24H HỌC TOÁN - CHIẾN THẮNG CÂU PHÂN LOẠI Giáo viên: Đoàn Trí Dũng – Hà Hữu Hải BÀI 6: AM – GM Dồn biến I Giới thiệu bất đẳng thức Cauchy (AM – GM):  a  b  ab , a ,b   Bất đẳng thức Cauchy cho hai số:  Đẳng thức xảy a  b ab ,  a , b ab        a  b  c  3 abc , a , b , c   Bất đẳng thức Cauchy cho ba số:  Đẳng thức xảy a  b  c abc ,  a , b , c  abc        Bất đẳng thức Cauchy tổng quát cho n số không âm: a  a   a  nn a a a , a , a , a  n n n  n Đẳng thức xảy a1  a2   an   a  a   an  a1a2 an    , a1 , a2 , an  n    II Các hệ bất đẳng thức Cauchy (AM – GM):  a2  b2  2ab, a,b  Đẳng thức xảy a  b  a2  b2  2ab, a,b  Đẳng thức xảy a  b  ab ab    , a,b  Đẳng thức xảy a  b    a3  b3  c  3abc, a,b,c  Đẳng thức xảy a  b  c  abc abc    , a,b,c  Đẳng thức xảy a  b  c     ab  bc  ca    a  b  c   a2  b2  c , a , b, c   Đẳng thức xảy a  b  c  a3  b3  ab  a  b  , a, b  Đẳng thức xảy a  b  a2 b2   a  b, a , b  Đẳng thức xảy a  b b a   IV Sử dụng bất đẳng thức AM – GM đưa biến cần tìm:   Bài 1: Cho số thực x , y thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ của: P  x3  y  x  y Bài 2: Cho số thực x , y dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  Bài 3: Cho số thực dương x , y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P   xy x2  y  8 x y  9x y x  y 3 3   xy Bài 4: Cho a, b, c thỏa mãn c  0, a  c , b  c Tìm giá trị lớn của: P  c  a  c   c  b  c   2a2b2 Bài 5: Cho số thực a, b, c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  ab bc ca   2 abc c a b Bài 6: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  a2 b2 c  abc  1  a  b  c  b  c  a  c  a  b  Bài 7: Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn xyz  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  x4 y  y z  z4 x  3 xy  yz  zx Bài 8: Cho số thực a, b, c dương Tìm giá trị nhỏ của: P  a2  bc b2  ca c  ab    44 a  b  c bc ca ab Bài 9: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a 1 b  b 1 c  c 1 a  a  b  c Bài 10: Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ của: P  a3 a  b2  b3 b2  c  c3 c  a2  abc Bài 11: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a1 b2   b1 c2   c 1 a2  a  b  c  54 Bài 12: Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ của: P  a b3  ab  b c  bc  c a3  ca Bài 13: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  Tìm giá trị lớn biểu thức:  a  b  c a  b  c P    1 b 1 c 1 a - Hết -Chúc em học tốt, đạt kết cao học tập!  3 3   a b c