Khóa học Luyện thi ñại học môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Tích phân PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN (Bài tập bổ sung) Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG b DẠNG 1: ∫ P( x).ln [ f ( x)] dx (Px ña thức) a BÀI TẬP MẪU: Tính tích phân ln( x + + x ) = u  dx = du x.ln( x + + x )   dx ðặt  x I = ∫ →  + x2 dx = dv + x2   2 v = + x  1+ x 1 dx 2 = 2.ln(1 + 2) − x = 2.ln(1 + 2) − → I = + x ln( x + + x ) − ∫ + x 2 0 1+ x  ln( x + x ) = u 1 − x ln( x − x )   dx = du ↔ x − dx = du I = ∫ dx ðặt  →  x x − dx = dv x x(x − x )    x v = x 9 x −1 x −1 I = x ln( x − x ) − ∫ x dx =6 ln − ln − ∫ dx 4 x x − x (x − x ) J ðặt t = x → x = t , dx = 2tdt x t 3 3 2t − 2t − 2(t − 1) + 1   2t dt = ∫ dt = ∫ dt = ∫  +  dt t −t t −1 t −1 t −1  2 2 J =∫  3 =  2t + ln t −  = 2(2 + ln 2) = + ln 2  Vậy I = 6ln6 - 4ln2 – - 2ln2 = 6ln6 - 6ln2 – = 6ln3-  2x +1  x + x + dx = du  ln( x + x + 1) = u →  I = ∫ x ln( x + x + 1)dx ðặt   x dx = dv v = x  1 x 2x + x 1  1− x  I= dx = ln − ∫  x − + ln( x + x + 1) − ∫  dx x + x +1 2 0 x + x +1  3  (2 x + 1) −  1  1  dx = ln −  x − − x + + I = ln − ∫  x − + 2    dx 2 ∫ 2 0 2 0 x + x + 2( x + x + 1)  x + x +1    Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi ñại học môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Tích phân 1 d ( x + x + 1) 1 dx 3 I = ln − ( x − x) + ∫ − ∫ = ln − J x + x +1 2 x + x +1 4 J J= ∫ x t dx 1  3  + x    + 2    π 3  −π π  dt = tan t , t ∈  ,  → dx = 2 cos 2t  2 ðặt x+ π π J= 33 π 3 π dx = Vậy I= ln − ∫ π 12 e +1 ∫ I = 2 x3 − x2 + ln( x − 1) dx = x −1 e +1 = ∫ e +1 ∫ 2x    x − + x −  ln( x − 1) dx   2x ln( x − 1) dx x −1 ∫ (2 x − 1).ln( x − 1) dx + e +1 2 I1 I2  2x dx = du ln( x − 1) = u  * Tính I1: ðặt  →  x2 −1 (2 x − 1)dx = dv v = x − x  e +1 I = ( x − x).ln( x − 1) e +1 ∫ − e +1 ∫ = e +1− e +1 − 2 x( x − x) dx = e + − e + − x2 −1 e +1 ∫ 2x2 dx x +1 e +1    x − + x +  dx = e + − e + −  x − x + ln x +    = e + + − 2 − ln e +1 +1 +1 Tính I2 e +1 I2 = ∫ 2x ln( x − 1)dx = x −1 e +1 ∫ ln( x − 1) d ln( x − 1) = e +1 1 ln ( x − 1) = 2 e +1 +1 − 2 − ln 2 +1 π  cos x ln(s inx) = u dx = du ln(s inx)   dx ðặt → I = ∫   s inx π cos x  cos x dx = dv v = tan x Vậy I = I1+I2 = e +1 + π I = tan x.ln(sin x) π π − ∫ tan x π π cos x 1 3 1 π dx = 3.ln − ln − ∫ dx = 3.ln − ln − s inx 2 π 6 ef ( x )  P ( x )  f ( x ) dx ∫a a  b DẠNG 2: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi ñại học môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Tích phân Bài tập mẫu: Tính tích phân 1 I = ∫ (4 x − x − 1).e −2 x (8 x − 2) dx = du 4 x − x − = u  → dx ðặt  −2 x −1 -2x e dx = dv v = e  −1 1 I = (4 x − x − 1)  e-2x  + ∫ (4 x − 1).e −2 x dx −1 = - +J  0 2e J  4dx = du 4 x − = u  ðặt  −2 x → −1 −2 x e dx = dv v = e  1 −1 −3 I = e −2 x (4 x − 1) + ∫ e −2 x dx = − 0 2e −1 −1 −2 − + J = − − − = −1 2e 2e 2 e 2 e (2 x + 2)dx = du  x + x = u  −x 2 I = ∫ ( x + x).3 dx ðặt  − x → −3− x v = 3 dx = dv  ln  −x  −3  1 −1 −3 I = ( x + x)  (2 x + 2).3− x dx = J = − +  + ∫ ln ln 2e  ln  ln Vậy I =  2dx = du (2 x + 2) = u  ðặt  − x → −3− x 3 dx = dv v = ln  −x −3 −4 2  −3− x −x I= dx ( x + x) + = + +  ln ∫0 ln 3ln ln ln  ln 1  0 −4 2 2 + − + = + 3ln ln 3ln ln 3ln 3ln −1   Vậy I = + +  ln ln  3ln 3ln  = 1 1  ex x.e x x.e x + e x − e x ex  ex ex = = − dx dx dx = dx − ∫0 (1 + x)2 ∫0  + x (1 + x)2  ∫0 + x ∫0 (1 + x)2 dx (1 + x)2 I = ∫ e x = u e x dx = du ex   Tính J= ∫ → dx ðặt  −1 (1 + x)2  (1 + x)2 dx = dv v =  1+ x  1 x −1 x 1 x −e e e + ∫ e dx = +1+ ∫ dx J= 0 1+ x 1+ x 1+ x 1  −e  e ex ex dx − + + ∫0 + x  ∫0 + x dx  = − 1 →I= + x ln x x ex x = e dx ∫1 x ∫1 x dx + ∫1 e ln x dx e I = e e Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi ñại học môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Tích phân e x = u e e e x dx = du ex  Tính J = ∫ dx ðặt  → J= e x ln x − ∫ e x ln x dx → 1 x  dx = dv v = ln x x e e e e Vậy I= e x ln x − ∫ e x ln x dx + ∫ e x ln x dx = e x ln x = ee 1 1 e π π I = π x (1 + sin x)e e e sin x = + dx dx ∫0 + cosx ∫0 + cosx ∫0 + cosx dx x x π ex ∫0 + cosx dx Tính J = e x = u e x dx = du   ðặt  dx = x dx = dv →  1 + cosx 2cos x v = tan   π π x x x 2.sin cos π x x x x x x dx = e − e 2 dx → J = e tan − ∫ e tan dx = e − ∫ e ∫ x x 2 0 2cos cos 0 2 π π π sin π π e x sin x dx + cos x = e2 − ∫ π π π π e x sin x e x sin x Vậy I = e − ∫ dx + ∫ dx = e + cos x + cos x 0 1 + sin x =u  Cách khác: ðặt 1 + cosx e x dx = dv  π π π 2x +1 2x + 1 2x +1 I = ∫ = dx = ∫ dx dx + cos2 x 2cos x ∫0 cos x 0 2 x + = u  2dx = du  → ðặt   cos x dx = dv v = t an x π π π π sin x d (cos x) π π π ln I = (2 x + 1) tan x − ∫ = + + ln cos x = + + dx = + + ∫ 2 cos x cos x 0 0 b DẠNG 3: ∫ P( x).R(s inx, cos x)dx a π I = ∫ π x = u  dx = du x.cosx   → dx ðặt  cosx  −1 sin x  sin x dx = dv v = 2sin x Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi ñại học môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương π Tích phân π π −1 −π π 1 dx 2 + + ( − cot x) = − (0 − 1) = x + ∫ = π 2sin x π π sin x 4 2 4 →I= π I = π π π x x x dx x dx dx = ∫ = ∫ ∫0 + sin x dx = ∫0 x x π 2 x x π   0 (sin + cos ) cos ( − )  2cos( − )  2 x = u  dx = du   ðặt  → x π dx = dv   cos ( x − π ) v = tan( − )    x π  x π −  sin  −  π d  cos  4     I = x tan  −  − ∫ dx = π + ∫ x π   0 cos  x − π  cos  −    2 4 2 4 x π π = π + ln cos  −  = π 2 4 x π π π π π π π π π 4 4 sin x x(1 − cos x) x  x  dx dx x dx dx = = − = − I = ∫ x.tan x dx = ∫ x ∫0 cos x ∫0  cos2 x  ∫0 cos2 x ∫0 x dx cos x 0 4 I1 I2 x = u  dx = du  →   cos x dx = dv v = tan x Tính I1 π π π π π d (cos x) π π sin x → I1 = x.tanx − ∫ = + ln cos x = + ln dx = + ∫ cos x cos x 4 0 π Tính I2 I2 = x2 π 4= 32 Vậy I = I1-I2= π + ln π 7π = + ln 32 32 0 −1 −1 −1 I = ∫ x(e x + x + 1) dx = ∫ xe2 x dx + ∫ x x + dx I1 I2 dx = du x = u  Tính I1 : ðặt  x → 2x e dx = dv v = e  → I1 = 2x 1 2x e2 x 1  x.e − ∫ e dx = − = − −  = − −1 −1 2 2e −1 2e  4e  4e Tính I2 : ðặt x + = t → x+1=t3 , dx=3t2dt Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi ñại học môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương x t -1 Tích phân 1  t7 t4   1  −9 I2 = ∫ (t − 1).t.3t dt = 3∫ (t − t ) dt =  −  = 3 −  =   28 0  0 Vậy I= I1+ I2= − − = 2− 4e 28 4e e −1 e −1 [ x + − 1].ln( x + 1) dx = e−1 ln( x + 1) − ln( x + 1)  dx x.ln( x + 1) I = ∫ dx = ∫ ∫0  x +1 x +1 x +  0 e −1 = ∫ e −1 ln( x + 1) dx − ∫ ln( x + 1) dx = I1 − I x +1  dx = du ln( x + 1) = u  Tính I1 : ðặt  →  x +1 dx = dv v = x → I1 = x.ln(x+1) e −1 e −1 − ∫ = e − − [x − ln( x + 1)] e −1 x dx = e − − x +1 ∫ ln( x + 1) d ln( x + 1) = Vậy I = I1-I2= 1- ∫ x +1−1 dx = e − − x +1 e −1   ∫ 1 − x +  dx = e −1 Tính I2 : I2 = e −1 ln ( x + 1) e − 1 = 2 1 = 2 π π  − cos2 x  x − 2  4 x − 2sin x x −1 cos2 x   dx = dx dx dx = − I = ∫ 2 ∫ ∫ ∫ (s inx + cosx) (s inx + cosx) (s inx + cosx) (s inx + cosx) 0 0 π π 4 I1 π Tính I1 : I1= ∫ x −1 π dx = [ 2cos( x − )]2 14 x −1 dx ∫ cos ( x − π ) x −1 = u dx = du   ðặt  π dx = dv →   cos ( x − π ) v = tan( x − )  π π π   π sin( x − π )  ) dcos( x −   π 1 dx = −1 + → I1 = (x-1).tan(x- ) − ∫   ∫0 π π 2 2 cos( x − ) 0 cos( x − )  4     π π 1 1 = −1 + ln cos( x − )  = − + ln   4   π Tính I2 : I2 = ∫ I2 π π      π π cos2 x cos2 x d (1 + sin x ) 1 = ln + sin x = ln dx = ∫ dx = ∫ (s inx + cosx) + sin x + sin x 2 0 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi ñại học môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Tích phân −1 + ln e e e ln x  ln x  I = ∫  dx + 3∫ x ln x dx = I1 + 3I + x ln x  dx = ∫   x + ln x x + ln x Vậy I= 4−2 ln x = u 2e + Tính I2 : ðặt  → I2 =  x dx = dv Tính I1 : ðặt + ln x = t → I1 = Vậy I= I1 + 3I = − 2 + 2e b DẠNG ∫e f ( x) R(s inx, cos x)dx a Tính tích phân I = π π 2 cos x cos x ∫ e sin x dx = ∫ e 2sin x.cos x dx ðặt cosx = t → -sinxdx = dt 0 x π t t = u dt = du → → I = ∫ et t dt ðặt  t t e dt = dv v = e π π t = u dt = du → I = ∫ sin x.e− sin x dx = ∫ e− sin x sin x.cos x dx ðặt  − t −t e dt = dv v = −e 0    1 1  2 I =  −e − t t + ∫ e − t dt  =  −e −1 − e − t  =  −  0  e     π π 4 tan x.ln(cos x) sin x.ln(cos x) dx = ∫0 cosx ∫0 cos2 x dx ðặt cosx = t → -sinx dx = dt x π t 2 1 dt = du ln t = u ln t   t → I = ∫ dt ðặt  t  t dt = dv v = −1 2  t 1 −1 − 1 I = ln t + ∫ dt = = −1− ln − ln 2 t t t 2 2 I = Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | -