Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian CÁC VẤN ĐỀ VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG (2m  1) x  (m  1) y  m   Bài Cho mặt phẳng (P): 2x – y + = đường thẳng d m :  mx  (2m  1) z  4m   Tìm m để ( P) / / d m Lời giải (2  m) x  (m  1) y   ( P) Giả sử d m :   x  z   ( P ') Ta có véc tơ phương đường thẳng cho là: udm  nP , nP '   (2m2  m  1; 4m2  4m  1; m2  m) y 1 ( P) / / d m  udm nP   2m2  m  1)  (4m2  4m  1)  0(m2  m)   m    (d ) :  x  Khi với điểm A(0;1; z )  dm không thuộc (P), ( P) / / d m Bài  x  3ky  z   Cho đường thẳng d :  Tìm k để d vuông góc với (P): x – y - 2z + = kx  y  z   Lời giải:  x  3ky  z   ( P1 ) Giả sử d :  , đường thẳng d có véc tơ phương là: kx  y  z   ( P2 ) ud   nP , nP '   (3k  1; k  1; 1  3k ) d  ( P)  ud / / nP  (3k  1; k  1; 1  3k ) / /(1; 1; 2)  3k  k  1  3k    k 1 1 Vậy k =  x  az  a  ( P1 ) ax  y   ( P2 ) ; d2 :  Bài Cho đường thẳng d1 :   y  z   ( P1 ')  x  3z   ( P2 ') Tìm a để đường thẳng cắt Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian Lời giải: Ta có: ud1   nP1 , nP1 '   (0;1;1); M (a; 1;0)  d1 ud2   nP2 , nP2 '   (9; 3a; 3); N (0;1; 2)  d  MN (a; 2; 2); ud1 , ud2   (3a  3;9; 9) Để đường thẳng cắt ta cần có: ud , ud2  MN   3a  3a   a1  0; a2  Thử lại với giá trị m ta thấy ud1 , ud2 không phương, tức đường thẳng cho cắt Bài x 1 y  z x 5 y z 5   , d2 :   3 5 Tìm điểm M thuộc d 1, N thuộc d2 cho MN song song với (P) đường thẳng MN cách (P) khoảng Cho mặt phẳng  P  : x  y  z   đường thẳng d1 : Lời giải: Gọi M 1  2t;3  3t;2t  , N   6t ';4t '; 5  5t '  d  M ;  P     2t    t  0; t  Trường hợp 1: t   M 1;3;0  , MN   6t ' 4;4t ' 3; 5t ' 5 MN  nP  MN nP   t '   N  5;0; 5 Trường hợp 2: t   M  3;0;2  , N  1; 4;0  Bài 2 x  y  x  y 1 z Cho đường thẳng d :  Tìm m để d  d ' ; d ':   2m m9 mx  z   Lời giải: 2 x  y  ( P1 ) x  y 1 z ; d ':   Giả sử: d :  2m m9 mx  z   ( P2 ) Ta có véc tơ phương đường thẳng d là: ud  nP1 , nP2   ud  (1; 2; m) Và véc tơ phương đường thẳng d’ là: ud '  (2m;3; m  9) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian m  Ta có: d  d '  ud ud '   1.2m  2.3  m(m  9)    m  m  Vậy có giá trị cần tìm là:  m  (2  m) x  (m  1) y   Bài Cho mặt phẳng (P) x+y-z+5=0 đường thẳng d m :  x  z   Tìm m để ( P) / / d m Hướng dẫn giải: d  ( P)  ud / / nP  (m  1; m  1; m  3) / /(1;1; 2)  m 1 m 1 m     m  Giả sử 1 (2  m) x  (m  1) y   (d )   x  z   (d ') Ta có: uM  d , d '  (1  m;  m;1  m) 3 y   ( P) / / d m  um nP    m   m  2  (d ) :  x  z   Với m = -2, điểm A(0;  ; 2) không thuộc (P), ( P) / / d m  x  my   (m-1)x  y   Bài Cho đường thẳng d1 :  ; d2 :  my  z   mx  y  3z   Tìm m để đường thẳng cắt Hướng dẫn giải: d  ( P)  ud / / nP  (m  1; m  1; m  3) / /(1;1; 2)  m 1 m 1 m     m  Ta có: 1 ud1  (m;1; m); M (1;0;1)  d1 ud2  (9;3m  3; 2m  1); N (0;1;0)  d  MN (1;1; 1); ud1 , ud2   (3m  m  1; 2m  8m; 3m  3m  9) Để đường thẳng cắt ta cần có: ud1 , ud2  MN   m2  3m    m1  4; m2  1 Thử lại với giá trị m ta thấy ud , ud2 không phương, tức đường thẳng cho cắt Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian Bài  x  (m  1)t   Cho đường thẳng d :  y  (m  1)t  Tìm m để đường thẳng d vuông góc với (P): x + y + 2z + =  z  (m  3)t   Hướng dẫn giải: d  ( P)  ud / / nP  (m  1; m  1; m  3) / /(1;1; 2)  m 1 m 1 m     m  1 Vậy m = Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian BÀI TẬP BỔ SUNG Bài Trong không gian cho hai mặt phẳng  P   Q  có phương trình là:  P  : x  my  3z   m   Q  :  m  3 x  y   5m  1 z  10  Với giá trị m thì: a Hai mặt phẳng song song? b Hai mặt phẳng trùng nhau? c Hai mặt phẳng cắt nhau? d Hai mặt phẳng vuông góc nhau? Lời giải a Để hai mặt phẳng song song thì: m  1; m  4 m  3m     m 6m      5m  m    m  1; m    vô nghiệm m  5m  10 10m  12  2m   m  Vậy không tồn giá trị m để hai mặt phẳng  P   Q  song song b Để hai mặt phẳng trùng thì: m  3m    m 6m     5m  m    m  m  5m  10 10m  12  2m  Vậy với m  hai mặt phẳng  P   Q  trùng c Để hai mặt phẳng cắt  5m  m        nP , nQ    5m  m  6; 7 m  7; m  3m    7 m    m  Vậy với m      m  3m      hai mặt phẳng cắt   d Gọi nP nQ VTPT hai mặt phẳng  P   Q    nP  2,  m, 3 nQ   m  3, 2, 5m  1 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian   Để  P   Q  vuông góc thì: nP nQ    m  3  m  2    5m  1   19m  9  m   Vậy với m   19 hai mặt phẳng vuông góc 19 Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d1 : x y z x 1   , d2 :  y  z  mặt phẳng P : x  y  z  Tìm tọa độ hai điểm 1 2     M  d1, N  d2 cho MN song song P MN  Lời giải Gọi M  d1  M  t; t; 2t  , N  d  N  1  2t '; t ';1  t '   t      t '   MN nP   t  2t '    t   11   2  MN   (1  2t ' t )  (t ' t )  (1  t ' 2t )  13     12  t '   13   11 11 22   11 12  Vậy M   ;  ;   , N  ;  ;  M (1;1;2), N (1;0;1)  13 13 13   13 13 13  Bài Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) : x – 2y + z – = hai  x   2t x 1  y z   đường thẳng : (d) (d’)  y   t Viết phương trình tham số đường   1 z   t  thẳng (  ) nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng (d) (d’) CMR (d) (d’) chéo tính khoảng cách chúng Lời giải Mặt phẳng (P) cắt (d) điểm A(10 ; 14 ; 20) cắt (d’) điểm B(9 ; ; 5) Đường thẳng ∆ cần tìm qua A, B nên có phương trình : x   t   y   8t z   15t   Đường thẳng (d) qua M(-1;3 ;-2) có VTCP u 1;1;   Đường thẳng (d’) qua M’(1 ;2 ;1) có VTCP u '  2;1;1 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian Ta có :  MM '   2; 1;3     MM '  u, u '   2; 1;3 11 12 ; 12 12 ; Do (d) (d’) chéo (Đpcm)   1   8     MM '  u, u '  Khi : d   d  ,  d '      11  u, u '   Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d d’ có phương trình : d : y2 x2 z5 x  z d’ :  y 3 1 1 Chứng minh hai đường thẳng chéo Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua d vuông góc với d’ Lời giải Đường thẳng d qua điểm M (0;2;0) có vectơ phương u (1;1;1) Đường thẳng d’ qua điểm M ' (2;3;5) có vectơ phương u '(2;1;1)    Ta có MM  (2;1;5) , u ; u '  (0; 3; 3) , u; u ' MM '  12  d d’ chéo     Mặt phẳng ( ) qua điểm M (0;2;0) có vectơ pháp tuyến u '(2;1;1) nên có phương trình: x  ( y  2)  z  hay x  y  z   Bài 5.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4x – 3y + 11z = hai đường thẳng d1: x y3 z 1 x  y z3 = = , = = Chứng minh d1 d2 chéo Viết phương trình 1 1 đường thẳng  nằm (P), đồng thời  cắt d1 d2 Lời giải Các em tự chứng minh đường chéo Toạ độ giao điểm d1 (P): A(–2;7;5) Toạ độ giao điểm d2 (P): B(3;–1;1) Phương trình đường thẳng : x2 y 7 z 5   8 4 Bài Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng : x  t  (d)  y   2t z   5t  x  t  (d’)  y  1  2t z  3t  a CMR hai đường thẳng (d) (d’) cắt Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian b Viết phương trình tắc cặp đường thẳng phân giác góc tạo (d) (d’) Lời giải  a) Đường thẳng (d) qua M(0 ;1 ;4) có VTCP u 1; 2;5   Đường thẳng (d’) qua M’(0 ;-1 ;0) có VTCP u ' 1; 2; 3  3 Nhận thấy (d) (d’) có điểm chung I   ;0;  hay (d) (d’) cắt (ĐPCM)  2   u   15 15 15  b) Ta lấy v   u '   ; 2 ; 3  7  u'      15 15 15  Ta đặt : a  u  v  1  ;2  ;5   7       15 15 15  b  u  v  1  ;2  ;5   7     Khi đó, hai đường phân giác cần tìm hai đường thẳng qua I nhận hai véctơ a, b làm VTCP chúng có phương trình :   15   x    1  t      15   t  y        z     15  t       15   x    1  t      15   t  y        z     15  t     Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng : x  t x y2 z   d1 :  y   t ;d2:  3 3  z  1  2t  d3: x 1 y 1 z 1 Chứng tỏ d1 ; d hai đường thẳng   chéo nhau,tính khoảng cách hai đường thẳng d1 ; d Viết phương trình đường thẳng , biết  cắt ba đường thẳng d1 , d2 , d3 điểm A, B, C cho AB = BC Lời giải Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian x  t  Đường thẳng d1 :  y   t suy d1 qua điểm A(0;4;-1) có vtcp u1 (1; 1; 2) Đường thẳng d2:  z  1  2t    x y2 z suy d qua điểm B(0;2;0) có vtcp u2 (1; 3; 3) Ta có AB (0; 2;1)   3 3      u1 , u2    9;5; 2  suy AB u1 , u2   9.0  (2).5  1.(2)  12  Vậy d1 d hai đường thẳng        AB u1 , u2  12   chéo Khoảng cách d1 d : d  d1 , d     2 55 u1 , u2    (2)   Xét ba điểm A, B, C nằm ba đường thẳng d1 , d2 , d3 Ta có A (t, – t, -1 +2t) ; B (u, – 3u, -3u) ; C (-1 + 5v, + 2v, - +v) A, B, C thẳng hàng AB = BC  B trung điểm AC t  (1  5v)  2u   4  t  (1  2v)  2.(2  3u ) 1  2t  (1  v)  2(3u )  Giải hệ được: t = 1; u = 0; v = Suy A (1;3;1); B(0;2;0); C (- 1; 1; - 1) Đường thẳng  qua A, B, C có phương trình x y2 z   1 Bài Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x+z=0 đường x   t thẳng d có phương trình  y  2  t Tìm tọa độ điểm A thuộc d tọa độ điểm B trục Oz cho  z  t  AB//(P) độ dài đoạn AB nhỏ Lời giải A(1+t;-2+t;-t)d, B(0;0;b)Oz, AB(1  t ;2  t ; b  t ) , n( P ) (2;0;1)   AB / /( P)  AB.n( P )   b   t AB đạt giá trị nhỏ t   B(P) b≠0 , AB2=6t2+6t+9 ; b 2 Vậy A( ; ; ), B (0;0; ) 2 2 Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | -