Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC 07 LIÊN HỢP NGHIỆM HỮU TỈ VÀ NGHIỆM VÔ TỈ Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Ví dụ [Video] Giải phương trình x2 − x = ( x − 1) x2 − x + ( ) x −1 −1 Ví dụ [Video] Giải phương trình ( x + 3) x − x + = x3 + x − x + ( x ∈ ℝ) Ví dụ [Video] Giải phương trình x3 − x + x + = x + x + 10 x + 10 x + Ví dụ [Tham khảo] Giải phương trình 8x − − + x 1− x + =0 1+ x + 1+ x PHÂN TÍCH CASIO Điều kiện: x ∈ [ −1;1] Trước hết, có: (1 + x ) − + x − + 1+ x = (2 )( 1+ x − 3 + 1+ x + 1+ x Khi phương trình cho tương đương với + x − + ( ) ( x ∈ ℝ) )=2 1+ x − 1− x =0 1+ x ⇔ + x + x − + − x = ⇔ + 2x − + x + − x = ( ∗) Dùng chức SHIFT CALC, ta có nghiệm phương trình ( ∗) x = , nhiên khảo sát TABLE hay tính chất nghiệm ta thấy hai nghiệm vô tỷ nữa, cụ thể với SHIFT CALC, ta tiếp tục tìm nghiệm x = 0.866025403 thay vào thức, ta   + x = 1.366025404 = x +   − x = 0.366025408 = x −  Nên biểu thức liên hợp cần tìm + x − x − ; − x − x + Do đó, ta có: ( ( ∗) ⇔ + x − ⇔ )( ( ) ) ( ) + x + − x = ⇔ 2x + − + x − 2x − − − x = ( x − 3) 2x + + + x − x2 − 3   = ⇔ ( x − 3)  − =0 2x − + − x  2x + + + x 2x − + − x   4x − = ⇔ x = ±  ⇔ ( x − 3) x − + − x − + x = ⇔   x − + − x − + x = (i ) Với phương trình ( i ) ⇔ x − + − x − + x = , phương trình có chứa nghiệm kép ( ) x = nên ta xác định biểu thức liên hợp cho thức sau: ax + b = − x  x =0  a = − • Đặt − x = ax + b , ta có hệ phương trình  ⇒ nên biểu thức ( ax + b ) ' = − x ' b =  x=0 liên hợp − x + x − ( ) Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC mx + n = + x  x =0  m = • Đặt + x = mx + n , ta có hệ phương trình  ⇒ nên biểu thức mx + n ' = + x ' ( ) n =  x =0 liên hợp + x − x − Do ( i ) ⇔ x − + − x − + x = ⇔ x − + − x − + x = ( ( ) ( ) ) x2 3x ⇔ x + − 1+ x + 1− x + x − = ⇔ − =0 x + + 1+ x 1− x − x +   ⇔ x2  −  = ⇔ x =  x + + 1+ x 1− x − x +  − < 0; ∀x ∈ [ −1;1] x + + 1+ x 1− x − x + Hoặc ta tìm x = cách kết hợp ( i ) với phương trình ( ∗) , ta có hệ phương trình: 2 + x − + x + − x = ⇒ 4x = ⇔ x =  2 x − + − x − + x = ± Vậy phương trình cho có ba nghiệm x = 0; x = LỜI GIẢI Điều kiện: x ∈ [ −1;1] Phương trình cho tương đương với (2 )( 1+ x − 3 + 1+ x + 1+ x ( )+ ) 1− x 1− x = ⇔ 1+ x − + =0 1+ x 1+ x ⇔ + x + x − + − x = ⇔ + 2x − + x + − x = ( ) ( ) ⇔ + 6x − + x + − x = ⇔ 2x + − + x − 2x − − − x = ⇔ ( x − 3) 2x + + + x − 4x2 − 3   = ⇔ ( x − 3)  − =0 2x − + − x  2x + + + x 2x − + − x   4 x − = ⇔ x = ± ⇔ ( x − 3) x − + − x − + x = ⇔   x − + − x − + x = Lấy pt ( i ) + + x − + x + − x = ⇔ x = ⇔ x = ( ) Vậy phương trình cho có ba nghiệm x = 0; x = (i ) ± Ví dụ [Tham khảo] Giải phương trình x + x = ( x − 1) x + + x + x A Phân tích CASIO Nhập vào máy tính X + X − ( X − 1) X + − X + X = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = 2, 414213562 Bấm SHIFT STO A để gán 2, 414213562 = A X + X − ( X − 1) X + − X + X =0 X −A Bấm SHIFT SLOVE = = đợi lúc máy tính X = Nhập vào máy tính Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC Nhập vào máy tính X + X − ( X − 1) X + − X + X ( X − A )( X − 1) =0 Bấm SHIFT SLOVE = = đợi lúc máy tính X = −0, 414213562 Bấm SHIFT STO B để gán −0, 414213562 = B Nhập vào máy tính X + X − ( X − 1) X + − X + X ( X − A)( X − 1)( X − B ) =0 Bấm SHIFT SLOVE = = = đợi lúc máy tính Cancel thông báo hết nghiệm A + B = Bấm A + B A.B ta  ⇒ (1) có nhân tử x − x −  A.B = −1 Mà x = nghiệm khác (1) ⇒ (1) có nhân tử ( x − 1) ( x − x − 1) = x3 − x + x + Quan sát ( x − 1) x + có x − Ta cần cân ax + b = x + biết hai nghiệm x = A, x = B  Aa + b = 4A + Bấm máy giải hệ  ⇒ a = b = ⇒ nhóm x + − x +  Ba + b = B + Ta cần cân cx + d = x + x biết ba nghiệm x = 1, x = A, x = B c + d = 6.12 + 2.1   Bấm máy giải hệ  Ac + d = A2 + A ⇒ c = d = ⇒ nhóm x + − x + x   Bc + d = B + B Dựa phân tích đó, ta có lời giải toán sau: B Lời giải ĐK: x ≥ − (*) Khi (1) ⇔ x + x − ( x − 1) x + − x + x = ) ) ( ( ⇔ ( x − 1) x + − x + + x + − x + x − ( x − 1) − x − + x + x = Đặt T = ( x + 1) + ( x + 1) x + x + ( x + x ) (2) x +1   =  x2 + x +  + ( x + 1) > 0, ∀x ≥ −   ( x + 1) − ( x + ) + ( x + 1) ⇔ ( x − 1) − ( x2 + x ) =0 T x +1+ 4x + ( x − 1) ( x − x − 1) x3 − 3x + x + ⇔ + =0 T x +1 + 4x + ( x − 1) ( x − x − 1) ( x − 1) ( x − x − 1) ⇔ + =0 T x +1 + 4x + 1  ⇔ ( x − 1) ( x − x − 1)  + =0  x +1 + 4x + T  1 + > Với x ≥ − T > ⇒ x + + 4x + T x =1 Do (3) ⇔ ( x − 1) ( x − x − 1) = ⇔  thỏa mãn (*) x = ±  Do (2) (3) Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC x = Đ/s:  x = 1± Ví dụ [Tham khảo] Giải phương trình x − x − + ( x − 1) x + = ( x − x − ) x + A Phân tích CASIO Nhập vào máy tính X − X − + ( X − 1) X + − ( X − X − ) X + = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = 2, 732050808 Bấm SHIFT STO A để gán 2, 732050808 = A Nhập vào máy tính X − X − + ( X − 1) X + − ( X − X − ) X + Nhập vào máy tính X − X − + ( X − 1) X + − ( X − X − ) X + =0 X −A Bấm SHIFT SLOVE = = đợi lúc máy tính X = X − X − + ( X − 1) X + − ( X − X − ) X + Nhập vào máy tính =0 ( X − A)( X − 1) Bấm SHIFT SLOVE = = đợi lúc máy tính X = −0, 732050807 Bấm SHIFT STO B để gán −0, 732050807 = B ( X − A)( X − 1)( X − B ) =0 Bấm SHIFT SLOVE = = = đợi lúc máy tính thông báo hết nghiệm A + B = Bấm A + B A.B ta  ⇒ (1) có nhân tử x − x −  A.B = −2 Mà x = nghiệm khác (1) ⇒ (1) có nhân tử ( x − 1) ( x − x − ) = x3 − x + Quan sát ( x − 1) x + có x − Ta cần cân ax + b = x + biết hai nghiệm x = A, x = B  Aa + b = A + a = Bấm máy tính giải hệ  ⇒ ⇒ nhóm x + − x + b =  Ba + b = B + Quan sát ( x − x − ) x + có ( x − x − ) Ta cần liên hợp để có nghiệm x = ⇒ nhóm x + − Dựa phân tích đó, ta có lời giải toán sau: B Lời giải (*) Khi (1) ⇔ ( x − x − ) x + − ( x − 1) x + − x + x + = ĐK: x ≥ − ⇔ ( x2 − x − 2) ( ) ( ) x + − + ( x − 1) x + − x + = ( x + 1) − ( x + 3) = 4x + − + ( x − 1) 4x + + x +1+ 4x + 2 ( x − 1) ( x − x − ) ( x − 1) ( x − x − ) ⇔ + =0 + 4x + x +1 + 4x +   ⇔ ( x − 1) ( x − x − )  + =0  + 4x + x +1 + 4x +  ⇔ ( x2 − x − 2) (2) Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC > −1 ⇒ + > + 4x + x + + 4x + x = Do (2) ⇔ ( x − 1) ( x − x − ) = ⇔  thỏa mãn (*) x = ±  x = Đ/s:  x = 1± Với x ≥ − Ví dụ [Tham khảo] Giải phương trình x3 − x + 12 x + = 11x + x + − ( x − x − 1) x + A Phân tích CASIO Nhập vào máy tính X − X + 12 X + − 11X + X + + ( X − X − 1) X + = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = 4, 236067977 Bấm SHIFT STO A để gán 4, 236067977 = A Nhập vào máy tính X − X + 12 X + − 11X + X + + ( X − X − 1) X + Nhập vào máy tính X − X + 12 X + − 11X + X + + ( X − X − 1) X + X−A Bấm SHIFT SLOVE = = đợi lúc máy tính X = ( X − A )( X − 1) =0 =0 Bấm SHIFT SLOVE = = đợi lúc máy tính X = −0, 236067977 Bấm SHIFT STO B để gán −0, 236067977 = B Nhập vào máy tính X − X + 12 X + − 11X + X + + ( X − X − 1) X + ( X − A )( X − 1)( X − B ) =0 Bấm SHIFT SLOVE = = = đợi lúc máy tính thông báo hết nghiệm A + B = Bấm A + B A.B ta  ⇒ (1) có nhân tử x − x − A B = −  Mà x = nghiệm khác (1) ⇒ (1) có nhân tử ( x − 1) ( x − x − 1) = x3 − x + x + Quan sát ( x − x − 1) x + có x − x − Ta cần liên hợp để có nghiệm x = ⇒ nhóm x + − Ta cần cân ax + b = 11x + x + biết ba nghiệm x = 1, x = A, x = B a + b = 11.12 + 9.1 +  a =  Bấm máy tính giải hệ  Aa + b = 11A2 + A + ⇒  ⇒ nhóm x + − 11x + x + b =  Ba + b = 11 B + B +  Dựa phân tích đó, ta có lời giải toán sau: B Lời giải ĐK: x ≥ −3 (*) ( ) Khi (1) ⇔ x + − 11x + x + + ( x − x − 1) ( x+3−2 ) − x − + ( x − x − 1) + x3 − x + 12 x + = (2)  227  Ta có 11x + x + =  x 11 +  + 44 > 11   Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC ⇒ T = ( x + ) + ( x + ) 11x + x + + (11x + x + ) 2 2   =  x + + 11x + x +  + (11x + x + ) >   Do (2) ⇔ ( x + 2) − (11x + x + ) T x +3−4 + x3 − x + 3x + = x+3 +2 + ( x − x − 1) x − x + 3x + ( x − 1) ( x − x − 1) ⇔ + + ( x − 1) ( x − x − 1) = T 2+ x+3 ( x − 1) ( x − x − 1) ( x − 1) ( x − x − 1) ⇔ + + ( x − 1) ( x − x − 1) = T 2+ x+3 1  ⇔ ( x − 1) ( x − x − 1)  + + 1 = (3) T 2+ x+3  1 + > Với x ≥ −3 T > ⇒ + T 2+ x+3 x = Do (3) ⇔ ( x − 1) ( x − x − 1) = ⇔  thỏa mãn (*) x = ±  x = Đ/s:  x = ± x2 + x − = ( x + 1) x2 − x + Ví dụ [Tham khảo] Giải phương trình ( ) x + − tập số thực Lời giải:  x ≥ −2 x + ≥ ĐK:  ⇔ ⇔ x ≥ −2 x − 2x + ≠ ( x − 1) + ≠ Khi (1) ⇔ (*) ( x − )( x + ) = ( x + 1)( x + − ) x2 − 2x + x+2 +2 x = x+4 x +1  =  x − x + + x + ( x − )( x + ) = ( x + 1)( x − ) ⇔  ⇔ x2 − 2x + 2+ x+2 ( Ta có (2) ⇔ ( x + 1) ( x − x + 3) = ( x + ) + x + ) ⇔ ( x − 1) +  ( x − 1) +  =   ⇔ f ( x − 1) = f Với x ≥ −2 ⇒ x − ≥ −3, ( x+2 (2) ) ( )( x+2 +2   x+2 ) + 2  (3) x + ≥ Xét hàm số f ( t ) = ( t + ) ( t + ) với t ∈ [ −3; +∞ ) có 2   f ' ( t ) = t + + 2t ( t + ) = 3t + 4t + =  t +  + > 0, ∀t ∈ ( −3; +∞ ) 3  2 Kết hợp với f ( t ) liên tục [ −3; +∞ ) ⇒ f ( t ) đồng biến [ −3; +∞ ) Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC  x − ≥ x ≥ + 13 Do (3) ⇔ x − = x + ⇔  ⇔ ⇔ x= 2 x − x − = x − = x + ( )   Ta thấy x = x = + 13 thỏa mãn (*) Ví dụ [Tham khảo] Giải phương trình 3x − ( x − 1) +1 ( x ∈ ℝ) + = 3x − Lời giải Điều kiện x ≥ Phương trình cho tương đương với  x = 3x − 3x − = 3x − − ⇔ = ⇔  x − x + 2 x − + 1 ( x − 1) +  x − x + = 3x − 3x − (1) Ta có (1) ⇔ x − 3x + + x − 3x − = ⇔ x − 3x + + x − 3x + =0 x + 3x −  − +    ⇔ ( x − x + 1) 1 +  = ⇒ x − 3x + = ⇔ x ∈  ;   x + 3x −     − +  Kết luận phương trình có ba nghiệm với S =  ; ;  2   Ví dụ 10 [Tham khảo] Giải phương trình x + 20 x − = 6x −1 x2 − x + Lời giải ( x ∈ ℝ) Điều kiện x ≥ ; x − x + ≠ Phương trình cho tương đương với 24 x − 24 x − + = 6x −1 ⇔ = 6x −1 −1 x − 4x + x − 4x +  x= 24 x − 24 x −  24 = ⇔  x2 − x + 2 x − +  x − x + = x − (1) Ta có (1) ⇔ x ( ) − x + + x − 6x −1 = ⇔ x − 6x + + 2 ( x − x + 1) x + 6x −1 { =0   ⇔ ( x − x + 1) 1 +  = ⇒ x − x + = ⇔ x ∈ − 2;3 + 2  x + 6x −1  5  Kết luận phương trình cho có tập nghiệm S =  ;3 − 2;3 + 2   24  7x − Ví dụ 11 [Tham khảo] Giải phương trình +1 = 7x − ( x ∈ ℝ) 2 x − 13 x + Lời giải Điều kiện x ≥ ; x − 13 x + ≠ Phương trình cho tương đương với } Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC  x= 7x − 7x − 7x −  = x − −1 ⇔ = ⇔ x − 13x + x − 13x + 7x − +1  x − 13x + = x − (1) Ta thấy (1) ⇔ ( x − x + ) + x − x − = ⇔ ( x2 − x + 2) + x2 − x + =0 x + 7x −  + 41 − 41    ⇔ ( x2 − x + 2)  + = ⇒ x − x + = ⇔ x ∈ ;     x + 7x −     + 41 − 41  Đối chiếu điều kiện ta S =  ; ;  2   Thầy Đặng Việt Hùng Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016