Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph CÁC BÀI TOÁN C ng) Hàm s B N V C C TR HÀM B C BA (PH N 01) ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH NG Các t p tài li u đ c biên so n kèm theo gi ng Các toán c b n v c c tr hàm b c ba (Ph n 01) s d ng thu c khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn hi u qu , B n c n h c tr c Bài gi ng sau làm đ y đ t p tài li u Các đ Bài Cho hàm s c tô màu đ t p m c đ nâng cao y  x3  3mx  3m  (1) (m tham s ) Tìm m đ đ th hàm s (1) có c c đ i, c c ti u, đ ng th i chúng cách đ u đ trình x  y  ng th ng có ph ng Gi i: Ta có: y '  3x2  3m, y '   3x2  3m   x2  m Hàm s có c c đ i c c ti u ch y’ có hai nghi m phân bi t y’ đ i d u qua nghi m đó, suy u ki n m>0 (*) Các m c c tr c a hàm s là: A( m, 2m m  3m  1), B( m, 2m m  3m  1) G i  đ ng th ng có ph d ( A, )  d ( B; )  ng trình: x  y  Ta có:  m  2m m  3m   m  2m m  3m   m  2m m  3m   m  2m m  3m    m  2m m  3m    m  2m m  3m   6m     m  4m m  Do m>0 nên ch có m  tho mãn V y m  giá tr c n tìm Nh n xét: Bài toán có cách gi i khác d a vào tính ch t hình h c sau đây: m A B cách đ u đ ng th ng  ch x y tr ng h p sau: Th nh t  song song v i đ ng th ng AB Th hai  qua trung m I c a đo n th ng AB Ta tìm đ c ph ng trình đ ng th ng qua m c c tr A B là: y  2mx  3m  + N u AB / /   : y  x ta có:  m    2 m  1   m   không tho mãn u ki n (*)  3m   m   + Trung m c a AB I  0; 3m 1 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph I  nên ta có: 3m    m  ng) Hàm s tho mãn giá tr c n tìm Bài Cho hàm s y = 2x3 – 3(2m+1)x2 + 6m(m+1)x + a Kh o sát v đ th hàm s m = b CMR: V i m i m, hàm s có c c đ i, c c ti u kho ng cách gi a hai m c c đ i, c c ti u không đ i Gi i b y’ = 6x – 6(2m+1)x + 6m(m + 1) - Xét ph ng trình: y’ =  x2 – (2m + 1)x + m2 + m = Ta có:  = (2m + 1)2 – 4(m2 + m) = > => y’ = có nghi m => Hàm s có c c đ i, c c ti u v i m i m x  m - y’ =    x  m 1 => Các m c c tr A(m; 2m3+3m2 +1), B(m+1; 2m3+3m) V y m  AB  không đ i Bài Cho hàm s : y = x3 - 3mx2 + 3(m2 - 1)x - m3 + m (1) a Kh o sát v đ th hàm s (1) m = b Tìm m đ đ th hàm s (1) có c c tr đ ng th i kho ng cách t m c c đ i đ n g c O b ng l n kho ng cách t m c c ti u đ n g c O Gi i b y’ = 3x – 6mx + 3(m – 1) hàm s có c c tr ph ng trình y’ =  x2 – 2mx + m2 – = ph i có nghi m phân bi t   '    0, m 2 - i m c c đ i c a đ th A(m – 1; – 2m), m c c ti u B(m + 1; – 2m) Ta có: OA  2.OB  m2  6m    m  3  2 áp s : m  3  2 Bài Cho hàm s y = x3 – 3x2 + (2 – m)x + m2 a Kh o sát v đ th m = b Tìm m đ đ th hàm s có c c đ i, c c ti u trung m c a đo n th ng n i m c c đ i, c c ti u n m đ ng th ng d: 2x – y + = Gi i b y’ = 3x – 6x + – m hàm s có c c đ i, c c ti u ph ng trình y’ = ph i có nghi m phân bi t   '    3m   m  1 (*) - G i m c c đ i, c c ti u A(x1, y1), B(x2, y2) I trung m c a AB Ta có x1, x2 nghi m c a ph ng trình: 3x2 – 6x + – m = x x 2m , xI   nên: x1  x2  2; x1.x2  3 2 y1  x1  3x1  (2  m) x1  m ; y2  x2  3x2  (2  m) x2  m2  yI  y1  y2  m2  m Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hàm s Nh v y I(1; m2 – m)   13 m   I  d : x  y    m2  m       13 m   (Lo i, không th a mãn (*))  13 Bài Cho hàm s : y = x3 - 3mx2 + (1) a Kh o sát v đ th hàm s (1) m = b Tìm m đ đ ng th ng qua m c c tr c a đ ng th ng hàm s (1) t o v i tr c t a đ m t tam giác có di n tích b ng Gi i b y’= 3x2 – 6mx đ th có m c c tr ph ng trình y’ = 3x2 – 6mx = ph i có ngi m phân bi t áp s : m    '  9m2   m  x  Khi đó: y '     x  2m => Các m c c tr c a đ th hàm s (1) là: A(0; 2); B(2m, – 4m3) x y2 - Ph ng trình đ ng th ng qua A, B là:   2m2 x  y   2m 4m   AB c t Ox t i C  ;  , c t Oy t i A(0; 2) m  1 1  SAOC   OAOC     m2   m   m áp s : m   Bài Cho hàm s : y = x3 - 3x2 + 3mx + - m (Cm) a Kh o sát v đ th hàm s m = b Tìm m đ hàm s có c c tr , đ ng th i đ ng th ng qua m c c tr t o v i đ ng th ng  : 3x + y – = m t góc 45o Gi i b y’ = 3x2 - 6x + 3m hàm s có c c tr ph ng trình y’ =  x2 - 2x + m = ph i có nghi m phân bi t   ’ = – m >  m < (1) x  1 1 m - Khi m < y’ =    x    m => Các m c c tr là: A(1   m; 2m   m  2m  m  1); B(1   m; 4m   m  2m  m  5) (s d ng tính ch t phép d c a phép chia y:y’ đ ng th ng qua c c tr (c n CM dùng tính ch t này)) => Ph ng trình đ ng th ng AB là: y = 2(m – 1)x +   => d có vecto pháp n n  2m 2; 1 ;  có vecto pháp n n ' 3;1 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph - Góc gi a hai đ ng) Hàm s ng th ng AB  b ng 45o ch khi: cos(, AB)  cos45o   n.n ' 6m  2       2 n n' 4(m  1)2  12 32  12 th a mãn (1))  m (Không   4m  11m    m   áp s : m  Bài Cho hàm s y = x3 – 3x2+2 (1) Kh o sát s bi n thiên v đ th c a hàm s (1) Tìm m M thu c đ ng th ng y=3x-2 t ng kho ng cách t M t i hai m c c tr nh nh t Gi i G i t a đ m c c đ i A(0;2), m c c ti u B(2;-2) Xét bi u th c P=3x-y-2 Thay t a đ m A(0;2)=>P=-4P=6>0 V y m c c đ i c c ti u n m v hai phía c a đ m A, M, B th ng hàng Ph ng trình đ ng th ng y=3x-2, đ MA+MB nh nh t => ng th ng AB: y= - 2x+2 T a đ m M nghi m c a h :  x   y  3x   4 2  => M  ;   5 5  y  2 x  y   Bài Cho hàm s y  x3  3(m  1) x  x  m , v i m tham s th c Kh o sát s bi n thiên v đ th c a hàm s cho ng v i m  Xác đ nh m đ hàm s cho đ t c c tr t i x1 , x2 cho x1  x2  Gi i Ta có y'  x  6(m  1) x  +) Hàm s đ t c c đ i, c c ti u t i x1 , x2  ph ng trình y'  có hai nghi m pb x1 , x2 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hàm s  Pt x  2(m  1) x   có hai nghi m phân bi t x1 , x2 m  1   '  (m  1)     m  1  (1) +) Theo đ nh lý Viet ta có x1  x2  2(m  1); x1 x2  Khi x1  x2   x1  x2 2  x1 x2   4m  12  12   (m  1)   3  m  ( 2) T (1) (2) suy giá tr c a m   m  1     m  Bài Cho hàm s y = - x3 + 3mx2 -3m – 1 Kh o sát s bi n thiên v đ th c a hàm s m = Tìm giá tr c a m đ hàm s có c c đ i, c c ti u V i giá tr c a m đ th hàm s có m c c đ i, m c c ti u đ i x ng v i qua đ ng th ng d: x + 8y – 74 = Gi i Ta có y’ = - 3x2 + 6mx ; y’ =  x = v x = 2m Hàm s có c c đ i , c c ti u  ph ng trình y’ = có hai nghi m phân bi t  m  Hai m c c tr A(0; - 3m - 1) ; B(2m; 4m3 – 3m – 1) Trung m I c a đo n th ng AB I(m ; 2m3 – 3m – 1) Vect  AB  (2m; 4m3 ) ; M t vect ch ph ng c a đ  ng th ng d u  (8; 1) Hai m c c đ i , c c ti u A B đ i x ng v i qua đ I  d ng th ng d    AB  d m  8(2m3  3m  1)  74  m=2      AB.u  Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : ng Hocmai.vn - Trang | -