Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph CÁC BÀI TOÁN C ng) Hàm s B N V C C TR HÀM B C BA (PH N 02) ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH NG Các t p tài li u đ c biên so n kèm theo gi ng Các toán c b n v c c tr hàm b c ba(Ph n 02) thu c khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn s d ng hi u qu , B n c n h c tr c Bài gi ng sau làm đ y đ t p tài li u Các đ c tô màu đ t p m c đ nâng cao Bài Cho: y = x3 + (1 - 2m)x2 + (2 - m)x + (Cm) a Kh o sát v đ th m = b Tìm m đ đ th hàm s (Cm) có m c c đ i c c ti u đ ng th i hoành đ m c c đ i, c c tiêu đ u có hoành đ d ng Gi i b y’ = 3x2 + 2(1 – 2m)x + – m (Cm) có c c đ i, c c ti u y’ = 3x2 + 2(1 – 2m)x + – m = ph i có nghi m phân bi t   '  4m2  m    m  1; m  (*) G i hoành đ m c c tr x1, x2 (x1, x2 nghi m c a ph ng trình: y’ = 0) x1, x2 d  2(2m  1) 0    x1  x2  m    ng ta ph i có:    m 2  x1 x2  2  m   m    m Bài Cho y = mx3 – 3mx2 + 2(m - 1)x - – m a Kh o sát v đ th m = b Tìm m đ hàm s có c c đ i, c c ti u Ch ng minh r ng: Hai m c c tr c a đ th cách đ u đ ng th ng x = Gi i b y’ = 3mx2 – 6mx + 2(m - 1) đ th hàm s có c c đ i, c c ti u ph ng trình: y’ = 3mx2 – 6mx + 2(m - 1) = ph i có nghi m K t h p v i (*) => m  phân bi t   m  2  m  3m  6m  - G i hoành đ m c c tr x1, x2 v i x1, x2 hai nghi m c a ph Các m c c tr cách đ u đ ng th ng x =  |x1 - 1| = |x2 -1| ng trình y’ =  x1  x2  x1   x2     x1  x2   6m    (Luôn đúng) ( 1) x x      3m  V y m c c tr c a đ th cách đ u đ ng th ng x = Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hàm s Bài Cho y = x3 – 3(m+1)x2 + (3m2 + 6m)x + a Kh o sát v đ th m = b Tìm m đ đ th hàm s có m c c đ i, c c ti u n m v hai phía c a Oy Gi i b y’ = 3x2 – 6(m + 1)x + 3m2 + 6m hàm s có c c đ i, c c ti u ph ng trình y’ = ph i có nghi m phân bi t  x2 – 2(m+1)x + m2 + 2m = (*) ph i có nghi m phân bi t   '  (m  1)  (m2  2m)   0, m G i x1, x2 hoành đ m c c tr (x1, x2 nghi m c a ph ng trình (*)) c c đ i, c c ti u n m v hai phía c a Oy x1, x2 ph i trái d u  x1x2 < c   m2  2m   2  m  a áp s : 2  m  Bài Cho: y = (m2 + 1)x3 – 3(m2 + 1)x a Kh o sát v đ th m = b Tìm m đ tung đ m c c ti u c a đ th hàm s đ t giá tr nh nh t Gi i b y’ = 3(m2 + 1)x2 – 3(m2 + 1)  3(m2  1)( x2  1) y’ =  x  1 BBT x y' y - + -1 - + + 2(m2  1) 2(m2  1) yCD =2  m2  1  =>Min yC =2 (d u = x y ra) m = Bài Cho: y = x3 – 3x2 + 4m (Cm) a Kh o sát v đ th m = b CMR: (Cm) có c c đ i, c c ti u Tìm m đ m t hai m c c tr thu c Ox Gi i b y’ = 3x2 – 6x = 3x(x – 2) y’ = 3x(x – 2) = có nghi m phân bi t x = 0, x = Ch ng t v i m i m (Cm) có c c đ i, c c ti u Các m c c tr A(0;4m), B(2;4m – 4) m t hai m c c tr thu c Ox ta ph i có:  4m  m   4m    m    Bài Cho y = x3 + 2(m - 1)x2 + (m2 - 2m + 1)x + m2 + a Kh o sát v đ th m = 1   ( x1  x2 ) b Tìm m đ đ th hàm s đ t c c tr t i x1, x2 cho: x1 x2 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hàm s Gi i b y’ = 3x2 + 4(m - 1)x + m2 - 2m + đ th hàm s đ t c c tr t i x1, x2 y’ = ph i có nghi m phân bi t   '  (m  1)   m  (*) - Ta có: 1   ( x1  x2 ) x1 x2   4(1  m) 0     x1  x2   3( x2  x1 )  ( x1  x2 ) x1 x2 ( x1  x2 )( x1 x2  3)    (m  1)      x1 x2     0   x1 x2  ( x1  0; x2  0)  x1 x2  x x     (m  1) 3  m    m   m  2 m = b lo i không th a mãn (*) áp s : m = 4; m = -2 Bài Cho: y = mx3 – (2m - 1)x2 – x + (Cm) a Kh o sát v đ th m = b Tìm m đ hàm s (Cm) đ t c c đ i t i x1, đ t c c ti u t i x2 x2  x1  16 Gi i b y’ = 3mx2 - 2(2m - 1)x – hàm s đ t c c đ i t i x1 , c c ti u t i x2 (có c c đ i, c c ti u) ph ng trình y’ = ph i có  '  4m2  m   nghi m phân bi t    m m  16 +) x2  x1  => x2 > x1 y’ đ i d u t + sang – qua x1, t - sang + qua x2 nên y’ tam th c b c hai v i h s a = 3m >  m > 2m   4m2  m  2m   4m2  m  ; x1  3m 3m 16 8m  x2  x1   4m2  m   Ta có: x2  Vì m > nên bình ph áp s : m   m  ng v ta có: 4(4m2 – m + 1) = 64m2    m   (Lo i)  1 Bài Cho hàm s : y  x3  mx2  (m2  3) x a Kh o sát v đ th hàm s m = Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hàm s b Tìm m đ hàm s có c c đ i, c c ti u đ ng th i xC , xCT đ dài c nh góc vuông c a m t tam giác vuông có đ dài c nh huy n b ng Gi i b y’ = x2 – mx + m2 – - Hàm s có c c đ i, c c ti u  ph ng trình y’ =  x2 – mx + m2 – = có hai nghi m phân bi t    12  3m2   2  m  (*) - xC , xCT đ dài c nh góc vuông c a m t tam giác vuông có c nh huy n b ng ta ph i có: m  0, m2    xCD  0; xCT   xCD xCT  0, xCD  xCT       5 2  xCD  xCT m  2(m2  3)   xCD  xCT   xCD xCT       2  c b (Theo Viet ta có: xCD  xCT    m xCD xCT   m2  ) a a  m   => Th a mãn (*)  m2   m   m2   Bài ( HKA 2002) Cho hàm s : y = -x3 + 3mx2 + 3(1 – m2)x + m3 – m2 (1) a Kh o sát v đ th m = b Vi t ph ng trình đ ng th ng qua m c c tr c a đ th hàm s (1) Gi i b y’ = -3x2 + 6mx + 3(1 – m2) đ th hàm s (1) có m c c tr (có c c đ i, c c ti u) ph ng trình: y’ = ph i có nghi m phân bi t  x2 – 2mx + m2 – = có nghi m phân bi t   '    0, m áp s : m   x  m 1 => Các m c c tr A(m – 1; - m2 + 3m – 2), B(m + 1; - m2 + 3m + 2) - y'     x  m 1 => Ph ng trình đ ng th ng qua m c c tr A, B là: x  m  y  m2  3m    y  x  m2  m  x3  mx2  (5m  4) x  m (1) a Kh o sát v đ th hàm s (1) m = b Tìm m đ đ th hàm s (1) có m c c ti u m c c ti u có hoành đ d Gi i b y’ = -x2 + 2mx + 5m + Hàm s (1) có c c tr y’ = -x2 + 2mx + 5m + = có nghi m phân bi t Bài 10 Cho hàm s : y  ng   '  m2  5m    m  4  m  1 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hàm s Khi m < -4, m > -1 y’ = có nghi m phân bi t x1 < x2 nên ta có b ng bi n thiên: x x1 x2 - + y' y - + + - y2 - y1 Ta th y (x1, y1) m c c ti u Do x1 < x2 nên đ th hàm s (1) có m c c ti u m c c ti u có hoành đ d ng ch ph ng trình y’ = có nghi m phân bi t < x1 < x2   '  m2  5m      S  2m  => H vô nghi m nên không t n t i m th a mãn yêu c u  P  5m    Bài 11 Cho: y = x3 + (1 – 2m)x2 + (2 – m)x + m + (Cm) a Kh o sát v đ th m = b Tìm m đ (Cm) có c c tr đ ng th i hoành đ m c c ti u nh h n Gi i b áp s : m  1   m  Bài 12 Cho y = x – 3(m – 1)x2 + 3m(m - 2)x + a Kh o sát v đ th m = b CMR: V i m i m hàm s có c c đ i, c c ti u Tìm m đ m c c đ i, c c ti u đ i x ng qua đ ng th ng: y  x  Gi i m  áp s :   m   14  Bài 13 Cho: y = 2x3 + 3(m - 1)x2 + 6(m - 2)x – a Kh o sát v đ th hàm s m = b Tìm m đ m c c đ i, c c ti u c a đ th hàm s đ i x ng qua đ Gi i b Các m c c tr A(-1; – 3m); B(2 – m; m3 – 9m2 + 24m – 21)   AB  U d A, B đ i x ng v i qua d: y = x    I  d (I trung m AB) m=2 Bài 14 Cho hàm s : f ( x)  x3  (cos a  3sin a ) x2  8(1  cos 2a ) x  ng th ng y = x a) CMR: Hàm s có C , CT b) Gi s hàm s có c c tr t i x1, x2 CMR: x12  x22  18 Gi i: Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph a) Xét ph ng) Hàm s ng trình: f '( x)  x2  2(cos a  3sin a ) x  8(1  cos 2a )  Ta có:  '  (cos a  3sin a )  16(1  cos 2a )  (cos a  3sin a )  32 cos a  a N u  '   cos a  3sin a  cos a   sin a  cos a  sin a  cos a  (vô lý) V y  '   a  f '( x)  có nghi m phân bi t x1, x2 hàm s có C , CT  x  x  3sin a  cos a b) Theo viet ta có   x1 x2  4(1  cos 2a ) x12  x22  ( x1  x2 )2  x1 x2  (3sin a  cos a )  8(1  cos 2a )   8cos a  6sin a cos a   9(sin a  cos a )  (3sin a  cos a )  18  (3sin a  cos a )  18 Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : ng Hocmai.vn - Trang | -