Toán 3 Nguyễn Thị Vân BÀI TẬP TOÁN III (ĐSTT) – BUỔI ( Tài liệu có sai sót chỉnh lí lớp tập) Maths is your friend if you meet with him every day, he becomes your best friend If you leave for a time, he forgets you and you forget him PHẦN 9: + Khái niệm biến đổi tuyến tính + Ma trận phép biến đổi tuyến tính Ảnh véc tơ qua phép biến đổi tuyến tính + Thế ma trận chuyển sở? Cách tìm ma trận chuyển sở + Mối liên hệ tọa độ vectơ hai sở khác Tìm m để ánh xạ sau biến đổi tuyến tính T: ! ⟶ ! xác định ( x1, x2, x3 ) ⟼ ( x1, 2x2+ x3, mx1x3 ) Đs: m = (12 t437) Giả sử T phép biến đổi tuyến tính biến (1,1) thành (2,2), biến (2,0) thành (0,0) Tìm T(v) với (a) v = (2,2) Đs: a) ( 4, 4) (b) v = (3,1) b) ( 2, 2) (c) v = (-1,1) c) ( 2, 2) 3 Cho phép biến đổi tuyến tính T : ! ⎯ ⎯→ ! thỏa mãn: T[(1, 1, )]= ( 1, , -1 ), T[( 1, 1, )] = ( 0, 1, ), T[( 1, 0, 0)] = ( 0, 1, ) Tìm T [(2, -4, 6)] ⎡ ⎤ ⎡6 ⎤ Đs: T ⎢ −4 ⎥ = ⎢ −4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣6 ⎥⎦ ⎢⎣ −6 ⎥⎦ Cho {e1, e2} sở tắc ! Cho T phép biến đổi tuyến tính từ ! vào ! thoả điều kiện T(e1 + e2) = (1, 1); T(2e1 + e2) = (0, 1) Toán 3 Nguyễn Thị Vân (a) Tìm ma trận tắc T (b) Tìm vectơ u ∈ ! cho T(u) = (2, -1) Đs ⎡ −1 2⎤ ⎥ ⎣ 1⎦ a) Ma trận tắc T sở tắc ! ⎢ ! u b) = ( − 4,1) !" !" !" Cho {e1, e2 ,e3} sở tắc ! , T phép biến đổi tuyến tính từ ! vào ! , thoả ⎡3⎤ ⎡4⎤ ⎡1 ⎤ !" !" !" ⎢ ⎥ !" !" ⎢ ⎥ !" ⎢ ⎥ mãn điều kiện: T e1 + e2 + e3 = ⎢3⎥ ,T e1 + 2e2 = ⎢1 ⎥ ,T e3 = ⎢ ⎥ ⎢⎣3⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦ ( ) ( ) ( ) (a) Tìm ma trận tắc T? ⎡1 ⎤ ! ! ⎢ ⎥ (b) Với v = ⎢ ⎥ T (v ) = ? ⎢⎣3 ⎥⎦ Đs: ⎡0 ⎤ a) ⎢⎢1 ⎥⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡7 ⎤ b) T ( v ) = ⎢7 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ Cho phép biến đổi tuyến tính T : !2 → !2 (x, y) " (2x + 3y,3x + y) Xác định ma trận tắc T ⎡2 3⎤ ⎥ ⎣3 2⎦ Đs: Ma trận tắc T ⎢ Cho phép biến đổi T: ! → ! xác định sau T(v) = xu1 + yu2 +(x + y)u3, v = (x, y), u1 =(1, 0, 0), u2 =(1, 1, 0), u3 =( 1, 1, 1) Chứng minh T biến đổi tuyến tính Tìm ma trận tắc T ⎡2 2⎤ Đs: Ma trận tắc T sở ! ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ Toán 3 Nguyễn Thị Vân ⎡1⎤ ⎡1 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Cho sở F = {v1, v2, v3} ! với v1 = , v2 = , v3 = ⎢0 ⎥ Cho T phép biến đổi ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣1⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦ tuyến tính từ ! vào ! xác định T( x1v1 + x2v2 + x3v3) = (x1+ x2 + x3)v1 + (2x1 + x3)v2 – (2x2 + x3)v3 (a) Tìm ma trận tắc T (b) Với v = (1, 1, -1), tìm T(v) ⎡ −2 ⎤ Đs: a) ⎢ −1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ b) ⎡ −5 ⎤ ⎢ −1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣1 ⎥⎦ Cho phép biến đổi tuyến tính T : ! → ! ! ⎡ x1 ⎤ ! ⎡ 2x1 ⎥ " T (v ) = ⎢ v=⎢ ⎢ x2 ⎥ ⎢ x1 + x2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ Tìm ma trận tắc T Đs: ⎡2 A=⎢ ⎣1 0⎤ ⎥⎦ 10 Cho E = {(1, 2); (2, 3)} F = {(1, 1); (2, 1)} Tìm ma trận chuyển sở từ E sang F từ F sang E Biết tọa độ vectơ v theo sở E (1, -1), tìm tọa độ v theo sở F ⎡ −1 −4⎤ ⎥⎦ ⎣1 Đs: Ma trận chuyển sở từ E sang F AE →F = ⎢ ⎡3 4⎤ ⎥ ⎣ −1 −1⎦ Ma trận chuyển sở từ F sang E BF →E = ⎢ ! ⎡ −1 Tọa độ v theo sở F ⎡ v ⎤ = ⎢ ⎣ ⎦F ⎣ ⎤ ⎥ ⎦ 11 Trong không gian ! cho hai sở : ! ⎡ ⎤ ⎪⎫ ⎡ −3 ⎤ ⎪⎫ ⎪⎧ !" ⎡ ⎤ !" ⎪⎧ !" ⎡ ⎤ " B = ⎨u1 = ⎢ ⎥ ,u2 = ⎢ ⎥ ⎬ , B' = ⎨u'1 = ⎢ ⎥ ,u '2 = ⎢ ⎥⎬ ⎪⎩ ⎪⎩ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪⎭ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪⎭ Toán 3 Nguyễn Thị Vân (a) Tìm ma trận chuyển từ sở B sang sở B’ (b) Cho w = 3u1 – 5u2 Tính tọa độ w sở B’ ⎡ −4 ⎣3 Đs: Ma trận chuyển sở từ B sang B’ M B→B ' = ⎢ 17 ⎤ −10⎥⎦ ! ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ −5 ⎥ v Tọa độ v theo sở B’ ⎣ ⎦ B' ⎣ −1 ⎦ HƯỚNG DẪN GIẢI T phép biến đổi tuyến tính thỏa mãn hai điều kiện sau: !" !" ! !" !" ! !" !" ! ∀v1 ( x1 , x2 , x3 ) ,v2 ( y1 , y2 , y3 ) ∈# : T v1 + v2 = T v1 + T v2 !" !" ∀c ∈# : T cv1 = cT v1 ( 2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1) ⎛ ⎡ x1 ⎤⎞ ⎛ ⎡ cx1 ⎤⎞ ⎡ cx1 ⎤ !" ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ T cv1 = T ⎜ c ⎢ x2 ⎥⎟ = T ⎜ ⎢ cx2 ⎥⎟ = ⎢ 2cx2 + cx3 ⎥ ; ⎜⎝ ⎢ x ⎥⎟⎠ ⎜⎝ ⎢ cx ⎥⎟⎠ ⎢ mc x x ⎥ ⎣ 3⎦ ⎣ 3⎦ ⎣ ⎦ ⎛ ⎡ x1 ⎤⎞ ⎡ x1 ⎤ !" ⎢ ⎥ ⎜ ⎢ ⎥⎟ cT v1 = cT ⎜ ⎢ x2 ⎥⎟ = c ⎢ 2x2 + x3 ⎥ ⎢ mx x ⎥ ⎜⎝ ⎢ x ⎥⎟⎠ ⎣ 3⎦ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ) ⎯(⎯ → mc x1x3 = mcx1x3 , ∀x1 , x3 ,c ∈# → m = Với m = ⎛ ⎡ x1 ⎤⎞ ⎛ ⎡ y1 ⎤⎞ ⎡ x1 ⎤ ⎡ y1 ⎤ ⎡ x1 + y1 ⎤ !" !" ! ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎢ ⎥⎟ ⎜ ⎢ ⎥⎟ ⎢ T v1 + v2 = T ⎜ ⎢ x2 ⎥⎟ + T ⎜ ⎢ y2 ⎥⎟ = ⎢ 2x2 + x3 ⎥ + ⎢ y2 + y3 ⎥ = ⎢ 2x2 + x3 + y2 + y3 ⎥ = T ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎜⎝ ⎢ x ⎥⎟⎠ ⎜⎝ ⎢ y ⎥⎟⎠ ⎢0 ⎣ 3⎦ ⎣ 3⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) ⎡ x1 + y ⎤ !" !" ! ⎢ ⎥ x + y = T v + T v 2⎥ ⎢ ⎢x + y ⎥ ⎣ 3⎦ ( ) ( ) Vậy f phép biến đổi tuyến tính a) T (( 2, 2)) = T ( (1,1)) = 2T (1,1) = ( 2, 2) = ( 4, 4) b) T (3,1) = T ((1,1) + ( 2,0)) = T (1,1) + T ( 2,0 ) = ( 2, ) + (0,0 ) = ( 2, ) c) T ( −1,1) = T ((1,1) − ( 2,0)) = T (1,1) − T ( 2,0 ) = ( 2, ) − (0,0 ) = ( 2, ) Toán 3 Nguyễn Thị Vân ⎡2 ⎤ ⎡1⎤ ⎡1 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎢ −4⎥ = x ⎢1⎥ + y ⎢1 ⎥ + z ⎢0⎥ → x = 6, y = −10, z = ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣6 ⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎛ ⎡1⎤ ⎡2 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎞ ⎡1 ⎤ ⎡ 0⎤ ⎡ 0⎤ ⎡ ⎤ ⎜ ⎢⎥ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ T ⎢ −4⎥ = T ⎜ ⎢1⎥ − 10 ⎢1 ⎥ + ⎢0⎥ ⎟ = ⎢0 ⎥ − 10 ⎢1 ⎥ + ⎢⎢1 ⎥⎥ = ⎢⎢ −4⎥⎥ ⎜ ⎢1⎥ ⎢⎣6 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎟⎠ ⎢⎣ −1⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣ 0⎥⎦ ⎢⎣ −6⎥⎦ ⎝ ⎣⎦ !" !" a) T e1 + T e2 !" !" = (1, 1); T e1 + T e2 = (0, 1) () ( ) () !" !" → T ( e ) = ( −1,0 ) ; T ( e ) = ( 2,1) ( ) ⎡ −1 2⎤ ⎥ ⎣ 1⎦ Ma trận tắc T sở tắc R2 ⎢ b) Giả sử u ∈ R2 có tọa độ (x,y) nên ! ! ! ! ! ! ⎡ −1 ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ u = xe1 + ye2 → T u = xT (e1 ) + yT e2 = x ⎢ + y ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ −1 ⎦ () ( ) → y = −1; x = −4 ! Vậy véc tơ u = ( − 4,1) ⎡3⎤ !" !" ⎢ ⎥ a)T e1 + e2 = ⎢3⎥ − ⎢⎣3⎥⎦ ( ) ⎡1 ⎤ ⎡ ⎤ ⎡4⎤ ⎡2⎤ ⎡0 ⎤ !" !" ⎢ ⎥ !" ⎢ ⎥ !" ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢1 ⎥ ,T e1 + 2e2 = ⎢1 ⎥ → T e2 = ⎢0 ⎥ → T e1 = ⎢1 ⎥ ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎢⎣3 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ( ) ( ) () ⎡0 ⎤ Vậy ma trận tắc ⎢⎢1 ⎥⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ ⎤ ⎡1 ⎤ ! ⎢ ⎥ "! "! "! ! "! "! "! ⎢ ⎥ b) v = ⎢ ⎥ = e1 + 2e2 + 3e3 → T v = T e1 + 2T e2 + 3T e3 = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣3 ⎥⎦ ⎣ ⎦ () ( ) ( ) ( ) ! ⎡ 2v1 + 3v2 ⎤ T v = T ( v1 ,v2 ) = ⎢ ⎥ 3v + 2v ⎣ 2⎦ () Toán 3 !" ⎡2⎤ T e1 = T (1,0 ) = ⎢ ⎥ ; ⎣3 ⎦ () Nguyễn Thị Vân !" ⎡3 ⎤ T e2 = T ( 0,1) = ⎢ ⎥ ⎣2⎦ ( ) ⎡2 3⎤ ⎥ ⎣3 2⎦ Ma trận tắc T ⎢ Muốn chứng minh T ánh xạ tuyến tính cần chứng minh: !" !" ! !" !" ! !" !" ! ∀v1 ( x1 , y1 ) ,v2 ( x2 , y2 ) ∈# : T v1 + v2 = T v1 + T v2 !" ! !" ! !" ! ∀v ( x , y ) ,∀c ∈# : T cv = cT v ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T(v) = T(x,y) = xu1 + yu2 +(x + y)u3 !" !" !" ! !" T e1 = T (1,0 ) = u1 + 0u2 + u3 = (1,0,0 ) + 0.(1,1,0 ) + (1,1,1) = ( 2,1,1) !" !" ! !" T ( e2 ) = T ( 0,1) = 0u1 + u2 + u3 = 0.(1,0,0 ) + (1,1,0 ) + (1,1,1) = ( 2,2,1) () ⎡2 2⎤ Ma trận tắc T sở R2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ a) T( x1v1 + x2v2 + x3v3) = (x1+ x2 + x3)v1 + (2x1 + x3)v2 – (2x2 + x3)v3 ⎛ ⎡1⎤ ⎡1 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎞ ⎡1⎤ ⎡1 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎜ ⎟ T ⎜ x1 ⎢1⎥ + x2 ⎢1 ⎥ + x3 ⎢0⎥ ⎟ = ( x1 + x2 + x3 ) ⎢1⎥ + ( x1 + x3 ) ⎢1 ⎥ − ( x2 + x3 ) ⎢0⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎢1⎥ ⎟ ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎠ ⎢⎣1⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎝ ⎣⎦ ⎛ ⎡ x1 + x2 + x3 ⎤ ⎜ ⎥ → T ⎜ ⎢⎢ x1 + x2 ⎥ ⎜ ⎢x ⎥⎦ ⎝⎣ ⎞ ⎡3x1 − x2 + x3 ⎤ ⎟ ⎢ ⎥ ⎟ = ⎢3x1 + x2 + x3 ⎥ ⎟ ⎢x + x + x ⎥ ⎠ ⎣ ⎦ Đặt x = x1 + x2 + x3; y = x1 + x2 ; z = x1 → x1 = z; x2 = y − z; x3 = x − y ⎛ ⎡x ⎤ ⎜ T ⎜⎢y ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎢z ⎥ ⎝⎣ ⎦ ⎞ ⎡3 z − ( y − z ) + ( x − y ) ⎤ ⎡ x − y + z ⎤ ⎥ ⎢ ⎟ ⎢ ⎥ = z + y − z + x − y ( ) ( ) ⎥ = ⎢2 x − y + 2z ⎥ ⎟ ⎢ ⎟ ⎢z + y − z + x − y ⎥ ⎢x ⎥⎦ ) ( ) ⎦ ⎣ ⎠ ⎣ ( Toán 3 ⎛ ⎡1 !" ⎢ T e1 = T ⎜ ⎢0 ⎜ ⎜⎝ ⎢0 ⎣ () ⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦ ⎞ ⎡1 ⎤ ⎟ = ⎢2⎥ ⎟ ⎢ ⎥ ⎟⎠ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎛ ⎡0 !" ⎢ T e2 = T ⎜ ⎢1 ⎜ ⎜⎝ ⎢0 ⎣ ( ) ⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦ Nguyễn Thị Vân ⎞ ⎡ −2 ⎤ ⎟ = ⎢ −1 ⎥ ⎟ ⎢ ⎥ ⎟⎠ ⎢0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎛ ⎡0 ⎤ !" ⎢ ⎥ T e3 = T ⎜ ⎢0 ⎥ ⎜ ⎜⎝ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦ ( ) ⎞ ⎡4⎤ ⎟ = ⎢2⎥ ⎟ ⎢ ⎥ ⎟⎠ ⎢0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ −2 ⎤ Ma trận tắc T ⎢ −1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ b) ⎛ ⎡1 ⎤⎞ ⎡ −2 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡ −5⎤ ! ! ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ T v = Av → T ⎜ ⎢1 ⎥⎟ = ⎢ −1 ⎥ ⎢1 ⎥ = ⎢ −1⎥ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎢ −1⎥⎟⎠ ⎢ 0 ⎥ ⎢ −1⎥ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ! ⎡1 ⎤ ! ⎡0 ⎤ ! ! ⎡2⎤ ⎡0 ⎤ e1 = ⎢ ⎥ ; e2 = ⎢ ⎥ ; T e1 = ⎢ ⎥ ; T e2 = ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦ ⎣1 ⎦ ⎣1 ⎦ ⎣1 ⎦ () ( ) ( ) ! ( ) Ma trận tắc cuả T A = ⎡T e1 ⎣ ! ⎡ T e2 ⎤ = ⎢ ⎦ ⎣ ( ) ⎤ ⎥ ⎦ 10 Ma trận chuyển sở từ E sang F AE→F ⎡1 2⎤ =⎢ ⎥ ⎣ 3⎦ −1 ⎡1 2⎤ ⎡ −2⎤ ⎡1 2⎤ = ⎢1 ⎥ −1 ⎢ −2 ⎥ ⎢1 ⎥ = − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ −1 −4⎤ ⎢ −1 −3⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Ma trận chuyển sở từ F sang E BF →E ⎡1 2⎤ = ⎢ ⎥ ⎣1 ⎦ −1 ⎡1 2⎤ ⎡ −3 − 4⎤ ⎡ ⎤ ⎡ −2⎤ ⎡1 2⎤ = = − = ⎢2 3⎥ −1 ⎢ −1 ⎥ ⎢ 3⎥ ⎢1 ⎥⎦ ⎢⎣ −1 −1⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ −1 −1 Hoặc BF →E = A E →F ⎡−1 −4⎤ ⎡3 4⎤ =⎢ = ⎥ ⎢ −1 −1⎥ ⎣1 3⎦ ⎣ ⎦ ! ! ⎡ ⎡ ⎤ ⎡ Tọa độ v theo sở F v = BF→E v ⎤ = ⎢ ⎣ ⎦F ⎣ ⎦E ⎣ −1 11 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡ −1 ⎤ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥ −1 ⎦ ⎣ −1⎦ ⎣ ⎦ Ma trận chuyển sở từ B sang B’ ⎡1 2⎤ M B→B ' = ⎢ ⎥ ⎣ 3⎦ −1 ⎡2 −3⎤ ⎡ −2⎤ ⎡ −3⎤ ⎢1 ⎥ = −1 ⎢ −2 ⎥ ⎢1 ⎥ = − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ −17 ⎤ ⎡ −4 17 ⎤ ⎢ −3 10 ⎥ = ⎢ −10⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Toán 3 Nguyễn Thị Vân !" ⎡ Tọa độ w theo sở B w = 3u1 – 5u2 → ⎡ w ⎤ = ⎢ ⎣ ⎦B ⎣ −5 ⎤ ⎥ ⎦ Ma trận chuyển sở từ B’ sang B −1 ⎡−4 17 ⎤ ⎡10 17 ⎤ N B '→B = M B→B ' = ⎢ = ⎥ 11 ⎢⎣ ⎥⎦ ⎣ −10⎦ −1 Tọa độ v theo sở B’ ! ! ⎡ ⎡v ⎤ = N ⎡ v ⎤ = ⎢ 10 B'→B ⎣ ⎦ B' ⎣ ⎦ B 11 ⎣ 17 ⎤ ⎡3 ⎤ ⎡ −55 ⎤ ⎡ −5 ⎤ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎦ ⎣ −5⎦ 11 ⎣ −11 ⎦ ⎣ −1 ⎦