THẦY NGUYỄN THẾ ANH SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher CHUYÊN ĐỀ NHỊ THỨC NEWTON *** Lí thuyết Công thức nhị thức Newton : n (a  b) n   k C n a nk b k  C n a  C n a n n 1  C n a n 1 b  C n a n2 n 1 b    C n a b n 1  C n b n n k 0 Chú ý : + Số hạng tổng quát : T + Hệ số số hạng : k nk b k nk Cn  Cn k CHÚ Ý: TÀI LIỆU NÀY KÈM VIDEO KHÓA HỌC 2017 Các dạng toán thường gặp phần Nhị thức Newton: BÀI TOÁN 1: Tìm hệ số xK khai triển BÀI TOÁN 2: Tìm hệ số lớn nhất, số hạng khai triển BÀI TOÁN 3: Tìm hệ số nguyên, hệ số hữu tỉ BÀI TOÁN 4: Tính tổng, hiệu, chứng minh khai triển Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher Trang THẦY NGUYỄN THẾ ANH SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher BÀI TOÁN 1: Tìm hệ số xK khai triển DẠNG 1: Thầy trình bày Video trước em https://www.facebook.com/nguyentheanh.teacher/videos/vb.1000095 63529065/1662969680698467/?type=2&theater DẠNG 2: Nâng cao chút Tìm hệ số x5 khai triển [(1-2x(1-x)]8 Giải mà giải tay nhìn chung thời gian nhiên để em hiểu chất toán học thầy giải theo hai TỰ LUẬN: [1  x (1  x ) ]   k C8 8k [  x (1  x ) ] k   k C8 8k [  x (1  x ) ] k k 0   C (  ) x (1  x ) k k k k k 0   k C8 (  2) x k k k 0  k  km ( x) m km ( x) m m Ck m0 k  C k C8 (  2) x m k k k k 0 m0  k  C k C8 (  2) m k k km (  1) ( x ) m km k 0 m0  k  C k C (  ) (  1) ( x ) m k k m km k 0 m0 Ta thấy hệ số k  m   x5=>   m  k 0  k   Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher Trang THẦY NGUYỄN THẾ ANH SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher  k  3; i    C C (  ) (  1)  4  k  ; i    C C (  ) (  1)  5 k  5; i    C C (  ) (  1)  3 Vậy hệ số x5 khai triển là: -7616 BÀI TOÁN 2: Tìm hệ số lớn nhất, số hạng khai triển Xét n (a  b) n   k Cna nk b k k 0 Số hạng giữa: (a+b)n Nếu n chẵn số hạng là: k  n Nếu n lẻ số hạng là: n 1  k    n 1 k   Tìm số hạng khai triển a) (x  ) b) (2x+3y)25 10 x Hướng dẫn: a) (x  ) 10 x (x  10 ) 10 x   10 k C 10 x k 0 10  k x k   k C 10 x 10  k k 0 Số hạng tương tứng với k=5=>Hệ số số hạng C 10  5 b) (2x+3y)25 Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher Trang THẦY NGUYỄN THẾ ANH SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher 25 2x  3y 25   k k C 25 ( x ) (3 y) 25 k K 0 25   k k C 25 ( x ) (3 y) 25 k K 0 25   k k C 25 (3) 25 k k x y 25 k K 0 k=12=> Hệ số: C 25 k=13=> Hệ số: C 25 12 12 13 13 13 12 BÀI TOÁN 3: Tìm hệ số nguyên, hệ số hữu tỉ Xét:  a (  N ) a a   Z    N  Q    Z Chúng ta xem ví dụ nhé: Tìm số hạng nguyên khai triển  Hướng dẫn:    9k   k C9 3   k 23 k 0 Để số hạng nguyên=> 9  k  N   k  k     N k  3 0  k    Vậy số hạng là: 4536 Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher Trang THẦY NGUYỄN THẾ ANH SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher BÀI TOÁN 4: Tính tổng, hiệu, chứng minh khai triển (1  x )  C n  C n x  C n x   C n x n o 2 n n (1  x )  C n  C n x  C n x   (  1) C n x n o (1  x ) 2n (1  x ) 2n  (1  x ) n n n 2n  C n  C n x  C n x   C n x  (1  x ) 2 4 2n 2n 2n n 1  C n  C n x  C n x   C n 3 5 x n 1 Ngoài em cần nhớ trường hợp: Tích phân Đạo hàm vế (1  x )  C n  C n x  C n x   C n x n o n n Khi đạo hàm vế ta được: n (1  x ) n 1  C n  C n x  C n x   n C n x n n 1 Khi tích phân ta được:  (1  x ) d x   ( C n  C n x  C n x   C n x ) d x  xC n  C n n o VD Tính giá trị biểu thức: Lời giải : Ta có:   x  1  x  n n o x 2  Cn A  C 0  C 0  C 0   0 C 0 100  C 0  C 0 x  C 0 x   C 0 x 100  C 0  C 0 x  C 0 x  C 0 x   C 0 x Lấy (1)+(2) ta được:   x  2 100  1  x  100 100   C n n 100 2 n 1 n 1 100 (2)  C 0  C 0 x  C 0 x   C 0 x x 100 3 (1) 100 x 4 100 100 Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được: 0 1  x  99  0 1  x  Thay x=1 vào => A 99  C 0 x  C 0 x   0 C 0 x  0 2 99 100 99  C 0  C 0   0 C 0 100 Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher Trang THẦY NGUYỄN THẾ ANH SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher BÀI TỰ LUYỆN VÀ CÓ LỜI GIẢI   x   VD1 Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức n , biết n 1 An  C n 1  n  Lời giải: Giải phương trình n ( n  1)  n ( n  1) ; Điều kiện: n ≥ ; n  N n 1 An  C n 1  n  Phương trình tương đương với    x  ( n  1) ! n ( n  1)  !( n  1) !  4n   4n   n2 – 11n – 12 =  n = - (Loại) v n = 12 Với n = 12 ta có nhị thức Niutơn:  2x     x  12 Số hạng thứ k + khai triển là: Tk +1 = k C 12 ( x ) 12  k      x  k ; k  N, ≤ k ≤ 12 Hay Tk+ = C 12  x  k 12  k  x k 24  k = k C 2 12  k x k  N ,  k  12  k    24  3k  Số hạng không chứa x Vậy số hạng thứ không chứa x T9 = C 12  7920 VD Tìm hệ số x8 khai triển (x2 + 2)n, biết: An  C n  C n  Lời giải: Điều kiện n  Ta có  x  2  n n C k n x 2k nk k 0 Hệ số số hạng chứa x8 Cn n4 Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher Trang THẦY NGUYỄN THẾ ANH SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher Hệ số số hạng chứa x8 Ta có: Cn n4 An  C n  C n   (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49  n3 – 7n2 + 7n – 49 =  (n – 7)(n2 + 7) =  n = Nên hệ số x8 C  280 VD3 Cho khai triển đa thức:   x  Tính tổng: 2013  a o  a x  a x   a x S  a  a  a   a Lời giải: Ta có:  x (1  x )    a  a x  a x   a x 2013  (1  x )  a  a x  a x   a x 2013 2013 Nhận thấy:  x (1  x ) ak x  ak ( x) k k 1012 thay VD4 Cho khai triển:   a6 2x 10 x 10 x  x 1 ( x  1)  ( x  x  1) 2  (1  x ) 14  16 14 Hãy tìm giá là:  12 (1  x ) 10 16 x là: 6 C 14 ; Trong khai triển   x  hệ 12 C 12 Trong khai triển   x  hệ số 10 Vậy hệ số nên (1  x ) 14 x Trong khai triển   x  hệ số số 2213  x    a o  a x  a x   a x 2x (*) Lời giải: Ta có 1  vào hai vế (*) ta có: x  1 S  a  a  a   a  3 trị 2013 a6  16 C 14  6 C 12  6 16 x là: 6 C 10 C 10  6 Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher Trang THẦY NGUYỄN THẾ ANH SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher VD5 Tính giá trị biểu thức: Lời giải: Ta có:   x  100 1  x  A  C 0  C 0  C 0   0 C 0 100  C 0  C 0 x  C 0 x   C 0 x 100 2 100 (1) 100  C 0  C 0 x  C 0 x  C 0 x   C 0 x Lấy (1)+(2) ta được:   x  100  1  x  100 100 (2) 100  C 0  C 0 x  C 0 x   C 0 x 2 4 100 100 Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được: 0 1  x  99  0 1  x  Thay x=1 vào => A 99  C 0 x  C 0 x   0 C 0 x  0 99 100 99  C 0  C 0   0 C 0 100 VD6 : Chứng minh : a C n  C n  C n   C n  b C n  C n  C n   (  1) C n  0 n n n n n Hướng dẫn : (1  x ) n   k C n x k n 1  C n  C n x  C n x   C n 2 x n 1  C n x n n k 0 Thay x=1 vào khai triển ta có : n (1  1) n   n 1 C n  C n  C n  C n   C n k k 2 n 1  C n n n k 0  C n  C n  C n   C n  Có (1  x ) n n n n   k C n x  C n  C n x  C n x   (  1) k 2 n 1 n 1 Cn x n 1  (  1) C n x n n n k 0 Thay x=1 vào khai triển ta có : n (1  1) n   C n  C n  C n  C n   (  1) k k 2 n 1 n 1 Cn n 1  (  1) C n n n n k 0  C n  C n  C n   (  1) C n  0 n n VD : Tìm số hạng thứ 13 khai triển biểu thức (3-x)15 Hướng dẫn: 15 (3  x ) 15   k C nk (  1) x k k k 0 Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher Trang THẦY NGUYỄN THẾ ANH SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher Với k=0 ta có số hạng thứ Với k=12 ta có số hạng thứ 13 Vậy số hạng thứ 13 : VD8 : Cho P  (x  ) 16 12 C x 12 (x  0) x Tìm hệ số số hạng thứ 12 Tìm số hạng khai triển Hướng dẫn : P  (x  16 ) 16 x   k C 16 x k 0 16  k      x  k 16   C 16 x k 16  k   x k k k 0 16 P   k C 16 x 16  k k k 0 16 a Hệ số tổng quát số hạng khai triển :  k C k k 0 Số hạng thứ 12 k=11 Hệ số số hạng thứ 12 là: 11 C 11 16 b Số hạng tổng quát khai triển là:  k k C x 16  k k 0 Do k nhận giá trị từ đến 16 nên số hạng có k=8 Vậy số hạng khai triển là: C x  C  8 16 16 VD9: Tìm số hạng độc lập với x khai triển biểu thứ sau: P  ( x  x ) 17 (x  0) Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher Trang THẦY NGUYỄN THẾ ANH SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher Hướng dẫn: 17 C P  k 17 17 ( k 0 ) x 17  k ( x ) k C   k 17 (1  k ) x  3k k 0 17  C k 17  x 34  17 k 12 k 0 Số hạng tổng quát khai triển :  k C 17 x 34  17 k 12 Số hạng độc lập với x số hạng không chứa x Nói cách khác, mũ x Nên  34  17k   k  12 Vậy số hạng cần tìm : C 17 VD10: Xác định số hạng tổng quát khai triển: 28 P  (x x  x ) biết: n n 1 n2 Cn  Cn n  Cn Hướng dẫn: Giải phương trình :  1 n  n ( n  1)  79 n 1 Cn  Cn n n2  Cn  79 Điều kiện n   79  n  n  156  n  12    n  12 n  13 28 P  (x x  x 28 k 12 ) 12   k C ( x x) 12  k x k 0 Ta có: 12 P   k C 12 x 16  104 k 15 k 0 Phần TRẮC NGHIỆM, thầy update VIDEO thêm cho em để em hiểu rõ hơn Chúc em học tốt! Thầy đồng hành với em năm 2017 này Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher Trang 10