B TR GIÁO D C VĨ ĨO T O NG I H C TH NG LONG - D PH NG TH PH NG NG TRỊNH HĨM A TH C LU N V N TH C S TOÁN H C Hà N i – N m 2016 B TR GIÁO D C VĨ ĨO T O NG I H C TH NG LONG - D PH NG TH PH NG ậ C00454 NG TRỊNH HĨM A TH C LU N V N TH C S TOÁN H C CHUYÊN NGĨNH: PH NG PHÁP TOÁN S C P Mẩ S : 60 46 01 13 NG IH NG D N KHOA H C: TS L U BÁ TH NG Hà N i – N m 2016 Thang Long University Library M CL C Trang Trang ph bìa 01 M c l c 02 L i cam đoan 04 Tóm t t lu n v n 05 M Ch U 06 ng KI N TH C C B N 1.1 VÀNH CÁC A TH C M T BI N 08 1.2 A TH C TRÊN M T TR NG S ầầầầầầầầầ.ầầầ 12 1.2.1 M t s tính ch tầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ.ầầ 12 1.2.2 M t s ví d ầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ.ầ 16 1.3 A TH C TRÊN TR NG ầầầầầầầầầầầầầầầ 18 1.3.1 Nghi m h u t c a đa th c v i h s nguyênầầầầầầầ.ầ 18 a th c b t kh quy tr 1.3.2 ng s h u t vƠ tiêu chu n Eisenstein; Osada; Polyaầầầầầầầầầầầầầầầầ ầầ 19 1.4 A TH C TRÊN VÀ TRÊN ầầầầầầầầầầầ.ầầ 24 1.5 VÀNH A TH C NHI U BI Nầầầầầầầầầầầầ ầ 27 1.5.1 Xơy d ng vƠnh đa th c nhi u bi nầầầầầầầầ.ầầầầ 27 1.5.2 B c c a đa th c nhi u bi nầầầầầầầ ầầầầầầ.ầầầ 28 K t lu n Ch Ch ng 29 ng M T S D NG PH NG TRỊNH HĨM A TH C 2.1 PH NG TRÌNH HÀM A TH C M T BI N 31 2.1.1 Ph ng trình có d ng xP  x  a    x  b  P  x 31 2.1.2 Ph ng trình có d ng P  f  x  P  g  x   P  h  x  ầầầầầầầ 39 2.1.3 Ph ng trình có d ng P  f  x  P  g  x   P  h  x   Q  x ầầầầ 53 2.1.4 BƠi t p t luy n 61 2.2 PH NG TRÌNH HÀM A TH C NHI U BI N………………… 62 2.2.1 M t s ví d 62 2.2.2 BƠi t p t ng t 65 2.3 M T S D NG PH NG TRÌNH HÀM A TH C KHÁC.ầầầ 65 2.3.1 M t s ví d 65 2.3.2 BƠi t p t ng t 71 2.3.3 BƠi t p t luy n 73 K t lu n Ch ng 74 K T LU N VĨ KHUY N NGH K t lu n 75 Khuy n ngh 75 TĨI LI U TRệCH D N 76 Thang Long University Library L I CAM OAN Tôi xin cam đoan d i s giúp đ , h ng d n, ch b o t n tình c a TS L u Bá Th ng, lu n v n cao h c chuyên ngƠnh ph đ tƠi “Ph ng pháp Toán s c p v i ng trình hàm đa th c” lƠ công trình nghiên c u c a riêng th i gian h c t p vƠ nghiên c u t i tr ng i h c Th ng Long Trong trình nghiên c u vƠ th c hi n lu n v n, tác gi đư k th a vƠ phát huy nh ng k t qu c a nhƠ khoa h c v i s trơn tr ng vƠ bi t n Hà N i, tháng 06 n m 2016 Tác gi D ng Th Ph ng TịM T T LU N V N Lu n v n g m ba ph n: PH N M đ u PH N N i dung Ph n g m hai ch Ch ng: ng KI N TH C C B N 1.1 VÀNH A TH C M T BI N 1.2 A TH C TRÊN M T TR 1.3 A TH C TRÊN TR 1.4 A TH C TRÊN NG S NG VÀ TRÊN 1.5 VÀNH A TH C NHI U BI N Ch ng M T S D NG PH NG TRỊNH HĨM A TH C 2.1 PH NG TRÌNH HÀM A TH C M T BI N 2.2 PH NG TRÌNH HÀM A TH C NHI U BI N 2.3 M T S D NG PH NG TRÌNH HÀM A TH C KHÁC PH N K t lu n vƠ khuy n ngh Thang Long University Library M Ph U ng trình hƠm nói chung vƠ ph ng trình hƠm đa th c nói riêng lƠ m t nh ng l nh v c hay vƠ khó c a toán s c p Trong kì thi Olympic Toán h c Qu c gia, Khu v c vƠ Qu c t th bƠi toán ph th ng trình hƠm vƠ ph ng lƠ khó, r t khó v ng ki n th c v ph ng xuyên xu t hi n ng trình hƠm đa th c Các bƠi toán nƠy gi i bƠi toán tr c tiên ta ph i n m ng trình hƠm vƠ tính ch t c a đa th c, đ ng th i ph i có s v n d ng thích h p Trên th c t , công trình nghiên c u v ph nhi u nh ng tƠi li u đ c p v ph ng trình hƠm đa th c nói riêng Do đó, vi c có th giúp h c sinh ti p c n v i ph dƠng h n vƠ gi i quy t đ ng trình hƠm có r t ng trình hƠm đa th c d c m t s bƠi toán v ph ng trình hƠm đa th c lƠ m t yêu c u h t s c c n thi t Nh m nơng cao hi u qu giáo d c nhƠ tr ph n t ng b c nơng cao ch t l ch n đ tƠi “Ph ng c a công tác b i d ch ng, K t lu n vƠ TƠi li u tham kh o ng 1: Trình bƠy v nh ng ki n th c c b n đ ng nh : vƠnh đa th c, đa th c m t tr s h u t , tr Ch d ng ng s th c vƠ tr ng ng s ph c ng 2: Trình bƠy chi ti t d ng ph ng trình hƠm đa th c thông m i d ng b t đ u b ng m t s tính ch t quan tr ng sau nêu bƠi t p t luy n Qua đó, giúp ng ng pháp gi i t ng lo i ph Lu n v n đ h c dùng ng s , đa th c tr ví d n hình minh h a, ti p đ n lƠ bƠi t p t ph ng h c sinh gi i, ng trình hàm đa th c” lƠm lu n v n cao h c c a Lu n v n g m M đ u, hai Ch Ch ng ph thông vƠ góp ng t vƠ cu i lƠ i gi i toán d hình dung vƠ n m b t đ ng trình hƠm đa th c c hoƠn thƠnh t i tr ng i h c Th ng Long d ng d n khoa h c vƠ ch b o t n tình c a TS L u Bá Th ng, i s ih cS c ph m HƠ N i LƠ ng Th y, xin đ i h c trò đư ti p thu đ c nhi u u b ích, quý báu t c bƠy t lòng bi t n sơu s c đ i v i s quan tơm, đ ng viên k p th i vƠ s nghiêm kh c ch b o, h ng d n c a Th y Tôi xin c m n t i th y cô giáo Tr phòng Sau đ i h c vƠ Qu n lý khoa h c - Tr ng ng i h c Th ng Long, i h c Th ng Long ng th i xin g i l i c m n t i t p th l p CTM3-BG (Cao h c toán B c Giang) khóa 2014 – 2016 c a Tr ng i h c Th ng Long đư đ ng viên giúp đ trình h c t p vƠ th c hi n lu n v n nƠy Tôi xin c m n Ban Giám hi u, t chuyên môn Toán – tin, đ ng nghi p Tr ng THPT Yên D ng s 3, B c Giang đư t o u ki n giúp đ , góp ý cho tác gi th i gian h c t p vƠ th c hi n lu n v n nƠy M c dù tác gi đư h t s c c g ng nh ng th i gian có h n, kinh nghi m nghiên c u vƠ vi t lu n v n h n ch nên không tránh kh i nh ng thi u sót Tác gi r t mong nh n đ vƠ b n đ c đ lu n v n đ c nh ng ý ki n đóng góp c a quý th y cô c hoƠn thi n h n Hà N i, tháng 06 n m 2016 Tác gi D ng Th Ph ng Thang Long University Library CH NG KI N TH C C B N 1.1 VĨNH CÁC A TH C M T BI N Cho A lƠ m t vƠnh giao hoán có đ n v Kí hi u A x   f  a0  a1x   a n xn  A, n   v i x lƠ bi n Gi s f  a  a1x   a n xn , g  b0  b1x   bm xm  A x Không lƠm m t tính t ng quát, ta có th gi s m  n, vƠ m  n  s Khi g  b0  b1x   bn xn  bn1xn1   bn s xns  A x Trên A x ta có quan h b ng nhau: f  g vƠ ch a i  bi v i m i i  0, , n vƠ bn1   bn s  n Phép c ng: f  g     bi  xi  bn1xn1   bns xn s i 0  i  Phép nhơn: f g     a i  j b j  xi i 0  j 0  m n V i hai phép toán c ng vƠ nhơn đư nêu A x tr thƠnh m t vƠnh giao hoán có đ n v Khi A x đ A, ph n t c a A x đ f  a0  a1x   a n xn đ tr Quy c g i lƠ vƠnh đa th c c a bi n x c g i lƠ đa th c c a bi n x A a th c c g i lƠ có b c n vƠ vi t lƠ deg f  n n u a n  0, ng h p nh v y ta g i a n lƠ h t cao nh t c a f c: a th c lƠ m t đa th c có b c  Th c ch t c a vi c lƠm lƠ xơy d ng m t vƠnh A x m r ng c a A, thông qua đ nh ngh a hình th c cho g i lƠ đa th c c a bi n x A, mƠ b n ch t th c s lƠ đ nh ngh a hình th c cho ph n t siêu vi t x Bơy gi s xem xét m t cách ti p c n khác đ đ a m t vƠnh m r ng c a A đ ng c u v i A x Cách ti p c n nƠy lƠ đ ki n thi t m t ph n t  siêu vi t A Xét t p T t t c nh ng dưy đ A, v i vô h n đ m đ c s p ph n t  a0 , a1, a2 ,  thu c c thƠnh ph n t a đ , ch m t s h u h n  Trong T ta đ nh ngh a quan h b ng vƠ hai phép toán nh sau: (i)  a0 , a1, a ,   b0 , b1, b2 ,  vƠ ch a i  bi v i m i i (ii)  a0 , a1, a ,   b0 , b1, b2 ,    a0  b0 , a1  b1, a  b2 ,    (iii)  a , a1 , a ,  b0 , b1 , b2 ,    a 0b0 , a 0b1  a1b0 , ,  a ib j ,  i  j n   D dƠng ki m tra đ c T v i hai phép toán l p thƠnh m t vƠnh giao hoán L y t p T1 c a T g m t t c nh ng ph n t d ng  a ,0,0,  , a  A Khi đó, ta có: (i) T1 lƠ m t vƠnh c a vƠnh T (ii) T ng ng  : A T1 , a Th t v y, t  a ,0,0,  lƠ m  a ,0,0,  vƠ b,0,0,  thu t đ ng c u c T1 ta có  a ,0,0,   b,0,0,    a  b,0,0,  vƠ  a ,0,0, b,0,0,    ab,0,0,  thu c T1 V y T1 lƠ m t vƠnh c a T T a  b ta suy  a ,0,0,   b,0,0,  V y  lƠ m t ánh x D dƠng ki m tra  lƠ m t đ ng c u Do A  T1 Thang Long University Library BƠi t p 2.1.4.5 Tìm t t c đa th c P  x v i h s th c th a mưn     P x  P x   x2 , x  1, x  BƠi t p 2.1.4.6 Tìm t t c đa th c P  x v i h s th c có b c 1999 th a mưn: t n t i s th c a cho  P  x    a  x2    P  x  v i x  2 BƠi t p 2.1.4.7 Tìm t t c đa th c P  x v i h s th c th a mưn  P  x   x4  x3  3x2  x  v i x  BƠi t p 2.1.4.8 Tìm t t c đa th c P  x v i h s th c th a mưn P  x  1 P  x  1  P  P  x  v i x  BƠi t p 2.1.4.9 Tìm t t c đa th c P  x v i h s th c th a mưn P  P  x  x  P  x P  x  1 v i x  BƠi t p 2.1.4.10 (Bulgaria 2001) Tìm t t c đa th c P  x v i h s th c th a mưn P  x P  x2  1  P  x2   P  x  1   v i x  BƠi t p 2.1.4.11 Tìm t t c đa th c P  x v i h s th c th a mưn  P  x   P  x   P  x2  x  1 v i x  BƠi t p 2.1.4.12 Tìm t t c đa th c P  x v i h s th c th a mưn  P  x    P  x2  x  1 v i x  2.2 PH NG TRỊNH HĨM A TH C NHI U BI N 2.2.1 M t s ví d Ví d 2.2.1.1 Tìm t t c đa th c P  x, y v i h s th c cho P  x  1, y  1  P  x, y v i x, y  BƠi gi i 62 Gi s Q  t  lƠ m t đa th c bi n tùy ý D dƠng nh n th y P  x, y  Q  x  y P  x  1, y  1  Q  x    y  1   Q  x  y   P  x, y  Gi s P  x, y lƠ đa th c th a mưn đ bƠi Xét Q  t , y  P  t  y, y v i t , y  Suy Q  t , y  1  P t  y  1, y  1  P t  y, y  Q t , y Do v i m i s th c t tùy ý, đa th c m t bi n H  y  Q  t , y nh n giá tr c đ nh v i m i y nên H  y lƠ đa th c h ng Hay Q  t , y  S t  lƠ đa th c m t n b t kì Suy P  t  y, t   S t   P  x, y  S  x  y , th l i ta th y V y nghi m c a ph ng trình lƠ P  x, y  Q  x  y v i Q  t  lƠ đa th c m t bi n b t kì Ví d 2.2.1.2 (Iran TST 2010) Tìm đa th c bi n P  x, y h s th c, th a mưn P  ab, c  1  P  bc, a  1  P  ca , b2  1  v i a , b, c  BƠi gi i Kí hi u A a , b, c  lƠ phép thay a , b, c vƠo ph ng trình ban đ u Ta có: A 0,0,0  P  0,1  A 0,0, c   P  0, y  v i y  1, suy x | P  x, y A a , b,0  P  x,1  v i x, suy y  1| P  x, y Vì v y P  x, y  x y  1 Q  x, y Ta có A a , b, c   cQ  ab, c  1  aQ  bc, a  1  cQ  ca , b2  1  Kí hi u B a , b, c  lƠ phép thay a , b, c vƠo ph ng trình Ta có 63 Thang Long University Library B 0,0, c   Q  0, y  v i y  1, suy x | Q  x, y Vì v y đ t Q  x, y  xR x, y , t đơy ta đ c: R ab, c  1  R cb, a  1  R ca , b  1  0, (l i quay v ph ng trình ban đ u) Ti p t c trình nƠy ta có P  x, y  x2n  y  1 , P  x, y th a mưn v i n m i s t nhiên n, ngh a lƠ P  x, y  Th l i ta th y th a mưn V y đa th c c n tìm lƠ P  x, y  Ví d 2.2.1.3 (THTT T11/435) Tìm t t c đa th c P  x, y cho P  x, y P  z, t   P  xz  yt , xt  yz  v i x, y, z, t  BƠi gi i Xét tr ng h p P  x, y  Nh n xét:  xz  yt    xt  yz   x  y z  t  ,  xz  yt    xt  yz   x  y z  t  Do n u đ t P  x, y   x  y m  x  y Q  x, y n m, n th c Q  x, y không chia h t cho x  y; x  y (*) P  x, y P  z, t   P  xz  yt , xt  yz    x  y  x  y Q  x, y z  t   z  t  Q  z, t  m n m n   x  y   x  y   z  t   z  t  Q  xz  yt , xt  yz  , m n m n hay Q  x, y Q  z, t   Q  xz  yt , xt  yz  Cho z  t  Q  x, y Q  0,0  Q  0,0  Ta ch ng minh Q  0,0  Th t v y, gi s Q  0,0   0, l y y   x, t  z t gi thi t ta có: Q  x,  x Q  z, z  Q  0,0  Xét Q  z, z   Q  x;  x  Khi đó:   Q  x, y   aij xi y j   a ij xi    y  y j   a ij   y  y j i, j i, j i 64 i i, j vƠ đa Suy Q  x,  x    aij xi   x  j i, j   D n đ n Q  x, y   a ij xi    y  y j chia h t cho x  y i, j T i ng t n u Q  z, z  0, z  suy Q  x, y chia h t cho ( x  y) i u nƠy mơu thu n v i (*) Do Q  x, y  V y P  x, y   x  y 2.2.2 BƠi t p t m  x  y n , m, n  ng t BƠi t p 2.2.2.1 (Iran TST 2009) Hưy xác đ nh t t c đa th c P  x, y v i h s th c, th a mưn u ki n   x  y 2  x  y 2  Px , y   P ,  v i x, y    2   2 BƠi t p 2.2.2.2 Tìm đa th c bi n P  x, y h s th c, th a mưn P  a , P  b, c   1  a  bc  1 v i a , b, c  BƠi t p 2.2.2.3 Tìm đa th c bi n P  x, y h s th c, th a mưn P  x  y, x  y  2P  x, y v i x, y  BƠi t p 2.2.2.4 Tìm đa th c bi n P  x, y h s th c, th a mưn P  x, y  P  x  1, y  P  x, y  1  P  x  1, y  1 v i x, y  2.3 M T S PH NG TRỊNH HĨM A TH C KHÁC 2.3.1 M t s ví d Ví d 2.3.1.1 Tìm t t c đa th c P  x v i h s th c cho v i b t kì s th c a , b, c nƠo ta c ng có: P  a  b  2c   P  b  c  2a   P  c  a  2b   3P  a  b   3P b  c   3P  c  a  BƠi gi i 65 Thang Long University Library t x  a  b, y  b  c ta có: P  x  y  P  2 x  y  P  x  y  3P  x  3P  y  3P   x  y Cho x  y  0, ta đ Cho y  0, ta đ c P    c P  2 x  P  x  3P   x t P  x  a n xn  a n1xn1   a1x, thay vƠo ph  2 k  ng trình ta suy ra:  ak  ak  3 1 ak v i k 1, n hay a k  2    3 1  k k k Khi a k  2k    0, v i k chia h t cho Ho c a k   2k   0, v i k không chia h t cho V i k  3, suy a k  P  x   x2   x V y đa th c c n tìm lƠ P  x   x2   x,  ,   Ví d 2.3.1.2 (IMO 2004) Tìm t t c đa th c P  x cho P  a  b   P  b  c   P  c  a   2P  a  b  c  a , b, c  th a mưn ab  bc  ca  BƠi gi i Tr c h t ta tìm m t nghi m nguyên c a ph ng trình ab  bc  ca  V i a  6, ta có 6b  6c  bc  V i b  3, ta có 18  6c  3c  suy c  2 Do  a , b, c    6,3, 2  lƠ m t nghi m nguyên c a ab  bc  ca  d n đ n v i x ta có  a , b, c    x,3x, 2 x c ng lƠ nghi m c a ph ng trình Vì P  a  b   P  b  c   P  c  a   2P  a  b  c  nên P  3x  P  5x  P  8x  2P  x t P  x  a n xn  a n1xn1  a n2 xn2   a1x  a , ta có 66 3    8  2.7  a  v i i  0, n i i i i i Ta xét tr ng h p c a i - N u i l 3i  5i   8  2.7i  nên a i  v i i l i - N u i  3i  5i   8  2.7i  nên a  i - N u i ch n i  3i  5i   8  2.7i  nên a i  v i i ch n vƠ i i  T đơy suy P  x  Ax4  Bx2 v i m i A, B tùy ý Th l i nên đa th c c n tìm lƠ P  x  Ax4  Bx2 Nh n xét BƠi toán c ng có th khai thác theo h Cho a  b  c  ta đ Cho a  b  ta đ ng khác nh sau: c 3P  0  2P  0  P  0  c P  0  P  c   P  c   2P  c   P  c   P  c  i u nƠy cho th y r ng P  x lƠ hƠm ch n t P  x  G  x2  , ph ng trình đ bƠi cho tr thƠnh: 2 2 G  a  b    G  b  c    G  c  a    2G  a  b  c           t x  a  b , y  b  c ta có: a  b  c  a  b  c   ab  bc  ca   a  b  c  ab  bc  ca 2   a  b    b  c    c  a    2  x2  y2   x  y   x2  xy  y2  Nh v y ta đ Cho a  b ta đ  c G  x2   G  y2   G  x  y    2G  x2  xy  y2    c 2G  x2   G  x2   2G  3x2  67 Thang Long University Library L i đ t t  x2 ta đ c 2G  t   G  4t   2G  3t  n t G  x   a i xi , thay vƠo ph ng trình hƠm đa th c ta đ c: i 0 n n 1  a nt n  a n1t n1   a1t  a   a n  4t   a n1  4t    a1 4t  a    n n 1   a n  3t   a n1  3t    a1 3t  a    ng nh t h s t vƠ h s b c cao nh t ta đ c: 2a n  4n a n  2a n 3n 2  4n  2.3n ;   2 a a a   a  0  D n đ n  22 n1  3n Ta th y n  không th a mưn nên n  Do ta có 3n   22 n1  1 mod   n  2m (m Ta đ c ph  ) ng trình  3m  1 3m  1  24 m1 MƠ gcd  3m  1,3m  1  vƠ 3m   3m  nên 3m   2;  m m3 3   Suy m  vƠ n  Do ta có deg G  x   G( x)  Ax2  Bx T ta có P  x  Ax4  Bx2  A, B   Th l i ta th y th a mưn V y đa th c P  x c n tìm lƠ P  x  Ax4  Bx2  A, B   Ví d 2.3.1.3 Tìm đa th c P  x th a mưn  x y 2 x y P  x P  y   P   P    , x, y      BƠi gi i 68 Xét P  x  ta th y th a mưn đ bƠi Xét P  x  0, cho x  y  0, t ph Cho y  3x, thay vƠo ph ng trình đ bƠi ta có P    ng trình đư cho ta có P  x P  x  P  x   P   x  hay P  x P  3x  P   x  P  x v i x  Vì P  0  nên xét deg P  x  n  G i h s b c cao nh t c a P  x lƠ a  a0   ng nh t h s b c cao nh t hai v ph ng trình ta có: a0  3n a0   a02  a02  22   3n   4n  n  n Suy P  x  a x, th l i ta th y th a mưn V y đa th c c n tìm lƠ P  x  ax v i x  ( a lƠ h ng s ) Ví d 2.3.1.4 Tìm đa th c P  x th a mưn P  x  P   x P   x v i x  BƠi gi i Xét P  x  c v i c lƠ h ng s , t gi thi t suy P  x  th a mưn yêu c u Xét deg P  x  n, n  ta có deg P  x  n  1, deg P   x  n  T ph ng trình ban đ u suy n   n  1   n  2  n  t P  x  ax3  bx2  cx  d , ta có: P   x  3ax2  2bx  c, P   x  6ax  2b vƠ P  x  8ax3  4bx2  2cx  d Khi P  x  P   x P   x  8ax3  4bx2  2cx  d   3ax2  2bx  c   6ax  2b   8ax3  4bx2  2cx  d  18a x3  18abx2   4b  6ac  x  2bc 69 Thang Long University Library ng nh t h s v c a ph ng trình trên, ta đ c: 8a  18a   4b  18ab a  ;     c b ac  b  c  d  d  2bc  Do P  x  x3 V y đa th c c n tìm lƠ P  x  ho c P  x  x3 Ví d 2.3.1.5 Tìm t t c đa th c P  x vƠ Q  x th a mưn P  Q  x   P  x Q  x v i x  BƠi gi i Xét P  x  suy Q  x lƠ m t đa th c b t kì Xét P  x  0, gi s deg P  x  n vƠ deg Q  x  m T ph ng trình ban  m  n  0; đ u ta có m.n  m  n   m  1 n  1     m  n  N u m  n  0, P  x  c  ( c lƠ h ng s ), suy Q  x  N u m  n  2, đ t P  x  ax2  bx  c, Q  x  px2  qx  r Thay vƠo ph ng trình ban đ u sau đ ng nh t h s v , ta đ  p  1;  b  c  q  r  T đơy suy P  x  ax2 , Q  x  x2 V y n u P  x  Q  x lƠ m t đa th c b t kì; n u P  x  c Q  x  1; n u P  x  ax2 Q  x  x2 70 c: 2.3.2 BƠi t p t ng t BƠi t p 2.3.2.1 Xác đ nh t t c đa th c P  x th a mưn u ki n P  u  v2   P  u  v P  u  v v i u, v  H ng d n Nh n th y ph ng trình đ u tiên t ng đ ng v i ph ng trình P  xy  P  x P  y v i x, y  T ph ng trình cho x  y  0, suy P     P    hay P  0  ho c P    - V i P  0  1, cho y  thay vƠo ph ng trình P  xy  P  x P  y ta có: P  0  P  x P  0 hay P  x  - V i P  0  0, suy P  x  xQ1  x v i deg Q1  x  deg P  x  Do đó: P  xy  P  x P  y  xyQ1  xy  xQ1  x yQ1  y nh ng ph ng trình nƠy th a mưn v i x, y  nên Q1  xy  Q1  x Q1  y v i x, y  T đơy l i có Q1  x  v i x  ho c Q1  x  xQ2  x v i x  Ti p t c l p lu n nƠy, ta có: - Ho c P  x  v i x  - Ho c P  x  xn v i n lƠ m t s nguyên d ng th a mưn đ bƠi V y P  x  xk v i k  BƠi t p 2.3.2.2 Tìm t t c đa th c P  x cho P  a  b   P  b  c   P  c  a   3P  a   3P b   3P  c  a , b, c th a mưn a  b  c  H ng d n 71 Thang Long University Library N u P  x lƠ đa th c h ng P  x  Ch n a  3x, b  2 x, c   x ta đ c: P  5x  P   x  P  4 x  3P  3x  3P  2 x  3P   x n t P  x   xi (a n  0), thay vƠo ph ng trình ta đ c: i 0 n n i 0 i 0 n n n i 0 i 0 n  5i xi     x    4 xi  3ai 3i xi  3ai  2 xi  3ai   x i i 0 i ng nh t h s b c cao nh t vƠ h s t ta đ i c: i 0 n n n n n n 1  5 a n   1 a n   4  a n  a n   2  a n   1 a n ;   3a  9a T suy a  - N u n l , ta có: 5n   4n  3n1  3.2n   5n  3.2n   3n1  4n  Nh n th y n  th a mưn, xét n  5n  3.2n  3n   mod  MƠ 3n1  4n    mod  (vì n l nên 3n  1 mod  ) Do n  lo i Nh v y P  x  a x  a  0 Th l i ta th y th a mưn - N u n ch n, ta đ c 5n   4n  3n1  3.2n  Nh n th y n  th a mưn, xét n  5n   4n   mod 8 MƠ 3n1  3.2n    mod 8 Do n  không th a mưn Nh v y P  x  a x2  bx Th l i ta th y th a mưn V y đa th c c n tìm lƠ P  x  a x2  bx a , b BƠi t p 2.3.2.3 Tìm t t c đa th c P  x th a mưn  P  a  b   P  a   7P b ; a , b, c     ab a b b     72 i H ng d n Ta s ch n s a , b có d ng  a , b    mx, nx th a mưn ph ng trình th hai h Thay a  mx, b  nx vƠo ph ng trình ab  a  b   2b3 ta đ c: mnx3  m  n   2n3 x3  mn  m  n   2n3 Ta ch n s đ n gi n nh t lƠ  m, n   1,1 Nh v y b mưn ph ng trình th hai Thay vƠo ph  a , b    x, x ng trình th nh t ta đ th a c: P  x  8P  x n t P  x   xi , a n  thay vƠo ph ng trình ta đ c: i 0 a n 2n xn  a n1 2n1 xn1   a1 x  a   a n xn  a n1xn1   a1x  a  ng nh t h s t vƠ h s b c cao nh t ta đ c: a n 2n  8a n n  3;   a  a  8a Nh v y P ( x) có d ng P  x  px3  qx2  rx Khi P  x  8P  x  px3  4qx2  2rx  px3  8qx2  8rx 4q  8q ng nh t h s ta có   q  r  2r  8r Suy P  x  px3 , x  Th l i: P  a  b   p  a  b   p  a  b3  3ab  a  b    p  a  b  3.2b   p  a  7b   P  a   P  b  V y đa th c c n tìm lƠ P  x  px3 , x  p  2.3.3 BƠi t p t luy n BƠi t p 2.3.3.1 Tìm t t c đa th c P  x cho 73 Thang Long University Library P  x  y  P  x  P  y  3xy  x  y x, y  BƠi t p 2.3.3.2 Tìm t t c đa th c P  x cho P  x  y  P  x  y  2P  x P 1  y   2xy  y  x2  , x, y  BƠi t p 2.3.3.3 Tìm t t c đa th c P  x cho  x  y P  x  y   x  y P  x  y  4xy  x2  y2  , x, y  BƠi t p 2.3.3.4 Tìm t t c đa th c P  x cho P  P  x  y    P  x P  y   P  x  P  y   xy, x, y  BƠi t p 2.3.3.5 (Costa Rica 2008) Tìm t t c đa th c P  x th a mưn P       a  b  P b  c   P   c  a   P  2a  b  c   P  a  2b  c   P  a  b  2c  v i a , b, c  K t lu n ch Ch ng ng trình bƠy d ng ph đư phơn lo i t ng d ng ph ng trình hƠm đa th c, c th ng trình hƠm đa th c m t bi n, ph đa th c nhi u bi n Qua th y đ tác gi ng trình hƠm c s đa d ng, phong phú c a ph trình hƠm đa th c Ch c n v n d ng linh ho t, h p lí ph ng ng pháp gi i t ng d ng ta có th gi i quy t bƠi toán th t đ n gi n, hi u qu vƠ c ng t đơy cho ta sáng t o thêm nhi u bƠi toán khác liên quan đ n ph đa th c NgoƠi ch khác giúp ng bƠi toán ph ng đ a m t s d ng ph ng trình hƠm ng trình hƠm đa th c i gi i toán không th y b ng , l l m đ ng tr ng trình hƠm đa th c 74 cm i K T LU N VĨ KHUY N NGH K t lu n Ph ng trình hƠm đa th c lƠ m t d ng toán khó, đ gi i đ c ph ng trình hƠm lo i nƠy, c n n m rõ không nh ng k thu t gi i ph ng trình hƠm mƠ tính ch t vƠ đ c tr ng c b n c a đa th c D a vƠo m i quan h đ c tr ng c a hƠm, s tìm đ th c th a mưn xem nh lƠ nghi m c a ph toán v đa th c vƠ ph có m t s h ng trình Thông qua m t s bƠi ng trình hƠm đa th c lu n v n đư b sinh m i b t đ u h c v ph c đa c đ u giúp h c ng trình hƠm đa th c có nh ng cách ti p c n vƠ ng t g p nh ng bƠi toán Khuy n ngh Lu n v n có th dùng lƠm tƠi li u tham kh o cho giáo viên vƠ h c sinh b i d ng h c sinh gi i toán tr ng trung h c ph thông, rèn luy n đ i n thi gi i c p t nh, qu c gia vƠ qu c t Hy v ng đ tƠi nƠy s đ đ c ti p t c nghiên c u, m r ng vƠ phát tri n, c ng d ng r ng rưi nghiên c u, h c t p c a h c sinh trung h c ph thông V i vi c phơn chia d ng ph ng trình hƠm đa th c s giúp ích nhi u cho h c sinh trình h c toán, giúp em không c m th y “ngán ng i” đ ng tr c bƠi toán v ph ng trình hƠm đa th c n a 75 Thang Long University Library TĨI LI U TRệCH D N [1] Nguy n V n M u, Chuyên đ ch n l c v đa th c, NhƠ xu t b n Giáo d c, HƠ N i 2008 [2] D ng Qu c Vi t (Ch biên), C s lý thuy t s đa th c, NXB ih c S ph m, 2014 [3] D ng Qu c Vi t (Ch biên), Bài t p c s lý thuy t s đa th c, NXB i h c S ph m, 2014 [4] Amir Hossein Parvardi, Functional Polynomial Problems, June 13, 2011 [5] Dusan Djukic, Polynomial Equations, Olympiad Training Materials, www.imomath.com [6] Juliel’s Blog Polynomial October 25, 2013 https://julielltv.wordpress.com/2013/10/25/bai-toan-phuong-trinh-ham-dathuc-nhieu-bien/ [7] Juliel’s Blog Polynomial May 16, 2014 https://julielltv.wordpress.com/category/phuong-trinh-ham-da-thuc/ [8] Titu Andreescu, Functional Equations, Electronic Edition, 2007 76 [...]... các đa th c nhi u bi n Bên c nh đó còn trình bƠy các tính ch t quan tr ng c a đa th c trên m t tr ng s trong đó có đ nh lí Bézout vƠ h qu c a nó lƠ m t công c m nh đ gi i 29 Thang Long University Library quy t các bƠi toán v đa th c vƠ ph ch ng trình hƠm đa th c NgoƠi ra trong ng 1 còn gi i thi u m t s tính ch t c a đa th c trên tr ng s h u t , s th c vƠ s ph c, các tiêu chu n đ ch ng minh m t đa th... cao nh t c a đa th c t ng f  x1, x2 , , xn   g  x1, x2 , , xn  lƠ c x1a1 xnan (ii) N u c d  0 thì h ng t cao nh t c a đa th c tích f  x1, x2 , , xn  g  x1, x2 , , xn  lƠ cd x1a1 b1 xnan bn H qu 1.5.2.3 N u A lƠ m t mi n nguyên thì vƠnh đa th c A x1, x2 , , xn  c ng lƠ m t mi n nguyên K t lu n Ch ng 1 Ch ng 1 trình bƠy các ki n th c c b n v đa th c, cách xơy d ng vƠnh các đa th c m t... c a hai đa th c nguyên b n c ng lƠ m t đa th c nguyên b n H qu 1.3.2.3 a th c nguyên b n f   x lƠ m khi vƠ ch khi nó lƠ m t đa th c b t kh quy trên t đa th c b t kh quy trên Ch ng minh Gi s h ut d f  x vƠ f  g h v i g, h   x D ng r vƠ s sao cho m g vƠ s h thu c 20 th y r ng luôn t n t i các s  x, đ ng th i lƠ các đa th c nguyên b n Khi đó vì r s f   r g  s h  vƠ f lƠ m t đa th c nguyên... lƠ s 2 2 2 2 m t đa th c b t kh quy Ví d 1.3.2.10 Ch ng minh r ng đa th c f  x   x  1 x  2  x  100   1 lƠ m t đa th c b t kh quy trên Ch ng minh Ta có f  i   1  50! v i m i i  1,2, ,100 Do đó theo tiêu chu n Polya, thì 250 f  x lƠ m t đa th c b t kh quy trên Do f  x nguyên b n nên suy ra f  x b t kh quy trên Ví d 1.3.2.11 Ch ng minh r ng không t n t i m t đa th c f  x ... n t i đa th c f  x   x th a mưn yêu c u đ bƠi Ta luôn có: f  26   f  3 chia h t cho  26  3 t c lƠ chia h t cho 23 Nh ng f  26  f  3  1931  1995  64 không chia h t cho 23 Do v y không t n t i đa th c v i h s nguyên th a mưn đ bƠi 1.4 A TH C TRÊN lƠ tr Vì VĨ TRÊN ng đóng đ i s nên đa th c b t kh quy m t n trên ch lƠ nh ng đa th c b c m t Chính vì lí do nƠy mƠ ta ch c n xét đa th... n!) ch ng t f lƠ m t đa th c b t kh quy trên i u nƠy Ví d 1.3.2.5 V i m i s nguyên t p, ch ng minh r ng đa th c x2 xp f  x  1  x    2 p! lƠ m t đa th c b t kh quy trên Ch ng minh p! x2   x p lƠ m t đa th c b t Ta ph i ch ng minh p! f  x  p ! p ! x  2 kh quy trên Ta có p! chia h t cho p, nh ng không chia h t cho p 2 v i i! m i i  p Theo tiêu chu n Eisenstein đa th c p! f lƠ b t kh... thu n nƠy ch ng t r ng f  x lƠ m t đa th c b t kh quy trên Ví d 1.3.2.8 Ch ng minh r ng n u p lƠ m t s nguyên t l , thì đa th c f  x  x p1  x p2   x  p lƠ b t kh quy trên Ch ng minh D th y đa th c nƠy có 1  a1   a p2  p  1  p nên theo tiêu chu n Osada thì nó lƠ m t đa th c b t kh quy trên nh lí 1.3.2.9 (Tiêu chu n Polya) Cho f  x lƠ m t đa th c v i h s  n  1 t m  Gi ... tính ch t trong các bƠi toán đa th c 30 CH M TS D NG PH NG 2 NG TRỊNH HĨM A TH C 2.1 PH NG TRỊNH HĨM A TH C M T BI N 2.1.1 Ph ng trình có d ng xP  x  a    x  b  P  x Trong ph n nƠy ta s d ng m t s tính ch t sau: 1) N u P  x   x lƠ đa th c tu n hoƠn, t c lƠ t n t i a  0 sao cho P  x  a   P  x v i m i x thì P  x  c, x  ( c lƠ m t h ng s ) 2) Trong  x m i đa th c đ u phơn tích... nguyên, khi đó ta có vƠnh các đa th c A x lƠ m t mi n nguyên Gi s f , g  A x a th c f  A x đ đa th c g  A x n u t n t i đa th c h  A x đ g i lƠ m t đ c chung c a f vƠ g n u c c g i lƠ m t c g i lƠ chia h t cho f  g h a th c d đ f vƠ g đ u chia h t cho d d c chung l n nh t c a f vƠ g , n u d lƠ m t c a f vƠ g , đ ng th i d chia h t cho m i chung l n nh t c a hai đa th c, đ kh ngh ch c a A... 1.4.1 Cho m t đa th c b c d  x Khi đó f  x ng f  x  lƠ m t đa th c b t kh quy khi vƠ ch khi ho c f  x  ax  b , a  0 ho c f  x  ax2  bx  c , a  0, b 2  4ac  0 Ch ng minh  x lƠ m Hi n nhiên, n u f  x  t đa th c b c nh t hay m t tam th c b c 2 v i bi t th c   b2  4ac  0, thì f  x lƠ b t kh quy trên đi u ng deg f  x  1 Tr  x f  x  c l i Gi s lƠ m t đa th c b t kh