênh AWGN Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi tín hiệu QAM Hình: Hai sơ đồ QAM với M = Hình: Bốn sơ đồ QAM với M = Optimum Receivers for AWGN Channels Thu tối ưu cho kênh tổng quát Thu tối ưu cho kênh AWGN Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi tín hiệu QAM Các sơ đồ QAM chữ nhật thường sử dụng thực tế Trong trường hợp k chẵn sơ đồ không gian tín hiệu hình vuông, người ta tính xác công thức xác suất sai, Pe ≤ 4Q log2 M ζbavg M − N0 Không giống PAM PSK (tăng SNR 6dB/bit để có xác suất sai), tín hiệu QAM yêu cầu tăng SNR 3dB/bit để có xác suất sai Optimum Receivers for AWGN Channels Thu tối ưu cho kênh tổng quát Thu tối ưu cho kênh AWGN Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi tín hiệu QAM Hình: Xác suất sai ký hiệu tín hiệu QAM Optimum Receivers for AWGN Channels Thu tối ưu cho kênh tổng quát Thu tối ưu cho kênh AWGN Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi tín hiệu QAM Với sơ đồ QAM hình chữ nhật, sử dụng giới hạn xác suất lỗi   dmin  Pe ≤ (M − 1)Q  2N0 4-PSK and 4-QAM (cả hai loại tín hiệu chiều) có độ hiệu với mức SNR Khi M > 4, tín hiệu QAM có độ hiệu cao tín hiệu PSK (nếu có mức SNR) Optimum Receivers for AWGN Channels Thu tối ưu cho kênh tổng quát Thu tối ưu cho kênh AWGN Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế Layout Optimum Receivers for AWGN Channels Thu tối ưu cho kênh tổng quát Thu tối ưu cho kênh AWGN Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế Optimum Receivers for AWGN Channels Thu tối ưu cho kênh tổng quát Thu tối ưu cho kênh AWGN Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế Tín hiệu trực giao (orthogonal), tín hiệu trực giao nhị phân (biorthogonal), tín hiệu đơn hình (simplex) đặc trưng số chiều tín hiệu cao Chúng ta thấy tín hiệu hiệu mặt công suất mặt sử dụng băng thông so với tín hiệu ASK, PSK, QAM Thu tối ưu cho kênh tổng quát Thu tối ưu cho kênh AWGN Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế Optimum Receivers for AWGN Channels Xác định tối ưu xác suất lỗi tín hiệu trực giao Đối với sơ đồ tín hiệu trực giao lượng, N = M biểu diễn không gian tín hiệu s1 = ( ζ, 0, , 0) s2 = (0, = ζ, , 0) sM = (0, , 0, ζ) Khi tín hiệu đồng xác suất có lượng giống nhau, xác định tối ưu lựa chọn m ˆ = arg maxr · sm 1≤m≤M Optimum Receivers for AWGN Channels Thu tối ưu cho kênh tổng quát Thu tối ưu cho kênh AWGN Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi tín hiệu trực giao Do tính đối xứng √ không gian tín hiệu khoảng cách hai điểm tín hiệu 2ζ, xác suất sai độc lập với tín hiệu truyền Xác suất sai tính theo công thức Pe = √ 2π ∞ −∞ [1 − (1 − Q(x))M−1 ]e − (x− √ 2ζ/N0 ) dx Nói chung xác suất sai tính phương pháp số dựa vão công thức với giá trị SNR khác Xác suất nhận tin m = 2, 3, , M, s1 truyền giống nhau, P[sm received|s1 sent] = Pe Pe = k M −1 −1 Optimum Receivers for AWGN Channels Thu tối ưu cho kênh tổng quát Thu tối ưu cho kênh AWGN Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi tín hiệu trực giao Chúng ta có Pb = 2k−1 Pe ≈ Pe 2k − Bằng cách tăng M, giảm SNR/bit để có xác suất sai (trái ngược với tín hiệu ASK, PSK, QAM) Chú ý với tín hiệu FSK nhị phân, độ phân tách tần số để bảo đảm tính trực giao không làm tối thiểu hoá xác suất lỗi Giá trị phân tách tần số để có xác suất sai nhỏ với tín hiệu FSK nhị phân ∆f = 0.715 T Thu tối ưu cho kênh tổng quát Thu tối ưu cho kênh AWGN Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế Optimum Receivers for AWGN Channels Xác định tối ưu xác suất lỗi tín hiệu trực giao Giới hạn hợp cho xác suất sai M − − d4Nmin e √ = 2ζ ζb = ζ/k, ta có Pe ≤ Với tín hiệu trực giao, dmin Pe < k e Rõ ràng ζb N0 kζ − 2Nb =e − ζb N0 −2 ln > ln ≈ 1.42dB Pe → k → ∞ Tổng quát, có giới hạn Shannon limit −1.6dB:  ζb k  ζb e − N0 −2 ln N0 > ln 2 √ Pe ≤ ζb  N0 − ln 2e −k ln ≤ Nζb0 ≤ ln Optimum Receivers for AWGN Channels Thu tối ưu cho kênh tổng quát Thu tối ưu cho kênh AWGN Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi tín hiệu trực giao nhị phân Một tập hợp M = 2k tín hiệu trực giao nhị phân xây dựng từ M/2 tín hiệu trực giao cách đảo dấu (đảo chiều) tín hiệu trực giao Trong trường hợp này, ta có N = M/2, biểu diễn vector tín hiệu s1 = − sN+1 =( ζ, 0, , 0) s2 = − sN+1 =(0, = = ζ, , 0) sN = − s2N =(0, , 0, ζ) Optimum Receivers for AWGN Channels Thu tối ưu cho kênh tổng quát Thu tối ưu cho kênh AWGN Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi tín hiệu trực giao nhị phân Giả thiết tín hiệu s1 (t) truyền đi, vector tín hiệu nhận r=( ζ + n1 , n2 , , nN ) với {nm } biến ngẫu nhiên Gaussian độc lập thống kê với nhau, có phân bố giống nhau, có giá trị trung bình sai phương σn2 = N0 /2 Do tín hiệu đồng xác suất có lượng giống nhau, xác định tối ưu lựa chọn tín hiệu có tương quan chéo lớn với tín hiệu nhận C (r, sm ) = r · sm , ≤ m ≤ M/2 Và ta có Pe = 1− √ 2π ∞ − √ 2ζ/N0 √ 2π √ v+ √ −(v+ M/2−1 2ζ/N0 e 2ζ/N0 ) − x2 dx v2 e − dv Optimum Receivers for AWGN Channels Thu tối ưu cho kênh tổng quát Thu tối ưu cho kênh AWGN Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế Xác định tối ưu xác suất lỗi tín hiệu đơn hình Các tín hiệu đơn hình xây dựng từ tập hợp tín hiệu trực giao cách chia tín hiệu trực giao cho giá trị trung bình tín hiệu trực giao Tính chất hình học tín hiệu đơn hình giống hệt với tính chất tín hiệu trực giao gốc Chúng ta có Pe = √ 2π ∞ −∞ x− M−1 [1 − (1 − Q(x)) ]e − M 2ζ M−1 N0 2 dx Từ công thức ta thấy độ hiệu tín hiệu đơn hình độ M hiệu tín hiệu trực giao 10 log M−1 Khi M lớn, giá trị không đáng kể hai tín hiệu coi có hiệu giống Tương tự với tín hiệu trực giao trực giao nhị phân, xác suất lỗi giảm M tăng lên [...]... suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế Tín hiệu có bằng tần hạn chế là các tín hiệu có các đặc điểm sau: có yêu cầu về băng thông tương đối hẹp (nhỏ), ít chiều, và số chiều độc lập với số lượng tín hiệu (khác nhau) trong sơ đồ tín hiệu, hiệu quả về công suất giảm đi khi số lượng tín hiệu tăng lên Optimum Receivers for AWGN Channels Thu tối ưu cho kênh tổng quát Thu tối ưu cho kênh AWGN Xác định... hạn chế Xác định tối ưu cho kênh AWGN Ví dụ: Xác định tối ưu tín hiệu nhị phân đối cực Tín hiệu nhị phân đối cực là s1 (t) = s(t) = −s2 (t) Xác suất các bản tin là p and 1 − p, số chiều của tín hiệu √ là N = 1, và√vector biểu diễn hai tín hiệu là số vô hướng s1 = ζs và s2 = − ζs với ζs là năng lượng của mỗi tín hiệu và bằng ζb Miền xác định D1 là D1 = {r : r > rth }, rth = N0 √ 4 ζb ln 1−p p Khi p →... tối ưu và xác suất lỗi tín hiệu PSK Xác suất sai ký hiệu khi M = 4 Pe = 2Q 2ζb N0 1 1− Q 2 2ζb N0 Với M > 4, xác suất sai ký hiệu P có thể tính được bằng phương pháp số Đồ thị mô tả sự that đổi về SNR/bit khi M tăng Với M lớn, tăng gấp đôi số lượng phase yêu cầu SNR tăng 6dB/bit để có cùng độ hiệu quả Optimum Receivers for AWGN Channels Thu tối ưu cho kênh tổng quát Thu tối ưu cho kênh AWGN Xác định... suất hạn chế Tín hiệu trực giao (orthogonal), tín hiệu trực giao nhị phân (biorthogonal), và tín hiệu đơn hình (simplex) được đặc trưng bởi số chiều của tín hiệu cao Chúng ta sẽ thấy các tín hiệu này hiệu quả hơn về mặt công suất nhưng kém hơn về mặt sử dụng băng thông so với các tín hiệu ASK, PSK, và QAM Thu tối ưu cho kênh tổng quát Thu tối ưu cho kênh AWGN Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín... AWGN Channels Giới hạn của xác suất lỗi trong xác định ML Một giới hạn dưới của xác suất lỗi Với các sơ đồ tín hiệu M mức đồng xác suất, xác suất lỗi là Pe = 1 M M p(r|sm )dr m=1 c Dm Ký hiệu Nmin là số tối thiểu các điểm tín hiệu có khoảng cách dmin tới một điểm khác, ta có Pe ≥ Nmin Q M dmin √ 2N0 Optimum Receivers for AWGN Channels Thu tối ưu cho kênh tổng quát Thu tối ưu cho kênh AWGN Xác định... kênh AWGN Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế Xác định tối ưu và xác suất lỗi tín hiệu PSK Giả thiết các bản tin là đồng xác suất, khi đó các miền xác định dựa trên luật về khoảng cách tối thiểu √ Xác suất sai của hệ thống bằng với xác suất sai khi √ s1 = ( ζ, 0) được truyền đi Vector nhận được là r = (r1 , r2