Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Bài 1: Giải phương trình: 64 x − 641− x − 12 ( x − 41− x ) = 27 Giải: Phương trình ⇔ ( x ) − ( 41− x ) − 12 ( x − 41− x ) = 27 3 ⇔ ( x − 41− x ) + 3.4 x.41− x ( x − 41− x ) − 12 ( x − 41− x ) = 27 ⇔ ( x − 41− x ) = 27 = 33 ⇔ x − 41− x = ⇔ x − 3.2 x − =  x = −1 ⇔ x ⇔ x =1 4 =  x Bài 2: Giải phương trình 3x 2 x−1 = Giải: ðiều kiện: x ≠  x  Phương trình ⇔ log  3x 2 x−1  = log   x2 ⇔ log 3 + log x x −1 = log x log = log (2.3) 2x −1 ⇔ x (2 x − 1) + x log = (2 x − 1)(log + 1) ⇔ x2 + ⇔ x − x − ( x − 1) log − x + = ⇔ x − x − ( x − 1).log = ⇔ ( x − 1)  x + x − − log  = x = ⇔  x = −1 ± + 8log  ( Bài 3: Giải phương trình + ) + (7 − ) x x = 14 Giải: ( ) ( x Do + − ) x ( = nên ñặt + ) x ( = t (t > 0) ⇒ − ) x = t t = + Thay vào phương trình ta ñược: t + = 14 ⇔ t − 14t + = ⇔  t t = − Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương ( ) ⇒ (7 + ) + Với t = + ⇒ + + Với t = − x x Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình = + ⇔ x =1 ( =7−4 = 7+4 ) −1 ⇔ x = −1 x = ðáp số:   x = −1 Bài 4: Giải phương trình x − 3.2 x+1 + = Giải: Phương trình ⇔ x − 6.2 x + = ðặt x = t > , thay vào phương trình ta có: t − 6t + = 2x = t = x = ⇔ ⇔ x ⇔ t = x =1 2 = Bài 5: Giải phương trình Giải: sin x + 4.9 cos x = 13 + Phương trình ⇔ 9sin x + 4.91−sin x = 13 + 2 36 27 ⇔ 9sin x + sin x = 13 + 2sin x − sin x 9 ðặt 9sin x − 2sin x + cos2 x − 3cos2 x − 31− 2sin x = t (1 ≤ t ≤ ) Thay vào phương trình ta có: t + 39 27 − − 13 = t t t = ⇔ t + 26t − 27 = ⇔ t =  t =  sin x =  x = kπ  x = kπ   π kπ (k ∈ Z ) ⇔ sin x = ⇔  cos x = ⇔  x = +      cos x = π sin x =  x = + kπ  Bài 6: Giải phương trình 16sin x.cos x +  π  − = sin  x −   4 Giải: Phương trình ⇔ ⇔ 4sin x + 6.2 ⇔4 sin x + 3.2 sin x + 6.2 π    − 1− cos  x −      sin x  π −2sin  x −   4 −4 = −4=0 −4 =  2sin x = kπ ⇔  sin x ⇔ sin x = ⇔ x = (k ∈ Z ) =1 2 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình Bài 7: Giải phương trình 3x.2 x = 3x + x + Giải: Ta nhận thấy x = không nghiệm phương trình 2x +1 Do ñó phương trình ⇔ 3x (2 x − 1) = x + ⇔ 3x = (*) 2x −1 Ta thấy hàm số y = 3x ñồng biến, hàm số y = 2x +1 nghịch biến khoảng 2x −1 1 1    −∞;   ; +∞  Do ñó phương trình (*) có hai nghiệm x = ±1 2     Bài 8: Giải phương trình x − ( x + 5).2 x + 4( x + 1) = Giải: ðặt x = t , t > Khi ñó ta có phương trình t − ( x + 5)t + 4( x + 1) = t = ⇔ t = x + + Với t = ⇒ x = ⇔ x = + Với t = x + ⇒ x = x + ⇔ x − x − = Ta nhận thấy phương trình có hai nghiệm x = 0; x = Mặt khác xét hàm số: f ( x) = x − x −   Ta thấy: f '( x) = x ln − 1; f '( x) = ⇔ x = log   = − log ln  ln  f ''( x) = x (ln 2) > 0, ∀x ∈ R Nên f '( x) = x ln − ñồng biến R lim f ( x) = lim ( x − x − 1) = +∞ x →−∞ x →−∞ lim f ( x) = lim ( x − x − 1) = +∞ x →+∞ x →+∞ Bảng biến thiên: x -∞ f '( x) - f ( x) +∞ − log ln +∞ + +∞ f ( − log ln ) Từ bảng biến thiên ta thấy ñồ thị f ( x) cắt Ox không ñiểm chứng tỏ phương trình f ( x) = x − x − = có không nghiệm x = ðáp số:  x = Bài 9: Giải phương trình 3x + x = x + Giải: Phương trình ⇔ 3x + x − x − = Ta nhận thấy x = 0; x = nghiệm Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình Mặt khác xét hàm số f ( x) = 3x + x − x − Ta có: f '( x) = 3x ln + x ln − f ''( x) = 3x ( ln 3) + x ( ln ) > 0, ∀x ∈ R 2 lim f '( x) = lim ( 3x ln + x ln − ) = +∞ x →+∞ x →+∞ lim f '( x) = lim ( 3x ln + x ln − ) = −6 x →−∞ x →−∞ Suy f '( x) hàm liên tục, ñồng biến nhận giá trị âm, giá trị dương nên f '( x) = có nghiệm x0 Do ñó ta có bảng biến thiên: x -∞ f '( x) - +∞ x0 + f ( x) Từ bảng biến thiên ta thấy ñồ thị f ( x) cắt Ox không ñiểm chứng tỏ phương trình f ( x) = có tối ña hai nghiệm Chứng tỏ hai nghiệm x = 0; x = phương trình không nghiệm khác Chú ý: Ta chứng minh phương trình f '( x) = có nghiệm sau: Ta có f '(0) = ln + ln − < f '(1) = 3ln + 5ln − > ⇒ f '(0) f '(1) < ⇒ phương trình f ( x) = có nghiệm x 0∈ (0;1) Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | -