TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH TỔ TOÁN – TIN ĐỀ ĐỀ NGHỊ LÀM ĐỀ CHỌN HSG KHU VỰC DUYÊN HẢI ĐHBB 2016 Môn: Toán 11 Câu (4,0 điểm) Cho dãy số dương  xn  thoả mãn: xn  xn1  xn2 với số tự nhiên n  Chứng minh dãy {xn} hội tụ Câu 2(4,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương k để phương trình x  y  kxy  x  y  có nghiệm nguyên dương Giải phương trình nghiệm nguyên dương với k nhỏ tìm Câu 3(4,0 điểm) Cho tam giác ABC không cân Gọi A1, B1 thứ tự chân đường cao kẻ từ A, B M , N thứ tự trung điểm cạnh CB, CA Giả sử A1B1 MN cắt T Chứng minh TC vuông góc với đường thẳng Euler tam giác ABC (Chú ý: Đường thẳng Euler tam giác đường thẳng qua trọng tâm, trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó) Câu (4,0 điểm) Cho đa thức P(x) với hệ số thực thoả mãn đồng thời hai điều kiện: i) P(x) nghiệm bội x y ); x, y ¡ Chứng minh đa thức P(x) có nghiệm Câu (4,0 điểm) v tr khác đường đua ô tô vòng tròn c ng thời gian có ô tô xuất phát theo c ng hướng Theo thể lệ đua, ô tô vượt l n nhau, cấm không vượt đồng thời hai xe lúc Các ô tô đến đ ch điểm mà chúng xuất phát ban đ u c ng lúc ii) P( x).P( y)  P ( Chứng minh suốt đua có số ch n l n vượt ô tô HẾT TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH TỔ TOÁN – TIN ĐÁP ÁN Môn: Toán 11 Câu (4,0 điểm) - Đặt yn = max(xn; xn+1) Từ (1) ( ) suy yn  yn1  ; n  ¥ *  a  lim(y n ) - Với   tuỳ ý, n đủ lớn, ta có   y n  a  Nếu y n  a   yn  a  xn  a  Nếu xn  a xn1  a  yn1  xn1 Mà xn  xn1  xn1  2a  xn  xn1  2a  a  x n  2a  xn1  a   Tóm lại, hai trường hợp d n đến xn  a   Vậy dãy số {xn} hội tụ Câu 2(4,0 điểm) Tìm k (d ng kĩ thuật pt Markov) +) Gọi k giá tr thỏa mãn Với k đó, gọi (a, b) nghiệm nguyên dương pt cho cho a  b nhỏ KMTTQ coi a  b Khi ta có đẳng thức a  (kb  1)a  b  b  +) Xét pt bậc : x  (kb  1) x  b  b  , dễ thấy pt có nghiệm x1  a , nên có nghiệm x2  a' , với a  a '  kb  (1) a.a'  b  b (2) Do a, b, k nguyên dương nên đẳng thức chứng tỏ a ' nguyên dương Điều suy (a' , b) nghiệm nguyên dương pt cho, t nh “nhỏ nhất” (a, b) nên a'  a Kết hợp ( ) a  a.a'  b  b Lại có a  b nên b  a  b  b  (b  1) , suy a  b hay a  b +) Kết hợp (1)( ) k   nguyên dương, từ a = , tương a ứng k +)(1đ) Giải pt Với k=3 giá tr nhỏ tìm được, pt c n giải tương đương x  (3 y  1) x  y  y  Để pt có nghiệm nguyên biệt thức số ch nh phương hay y  10 y   t  t  5( y  1)  4 Bẳng cách giải pt kiểu Pell ta nghiệm (t,y) thỏa mãn t  ( y  1)  (u  v )(9  ) n tương ứng với nghiệm riêng (u, v) =(1,1), (4, ), (11, ) n N * (để thỏa mãn y nguyên dương) Từ ta có công thúc cụ thể cho giá tr y nghiệm (x,y) (tất nhiên nguyên dương), giá tr x  (3 y   t ) / (đảm bảo số nguyên dương) K C D A1 B1 N T M H O B A Câu 3(4,0 điểm) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp, H trực tâm tam giác ABC TC cắt đường tròn ngoại tiếp (O) D, K trung điểm DC Khi KNC  DAC  DBC  KMC nên tứ giác KNMC nội tiếp Mặt khác CNOM nội tiếp đường tròn đường k nh CO nên từ suy OK CK vuông góc Ta có TK.TC=TN.TM= TA1.TB1 nên suy CKA1B1 nội tiếp đường tròn đường k nh HC Do HK vuông góc CK Như HK KO vuông góc CK nên HO vuông góc với TC ( ĐPCM) Câu (4,0 điểm) K hiệu điều kiện thứ hai gt (*)/ - Chứng minh có nghiệm Nếu P(x) có bậc ch n lim x ( P( x).P( x))    P(0) , tức (*) sai Do P(x) có bậc lẻ, d n đến P(x) có nghiệm - Chứng minh có nghiệm Giả sử P(x) có nghiệm a < b nghiệm bé Không giảm tổng quát, coi P( x)  0, x  (a; b) , P(x) thoả mãn (*) P(x) thoả mãn (*) Khi tồn số c > b cho P(c) < P( x)  0, x  (; a) Vì 2a  c  a  P(c)   P(2a - c).P(c)   P ( 2a - c  c ) , tức (*) sai Vậy giả sử sai, hay P(x) có nghiệm Câu (4,0 điểm) Ta sơn ô tô thành màu vàng, oto khác đánh số từ đến theo thứ tự mà chúng thời điểm ban đ u sau ô tô màu vàng ( theo chiều chuyển động ô tô) tâm đường đua ta đặt bảng để ghi số thứ tự ô tô xếp sau ô tô vàng sau m i l n ô tô vượt nhau, tức ta hoán v {1, ,…, 4} Trường hợp 1: M i l n ô tô ô tô từ đến vượt bảng có số liền đổi ch cho Trường hợp 2: Nếu trước có l n vượt ô tô với ô tô vàng, số bảng lập thành hoán v a1, a2,…,a24 sau l n vượt s có hoán v a2,a3,…,a24,a1 Từ hoán v chuyển xuống hoán v phép chuyển v , tức phép đổi ch số liền Trường hợp 3: Nếu ô tô vàng vượt ô tô từ hoán v a 1,a2,…,a24 ta có hoán v a24,a1,a2,…a23 L n di chuyển thay phép chuyển v trường hợp Như m i l n ô tô vượt d n đến việc thực số lẻ l n phép chuyển v Ta s chứng minh số l n vượt số lẻ đ ch ô tô không xếp cũ Thật gs a1,a2…,a24 cách xếp t y ý số1, ,… Ta s nói số ai,a lập thành ngh ch i< mà ai>aj Khi đổi v tr số đứng liền nhau, tức thực phép chuyển v s t ng hay giảm số ngh ch Do oto vượt số lẻ l n từ cách xếp thứ tự oto ban đ u, đến cuối c ng ta thực số lẻ phép chuyển v , tức số nghich l n xếp cuối c ng số lẻ, nghĩa ô tô xếp cũ Mâu thu n Vậy ô tô vượt số ch n l n HẾT