Sở GD&ĐT Thanh Hoá đề thi tuyển sinh lớp 10 (36) trờng THPTchuyên Lam sơn năm 2006 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút CâuI: (1.5 điểm) Cho biểu thức + + + ++ + = 2 2 1: 8 328 2 4 42 )2( 2 xxx x xxx xx P 1) Rút gọn P. 2) Giải phơng trình P = x 4. (Bài 17 trang 29 Căn số và Toán vô tỉ Hoàng Kỳ NXBGD 2001, ý 2) sáng tác) CâuII: (1.5 điểm) Cho phơng trình: x 2 + (2m 1)x + m - 2 = 0 (*) (m là tham số) 1) Xác định m để phơng trình (*) có hai nghiệm trong đó có một nghiệm nhỏ hơn 1, còn nghiệm kia lớn hơn 2. 2) Xác định m để phơng trình (*) có hai nghiệm x 1 và x 2 thoả mãn hệ thức : 3 11 2 2 2 1 =+ xx . (Sáng tác) CâuIII: (1.0 điểm) Tìm hai số tự nhiên biết hiệu bình phơng hai số đó bằng 169. (Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 1972 1973). CâuIV: (2.0 điểm) 1) Giải phơng trình: 0126 2 =++ xxx (Sáng tác). 2) Vẽ đồ thị hàm số: 121 ++= xxy Tìm m để phơng trình: mxx =++ 121 có nghiệm duy nhất. (Sáng tác). CâuV: (2.0 điểm) Cho hình vuông MNPQ, lấy điểm E thuộc cạnh MQ, điểm F thuộc cạnh NP sao cho: ME = PF. Các đờng thẳng MF và NE cắt đờng thẳng PQ lần lợt tại B và C. Kéo dài MB và NC cắt nhau tại A. Chứng minh rằng tam ABC là tam giác vuông. (Bài toán 5, Toán học và tuổi trẻ 2002 8 ). CâuVI: (2.0 điểm) Kéo dài cạnh CC của hình hộp ABCD.ABCD về phía C và lấy điểm M trên đó sao cho: MC = CC. Một đờng thẳng thay đổi qua A cắt AM tại P 1 ; cắt AC tại P 2 . Gọi I là giao điểm của AP 1 và AC. 1) Chứng minh '' ' 1 2 CA IA AP AI += và '' ' 1 CA IC AP AI = . 2) Gọi V là thể tích hình hộp; V 1 , V 2 là thể tích hình chóp P 1 ABCD và P 2 ABCD. Chứng minh: 21 216 VVV += . (Bài toán 3 trang 116 Hình hộp và hình tứ diện Văn Nh Cơng). Sở GD&ĐT Thanh Hoá Trờng THPT Lê Lai ------------*------------ đáp án - thang điểm đề thi tuyển sinh lớp 10 trờng THPT chuyên Lam sơn năm học 2006 - 2007 Môn: toán Câu ý Nội dung Điểm I 1.50 I.1 1.00 Điều kiện: x > 0 và x 4 ( ) ( ) 2 : 8 3284242)2( 2 + ++++ = x x xx xxxxxx P 0.25 ( ) ( ) x x xx xxx 2 . 8 424 + ++ = 0.50 ( )( ) ( ) x x x x xx xxx 2 22 . 8 82 + = + + = 0.25 I.2 0.50 Với điều kiện ở câu 1), ta có: P = x 4 ( )( ) 023 0232 4 )2( 2 = =+ = + xx xxx x x x 0.25 = + = 2 173 2 173 x x 0 2 173 < = x loại, với 2 173 + = x ta có 2 17313 + = x thoả mãn điều kiện câu 1). Vậy phơng trình có một nghiệm duy nhất là 2 17313 + = x 0.25 II 1.50 II.1 0.75 Ta tìm m để phơng trình (*) có một nghiệm nhỏ hơn 1 còn nghiệm kia lớn hơn 1. Đặt x= X + 1 ta đợc phơng trình: X 2 + (2m +1)X + 3m 2 = 0 (**) Nếu x < 1 thì X < 0 và nếu x > 1 thì X > 0, do đó, ta tìm m để phơng trình (**) có hai nghiệm trái dấu 3 2 023 << mm (1) Vậy nếu m < 3 2 thì phơng trình (*) có một nghiệm nhỏ hơn 1 còn nghiệm kia lớn hơn 1. 0.25 Tơng tự, ta tìm m để phơng trình (*) có một nghiệm nhỏ hơn 2 còn nghiệm kia lớn hơn 2. Đặt x = Y + 2 ta đợc phơng trình: Y 2 + (2m + 3)Y + 5m = 0 (***) Phơng trình (***) có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi: 5m < 0 m < 0 (2) 0.25 Phơng trình (*) có một nghiệm nhỏ hơn 1 còn nghiệm kia lớn hơn 2 khi và chỉ khi m thoả mãn đồng thời (1) và (2). Vậy m < 0. 0.25 II.2 0.75 Phơng trình (*) có hai nghiệm x 1 , x 2 khác 0 khi và chỉ khi: + 02 0984 0 0 2 m mm a c (I) 0.25 Ta có: 2 2 2 121 2 21 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 32)( 3 3 11 xxxxxx xxxx xx =+ =+ =+ 0.25 = = =+ 7 1 076 2 m m mm Cả hai giá trị này đều thoả mãn (I). Vậy các giá trị m cần tìm là m = 1 và m = -7. 0.25 III 1.00 Gọi 2 số đó là x, y (x, y N) ta có 169 22 = yx 1.169169.113.13))(( ===+ yxyx (x, y N) 0.25 Ta đợc hệ sau: (I) =+ = 13 13 yx yx (II) =+ = 169 1 yx yx (III) =+ = 1 169 yx yx 0.25 (I) =+ = 13 13 yx yx = = 0 13 y x (II) =+ = 169 1 yx yx = = 84 85 y x (III) =+ = 1 169 yx yx = = 84 85 y x 0.25 Do Ny = 84 nên chỉ có 2 cặp số thoả mãn yêu cầu bài toán đó là (13;0) và (85;84). 0.25 IV 2.00 IV.1 1.00 TX§: D = );12[ +∞− Ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh: ( ) −+ 2 3x ( ) 993 =++ x §Æt ( )      >=++ =+ 093 3 vx ux Ta cã      =− =− 9 9 2 2 uv vu 0.25    =− =++− ⇔ 9 0)1)(( 2 vu vuvu ⇔      =−    =++ =− 9 01 0 2 vu vu vu 0.25           =− =++    =− =− ⇔ (II) 9 01 (I) 9 0 2 2 vu vu vu vu Gi¶i (I)    =− =− 9 0 2 vu vu ⇔        + = + = 2 371 2 371 v u hoÆc        < − = − = 0 2 371 2 371 v u (lo¹i) Gi¶i (II)    =− =++ 9 01 2 vu vu ⇔        < −− = +− = 0 2 331 2 331 v u (lo¹i) hoÆc        +− = −− = 2 331 2 331 v u 0.25 Với + = + = 2 371 2 371 v u 2 375 + = x Với + = = 2 331 2 331 v u 2 337 = x Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm: 2 375 + = x và 2 337 = x 0.25 IV.2 1.00 -3x + 1 với 1 x y = -x + 3 với -1 < x 1 3x - 1 với x > 1 0.25 Suy ra đồ thị của hàm số 0.25 Nghiệm của phơng trình chính là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 121 ++= xxy với đờng thẳng y = m Vậy để phơng trình có nghiệm duy nhất thì đờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số 121 ++= xxy tại một điểm duy nhất 0.25 Đồ thị hàm số 121 ++= xxy đợc vẽ nh hình 1 Đờng thẳng y = m là đờng thẳng song song với trục hoành cắt Oy tại điểm có tung độ bằng m Vậy ycbt m= 2 0.25 V 2.00 áp dụng định lí Talet ta có : BQ MN EQ ME = (1) MN PC FN PF = (2) 0.50 Vì ME = NF FN PF EQ ME = (3) Từ (1); (2); (3) MN PC BQ MN = 0.50 NP PC QB MQ = Suy ra hai tam giác vuông BMQ và NCP đồng dạng với nhau. 0.50 Suy ra 0 90 =+=+ NCPCNPNCPMBQ Suy ra điều phải chứng minh 0.50 VI 2.00 VI.1 1.00 Vì AI//AC nên : AC IAAC AP IPAP AP AI AC IA AP IP '' 2 22 22 2 + = + == '' ' 1 2 CA IA AP AI += (1) 0.50 Mặt khác, do CM //= AA nên ACMA là hình bình hành '//' 1 ACPA ' ' 1 IA IC IP AI = '' ' '' ' 11 CA IC IAIC IC IPAI AI AP AI = + = + = (2) 0.50 VI.2 1.00 Từ (1) và (2) suy ra: 2 '' '' 1 '' ' '' ' 1 21 =+=++=+ CA CA CA IC CA IA AP AI AP AI . 0.50 AIAPAP 211 21 =+ (3) Gọi h, h 1 , h 2 lần lợt là khoảng cách từ I, P 1 , P 2 đến mp(ABCD) và là góc tạo bởi đờng thẳng AP 1 với mp(ABCD) thì: sin sin sin 2 2 1 1 h AP h AP h AI = = = Thay cả vào (3) ta có: hhh 211 21 =+ (4) Gọi S là diện tích hình bình hành ABCD (4) hSShSh 211 21 =+ VVV VVV 611 2 3 1 3 1 21 21 =+ =+ Suy ra điều phải chứng minh. 0.50 -----------------------------Hết------------------------------- . =+ xx . (Sáng tác) CâuIII: (1.0 điểm) Tìm hai số tự nhiên biết hiệu bình phơng hai số đó bằng 1 69. (Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 197 2 197 3). CâuIV:. (Bài toán 3 trang 116 Hình hộp và hình tứ diện Văn Nh Cơng). Sở GD&ĐT Thanh Hoá Trờng THPT Lê Lai ------------*------------ đáp án - thang điểm đề thi