VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN KIẾN THỨC CƠ BẢN Loại : PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Phương trình cos X  cos s inX  sin  t anX  tan  cot X  cot  Giải phương trình sau : 2) 2sin x  1) sin x  3 4) sin x  3) cos x    5) cos  x     3    6) sin  x    3  7) sin  x  500    8) tan x    9) tan  x    3    10) 3cot  x    3  11) tan x  12) tan x.sin x  tan x  13)   tan x  cot x cos x 14) 3sin2 2x  7cos 2x   15) 6cos2 x  5sin x   16) cos x  5sin x   17) cos x  cos x   Lời giải (k, k ' )  X  A  k 2  X   A  k '2   X  A  k 2  X    A  k '2  X  A  k 18) 6sin2 3x  cos12x  14 19) 4sin4 x 12cos2 x  20) 2cos2 x  3cos 2x  21) 5sin2 x  2cos 2x  22) sin x  sin x  23) 5sin x  cos2 x   x 24) sin  cos x    25) tan  x    4  26) tan x  4cot x  12 27) cot x     cot x   28) 2sin2 x  2cos2 x  4sin x   2 29)   cos x    tan x     30) cos   x   cos 2 x  3cos   x    2  2  31) 2tan x   tan x 32) tan x  tan x      33) tan x  cot x    34) 3tan x  cot x    sin 2 x   tan x 35) 2 sin x  cos x 36) tan x  cot x  2sin x  sin x  9   x 3  37) tan  7  x   cot    38) 3cos 2x  4cos3 x  cos3x  39) 4sin x   2cos x  40) tan x  tan x  sin 3x.cos x 41) tan  x  450  tan  x  450   4cos x x x tan  cot 2 42) sin x sin x  sin x sin x 43) sin x.sin x  sin 3x.sin x 44) sin x.sin 3x  sin x.sin x 45) cos x.cos3x  sin x.sin x  sin x.sin x  46) sin x.sin x  sin x.sin 3x  sin x.sin x  47) sin x  sin 3x  sin x 48) sin x  sin x  sin 3x  49) cos x  cos 3x  cos x  50) cos2 x  sin2 x  sin3x  cos4x 51) cos 22 x  3cos18 x  3cos14 x  cos10 x  3x 52) cos2 x  cos x  2sin 2 53) 8cos 2x.sin x.cos4x  54) sin x  sin 2 x  sin 3x  2 2 55) sin 3x  sin 4x  sin 5x  sin2 6x 56) sin2 2x  sin2 4x  sin2 6x 57) cos2 x  cos2 2x  cos2 3x  cos2 4x  58) sin6 x  cos6 x  4cos2 2x 59) 2tan2 x  3tan x  2cot x  3cot x   60) 2tan2 x  3tan x  2cot x  3cot x   Tính giá trị gần nghiệm phương trình sau:     , 61) sin  x    khoảng    6   6 x 62) cos  khoảng  2 , 4  3x     7 ,  63) tan  3 khoảng   ,    9  15    64) sin  x    3cos  x     2sin x đoạn x   0, 2      sin x  cos x  khoảng x   0, 2  65) sinx sin x  sin x  cos2 x  sin x khoảng x   0, 2  66)  cos2 x  cos x   cos x  4sin x khoảng x   0, 2  cos x GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH: 68) cos x   4m  1 sin x  2m  67) 69) cos x   2m  3 cos x  m   70) Tìm tất giá trị m để phương trình sau có nghiệm x   0,    2m  1 cos x  5cos x  m   71) Tìm tất giá trị m để phương trình sau có nghiệm   3  x   ,  cos x   2m  1 cos x  m   2     72) Tìm tất giá trị m để phương trình sau có nghiệm x   0,   12  cos 4x  cos3 x  m sin2 x LOẠI Loại : PHƯƠNG TRÌNH a cos x  b sin x  c(a  b2  0) Cách giải : a cos x  b sin x  c a b c  cos x  sin x  2 2 a b a b a  b2 a  cos  c a  b2   cos x.cos  sin x.sin   , b a  b sin    a  b2  cos  x     c a b 2 (điều kiện để phương trình có nghiệm a2  b2  c2 ) Giải phương trình sau : 73) 4sin x  3cos x  74) cos x  sin x  2 76) cos3x  sin 3x  77) cos5x  sin x  1 75) sin x  cos x  79) 3sin x  2cos x  80) 2sin x  3cos x  13 sin x 78) sin x  3cos x  81) sin x  cos x  82) cos  x  150   sin  x  150   1 83) 2sin x  9cos x  85 84) sin 2x  3cos x  85) cos  x  180   12 sin  x  180   13     86) 2cos  x    3cos  x    6 3   87) 2sin x  sin x  88) 2sin 2 x  sin x  89) sin x  cos6 x   sin x  cos8 x  90) cos x   sin x cos x   91) cos x  sin x  cos   x  3      92) 2sin   x   sin  x    4 4     93) cos x  sin x  2sin  x    2 6  94) 12cos x  5sin x  8  12cos x  5sin x  14 95) 4sin x  3cos x  1  tan x   cos x 96) sin x  cos6 x  sin x  97) Tìm giá trị  để phương trình : cos  3sin   x  3cos  3sin   x  sin   cos   có nghiệm x      98) Tìm giá trị  để phương trình :  2sin   cos2  1 x2  sin  x  2cos2   sin         99) sin2 4x  3sin 4x.cos4x  4cos2 4x  khoảng x   0,   2 Giải biện luận phương trình theo tham số m : 100) Cho phương trình : m 3cos3x  sin 3x  m Chứng minh phương trình có nghiệm 101) Cho phương trình :  m   cos2x  2m sin x cos x  3m  Giải biện luận phương trình theo tham số m  3  102) Tìm giá trị x    ,   thỏa mãn phương trình sau với   2 m: m sin x  m sin x  m cos x  mcos2 x  cos x  sin x m 103) Tìm m để phương trình có nghiệm : m sin x   m  1 cos x  cos x LOẠI Phương trình chứa tổng tích sinx cosx :A(sinx+cosx)+Bsinxcosx+C=0 (1)   Đặt t  sin x  cos x  2cos  x   , t  4   t   2sin x.cos x   sin x.cos x   t 1 Thay vào phương trình (1), ta có : At  B t 1 C  Giải phương trình sau : 104)  sin x  cos x   sin x   105) 106) sin x  cos x  4sin x.cos x   2sin x  3  sin x  cos x    107)  sin x  cos x   3sin x  108) 1   sin x  cos x   sin 2x  1    109)  sin4x  3sin2x   cos2x   110) sin x   cos x  sin x    111) 5sin x  12  sin x  cos x   12  112) 1   1  sin x  cos x   sin 2x 114)   sin x  2sin  x    4  3  sin x  cos x   sin x  sin x  cos x   115) cos x  113) 116) 1 10  sin x  cos x sin x 3  sin x  cos x   3sin x   sin x  cos x   119)  sin x.cos x sin x  cos x 9     cos  x    10 cos  x      4   3  sin x  cos2 x   sin x  cos x   120) 3sin x  4sin3 x  121) Cho phương trình : sin x   a   sin x  cos x   2a   117) 118) 122)     sin 3x  cos3x       a) Chứng minh phương trình có nghiệm khoảng  0,   2   b) Xác định a để phương trình có nghiệm khoảng  0,   2   c) Xác định a để phương trình có nghiệm khoảng  0,   2 Cho phương trình : 2.sin x  2m  sin x  cos x   2m   Xác định m để phương trình có nghiệm khoảng  0,   LOẠI :PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX Cách : Bước : kiểm tra cosx = có phải nghiệm phương trình hay không ? Bước : chia hai vế phương trình cho cos2 x(cos x  0) ta phương trình bậc hai có ẩn số phụ t = tanx At  Bt  E  Cách :  cos2 x  cos x    cos2 x  Dùng công thức : sin x    sin x.cos x  sin x  Để biến đổi phương trình dạng bậc sin2x cos2x (Acos2x + Bsin2x = C) GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAU : 123) 124) 125) 126) 127) 128) 129) 130) 131) 132) 133) 134) 135) 136) 137) 138) sin2 x 10sin x.cos x  21cos2 x  sin2 x  2sin x.cos x  3cos2 x  6sin2 x  sin x.cos x  cos2 x  sin 2x  2sin2 x  2cos 2x 2sin2 2x  3sin 2x.cos 2x  cos2 2x  cos2 x  3sin x.cos x 1  cos2 x  sin x  sin x  sin x.cos x  4cos x  2sin x   4cos x  6sin x sin x sin6 x  cos6 x  3sin x.cos x  3sin3 x  4cos3 x  3sin x 3sin 1800  x   2sin  90  x  cos  90  x   5sin  270  x    3      2sin  x     cos   x   sin  x  0 2   2      3  4sin x cos  x    4sin   x  cos x  2sin   x  cos   x   2       9  2sin  5  x    sin   x   sin   x  2      3sin x       sin x.cos x  3cos2 x  x x x x x x  3 x   x  3sin cos     3sin cos  sin cos  sin    cos 2 2 2  2  2 140) Số đo góc tam giác vuông ABC nghiệm phương trình : sin3 x  sin x sin 2x  3cos3 x  Chứng minh tam giác ABC tam giác vuông 139) VẤN ĐỀ : GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 141) Cho phương trình lượng giác : cos2 x   2m  1 cos x  m   142) Giải phương trình với m    3  Tìm m để phương trình có nghiệm x   ,  2  144) Cho phương trình lượng giác : sin x  cos6 x  a sin x Xác định a để phương trình có nghiệm 145) Cho phương trình :  3tan x  m  tan x  cot x    Với giá trị m sin x phương trình có nghiệm 146) Cho phương trình : sin  x     sin  3x     a sin x a) Giải phương trình a = b) Tìm a để phương trình có nghiệm x  k (k  Z ) 143) Cho phương trình :  sin x   sin x  k cos x a) Giải phương trình với k = b) Giải biện luận phương trình trường hợp tổng quát 148) Cho phương trình : 1  a  tan x    3a  Xác định a để phương trình có cos x   nhiều nghiệm khoảng  0,   2 149) Tìm số dương a nhỏ thỏa mãn điều kiện :    cos   a  2a     sin  a      147) VẤN ĐỀ - MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC 150) Giải phương trình : 4cos2 x  3tan x  cos x  tan x   151) Giải phương trình : cos3x   cos 3x  1  sin 2 x  152) Giải phương trình : x2  x sin xy   153) Giải phương trình :  cos4 x  cos2 x    sin x 154) 155) Giải phương trình : cos15 x  sin24 x  Giải phương trình : tan x  tan y  cot  x  y   156) Chứng minh phương trình sau vô nghiệm : sin x  2sin x  sin 3x  2 Giải phương trình : sin x  sin y  sin  x  y   Giải phương trình : sin x  sin 3x  sin x.sin 3x 2     Giải phương trình :  cos x     sin x    12  sin y cos x   sin x   157) 158) 159) 160) Giải phương trình : cos x 1   cos3x 1  cos x cos3x VẤN ĐỀ - HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 161)     tan x  cot x  sin  y      Giải hệ phương trình :   tan y  cot y  sin  x       4  162)  sin x  cos x   sin y  cos y Giải hệ phương trình :   sin x  sin y  163) 164) 165) 166) 167) 168) 169) 170) 171) 172) 173)  sin x  sin y  Giải hệ phương trình :   cos x  cos y  2 sin x  cos x.cos y Giải hệ phương trình :  cos x  sin x.sin y sin x  sin x  m Giải hệ phương trình :  cos x  cos x  m Giải hệ m = Xác định m để hệ phương trình có nghiệm  sin x  sin y  Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm :   cos x  cos y m  cos x  cos y  cos z   Giải hệ phương trình : cos x  cos y  cos z  x  y  z    sin x  cos y  Giải hệ phương trình :  5sin y  cos x   9sin x  15sin x.sin x  17 cos x  11  Giải hệ phương trình :  5cos x  3sin x  8cos x    sin x  sin y  Tìm m để hệ phương trình  có nghiệm  cos2 x  cos2 y  m  x  y  m Tìm m để hệ phương trình :  có nghiệm Tìm nghiệm   cos2 x  cos2 y    cos m  174) Giải biện luận phương trình: m sin x   m  1 cos x  m cos x VẤN ĐỀ - BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Giải bất phương trình lượng giác sau: 176)   sin  x    sin x 3  sin x  sin x  177) sin x  cos x  cos 178) 179) cos2 x  cos x  175) 180) 181) 182) 183) 184) 185) 186) 187) 188) 189)     sin x  cos x        x  sin    cos x  cos x   cos2 x  3cos x   tan x  cot x  2cos4 x  7cos2 x   3tan2 x 1    tan x    cos 2 x x  tan 2  cos x  x tan tan x  tan 3x  Xác định      2  cho phương trình sau có nghiệm 2cos x    : x   2sin   1 x  2sin    190) Tìm giá trị a để phương trình sau vô nghiệm : x   2sin a  1 x  6sin a  sin a   191) Giải bất phương trình : sin x  sin 3x  sin x Giải bất phương trình : cos3 xcos3x  sin x.sin 3x  sin x  cos2 x  193) Giải bất phương trình : 0 sin x  cos2 x  194) Tìm tất giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm với m cos x  m  m 0 x: m   m cos x 192)