Sở gd & ĐT thanh hoá Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên lam sơn (27) Môn Toán- Toán Chung Bài 1. Tính A= x x x x 211 21 211 21 + ++ + với 4 3 = x . Bài 2. a> cho a+b+c=0. Chứng minh rằng a 3 +b 3 +c 3 =3abc. b> Phân tích thành nhân tử: a(b 2 +c 2 )+b(a 2 +c 2 )+c(a 2 +b 2 )+2abc. Bài 3. Giải phơng trình: (x+2)(x+3)(x-5)(x-6)=180. Bài 4. Nếu hai vòi nớc cùng chảy vào bể thì sau 1 h 20 đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì đầy 15 2 bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu mới đầy bể. Bài 5. Giải phơng trình: 275232522 =++++ xxxx . Bài 6. Cho (P): y=- 2 1 x 2 . Lập phơng trình đờng thẳng (D) đi qua A(-2;-2)và tiếp xúc với (P). Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y=x 3 (2-x) 5 với x [0;2]. Bài 8.Cho hình thoi ABCD cạnh a có A=60 0 . Một đờng thẳng bất kì đi qua C cắt tia đối của các tia BA và DA theo thứ tự tại M và N. a> Chứng minh rằng tích BM.DN có giá trị không đổi. b> Gọi K là giao điểm của BN và DM. Tính góc BKD. Bài 9. Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn và d là tiếp tuyến của đờng tròn tại C. Gọi AH và BI là các đờng cao của tam giác. a> Chứng minh HI // d. b> Gọi MN và EF lần lợt là hình chiếu của các đoạn thẳng AH và BI lên đờng thẳng d. Chứng minh MN EF. Bài 10. Dựng tam giác ABC biết hai cạnh AB=c, AC=b và trung tuyến AM=m. Sở gd & ĐT thanh hoá đáp án đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên lam sơn Môn Toán- Toán Chung Câu ý Nội Dung Điểm 1 2.0 Ta có 1-2x=1- 4 32 = 2 )13( 4 1 )1323( 4 1 )324( 4 1 =+= Tơng tự 1+2x= 2 )13( 4 1 + Từ đó A= ) 2 13 1(4 )13( 2 + + + + ) 2 13 1(4 )13( 2 = )13(32 )13( 2 + + + )13(32 )13( 2 = 32 )13( + + 32 )13( =1. 0.5 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 2 2.0 a 1.0 Thay c=-(a+b) VT= a 3 +b 3 -(a+b) 3 = a 3 +b 3 - a 3 -b 3 -3ab(a+b) =-3ab(a+b) =3abc=VP. Đpcm. 0.25 0.25 0.25 0.25 b 1.0 Ta có a(b 2 + c 2 )+b(a 2 + c 2 )+c(a 2 + b 2 )+2abc =ab 2 +ac 2 +bc 2 +ba 2 +ca 2 +cb 2 +2abc =ab(a+b)+c 2 (a+b)+c(a+b) 2 =(a+b)ab+c 2 +ca+cb) =(a+b)(b+c)(c+a) 0.25 0.25 0.25 0.25 3 2.0 Ta có (x+2)(x+3)(x-5)(x-6)=180 (x 2 -3x-10)(x 2 -3x-18)=180 Đặt x 2 -3x-14=y Tìm đợc y=14 hoặc y=-14 0.5 0.25 0.25 + Với y=14 ta dợc x 1 =7, x 2 =-4 + Với y=-14 ta dợc x 3 =0, x 4 =3. Vậy phơng trình có 4 nghiệm: x 1 =7, x 2 =-4, x 3 =0, x 4 =3. 0.5 0.5 4 2.0 Đổi 1 h 20 =80 Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình thì đầy bể là x phút (x>80) Gọi thời gian vòi 2 chảy một mình thì đầy bể là y phút (x>80) Vậy 1 phút vòi 1 chảy đợc x 1 bể, vòi2 chảy đợc y 1 bể, cả 2 vòi chảy đợc yx 11 + bể. Theo bài ra ta có hệ =+ =+ 15 21210 1 8080 yy yx Đặt X= x 1 ,Y= y 1 Ta đợc hệ =+ =+ )2( 15 2 1210 )1(18080 YX YX Giải hệ ta đợc X= 120 1 ,Y= 240 1 Suy ra x=120 phút, y=240 phút. Vậy nếu chảy một mình thì vòi 1 chảy hết 120 phút, còn vòi 2 chảy hết 240 phút thì đầy bể. 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 0.25 5 2.0 TXĐ: D= ), 2 5 [ + Nhân cả hai vế với 2 ta đợc: 2 5 (*)14352152 14)352()152( 145264252242 22 =+++ =+++ =++++ xDo xx xx xxxx Nên hệ (*) trở thành: 15 552 14352152 = = =+++ x x xx Vậy phơng trình đã cho có duy nhất một nghiệm x=15. 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0,25 0.25 0.25 6 2.0 Phơng trình tổng quát của (D): y=ax+b. Hoành độ giao điểm (nếu có ) của (D) Và (P) là nghiệm của pt: ax+b = - ã2 2 1 22 + xx ax+2b=0 (*) Để (D) tiếp xúc với (P) thì pt(*) phải có nghiệm kép. 020 2' == ba Vì (D) đi qua A(-2;-2) nên 2=-2a+b b=2a-2 Vậy a,b là nghiệm của hệ: = = = = 2 2 22 02 2 b a ab ba Vậy pt (D) là: y=2x+2 0.25 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 7 2.0 Biến đổi y=x 3 (2-x) 5 = )36)(36)(36)(36)(36.( 3 1 .5.5.5. 5 1 53 xxxxxxxx áp dụng BĐT CôSi cho 8 số gồm 3 số 5x và 5 số 6-3x Ta đợc y 8 35 8 5353 4 3.5 ) 8 30 .( 3.5 1 ] 8 )36(5)5(3 [ 3.5 1 == + xx Dấu bằng xảy ra khi 5x=6-3x 4 3 = x Vậy Y Max = 8 35 4 3.5 tại x= 4 3 0.75 0.75 0.25 0.25 8 2.0 a Ta có: )1( )//( CN MC BD BM ANBCDo CN MC BA BM = = (Do ABCD là hình thoi,và A=60 0 ). Mặt khác 1.0 0.25 0.25 0.25 )2( )//( CN MC DN BD AMCDDo CN MC DN AD = = Từ (1) và (2) Suy ra : dpcmaDNBM BDDNBM DN BD BD BM = = = 2 2 . . (*) 0.25 b 1.0 ABC và BDN đòng dạng (c.g.c) nên góc M 1 =B 1 BMD và KBD có hai cặp góc bằng nhau. Suy ra góc BKD=Góc MBD =120 0 0.5 0.5 9 2.0 a 1.0 Gọi Cx là tiếp tuyến chắn cung AC. Tứ giác ABHI nội tiếp đờng tròn nên Góc ABC=Góc HIC, nhng Góc ABC=ACx Suy ra HIC=ICx. Do đó HI//d. 0.5 0.5 b 1.0 Vì HI//d nên IF=HN Tứ giác AMCH nội tiếp HMN =HAC Tú giác BICE nội tiếp IEF=IBC nhng IBC=HAC (góc có cạng tơng ứng vuông góc) Suy ra hai tam giác vuông IEF và HMN bằng nhau Suy ra MN=EF (Đpcm) 0.25 0.25 0.25 0.25 10 2.0 *> Phân tích: Giả sử tam giác đã dựng đợc thoã mãn bài toán . Trên tia AM đặt MA =AM=m Suy ra tứ giác ABA C là hình bình hành Suy ra CA =AB=c Vậy tam giác ACA dựng đợc vì biết ba cạnh c,b,2m. Đỉnh B nằm trên trung tuyến CM của tam giác ACA thoã mãn MB=MC *> Cách dựng: Dựng tam giác ACA có các cạnh AC=b,CA =c,AA =2m. Dựng trung tuyến CM trên tia CM đặt MB = MC Nối AB , tam giác ABC là tam giác cần dựng. *> Chứng minh : CM là trung tuyến của tam giác ACA AM = 1/2AA= m Mặt khác AM = MA , CM = MB tứ giác ACAB là hình bình hành AB = CA = c *> Biện luận: Muốn dựng đợc tam giác ABC ta phải dựng đợc tam giác ACA. Vậy điều kiện dể có nghiệm hình là b-c< 2m < b + c (*) Khi (*) thoả mãn bài toán có một nghiệm hình 0.5 0.5 0.5 0,5 . Sở gd & ĐT thanh hoá đáp án đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên lam sơn Môn Toán- Toán Chung Câu ý Nội Dung Điểm 1 2.0 Ta có 1-2x=1- 4 32 = 2 )13(. Sở gd & ĐT thanh hoá Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên lam sơn (27) Môn Toán- Toán Chung Bài 1. Tính A= x x x x 211 21 211 21