Đang tải... (xem toàn văn)
Tóm tắt luận văn Không gian metric tuyến tính không lồi địa phương và định lí Krein-Milman về điểm cực biên
1 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong giáo trình học Đại học người ta thường quan tâm đến không gian metric tuyến tính lồi địa phương, nhiều định lí liên quan đến không gian metric tuyến tính lồi địa phương không mở rộng cho không gian metric tuyến tính không lồi địa phương, nên mục đích đề tài tìm hiểu không gian metric tuyến tính không lồi địa phương tính chất Định nghĩa không gian metric tuyến tính đưa Fréchet vào năm 1926, hầu hết định lý không gian metric tuyến tính chứng minh trước năm 1940 phần lớn Banach cộng Vào thời gian đầu trình nghiên cứu, người ta quan tâm đến định lý không gian định chuẩn, xuất định lý điểm cực biên góp phần phát triển nhanh chóng hướng nghiên cứu định lý không gian topo lồi địa phương Cụ thể vào năm 1940, đời định lý Krein-Milman điểm cực biên góp phần không nhỏ vào lĩnh vực giải tích, đặc biệt giải tích lồi Đến năm 1976, Roberts phát biểu định lý tiếng, ông xây dựng F − không gian, chứa tập compact điểm cực biên, định lý Krein-Milman không cho không gian không lồi địa phương Với mục đích tìm hiểu, cụ thể hóa chứng minh, ví dụ, trình bày chi tiết bổ sung ý nhỏ trình chứng minh định lý, góp phần bổ sung kiến thức không gian metric tuyến tính vốn hội tiếp cận trình học đại học, mục tiêu khóa luận Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu số không gian metric tuyến tính không lồi địa phương số tính chất - Tìm hiểu định lí Krein-Milman điểm cực biên Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu không gian metric tuyến tính tính chất - Nghiên cứu điểm cực biên ví dụ Roberts Phương pháp nghiên cứu - Tham khảo tài liệu hệ thống hóa kiến thức - Thu thập báo khoa học tác giả nghiên cứu liên quan đến “Không gian metric tuyến tính không lồi địa phương” - Thể tường minh kết nghiên cứu đề tài - Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn Cấu trúc luận văn Luận văn trình bày qua ba chương: - Chương trình bày khái niệm không gian metric tuyến tính, không gian modular, mối liên hệ F − chuẩn không gian modular, ví dụ không gian metric tuyến tính - Chương trình bày số ví dụ không gian metric tuyến tính không lồi địa phương - Chương chủ yếu mô tả nguyên tắc xây dựng không gian F − chuẩn chứa tập compact lồi điểm cực biên Roberts đưa năm 1976, trình bày chi tiết bổ sung ý nhỏ chứng minh định lý Roberts CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ KHÔNG GIAN METRIC TUYẾN TÍNH 1.1 ĐỊNH NGHĨA VỀ KHÔNG GIAN METRIC TUYẾN TÍNH VÀ ĐỊNH LÍ TỒN TẠI METRIC BẤT BIẾN Cho X không gian tuyến tính trường số thực Phép toán cộng hai phần tử x y kí hiệu: x + y Phép toán nhân phần tử x với tích vô hướng t kí hiệu: tx Cho A, B tập X Khi đó: ∆ A + B = {a + b/a ∈ A, b ∈ B} Cho t ∈ R: ∆ tA = {ta/a ∈ A} Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X có metric ρ Không gian X gọi không gian metric tuyến tính phép toán cộng phép toán nhân với số liên tục metric ρ Tức là: (i) ∀x0 , y0 ∈ X, ∀ε > 0, ∃δ1 , δ2 > : ∀x ∈ X mà ρ(x, x0 ) < δ1 , ∀y ∈ X mà ρ(y, y0 ) < δ2 ρ(x + y, x0 + y0 ) < ε (ii) ∀x0 ∈ X, ∀t0 ∈ R, ∀ε > 0, ∃δ1 , δ2 > : ∀t ∈ R mà |t − t0 | < δ1 , ∀x ∈ X mà ρ(x, x0 ) < δ2 ρ(tx, t0 x0 ) < ε Có thể gọi X không gian metric tuyến tính (X, ρ) không gian metric tuyến tính Chúng ta nói tập U ⊂ X cân (hay cân bằng) với t ∈ R, |t| tU ⊂ U Từ ta có nhận xét sau: Nhận xét 1.1.1 U cân ⇔ ∀t ∈ [−1, 1], ∀u ∈ U, tu ∈ U Chứng minh "⇒": ∀t ∈ [−1, 1], ∀u ∈ U ⇒ tU ⊂ U Ta có: u ∈ U ⇒ tu ∈ tU ⊂ U ⇒ tu ∈ U "⇐": ∀t ∈ [−1, 1] phải chứng minh tU ⊂ U : ∀z ∈ tU ⇒ ∃u ∈ U : z = tu Từ giả thiết ta suy ra: tu ∈ U ⇒ z ∈ U ⇒ tU ⊂ U ⇒ U cân Nhận xét 1.1.2 Mỗi lân cận W zero chứa lân cận cân U zero Chứng minh Để chứng minh điều trước hết ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề 1.1.1 Cho X không gian metric tuyến tính ∀t ∈ R, t = 0, V mở X tV mở X Chứng minh Cho ϕ : X −→ X xác định bởi: x −→ tx ⇒ ϕ liên tục (do định nghĩa không gian metric tuyến tính) và: ψ : X −→ X xác định bởi: y −→ y t ⇒ ψ liên tục (do phép nhân số với vectơ) ψo ϕ = idX ϕo ψ = idX ⇒ ϕ phép đồng phôi Ta có: ϕ(V ) = tV ⇒ tV mở X Bổ đề 1.1.2 Cho X không gian metric tuyến tính, V mở X, x0 ∈ X, U ⊂ X x0 + V = {x0 + x|x ∈ V } mở X, U + V mở X Chứng minh Cho ϕ : X −→ X xác định bởi: x −→ x + x0 ⇒ ϕ liên tục ψ : X −→ X xác định bởi: y −→ y − x0 ⇒ ψ liên tục ψo ϕ = idX ϕo ψ = idX ⇒ ϕ phép đồng phôi ⇒ ϕ(V ) mở ⇒ x0 + V = ϕ(V ) mở X Ta lại có U + V = (x + V ) x∈U ⇒ U + V mở X Ta chứng minh nhận xét Cho W lân cận X ⇒ ∃ε > : B(0, ε) ⊂ W ∆ Đặt W1 = B(0, ε) Ta có: o.0 = (do phép nhân vectơ tích vô hướng liên tục) ⇒ ∃δ1 , δ2 > : ∀t ∈ R mà |t| < δ1 , ∀x ∈ X mà ρ(x, 0) < δ2 ρ(tx, 0) < ε tV ⇒ U mở tV mở lân cận Đặt V = B(0, δ2 ), U = 0[...]... gian và Y là một không gian con tuyến tính của X Rõ ràng rằng Y là một F ∗ − không gian với F ∗ − chuẩn thu được bởi sự hạn chế của F ∗ − chuẩn của X trên Y Những không gian con tuyến tính đóng được gọi là không gian con Giả sử (X, ) là một F ∗ − không gian và Y là một không gian con của X X/Y được gọi là không gian thương (∀x, y ∈ X, XR Y ⇔ x − y ∈ Y ) Với mỗi Z ∈ X/Y Chúng ta định nghĩa chuẩn của... Một không gian tuyến tính trang bị một F - chuẩn được gọi là một F ∗ − không gian Một F ∗ − không gian trang bị một F − chuẩn x chúng ta ký hiệu là (X, ) hoặc ngắn gọn là X Hai chuẩn và gọi là mạnh hơn 1 xác định trên không gian X Chuẩn ( tương đương với chuẩn 1 được ) nếu metric bất biến tương ứng ρ1 mạnh hơn (tương đương với) metric bất biến tương ứng ρ Giả sử X là một F ∗ − không gian và Y là một không. .. + yn 1 ⇒ {yn } → x + y1 (điều phải chứng minh) Định lý 1.3.2 Cho (X, x ) là một F − không gian, Y là một không gian con của X Khi đó không gian thương X/Y là một F − không gian (tức là không gian đầy đủ) Chứng minh Cho Zn là một dãy phần tử tùy ý của không gian thương X/Y 1 sao cho Zn < n 2 1 Khi đó tồn tại một dãy con {xn } ⊂ Zn mà xn < n 2 ∞ Vì không gian X là đầy đủ nên xn → x ∈ X ∀k ∈ N: k ⇒ xi... ∈ X Thay −x vào x | − x| ⇒ |x| < | − x| từ đó ta có: | − x| = |x|; ∀x ∈ X 12 Bây giờ ta đặt d(x, y) = |x − y|; ∀x, y ∈ X Do các khảo sát ở trên d là một metric trên X Ta thấy d(x+z, y +z) = d(x, y); ∀x, y, z ∈ X Từ đó để kết thúc chứng minh định lí này ta chỉ cần chứng minh metric d tương thích với topo đã cho trên X Do tính chất của một không gian topo tuyến tính và do tính bất biến của metric d nên... = 1, n, X1 × X2 × × Xn là một F − không gian 36 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ KHÔNG GIAN METRIC TUYẾN TÍNH KHÔNG LỒI ĐỊA PHƯƠNG 2.1 VÍ DỤ 1 Cho Ω là một tập, Σ là một σ− đại số các tập con của Ω, µ là độ đo trên Ω X là tập tất cả các hàm x: Ω → R đo được ⇒ X là một không gian vectơ Cho N : [0, +∞) → [0, +∞) là hàm tăng, liên tục Và N (u) = 0 ⇔ u = 0, N (u) thỏa mãn điều kiện: ∃k > 0 : N (2u) kN (u), ∀u... , ∃εn > 0, ρ < εn và εn xn + εn n Mà xn → 0 ⇒ εn → 0 ⇒ ∃no ∈ N∗ , ∀n > no , |εn | < 1 xn xn ⇒ ρ(xn ) = ρ(εn ) < ρ( ) < εn εn εn ⇒ ρ(xn ) → 0 1.3 KHÔNG GIAN METRIC TUYẾN TÍNH ĐẦY ĐỦ Cho X là một không gian metric với metric ρ(x, y) Một dãy {xn } các phần tử của X được gọi là một dãy Cauchy hoặc thỏa mãn điều kiện Cauchy, hoặc là một dãy cơ bản nếu: lim ρ(xn , xm ) = 0 n,m→∞ Không gian (X, ρ) được gọi... của không gian metric đầy đủ (X, ρ) là đầy đủ khi và chỉ khi nó là tập đóng Định lý 1.3.1 (Baire) Cho X là một không gian metric đầy đủ và với mỗi n ∈ N, An là một tập con trù mật của X có kiểu Gδ Khi đó n∈N An là một tập con trù mật của X 33 Chứng minh ∀n ∈ N, An là tập có kiểu Gδ , từ đó An là giao đếm được của các tập mở trong X, do An trù mật trong X nên mỗi tập mở này đều trù mật trong X và định. .. một phản ví dụ: Cho αp → 0 chứng minh |αp x| không tiến đến 0 Chọn x = (1, 2, 3, , n, ) 1 αp = , ∀p ∈ N∗ p 1 2 3 n ⇒ αp x = ( , , , , , ) p p p p n ∀p ∈ N∗ , |αp x| = sup n 1 p n∈N∗ ⇒ |αp x| không tiến đến 0 và αp → 0 khi p → ∞ Định lý 1.2.2 Giả sử X là một không gian tuyến tính với modular metric hóa ρ(x) Trong tập Xρ có F -chuẩn x và x → 0 khi và chỉ khi ρ(xn ) → 0 Hơn nữa đơn điệu Chứng... | 27 ⇒ ∃ sup n |αxn | ⇒ αx ∈ X ⇒ X là không gian tuyến tính con của không gian tất cả các dãy số thực ⇒ X là không gian tuyến tính (1) Chứng minh |x| = 0 Ta có |x| = sup ⇔ n |xn | = 0 n |xn | = 0 ⇔ xn = 0, ∀n ∈ N∗ hay x = 0 (2) Chứng minh |αx| = | x | khi α = −1 Ta có: |αx| = sup n | − 1xn | n 1| − xn | n |xn | n∈N∗ = sup n∈N∗ = sup n∈N∗ = |x| Dễ dàng kiểm tra tính chất (3) (5) ∀α ∈ R, ∀p ∈ N∗ Cho... x−y + y−z ρ(x, y) + ρ(y, z) ⇒ ρ là một metric Nhận xét 1.1.5 Nếu X là một không gian metric tuyến tính ρ là metric bất biến trên X Khi đó x ρ(x, 0); ∀x ∈ X, là một F- chuẩn 14 Chứng minh Ta có: (1) x = 0 ⇔ ρ(x, 0) = 0 ⇔ x = 0 (2) Chứng minh x = − x Ta có x = ρ(x, 0) − x = ρ(−x, 0) = ρ(−x + x, 0 + x) (ρ là metric bất biến) = ρ(0, x) = ρ(x, 0) (tính đối xứng của metric) = x (3) Chứng minh x + y ∀x, y