Đang tải... (xem toàn văn)
toán nâng cao và các chuyên đề hình học 9 tham khảo
P h i i n th* "hiit Chudng I HE T H ~ C LllgNG TRONG TAM GIAC V ~ O N G 61 MOT ~6HE THUC LUQNG VE CANH VA D U ~ N CAO G TRONG TAM GIAC V U ~ N G - - Trong mot tam giic vuBng, binh phuang mdi canh g6c vuang bing tich c i ~ a canh huy&n v6i hinh chi& cua canh g6c vuBng tr&ncanh huy&n R -_ - - _ H _ _ - - - - - _ _c b2 = ab'; c = act I Trong m&t tam giic vudng, binh phuung d u h g cao irng v6i canh huy&n bhng tich hai hinh chi& cha hai canh g6c vuBng tren canh huy&n h = b' c' A - -_ B Hit~lzI I ~ r o n gmot tam giic vuBng, tich hai canh g6c vuBng bing tich c i a canh huy&n v6i duirng cao tuung irng Trong m&t tam gi6c vuBng, nghjch dao binh phuung d u h g cao img v6i canh huy&n bing tBng c i c nghjch d i o binh phuung hai canh g6c vu8ng I - ' -= +7 h2 b2 c- V i d!r I Bigt ti s6 hai canh g6c vuBng c i ~ am&t tam g i k vu8ng lh : 6, canh huy&n 18 122cm Tinh d& dhi hinh chigu cha c6c canh g6c vu8ngYren canh huy8n _ Giii Gih sir tam giiic ABC vu6n&% , c6 AB: A C = : v i B C = 122cm(h2) A AB AC ViAB:'AC=5:6n&n-=-=k suy AB = 5k, AC = 6k Tam giAc ABC vubng 13 A, theo djnh I$ Py-ta-go, ta c6 : Hinl, A B+ ~A C = ~BC~ hay (5k)2 + (6k)' = 2 ~suy , 61k2 = 122', d6 k2 = 244, suy k = 15,62 Vay AB = 15.62.5 = 78.1 (cm) AC = 15,62.6 = 93,72 (cm) KA AH IBC Theo he th* lu(mg v6 canh g6c vubng v6i hinh chi&ucha n6 tr&ncanh huy&n,ta c : A B ~a-= 78,12 AB2 = BH BC, suy BH = BC 122 6099,61 122 w 50 (cm) A C ~=-= 93,722 8783.44 z 72 (cm) AC2 = HC BC, suy HC = BC 122 122 Td iiri :DQ dhi hinh chi& c i a ciic canh g6c vubng tren canh huy&n1s i BH=50cm;HC=72cm Vi & MQt tam giiic vubng c6 canh huy&n I i 6,15cm, d u h g cao h g v6i canh huy&n l i 3cm Tinh cdc canh g6c vubng cha tam gihc Gitii Gih sir tam gisc ABC vubng A, c6 BC = 6.15 cm v i d u h g cao AH = cm (h3) B 11 6-15 - - * Theo he thirc l u w g v& d u h g cao v i hinh chi&u cha c i c canh g6c vubng tr&ncanh huy&n,ta c6 : Hirrh AH^ = BH HC ,/n -.- hay 32 = BH(6,15 - BH), suy B H ~ 6,15BH + = o (BH - 3,75) (BH - 2,4) = c G i i su AB < AC, thg thi BH = 2,4 cm, d HC = 3.75 cm Cting theo h&thirc luqng tam g i L vubng ABC, ta lai c : A B= ~ BH BC = 2.4.6,15 = 14.76 d o d AB = 3.84 (cm) A C ~ = C HB C=3,75.6,15 =23,0625,dod6AC=4,8cm TrB lbi : DQ d i i c i c canh g6c vubng cha tam g i i c l i : AB t 3.84 cm ; AC t 4.8 cm Cho tam g i i c ABC vubng b A, dubng cao AH Biet AB : AC = ? : I , AH = 42 c m ' ~ i n hBH,'HC Cho tam g i i c ABC vuang b A, dubng cao AH Bigt BH : HC = : 16, AH = cm Tinh d i i c i c canh g6c vubng cua tam giic 'Trong met tam g i i c vuang, ti s giCia dubng cao v i trung tuygn kk ttir dinh g6d vubng bhng 40 : 41 Tinh d i i c i c canh g6c vuang cua tam g i i c vubng 66 bi6t canh huy@nbhng & I cm Cho hinh vubng ABCD v i diim nitn giiia A v i B Tia DI cat BC b E D u h g thing kk qua D vuang g6c viri DE c8t BC b F a) Tam g i i c DIF l i tam g i i c gi ? Vi ? I I b) Chimg minh ring -;-+khbng ddi I chuy4n dong tr&n DI- DE' doan AB Cho tam g i i c ABC vubng b A c6 canh AB = cm, BC = 10 cm CBc d u h g phin g i i c v i ngoii cua g6c B cat AC Ian luut b D v i E Tinh c i c doan thing BD v i BE Cho tam g i i c ABC vubng b A, phin g i i c AD, dubng cao AH Big1 CD = 68 cm, BD = cm Tinh BH, HC Cho tam g i i c nhon ABC, hai d u h g cao BD v i CE c i t tai H Goi B I , C I l i hai dikm tuang irng tren c i c doan HB, HC Bigt AB,C = AC,B = 90' -~ ~-~ Tam g i i c ABICl l i tam g i i c gi ? Vi ? Canh huykn cha mot tam g i i c vubng 1611hun met canh g6c vubng c i ~ a tam g i i c i cm, chn tdng hai canh g6c vubng 1131 hon canh huyen lh cm Tinh chu vi v i dien tich cua t a m g i i c vubng d6 Chci tam gi5c ABC c d AH = c', HC = b' ; 90' d u h g cao BH Dgf BC = a, CA =.b, AB = c, I Chimg minh ring a2 = b2 + c2 = 2bc' 10 ChotamgiicABCc6 B = ° , A C = c m v i B C - B A = I Tinh dQ dai cilc canh AB, BC 11 Cho tam giilc ABC c6 > 90°, d u h g cao j ~ Dst BC = a, C AC=c,AH=c',HC=b' Chimg minh ring a2 = b2 + c2 + 2bcq 12 Cho tam giic ABC can ir B v i di6m D tren canh AC Bi&t BDC = qO, AD = dm, DC = dm Tinh d&dii canh AB $2 ~f - SSLUQNG GIAC CUA GOC NHON ,A d6i k& slna = -; cosa = -., huyin huyen d6i , ki &a t g a =; cotga = kg d6i canh huyen B N6u hai g6c nhon a vi c6 sina = sinp C fhoac cosa = cosp, hocc ttga = tgp, ho#c Hl1ih4 cotga = cotgp) thi a = p N6u hai g6c phu thi sin g6c niy bang casin g6c v i tang g6c niy bing catang g6c N6ua++=90°thi: sina = cosp ; cosa = sin0 ; tga = cotgp ; cotgp = tga + Vi du Cho tam gi6c ABC vuang ti A, d u h g cao AH Bi6t AB = 7.5 cm;AH=6cm a) Tinh AC, BC ; b) Tinh cosB, cosC GiJi a ) Tam giilc ABH vuang ti H, the0 djnh li Py-ta-go, ta.c6 : BH2 = A B2 - A H = 7.5 -62 = 20,25 suy BH = &Z = 4,5 (an) B H C Tam giic ABC vuOng A, c6 AH I BC, Hi~rlr5 theo he th~Icluqng tam giic vuang, ta c6 : A I ' , , , I I t I I I b) APB = 90' 188 Cho hai Buhg trhn (0 ;6cm) vh (0' ;4cm) &t tai A vh B Ciic bin kinh qua A cfia mBi d u h g tr6n 11rigp iuy6n cha d u h g trbn Tinh dien tich b.nh gidi h?n b6i hai cong nh6 c l a bri d ~ h trbi g 66 189 Cho n h dubng trhn (0)drtbhig kinh AB vh di&mM t e n n ~ dubg a trbn 66,k6 MH IAB Tr&nchng m$t n&amat p h h g bb AB chda di6m M vC chc nira d&hg trbn d u h g khh A H vi BH Tinh diem tich hinh gidi hqn bhi ba nib d u h g trbn, biEt A H = 4cm 190 Ba d u h g trbn (0, ;5cm), (02 ;20cm)vh (03;20cm) d8i mQt tiep x6c ngoii Tinh die" tich hinh gidi hw biri da d-g tibn 66 191 Cho tam gi6c &u ABC c q h b h g 2, d h g cao AH VE dubng trbn t h 0,dltbng kinh AH vA d h g tr6n tAm O2 nOi ti$p tam giic ABC Tfnh p h h ditn tich tam g i b ABC d m duhg trim ( , )n h n g nhm ngoai duZmg trbn (Oi), _ 192 Cho hai d u h g tdn d h g t h bin kinh R vh 2R di6m M.Wn U&ng trbn Mn kinh R, vE.tiCp myCn v6i d u h g trbi a) db cit d d h g trhn (0 ;2R) tgi A vil B Tia OM cft dtrirng t&n, (0;2R) & C Tinh dicn tich S cka hinh vi@np h h ACB, b) I% A k& ti+ my& Mhai AN c h hg (0 ;R) Gqi S Ih dien tich ' l l r n h t g u M i h a i d c q A M , ~ ~ d c u n g ciiadul*lgtrbn(O;R).Chhg minh rSng S + S b h g dien tich cia hinh trbn (0;R) 193 Cho tam giCc ABC, = 9@ VE n h d h g d n ng* tigp tam gihc ABC di vZ cdc n h d&g trbn d u h g kinh AB, AC nhm ngohi tam gihc 66.Chirng minh h g dien tich hlnh gidi h p bbi ~ ba n h d~rbngtdn n6i t e n bhng dim tich tam gi5c A X 194 Cho ba digm A, B, C t h h i hhg thco thtl tq 66.Ten ctmg met n h mat phhg W AB ba n h dudrig trbn d h g kinh A& BC,AC Tie'p tuygn tai B cia hai n ~ duhg a trbn d h g kinh AB, BC cit &a d d h g trbn cbn * Iai b M a) C h h g minh kg di&ntlch S hinh gidi hw biri ba nira d u h g trk n6i tren bhng dien tfch hinh trbn ddmg kinh BM b) Khi d o S-c6 giA trj Ibm nhdt ? Tinh gig trj l h rihQ 66 AC = 2a (a 18 mQt dhi cho W) 195 Cho hinh thahg A m a6 = = 9@ DnZmg tr&n (0; r) n@i-ti+ hinh hang tigp x ~ vdi c daiy nhb BC M,@p xlic vdi diy l h AD b N ,Bi6t BC = 1,5r Tinh dien tich phin hinh thanp ABCD nam ngohi hZnhtrhn (0) BAIT~PONCCTUUNGIII ? r, 196 Cho tam giAc ABC vubng b A, d u h g cao AH VE d u h g trbn ( ) duhg kinh AH c h &c canh AB A C 1Bn luqt ir E vh F BiB AB = Xcm, AC = 6cm a) C h h g minh ba didm E,0, F t h h g hang ;, - b) Chc ti&pluy€'n cua d u h g lrhn (0) ir E via F cat canh BC theo thd & b M vh N Chime minh M 18 trung didm cha HB,N l i trung di6m cua HC ; Ld Tinh ,SMEFN ; d) Tinh dien tich hinh trbn (0) 197 Cho g6c vudrlg xOy Tren canh Ox 15y dibn A c6 djnh tren canh Oy lajl didm M t hay ddi VE hinh vubng AMNP Inhm gbc xOy Goi I , 121 giao Bi6m ciia A N vB MP a) C h h g minh 111 giac AOMI is d gi8c nOi tiep ; I C) ; - ' b) Tinh SAmP VA bid OAM = 30°, OA = a (a Ih dii cho w&) ; C) Khi didm M di chuy6n tr&ntia Oy thi c8c di&m N v i P chuykn dong tren dubng nho ? 198 Cho tam giic nhqn ABC nt)i*ti&pdrrfrng t d n (0); H Ih trgc tam c i a tam g i b , M 1: II mot di6m t d n cung E a) Xic dinh vj tri ciia didm M dt! ti3 giic BHCM 1; hinh binh hinh ; _b) Goi N vB E Idn Itrqt 1A di6m d& x h g c i a didm M qua AB, AC C h h g minh ba diem N, H,E thing h h g ; C) XAc djnh vi tri cGa d i h M d&do dii d o v NE nh6 nhgt 199 Goi R, r lin lttqt 19 bin kinh d&ng tr6n ngoai ti&p, n8i li&ptam giiic ABC, d 18 khoAng c8ch gi@ihai urn cia hai ciubng trbn d6 Chhg minh-ring : R~- d2 = 2Rr Tir d6 suy tam giic ABC tup 9, ta c6 R 2i.' 200 Cho tam giiic >BCc6 BC = a, CA = b yA AB = c Gqi R, r lhn 1~q la bin kinh duhg trbn ngoai tiCp, n&i titp tam gilt, h , hb, he, I,, lb, fc theo th3 tu 18 &c duhg cao, d h g phan giic rbg vdi c8c canh a, b, c - Chhgminh: ;: - , ' , a) + hb + h, 9h M u kg ihitc x i y nhb ? , * - , ' , 201 Cho hinh vudng ABCD niji tic;, d l r h g trbn (0; r) V5 ciic tarn g i k dCu AMB BNC CPD DAQ nam ngoii hinh vuong dri a) C h h g minh t13giAc MNPQ noi tigp d u h g trbn tiim ; b) Tinh b8n kinh R c8a d u h g trbn trEn the0 r ; C) Tinh theo r di&ntich p hh hinh trbn {O;R) nim ngdi hinh w6ng MNPQ 202 Hai d u h g trbn (0;5cm) v B (O' ; 3cm) tigp xlic v6.i u M.Tiep tuy81-1c i a d h g trbn (0') h N vudng g& vdi W c k drt$rlg trbn (0) bA v2 B Tinh dien tich hinh gidi hyn b hai dubng trim (0) ; (0' vit )day AB 203 Cho d u h p trbn (0) duhg kinh A13 v i mQt digm P chuygn d&ng trtn d u h g cr6n d6 Tr$n tia PB lily di6m Q cho PQ = PA VE hinh vubng APQR, tia PR cat d v h g trbn d C a) C h h g minh C I& tiim B u h g rrbn ngoai tiEp tam giic AQB ; b) Goi I 15 tarn d u h g trbn n&i ti* tam giic APB C h h g minh G n diim I, A, Q, B chng thuoc mQt dwhg tr6n ; 1 \ KG PH 1_ AB.Goi r, r,,- r1 1411 1- lh b h kbh d&ng trbn n&i tigp c5c tam gi6c APB, APH BPH X6c dph vj tri c6a didm P dd tdng r + r2 + r, Bat gid t i I& nhf 204 Cho ba di6m CB dlnh A B, c t h h g hang thco th6 tg 66 VE duhg trhn (0) qua B vh C Qua A VS &C ti% tuygn AE, AF v6i duhg'trbn (0) Goi I 18 tmng di&mcua EK,N 1%trung diem cila EF a) C h h g m h h rang d c digm E v5 F l u h lu6n n h tren mot d u h g trbn c6' dinh drthg trbn (0)thay dBi b) Duhg rhhng FI dt d u h g t r h (0) b E' chhgminh EE // AB ; c) C h h g minh &ng tarn d u h g trhn ngoai tigp tam gi& ON1 chay, t d n mQt d ~ h thing g c6 djnh drtang trhn (0) h a y dBi c) + 205 Gqi (0;R) vB (I ;ra) Idn luqt i i d h g trirn ng* tigp, b h g ti+ g6c c6a tam gilc ABC Chlmg minh ring : I A I B I C = ~ R < 206 Cho tam giic ABC, M 18 mot diem trh c+nh B C VE d ~ r h gtrbn (0,) di qua M vh tigp x6c v&iAB B, d&ng trbn (02) di qua M v i tiep xbc v6i AC i9 C, ch6ng cit N ( k h k di&mM) a) Chirng minh N thuw duhg trbn n g q i tiepAhI3c ; w b) Goi I l i giao dikm cha A N vdi Ehhg thhg k&qua I song song v&i BC cit N.C b E Chiing minh EM M tigp tuygn cha d u h g tran (0,) ; c ) C h h g minh rang d h g thbg IMN Iubn Iubn di qua mot di&m c o djnh M di chuy6n t e n BC ; d) C h h g minh rang nEu AABC can h A thi tich A M AN khdng ddi 59 H~NH TRU - H~NHN ~ -NH ~ N Hc h i.*:' I':" , - - ~ XUNG H QUAME VA d T ~ C H~h TRU * -.- , c D@N T ,y 51-E m E TRU - : '! f - a Khi quay hinh chi? nhgt ABCD m&t vbng quanh c+nb CD co" dinh ta duqc mat hinh try @ 37) - Hai hinh tr6n @ ;DA) v5 (C;CB) d m tr&nhai mat phhg song song vb b h g nhau, ~i 18 hai dAy cha - ' hinh tm - - M3 II tryc cha hinh tw - Qnh AB qukt n2n mijt xung quanh c&a hi& tm, m8i vi tri ciia n6 duqc goi 18 mot d d g s k h - C5c d&ng sinh c6a hinh ty vubng g k v&i ha; mat p h h g d6y Do dhi d ~ h sinh g ciing 19 d@ dhi duhg cao c i a hinh try , Hinh 37 Khi c h hinh ty biti mQt m@tphhg song sung vbi dhy'thi phiin rn@t p h h g gi6i han b&ntrong hinh try 18 mot hinh rrbn, b h g hinh trbn M y Khi cht hinh try bdi mot m@tphhng song song vdi Qc CD thi phiin mat phhng gidi h q hen h ' i tru 18 mot hinh chO nh# Dien tich xung quanh c6a hlnh tq : , ; * > ' Sw= 2mh Ditn tich tohn p h h cda hlnh tq : # ' r : ~ = a = d h : .' ' ," ' A The tich h i d try : , +- % = 2nm ,+,272 I - :' , I ' & lichidu cao) (r 18 b8n klnh, S la di&ntich hinh trhn Vf du 29 Mot hlnh try cb chu vi d&ng trhn dBy 18 25;12cm,c h i h cao - 4,Scm mh.: I Dien tich xung q u e h h'lnh ty ; b) Di@ tich to+ p h h hhh try ; _ C) The ticb d a p h try a) , ,:, P :- -I ' k , ' + : -., ' ' I I ' ! I - ., - ! , Gidi ' L t T& Ang t h k tinh chu vi dlrhg trhn dfy hlnh try C = Zm,ta suy bdn kfnhd&ngthndiiyclahinhtry l h : a) Dien tich xung q w h cba hinh try 1h : : J Sxq= 2mh = 2.3.14.4.4,5 a 13,0(crn2) b) Dien tich ~ o h nph&ncha hinh tru I i : T ' :.; - - &, =.21th + xr 113,O + 50,2 = 163,2 (cm ) ~ h tich cira hinh t@ 13 : V = S.h = xr h x C) ! i I 207 Mot hlnh rw c6 dipn tich xung quanh I& 263,i6m2, chi& cao 6171: Thh lC tfch hlnh tru I&: a) 932,1m3 ; b) 924,0m3 ; C) 923,2m3 ; - d) 942,&n3 Hiiy chon k& qui ding chc kgt quA Wn Lgy x = 3,14 vh I h trhn ke"t qqui d&nm+t cha st5 thap phfin , , 208 Chi& cao cba m@thinh try bang ba ihn bhn kinh dubng t r h &y ciia n6 ~ i & tich xung quanh c i a hinh try 1147 1dm2 .' ' a) Tinh b5n kinh Mnh rrbn dBy cia hinh fru ; ' b) Tinh thd tich cfia hinh try 209 Dien tich xung quanh e l a rnUt hinb te l i 57,09cmZcbn dien tich t o h p h h ccS an6 1I 75,37cmZ.Tinh thk tich cha hinh try d6 210 Mot hinh cha nhat d AB = a, F K = 4a Quay hinhchti nh@q&h canh BC thi duuc mQr hlnh tq c6 th& rich V,,quay hinh ch@nh9t quanh canh AB thi d u hinh ~ try c6 thd tich V2 Tpng cAc ding t h k sau, hay chon d i g i h k d h g : - d a - 211 Hai hi1111ch$ nhat ABCD vi EFGH c6 canh AB = 3cm, BC = 4cm, EF = 12cm, FG = 2cm Cho hinh th13nhgt quay quanh canh AB, hinh tho hai quay quanh canh EF C h h g 16 rang hai hinh tru tau thinh cd dicn tich to5n phin bing v2 th&rich b b p 212 Met hinh tru c6 hai diy 18 hai hinh trhn tAm vh 0' Mgi*rni)tphime di gidi han b&n hinh li qua tryc 00 c i a hinh t ~ phdn mat *nQthinh chfi nhhi c6 dien tich 54cm2 Tinh dien tlch xung yurnh, dien tich toln phin v i the tlch hinh ty Bigt r h g b6n kinh d u h g frbn d i y duErng c a o cha hinh I* 13 Cho mot hinh tru c6 th6 tich V khbng d6i Tinh chi& cao h vh bAn kinh r cua hinh rr6n diy thco V dd dien tich t d n phht~ci~ahinh tru dat gi6 trj - nhG 11h;l't ~ NH ~ N HINI.~ , N ~ CUT N DL& T ~ C HXUNG QUANH V A id T ~ C H~f NH N ~ N HINH , N ~ CUT N $2 H Khi quay tam gihc vu- AOC mot v6ng quanh cinh g k w b n g OA o$ djnh Ihl d w mot hinh n&n(h 38) - Hinh trbn (0;OC) lh d8y cia hinb n6n - Canh AC qutt n&n m#t xung quanh c i a hinh non, mdi vi rri cha n6 duw goi 1h mgr duhg sinh - A Ih dinh, A 1A d u h g cao cGahinh n6n Khi tit hinh n6n Mi m@ mat phhtg song song vdi dily thi phin mat p h h g gi6i han b~ hinh n6n 18 mUt hinh tcbn Phdn hinh nbn nam g i h mar p h h g n6i t e n vh ma&diy 18 m&thjnh n6n cui Hirdt 38 Di€n tich xung qunnh c i a hinh n6n : &, = xrl Dien tich fohn p h h c8a hinh n6o : S,,, = rrl + nr2 Th6 tich hinh n6n : V , - -1~ t r2h = Dien tich xung quanh hinh n6n cut : SXy= Hrl+ r2)1 Th6 tich hinh n6n cut : v = n h ( i , + ?: + r,r2) Y i rl!r 30 Cho tam gi5c vu8ng c i n ABC, A = 9i." BC = 3ficrn Quay tam gi5c d6 mot vbng quanh canh g k vubng AB c6 djnh Tinh dien rich xung quanh vi th6 rich cua hinh t ~ thhnh o Gidi Quay tam g i k v u h g d n ABC m@ v h g quanh canh g6c vudng AB c dInh, v hinh n6n dinh B, d h g sinh -K, bcin kinh d t h g t&n day Ih AC (h 39) ud Tam giic ABC w6ng tin ir A then dit~hli Py-ta-go ta c6 : ~d+ A(? = BC' hay ~ = (3&11 = I# ' , % suy AC' = d6 AC = 3(crn) Dien tich xung quanh c i a hinh n6i-13 : ' -, -, sX4= ~ A C B C= n.3.345 = 9&n ? = 9.1,41.3,14 = 3935 (cm') , r - Th6 tich hinh n6n 18 : I I V,,, = - ACh.AB = - AC' 3- C T Hitrh ?9 = - 3' = - 27 = 9(cm 3 ' V i d!t 31 Ngtrbi ta dilng mot cung hinh quat 150*, Mn kinh cung hirlh quat bhng 2crn dd udn lqi thinh mot hinh n6n:Tinh t h i t ich c l a hinh n61136 DO dhi cung hinh quat Ih : 2nr I50 = 2rr.12.- = lox 360 12 Do d6 chu vi d u h g trbn'dhy c h hinh n6n tao thinh lh ion ?a c6 : 2nr = On, SUY r = (cm) G i i sir hinh n6n t+o thinh c6 dinR.S d u h g sinh SA, b8n kinh duhig trbn dliy OA Trong tam giic vubng SOA, thco djnh ti fy-ta-go, ta c6 : ' \ S , Hirlh 40 ' s ~ ~ = s A ~ - o A 12'-5~= ~ = 119,suy SO = m ( c m ) Thi tic11 cua hinh non Ih : ' V,, = 1 -w2h = -.x.52.fi ,3 = 25J1197t (cm 13 B6i tap 214 Tinh di&n tich xung q u a d vi thk rich cha h i h tao t h h h c6c truhg h q sau : a) Quay tam gi6c ABC vubng b B mot vbng quanh canh g6c vubng AB; b) Quay tam gi5c bgt :ti ABC met v h g quanh canh BC (canh d8i nhfitt) crii lb hinh n6n cao 3m, bin kinh duimg trbn 215 Ngudi ta c l n 15m d8y 2m Tinh s6 v5i c h dang dd 1~ chi& 161166, bigr rang dien tich vhi ' thha d6 12rn mkp khAu bang 5% dien rich xung quanh (lgy rr 3,14) - 216 Cha rngt hinh n6n c6 di& tich xung quanh 50acm2,do d l i d u h g sinh bing 1Ocm a) Tinh dicn tich toin phi311; b) Tinh th6 tich hinh n6n 217 M-+t xung quanh cila mot hinh n6n khai t r i h t h h h mot hinh quat trbn € ban kinh 12,4cm, g6c b tim a = 270~ Tinh thk tich ciia hinh n6n - 218 Cho tam giic ABC vuBng & A @i V,,VZ,V3 the0 thir tu 12 thk tich cua nhfing hinh sirrh quay tam gi6c ABC m$t vbng quanh c8c canhBC,ABvaAC.Chhgminh~ng: , I 219 Mot hinh ncin dinh S, E n kinh duhg trhn &y q chi& cao SO = 36cm Mot mat phang song song vhi d6y cht hinh n6n theo mot hiilh trbn { ' ) ,i ' c6 bin kinh Scm, tao r h h h mot hinh n6n cut : a) Tinh dien tich xung quanh cha hinh n6n cut ; b) Tinh thk tich cha hinh nhn cut r - 220 Ngubi ta sm 100 ch+u dgng nu& dang hinh n8n cut, b6n kinh mieng chgu 1h 30cm, bin kinh &y chgu I2 25cm,Buhg sinh 27,5cm Bigt ring ca.$an lrn2 thi hCt 150 garn d6u sm Hbi nrm c6 hai met chgu thl h H bao nhieu kp d8'u san ? , I ! '> " ;4 '.j KhI quay nira hinh trbn tAm , bAn kinh R mot vbng quanh d u h g kinh AB c dSnh thi Bu* mgt hlnh c$u (h 41 ) - Dikm duqc goi 18 tam dB dai R 1h b5n kinh hlnh cdu - Nira dudng trhn phkp quay n6i tren tao nCn mot cau , Hirih 41 Khi cit hinh CALI b8n kinh R bhi m&t mat phhng ta duqc : - Met dtr&ng trbn ban kinh R nt?u rn@ p h h g di qua t5rn hinh ciu -(g?i 18 duhg trbn Ih) - Mot d u h g trbn b5n kinh M R n6u mat p h h g k h ~ n gdi qua tarn hinh c8u I Dicn tich rn@ cgu : S = n ~ hay * S = rrd2 Th& tich hinh cdu : V = -nR3 R Ih b i n kinh, d i B u h g kinh mai ccbu V i d t ~32 M&t hinh n6n c6 bin kinh d u h g trbn diiy 8cm, chidu cao Scm Met hinh ciu c6 th6 tich bang - thd tich hinh n6n Tinh bin kinh hlnh c$u - GiGi Thk tich hinh n6n 19 : 2h =-n.8 I 2.15 =3201c (cm3 ) Vndn= -nr 3 Theo d6 bhi th6 tich hinh ciu b h g - thk tich hinh n6n, nCn-: vCi,, = Vndn= 32071 = 240n Goi b6n kinh hlnh c i u 18 R,ta c6 : a - r r ~ C ; ~ n =eI ~B 3O ~ =Rm ( c m ) TOAN NANG CAO HlNH -5 Vi~~33.M$ttamgidcd~uABCc6canhbangIOcm,chi~ucaoAH,n tiep rn@ d ~ h trhn g Cho hinh quay met vbng- quanh chi& cao A H Tinh -th6 tich cha hinh c8u :Gicii A H lii d u h g cao cha tarn giAc ABC nfn ta d ~ u cm&t hinh cinu A HB=HC= -BC =5(crn) Tam gik AM3 vuhg H, rheo dinh li 4:-ta-go, ta c o : AH^ = A B -~ B H =~ " 10- - = 75, sJS(~~) suy AH = Tarn d u h g trbn ngoai ti6p tam g i k d& - r I fi C ZAH IOJS - (cm)3 V4y thd tich hinh c l u tao thhnh quay tam gihc d&u A B quanh ~ chih cao AH' I i : ABC th1.10~ AH V ~ OA I :- 221 hi@ rnGt cdu c6 di&ntich 13,04rmZ Me cdu thB hai c6 b h kinh bing 23 bin kinh mat c3u thir nhgt Tinh dien tich mat ciiu tha hai (Lgy x cr 3,141 222 M&t ram gihc diu ABC c6 canh 8cm, ngoai tiep m&t dubng t r h Cho hinh quay mot vbng quanh chi& cao AH c i ~ atam gigc ABC, ta duqc m&t hinh non ngoai ti+ hinh ciu Tinh thk tich philn hinh nbn btn ngoii hinh c$u 223 Mot hinh trp c6 t h l tich 125,6cmZv& c& chau cao g @ ldn b4n kinh Bubng ~ r b ndiy.ciia n6 Mat hinh cdu c6 b&nkinh bing bin kinh dudng trhn dby hinh tru thi c6 thk tich bang : b) 34,3m3 ; c) 33.5*n3 ; d) 35.3crn3 Hly chqn kg1 qu6 dfhg (Ujn =3,14,l& t r h &n mot chir s6 rkap phAn) 224 MUt hinh c%un&i tie hjnh nbn (h.43) Big1 OA = 13crn OH = 5cm a) 33,4cm3;- ' irlh die11 tic;h xnnp quanh cua hinh n6n 225 Mot hinl-t n61-r c4 dinh tlim hinh c&, 26 d i y li hiilh trbn t ~ bdi o rnGt p h h g cit hinh c i u vi cich tim hinh cAu 9dr;l (h.44) Tinh die11 tich xung quarlh hinh n60 bi&tb5:1 kinh h i i ~ hc3u 1% 41 dm S 226 Cho tam giic ABC vuBng b A, d&ng cao AH Cho ba nha drrbng :ran ngoai tigp ba tam gihc vubng ABH, ACH v,i A ~ 1511 C ILPGT quay quanh c i c canh AB, AC, BC mot vbng, dugc ba hinh c h Goi S I , S2, S j Iin I uli~ dien tich cAc mijt cAu duhng kinh AB, AC, BC Chdng rninh rang St + S2 = S, vuong 227 Cho mot hinh c i u tarn d u h g kinh SS' = 2K lW@ 1n3t g6c vdi SS' tai di6m H cat hinh clu the0 mot hirrh t r h Goi ABC IB tam gi5c d&unoi ti6p d u h g trbn d6 DGt SH = x (x > R) Tinh c i c c+nh cfia tam giSc ABC theo R vh x ' [ 228 Cho hinh chi? nh@ ABCD ch AB > BC.BiEt dien tich hirlh c h nhgt ~ 12 35cm , chu vi l i 24cm Cho hinh ch3 nh4t quay quanh canh AB met vhng ta dugc mot hinh tru Tinh di" tkh fohn ph5n vh thd tich cha hinh te nhy 229 Mot hinh n6o c6 dhy trhng vdi d6y du6i c i a hinh t r ~ lv h dinh trhng vdi vim d u h g tr6n day tren c6a hinh tru (h 45) Tinh dien tich xung quanh hinh n6n, bigt ih6 tich hinh tru 121 16n, chi& cao hinh n6n bhng hai 1B;n biin kinh duimg trlrn d i y c i a n6, 230 Cho mot hinh ndn c6 bAn kinR diiy 1i 6cm, dien tich xung quanh Ih 72ncm Mbt m$t phing song song v6i day cia Hnh n6n vB di qua trung diim c i a duhg cao tao thinh mat hinh n6n cut Tinh th6 tich hinh n6n cut d6 231 Mot hinh t q duw.dgt met hinh n6n rihrr tren himh -46 Tmh chi& cao ciia h'mh t+ chb phsn thk rich -L-hinh n6n n h n@ hm& t q gii trj nhb nhgt ' -+ 232 Met hinh try c6 hai d u h p trbn &y 18 (0) vi (0) b i n kinh R, chi& cao la R&- Gqi A I i A mot di6m c8' djnh n5m tdn duhg trbn (0') Tim trtn d u h g trbn (0)hai didm B v i C Hinh 46 cho tam giAc ABC 18 tam giic deu 233 Qlo mot hinh nbn'dinh S, tllm hinh trbn-&iy 15 vi mot hlnh csu n@ tie'p hinh n6n c6 ram 18 I Bi&t ti s@ giila th6 tich hinh n6n vB thd tich hihh cgu bhng k Chhg minh rhng ti so" g i h dien tich toin phdn cia hinh n6n v i dicn tich rnqs c c i ciinng bhng k 00AH W HE IAB, HF IA( 234 Cho tam gib vuhg ABC, =9@, &hg a) Tinh EF, bigt BH = 3,5cm, CH = 6cm ; b) CRhg minh AE-AB = AF.AC ; C ) Qua A k6 AK ~ O n g6c g v d EF, c&t BC &,I.Chhg minh I la mng dizm cha BC ; d) Chhg minh r h g d u SAW = 2SmF thl tam g i k ABC 1% t& g i b w&lg can 235 Qlo hinh thang cAn ABCD (EK M AD) Bit$ AE = Sa, BC = 3a, A D = 13% AB IBD a) Tinh t8A -+ - cotgA + cotgD * b) Tfnh SABCD236 Cho tarn gi6c ABC vudng ir C Bit%b h kinh duhg trhn noi tit$ c6a tam gidc b h g - bcio Linh d h g trhn ngoci ti8p cLa tab gide 66 Tinh 13 - A A c8c goc A vh B cia-tarn gi5c- 237 Cho hinh chi3 nhgt A m D Gqi I I m@tdihn tup f tren c+nhAB Qua I kc IN CD, IM IAC a) C h h g minh td gi5c BMNC 18 nl giAc n@itiEp ; b) C h h g minh MA-MN = MB-MI ; C ) Cho bigt AB = 5cm BC = 2cm Xic dinh v i tri cha di8m I tr&ncanh A dd AN 18 ti6p tuye"n c i a duhg trbn n g e i ti* td gi4c BMNC 238 Cho tam giic nhqn A W n&it i Q dubng t*n (0) PhAn giic cha g6c A cit BC d D, cat dudng trbn (0) jr E Ggi K vh M Ih luqt Il'hinh chi& cha di6m D tren AB vh AC a) C h h g minh td gi&cAMDK noi tigp duqc d&ng trhn ; b) Chimg rninh tam gihc AKM Ih lam giic can ; c) Dgt BAC = a.C h h g minh MK = AD.sina ; d) So sAnh SAKEM vdi SABC .: 239 Cho nira duhg trbn (0)d u h g kinh BC vh didm A t e n nha d ~ h trhn g (A khiic B v3 c) Ki AH IBC Ten c h g mot naa mat phhng bd BC chira di6m A, vE hai n3a drrhg trbn (0,) vZt (0~) duhg kinh BH vB HC chung Iln lug cdt AB vA AC b E v i F a) Chihg minh AE.AB = AF.AC ; b) Glibg minh EF 18 ti* tuy&nchung cfia hai n h d h g trbn (0,) vh (02) ; c ) Gpi I vh K l h Iuqt 1h cAc didm ddi x h g c6a di&mH qua AB vh AC C h h g minh ba di6m I, A, K t h h g hang ; d) Goi M 19 giao d i b ciia d u h g thing t ~ - v dtiep i t u y h ke tS1 B cha nira d u h g trbn (01, c h h g minh MC AH, EF dSng quy 240 Cho h'inh vubng A m c6 tarn 0.D u h g thhg d quay quanh 0,cit hai c y h AD vh BC lh luqt b E vB F (khbng trhng vdi c8c dinh cha hlnh vubng) Qua E vh F lh lu+ kg d h g thhg song song vdi BD vB AC chllng ck b I Kg JH IEF Chhg minh ring : a) Didm I chay W n mQt @n thing ci5 dinh ; b) Dikm H thuw mot duhg trhn cd dinh vh BuEmg thing IH di qua m&t digm c6 djnh - R 241 Cho hai d&g t r h (0 ;R) v&d h g t h (0' ; -) ti$p xJc ngohi tai A Tdn duhg- 'trbn (0)lgy di6m B.sao cho AB = R vh dikm M tdn cung I h Tia MA e h duhg t r h (0')tai dig* thir 'hai N: Qua N kd duhg thing song song vdi AB cit d u h g thhg MB b Q v i cat duhg E trbn (0') P I I I CI a) Chhg minh AOAM v> AO'AN ; b) C h h g minh dQ dii doqn PQ kh&ngphu thuoc vho vj tri cia diim M ; c) Tir giaic ABQP I i iiinh pi ? Vi ? ! t t ,' i T I k + d) Xic djnh vj td cha di6m M de' SABQNdaf giz5 trj I& nh& tinb gii tr/ 66 theo R 242, Cho d h p trbn (0; R), hai d u h g kinh AB vA CD vusng g6c vdi Tren duhg kinh AB Igy didm M khic Biim 0,tia CM cit duhg trbn (0)tai diim thB hai N DUbng thing ki qua M vbbng g6c'vdi AB cht tigp tuygn k6 tir N cha ddhg rrhn (0)u P C h h g minh ; a) Td giic OMNP 1.i ti3 gidc nQi tigp ; b) ~ i gigc r CMPO I& hinh binh hinh ; C) Tinh CM.CN khbnp d6i : d) Digm P chcy t+n m&t thing co dinh M di chuydn crkn da4n AB 243, Cho hai duhg trhn (0) vit (0') cit lai hai di@mA v b B (0v i 0' rhuqc hai nua rngt phirig bbb AB) Cic d l r h g t h h g A vP AO' cit duhg trbn (0) IAn Imgt C vh D, c i t d h g t&n (0') 1An Iugt E vB F a) C h h g minh ba di6m B, F, C thhg hhng ; b) Chhg minh A 18 tarn d u h g trhn n&itigp tam giic BDE ; C) T m di&ukien d6 DE 1s ti+ t u y h chung c h hai d u h g trhn ( 0jd (0) 244 Cho Buhg trhn (0) v i d h g thing d cat d u h g irbn tai hai di$m cB dinh A v i B.Qua diim M tr&ndlrang thing d vB nam ngohi dubng trbn (O),kg hai ti8p tuyen MP v l MQ vdi d u h g trbn (Pvi Q 121tiep dikm) a) C h h g minh ding didm M thay ddi t e n dlfEmg thing d thi duhg trbn ngoai tiEp tam g i i MPQ ~ lu6n ludn di qua hai di8m c d ~ n hmi m6t diim nirn tren duhg thang d ; b) 'lim qu5 tich tam d u h g t r h ngoai ti+ rain gihc MPQ ; c) XAc d!nh vi tri dikm M trrh duhg thing d cho tam gidc MPQ lh tam giAc d&u 245 Ba A, B,C cfia tam giic ABC chufi d&lg tr& mot d u h g trbn (0;R) cd Qnh Trong t hG ciia tam gkk d dw vh &h O met khoing &g d a) Goi A', B', C ldn l u g ih trung di6m cha dc canh BC,CA, AB Chdngj minh rhng c6c d u h g thhg kg qua A', B,C the0 ihd tq song song v c6c bin kinh QA, OB,OC cit t+i mot dikm ; b) Chhg minh ding c8c di6m A', B', C' thu* met duhg trbn c d c) C6c dinh A, B, C c6 th& chay khiip drtang trhn (0) duuc khbng didu kien giaa d v i R 86 c8c dinh A, B, C chqy khdp duhg trbn ( C h h g minh rhg ditu kien dbi hbi G khdng narn b@nngo8i m d ~ h trbn g (S) nio 66 Khi lily G tr&nE q h g trbn ( ) thi'tam giic AB c6 gi d@ biet ? 70 246 Cho duhg trbn (0;R), d n g kinh AIB- Mot d&g thing quay quanh trung diem H c6a b5n kinh OB cb d u h g trhn i0)b M vh N a) C h h g minh rhng c5c trung di6m I cira doan MN chay tren mot dubng I trbn c6 djnh ; b) VE AA' IMN, BI cit AA' b D.-Tiigiic DMBN I& hinh gi ? Vi ? c) C h h g minh D I i truc tam cba tam gi6c AMN ; d) Cho bid A M A N = ~ vh * A N = R& Tinh dim tich phdn hinh trbn (0) nhm ngoZ tarn giic AMN 247 Goi R, r theo thii tq 11Mn kinh d u h g trbn n g w ti$p, nQi tiEp tam giiic ABC, dl, dZ, d3 18 khohg cich tit tam d h g tr6n ngoai tiep cha tam gigc d&nBC, CA, AB Tinh tdng R + r theo dl, d2, d3 248 MQt hinh t+ c6 ban kinh dBy 5cm M&t mat p h h g di qua t q c 00, phin mat phing gi6i han b&i hinh try 1h met hinh chG nhat cb dien rich bing di&n tich hinh tr&n cEy hinh ty Tinh dien tich xung quanh, dien tich tohn phien vA th@tichhinh t+, [...]... thoi Mat k h i c O A O ' = 90 ' (theo giii thie't) vi the" td g i i c OAO'I Is hinh vu6ng ~ I ~ I I 21 / J - b) Td g i i c OAO'I la hinh vuBng n&n AOI = A O ' I = 90 " Trong d~rirngtrbn ( 0 ) g6c b tilm A 0 1 = 90 ", d o d 6 : - S o d o cung nho A1 = s 6 d o g6c A 0 1 = 90 " - S 6 do cung 1611A1 = 360' - 90 " = 270' Tuang tu, trong dubng trbn (O'), ta c6 : - - So" do cung nh6 AI = 90 ' - Sb do cung 1611A1... I i hinh chi&u c i a di6m D tren AB v i AC Chirng minh DB DC = MA MB + NA NC 48 Tren met qua doi c 6 mat c l i thdp B cao loom Tir dinh B v i chin C c i a r - - - thip nhin diim A b chgn ddi duiri cic g6c tuung h g bang 60' VA 30' (11 11 ) Tinh chi& cao h ciia quH ddi 49 6 dB cao 92 0 m, tir met m6y bay truc thHng nguiri ta nhin hai diem A v i B cha hai d%u met nh5ng g6c so vdi d h g nlm ngang cha... AOH 19 tam g i b vubng can ir H, ta co : , ! 3J5 V$y bsn kinh d u h g tr6n (0)1B : R ,= -cm 2 51 Cho tam giic d$u ABC, hai d~rimgcao BD, CE a) Chimg minh b6n di&mB, C, D, E chng thuec met d u h g trbn ; b) Goi G 18 giao diim cha BD vh CE Chirng minh b6n didm A, E, D, G chng thu&c m6t d u h g trbn Tinh bin kinh cba d t h g trbn niy, bi&'t tam gi6c d&u ABC c6 canh bing 8cm - TOAN NANG CAO HlNH 9 2 ... 1611IU@ I i trung didm c i a OB, CD - a) C h h g minh AMN = 90 °, tir d6 suy ra bb'n didm A, M, N, D c i ~ n g thuqic mqit d u h g tr6n ; b) So s i n h AN viri MD 57 ~ h tam o g i i c ABC can 6 A c 6 AB = IScm, dubng cao AH = 9cm Tinh b i n kinh d u h g trbn ngoai tisp tam giic ABC 58 Cho hinh vusng ABCD canh bdng a Goi M v i N I i hai diim tujr 9 tr&n c i c canh AB v i AD sao cho chu vi tam giic AMN bing... sao 7 b) Tinh chu vi tam giic MPQ ; - C)Tinh g6c POQ Gidr a) Theo giH thigt : MA, MB 18 tigp tuy&n cha d~rbngtrbn ( 0 ) c3 A vh J3 n6n OA 1 AM vh OB 1BM, Go d6 , A = 90 ' vh 6 = 90 ' MA IMB n t n ; n G = 90 ° Tir giic AMBO c 6 = = = 90 ' , n&n 18 hinh chii nhgt Hinh chii nhgt nhy lai A P M c6 OA = OB n&n18 hinh vu6ng Hinh 16 b) Theo tinh chgt hai ti6p tuygn cc6 mot d u h g trbn c l t nhau, ta c6 : MA... AB + AC = 2(r + R) 89 Cho tam gidc ABC vu6ng b A c6 BC = a, CA = b, AB = c Goi r lh bin kinh d u h g trbn n6i tiBp tam giic r 45-1 Chirng minh ring : - 5 - a 2 90 Cho tam giic ABC c6 AB = 7,5cm, AC = 10,Scm va BC = 9cm D u h g trbn ( 0 , ) bing tiBp g6c A tiBp xuc v6i cach BC, tigp xuc vdi phSin kto dii c6a hai canh AB, AC Iln luut 6 D, E, F Tinh do d i i c i c doan AE, AF, BE, CF 91 Cho tam giic d&uABC... dhi doan BC ; b) Tinh bin kinh c6a c i c d u h g ( 0 , ) vh (0 .9 99 Cho hai dubng trbn ( 0 ) va (0') tiEp xhc ngohi u A Dubng nbi t2m 00' cit dubng trbn ( 0 ) b B, cit d u h g trbn (0') b C DE 11 mot ti€$ tuy&n chung ngohi cha hai dubng trbn (D E(O), EE(0')) Goi M l i gino didm cua hai dubng thing BD v i CE Chirng mich : - - a) G6c EMD = 90 ' ; b) MA lh tiEp tuy&n chung cda hai dubng trbn ( 0 ) v i (... vudng ABC v i A'B'C ddng dang viri n h a u ( i = c6 hai dubng cao h h' tuung irng thuec canh huyen a v i a' Chirrlg minh : a) aa' = bb' + cc' ; 1 I b)-=-+- hh' bb' - 90 0) 1 cc' 46 Cho tam giic nhon ABC, ba dubng cao AH, BI, CK 7 2 7 Chirng minh SHTK= (I - cos' A - cos B - C O S - C ) S ~ ~ , ~ 47 Cho tam giAc ABC vu8ng u A a) K t dubng cao AA' ~ o Ei v i F the0 thir tu 18 hinh chi& cha didm A' CE... (0)trong d 6 A, B l i c i c ti6p dikm sao cho AMB = 9 0' Qua dikm C tren cung nhb G k 6 ti6p tuy&n v6i d u h g trbn ( 0 ) cdt MA v i MB I&nIuut b P vh Q C h h g minh rhng : 1 + MB) < PQ