Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hình h c không gian TH TÍCH KH I CHÓP (PH N 06) ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH NG Các t p tài li u đ c biên so n kèm theo gi ng Th tích kh i chóp (Ph n 06) thu c khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph h c tr ng) t i website Hocmai.vn s d ng hi u qu , B n c n c Bài gi ng sau làm đ y đ t p tài li u Các đ c tô màu đ t p m c đ nâng cao D NG CHÓP U Bài Cho hình chóp đ u S.ABCD, O tâm đáy, M trung m c a SO, kho ng cách t M đ n m t ph ng (SBC) b ng b, AB = a Tính th tích hình chóp S.ABCD S Gi i: B c 1: Xác đ nh d(M, (SBC)  OH I B c 2: Ph i tính SO B c 3: Tính SO d a vào tam giác vuông SOE c n tính OE M OE  AB H A B Xét tam giác SOE vuông t i O, OH chi u cao 1    SO  V 2 OH OE SO O E D Bài C Cho hình chóp đ u S.ABC, đáy b ng a, góc gi a hai m t ph ng (SBC ),( ABC )   Tính V B Gi i: c 1: Xác đ nh góc gi a hai m t ph ng (SBC ),( ABC )  SEA   c 2: Ph i tính SH c 3: Tính SH d a vào tam giác vuông SHE Trong tam giác SHE c n tính HE, HE  AE AE chi u cao tam giác đ u S B B C A a Có AE suy HE suy SH suy V AE  H E B Bài Hình chóp t giác đ u SABCD có kho ng cách t A đ n m t ph ng (SBC) b ng V i giá tr c a góc  gi a m t bên m t đáy c a chóp th tích c a chóp nh nh t? Gi i: G i M, N trung m BC, AD, g i H hình chi u vuông góc t N xu ng SM Ta có: Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hình h c không gian SMN  ,d  A;  SBC    d  N; SBC    NH  NH   SABCD  MN  sin  sin  sin  tan   SI  MI.tan   sin  cos 4  VSABCD     sin  cos 3.sin .cos sin   sin   2cos 2 2 2  sin .sin .2cos   3  sin .cos  VSABCD  sin .cos max  MN   sin   2cos 2  cos  S H C D N M I A B Bài Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD, O giao m c a AC BD Bi t m t bên c a hình chóp tam giác đ u kh ang cách t O đ n m t bên d Tính th tích kh i chóp cho Gi i: G i M trung m CD, k đ ng cao OH c a tam giác SOM S  OH  (SCD)  OH  d G i CM = x Khi đó: OM = x , SM = x SO = SM  x2  3x2  x2  x Ta có: SM.OH = SO.OM hay H A D d M O d x x d  x x  x   CD  d , SO  d B C 1 V  CD SO  6d d  2d 3 3 Bài Cho t di n ABCD có t t c c nh đ u b ng a G i P, Q l n l t trung m c a AB CD R m t m c nh BC cho BR = 2RC M t ph ng ( PQR) c t AD t i S Tính th tích kh i t di n SBCD theo a A Gi i: A RQ c t BD t i K, g i I trung m c a BR =>DI//RQ => ID đ ng trung bình c a tam giác BRK =>D trung m c a BK P AS C  T suy S tr ng tâm tam giác ABK  S R AD A I B V AS   VSBCD  VABCD Ta có ABSC  Q A VABCD AD mà VABCD  a3 a3  VSBCD  12 36 D K A Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hình h c không gian Bài Cho hình chóp t giác đ u SABCD có c nh đáy b ng a, m t bên t o v i đáy góc 600 M t ph ng qua CD vuông góc v i m t bên (SAB) c t SA, SB l n l t t i M N Tìm th tích hình chóp S.CDMN Gi i: S G i O tâm hình vuông ABCD, SO đ ng cao c a chóp đ u SABCD M N K SH  AB H trung m AB SAB cân, P A D G i I trung m CD, k IP  SH O I H B Ta có:  AB  SH  AB  ( SHI )  IP  AB   AB  SO C Xét PHI vuông t i P, có HP  HI cos 600  a OH a Xét OSH vuông t i O, có SH  cos60o  P trung m c a SH M, N l n l M t khác: SO  OH tan 600  VS ABD  VS BCD   60o Khi SHO a SABD Do IP  (SAB)  (CDP )  (SAB) nl đ i t trung m c a SA, SB  a2  AB AD  2  1 a a2 a3  SO.SABD   3 2 12 Ta có: VS.MND SM SN 1    VS.MND  VS ABD VS ABD SA SB VS NCD 1   VS NCD  VS BCD VS BCD Th tích kh i chóp S.MNCD là: a3 VS.MNCD  VS.MND  VS NCD  VS ABD  (đvtt)\ 16 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hình h c không gian Bài Cho t di n đ u ABCD có c nh b ng G i M, N m l n l AC cho  DMN    ABC  t di đ ng c nh AB, t AM = x, AN = y Tính th tích t di n DAMN theo x y Ch ng minh r ng: x  y  3xy Gi i: D ng DH  MN  H Do  DMN    ABC   DH   ABC  mà D ABC D t di n đ u nên H tâm tam giác đ u ABC  3 Trong tam giác vuông DHA: DH  DA  AH        2 B C N H Di n tích tam giác AMN SAMN  AM AN.sin 600  xy M A xy Th tích t di n D AMN V  SAMN DH  12 Ta có: SAMN  SAMH  SAMH  1 xy.sin 600  x AH sin 300  y AH sin 300 2  x  y  3xy Bài Trong m t ph ng (P) cho tam giác đ u ABC c nh a, I là trung m c a BC D m đ i a G i H hình chi u c a I SA Ch ng minh r ng (SAB)  ( SAC ) tính theo a th tích c a kh i chóp H.ABC x ng c a A qua I Trên đ ng th ng vuông góc v i (P) t i D l y m t m S cho SD  Gi i: Ch ng minh: (SAB)  ( SAC ) Ta có: BC  AD    BC  ( SAD )  BC  SA BC  SD (do SD  ( ABC ))  Nh v y: SA  BC      SA  ( HBC )  SA  HB SA  HC  [(SAB),(SAC )]  BHC SA  IH  Ta có: AHI   ADS  a a HI AI  v i: SD  , AI  2 SD AS AS  AD  SD  (a 3)2  ( Hocmai.vn – Ngôi tr AI DS a a a a 3a  HI   SD   )  2 3a 2 AS 2 ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph Tam giác HBC có IH  IB  IC  ng) Hình h c không gian a   900  HBC vuông t i H  BHC V y: (SAB)  ( SAC ) (đpcm) Tính theo a th tích c a kh i chóp H.ABC Ta có: VH ABC  VS ABC  VS.HBC 1 a a2 a3 VS ABC  SD.SABC   (đvtt) 3 S SH đ ng cao c a hình chóp S.HBC  VS.HBC Tam giác IHC có IH  IC   SH SBCH H a a , HC   IHC vuông cân t i I 2 A C a  IHB vuông cân t i I  HB  HC   SBHC I D B 1 a 2 a2  HB.HC  ( )  (đvdt) 2 a 2 a2 a 2 )  a   Tam giác AHB vuông t i H  AH  BA  BH  a  ( 2 2 2 a2 a3 3a a 2a SH  SA  AH     a  VS HBC  a  (đvtt) 12 2 2 V y: VH ABC  VS ABC  VS HBC  a3 a3 a3   (đvtt) 12 24 Bài (bt t gi i) Cho kh i chóp t giác đ u S.ABCD có c nh đáy b ng a G i G tr ng tâm c a tam giác SAC kho ng cách t G đ n m t bên (SCD) b ng a Tính th tích kh i chóp S.ABCD a3 Bài 10 (bt t gi i) Cho t di n đ u ABCD c nh a G i H hình chi u vuông góc c a A xu ng m t ph ng (BCD) O trung m c a AH Tính th tích V c a t di n theo a áp s : VS ABCD  áp s : VABCD  a3 12 Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : ng Hocmai.vn - Trang | -