HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LẦN THỨ VIII VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ MÔN TOÁN - KHỐI 11 TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG Thời gian: 180 phút ĐỀ ĐỀ XUẤT (Đề có 05 câu; gồm 01 trang) u1   Câu 1( điểm ) Dãy số (un) xác định sau:   un 1  un  un  1,  n  ¥ * Chứng minh 1 22 2015 2016 k 1 uk   1 22 2016 Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (C1) tâm I Đường tròn (C1) tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB D, E, F Gọi P giao FD CA, Q giao DE AB, K giao EF BC Gọi M, N trung điểm PE QF Chứng minh OI vuông góc MN, với O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Câu (4 điểm) Cho ba số thực a, b, c thuộc đoạn 1; 4 Chứng minh: a b c 38    a  b b  c 2c  5a 39 Câu (4 điểm) Một hàng vải gồm 99 thẳng hàng đánh số theo thứ tự từ đến 99 Ban đầu có ong đậu để hút mật hoa Sau đó, có hai ong bay sang hai bên cạnh để tìm hút mật theo hai chiều ngược Hỏi sau số giờ, có hay không trường hợp mà a) Không có ong có thứ tự chẵn b) Có 50 ong cuối Câu (4 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình x  y   z  1  y z  2016 HẾT Họ tên thí sinh ……………………… SBD……………………… ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 11 Câu Nội dung cần đạt Ý Điểm Ta có: 1,0 un+1 – un = un2 – 2un + = (un – 1)2 (1) Do u1 =  u2 – u1 =  u2 > u1 Từ phép quy nạp ta suy (un) dãy đơn điệu tăng thực sự, un nhận giá trị nguyên dương lớn với n =1,2, Ta viết lại điều kiện truy hồi xác định dãy số dạng sau đây: un+1 – = un2 – un = un (un – 1) 0,5 (2) Từ dẫn đến: un 1    1   un (un  1) un  un 1   , un un  un 1  (3) Bây từ (3), ta có: 0,5 n  1      1     u u  u  u  k 1 k k 1  k k 1 k 1  n Câu (4) Từ (4) suy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 22  22 n 1 n 1 1 un 1  1  un 1   22 22 n n (5) (ở n = 2016) Ta chứng minh (5) với n Khi với n =2016 0,5 Do un nguyên dương với n, (5) tương đương n1 22   un 1   22 n (6) Với n = 1, n = ta có: 0,5 u2 = u12 – u1 + = 22 – + = u3 = u22 – u2 + = 32 – 3+ = Từ suy (6) với n = k 1 Giả sử (6) đến n = k  2, tức ta có 22   uk 1   22 (7) k Xét n = k + Theo (2), ta có: uk+2 – = uk+1 (uk+1 – 1) 0,5 Vì theo giả thiết quy nạp suy ra: uk    22 (22  1)  22 22  22 k uk    (22 k k 1  1).(22 k k 1 k k 1 k 1   1)  22 22 k 1  22 k Như với n = k + 1, ta thu được: 2  uk    2 k k 1 k 1  2   uk    2 k (8) Từ (8) suy (6) với n = 2, 3, 0,5 Vì (5) n = 2016 Ta có điều phải chứng minh 1,0 Xét đường tròn : (M,ME) (N,NF) PI /( M )  IE  IF2  PI /( N ) Ta có (1) P M A E O F I B K Câu D C N Q Gọi R bán kính đường tròn (ABC) Vì D, E, F tiếp điểm 1,0 đường tròn nội tiếp (C1) với cạnh ABC nên AD, BE, CF đồng quy Suy Ta có Khi : (QFBA) = -1  NF  NB.NA  NO2  R2 (PEAC) = -1  ME  MA.MC  MO2  R 1,0 PO /( M )  MO2  ME  R , PO /( N )  NO2  NF  R2  PO /( M )  PO /( N ) (2) Từ (1) (2) suy OI trục đẳng phương (M) (N) 1,0  OI  MN Xét hàm số a b c + + a + b b + c 2c + 5a b 5a Þ f '(c ) = + (b + c ) (2c + 5a )2 5a b b £ = 4(2c.5a ) (b + c ) 8c (b + c )2 c + b2 - 6cb = < 8c(b + c )2 f (c ) = 1,0 (Vì b £ c b2 + c - 6bc = c(c - 4b) + b(b - c ) - bc < Nếu b>c làm tương tự) Do f(c) hàm nghịch biến, suy Câu a b + + = g(a ) a + b b + 5a + b 20 g '(a ) = (a + b)2 (5a + 8)2 b 20 b 6ab - a - b2 ³ = = > (a + b)2 4(5a 8) (a + b)2 8a 8a (a + b)2 f (c ) ³ f (4) = 1,0 g(a) hàm đồng biến, suy g(a ) ³ g(1) = b + + = h(b) 13 b + b + Dễ dàng chứng minh h(b) ³ 38 39 Dấu xảy a= 1, b=2, c=4 1,0 1,0 Ta gán cho ong có thẻ ghi số thứ tự 0,5 Gọi S(n) tổng số ghi thẻ tất ong thứ n Vì có hai ong bay sang hai bên cạnh Câu theo hai chiều ngược nên S(n) không thay đổi 0,5 Vậy S(n) = S(1) = + + + …+ 99 = 50.99 1,0 a) Vì có lẻ 99 ong nên không ong có thứ tự chẵn 1,0 S(n) tổng 99 số lẻ, tức S(n) số lẻ, mâu thuẫn Vậy trường hợp không xảy b) Nếu có 50 on ong cuối S(n) > 99 50, mâu thuẫn Vậy trường hợp không xảy T acó Câu 1,0 2,0 x  2018  ( y  1)( z  1) x  0,1, 4(mod 8)  x  2018  2, 3, 6(mod 8), (1) y   0, 3, 7(mod 8), z   0, 3, 7(mod 8)  ( y  1)( z  1)  0,1, 5(mod 8), (2) Từ (1) (2) hương trình vô nghiệm 2,0