Chuyên đề : Phơng trình, bất phơng trình mũ và lôgarit 1 A. Các kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa và các tính chất của luỹ thừa và lôgarit 2. Tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit 3. Các phơng trình, bất phơng trình cơ bản: Với m > 0, 0 < a 1 thì: a x = m x = log a m a x > m log ;( 1) log ;(0 1) a a x m a x m a > > > < < a x 0 với mọi x R Với mọi số thực m và 0 < a 1 thì: log a x = m x = a m log a x > m ; 1 0 ; 0 1 m m x a a x a a > > < < < < B. Một số phơng pháp giải phơng trình, Hệ phơng trình Bất PHơNG TRìNH mũ, lôgarit 1) Phơng pháp đa về cùng cơ số Với 0 < a 1 thì: a f(x) = a g(x) f(x) = g(x); a f(x) > a g(x) f(x) > g(x) nếu a > 1 f(x) < g(x) nếu 0 < a <1 log a f(x) = log a g(x) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) f x g x f x g x > > = log a f(x) > log a g(x) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) f x g x f x g x > > > ; nếu a > 0 log a f(x) > log a g(x) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) f x g x f x g x > > < ; nếu 0 < a < 1. Ví dụ 1. Giải PT: 2 x+1 .5 x = 2.10 2x+5 (1) LG: (1) 10 x = 10 2x+5 x = 2x +5 x = - 5. Ví dụ 2. Giải PT: log 3 (2x+1) - 1 3 log (1 )x (2) LG: Đkiện 2x+1 > 0 và 1- x > 0 1 1 2 x < < (2) log 3 (2x+1) = 2 1 3 1 1 log 2 1 2 0 1 1 x x x x x + = + = x = 0; x = 2 (Loại) PT có nghiệm duy nhất x = 0. Chuyên đề : Phơng trình, bất phơng trình mũ và lôgarit 2 Ví dụ 3. Giải BPT: log 5 (4 x +144) 4log 5 2 < 1+ log 5 (2 x-2 +1) (3) LG: Đkiện: x R (3) log 5 (4 x +144) < log 5 80(2 x-2 +1) 4 x -20.2 x +64 < 0 4 < 2 x < 16 2< x < 4. Ví dụ 4. Giải BPT: 1 1 1 ( 5 2) ( 5 2) x x x + + (4) LG: Do 1 5 2 ( 5 2) + = , (4) ( ) 1 1 1 1 5 2 ( 5 2) 1 0 5 2 1 1 x x x x x do x + < < + x 1 hoặc -2 x < -1. 2) Phơng pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 5. Giải PT: 3.49 x + 2.14 x 4 x = 0 (5) HD: Chia hai vế của PT cho 4 x rồi đặt t = 7 2 7 . : log 3 2 x KQ x = ữ Ví dụ 6. Giải PT: 5 x - 3 5 x = 20 (6) LG: Đkiện x 0, do phơng trình chứa căn, đặt t = 5 1 x (5) t - 125 t -20 = 0 t 2 20t -125 = 0 t = - 5 (L), t = 25 (TM) t = 25 2 5 25 5 2 4. x x x = = = = Ví dụ 7. Giải BPT: 4 x 2.5 2x < 10 x HD: Chia hai vế cho 10 x , ta đợc 2 5 2. 1 5 2 x x < ữ ữ , Đặt t = 2 , 0 5 x t > ữ . BPT 2 2 0 t t t < Với đkiện t > 0 ta có 0 < t < 2 2 5 2 0 2 log 2 5 x x < < > ữ , (Chú ý do cơ số < 1). Ví dụ 8. Giải BPT: 2 2 2 6 4 3 log 2 logx x + > (8) HD: Đkiện 0 < x 1/2 và 1 Đặt t = log 2 x , t 0 (8) 2 1 1 3 5 2 0 3 (1 ) 0 2 t t t t t t < < + + > + < < ; ( Chú ý: Giải bằng phơng pháp khoảng, không khử mẫu ) Suy ra tập nghiệm của (8) là : ( ) 3 1 1 ; 1; 4 . 2 2 ữ Chú ý: Dạng ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x A a b B a b c+ + = nếu (a+ b )(a- b ) =1, nên đặt t = ( ) ( )f x a b+ Dạng au 2f(x) +b(uv) f(x) +cv 2f(x) = 0, nên chia hai vế cho v 2f(x) , đặt t = ( )f x u v ữ Chuyên đề : Phơng trình, bất phơng trình mũ và lôgarit 3 3) Phơng pháp logarit hoá Ví dụ 9. Giải PT: 2 3 8 6 x x x+ = (9) LG: Đkiện x -2 . Lôgarit cơ số 3 hai vế ta có 3 3 3 2log 2 3 log 2 1 log 2 ( 1) 1 0 2 2 x x x x x + = + + = ữ + + x = 1 hoặc x = -(1+log 3 2). Ví dụ 10. Giải BPT: 2 log 4 32 x x + < (10) LG: Đkiện x > 0. Lấy logarit cơ số 2 hai vế ta có : (log 2 x +4)log 2 x < 5, Đặt t = log 2 x; PT t 2 + 4t-5 < 0 -5 < t < 1 -5 < log 2 x < 1 2 -5 < x < 2. 4) Phơng pháp sử dụng tính chất của hàm số Chú ý : a > 1, thì a f(x) > a b f(x)>b ; log a f(x) > log a b f(x) > b >0 0<a<1, thì a f(x) > a b f(x)<b ; log a f(x) > log a b 0<f(x) < b. Ví dụ 11. Giải PT: 3 x = 3 log 5 x (11) LG: Ta có x = 1 là một nghiệm của phơng trình (11) Với x > 1 thì 3 x > 3 1 = 3 và - log 5 x < log 5 1 = 0 3 x > 3 log 5 x. Với x < 1 thì 3 x < 3 1 = 3 và - log 5 x > log 5 1 = 0 3 x < 3 log 5 x. Vậy x =1 là nghiệm duy nhất của phơng trình. Ví dụ 12. GPT: 3 x + 2 x = 3x +2 LG: Dễ thấy rằng PT có nghiệm x = 0 , x = 1. (PT không có nghiệm duy nhất) Xét hàm số: f(x) = 3 x + 2 x 3x+2 ta có : f(x) = 3 x ln3 + 2 x ln2 3 f(x) = 3 x ln 2 3+2 x ln 2 2 > 0 với mọi x R hàm số f(x) đồng biến trên R. Mặt khác hàm số f(x) liên tục trên R và f(-1).f(1) < 0 PT f(x) = 0 có nghiệm duy nhất x 0 (-1; 1). Ta có bảng biến thiên sau: Dựa vào bảng biến thiên ta có phơng trình có không quá 2 nghiệm. Vậy nghiệm của phơng trình là: x = 0; x = 1. 5) Hệ phơng trình, hệ bất phơng trình mũ và lôgarit Chú ý : Ta cũng dùng các phơng pháp giải hệ phơng trình , hệ bất phơng trình nh đối với hệ hữu tỉ đã biết và kết hợp với các phơng pháp giải phơng trình, bất phơng trình mũ và lôgarit để giải hệ PT, Hệ BPT mũ và lôgarit. Ví dụ 13 (ĐH K B-2005). Giải HPT: 2 3 9 3 1 2 1 (1) 3log (9 ) log 3 (2) x y x y + = = x - x 0 + f(x) - 0 + + + f(x) Chuyên đề : Phơng trình, bất phơng trình mũ và lôgarit 4 LG: Đkiện x > 0 và 0 < y 2 (2) 3(1+ log 3 x) 3log 3 y = 3 log 3 x = log 3 y x = y. Thay x = y vào phơng trình (1) ta có phơng trình (1) (x-1)(2-x) = 0 x = 1 ; x = 2. Từ đó HPT có hai nghiệm là (1 ; 1) và (2; 2). Ví dụ 14 (ĐH KD-2002 ).Giải HPT: 3 2 1 2 5 4 (1) 4 2 (2) 2 2 x x x x y y y + = + = + LG: Từ PT(2) 2 x = y, y > 0; Thế vào PT(1) ta đợc PT : y 3 -5y 2 +4y = 0 y = 0, y = 1, y = 4 Hệ PT có nghiệm (0; 1) ; (2; 4). 6) Các bài toán tổng hợp (Hay và khó) Ví dụ 15. (ĐH NT-1996). Tìm nghiệm dơng của PT: 2 2 log 3 log 5 .x x x + = HD: Biến đổi PT về dạng: 2 2 2 log log log 2 3 5 . x x x + = Đặt t = log 2 x, PT 2 t + 3 t = 5 t . Bằng phơng pháp hàm số có nghiệm t = 1 x = 2. Ví dụ 16. (ĐH KA-2002). Cho PT: 2 2 3 3 log log 1 2 1 0x x m + + = (16) (m là tham số) 1. Giải PT khi m =2. 2. Tìm m để PT (16) có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn 3 1;3 HD: Đkiện x > 0, Đặt t = 2 3 log 1x + 1 ta có PT t 2 +t-2m-2 = 0 (*) (16) có nghiệm thuộc 3 1;3 (*) có nghiệm thuộc [1; 2]. Xét hàm số f(t) = t 2 +t trên [1; 2] ta đợc PT (16) có nghiệm 3 1;3 m [0 ; 2] Ví dụ 17.(ĐHQGHN-1997) Giải và BL BPT theo tham số a: log ( ) 4 ( ) . a ax x ax (17) HD: Điều kiện a > 0, a 1, x > 0. Với 0 < a < 1. Lấy lôgarit cơ số a hai vế PT (1+log a x)log a x 4(1+log a x) (log a x+1)(log a x-4) 0 -1 log a x 4 a 4 x a -1 . Với a > 1, Biến đổi nh trên với chú ý cơ số > 1 ta đợc (log a x+1)(log a x-4) 0 4 1 log 1 0 log 4 a a x x a x x a < Ví dụ 18.(ĐHQG HN - 2000) Giải PT: 2 2 log log 2 (2 2) (2 2) 1 x x x x + + = + HD: Đkiện x > 0, đặt t = log 2 x x = 2 t , ta có PT: 2 (2 2) 2 (2 2) 1 2 t t t t + + = + Nhân cả hai vế với (2 2) t + sau đó biến đổi ta có: [ (2 2) t + -4 t ][ (2 2) t + -1] = 0 t = 0 x = 1. Chuyên đề : Phơng trình, bất phơng trình mũ và lôgarit 5 Ví dụ 19. Giải PT: 3 2 1 3 2 2 8 2 2 log (4 4 4) x x x x + + = + (19) HD: Ta có 4x 2 4x+4 = (2x-1) 2 + 3 3 log 3 (4x 2 -4x+4) 1, VP 8 Mặt khác theo BĐT Cô-si, ta có: VT 8 (19) 3 2 1 3 2 2 2 2 8 8 8 log (4 4 4) x x x x + + = = + giải hệ ta có nghiệm của PT là x = 1 2 Ví dụ 20.(ĐH KD - 2006) Chứng minh rằng với a > 0, hệ sau có nghiệm duy nhất: ln(1 ) ln(1 ) (1) (2) x y e e x y y x a = + + = HD: Đkiện x > -1, y > -1 Thế (2) y = x+a vào (1) ta có PT: e x+a - e x +ln(1+x) ln(1+a+x) (3) với x > -1, a >0. hệ có nghiệm duy nhất (3) có nghiệm duy nhất x > -1. Xét hàm số f(x) = e x+a - e x +ln(1+x) ln(1+a+x) ĐPCM. C. Bài tập tổng hợp . Chuyên đề : Phơng trình, bất phơng trình mũ và lôgarit 1 A. Các kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa và các tính chất của luỹ thừa và lôgarit 2. Tính. ữ Chuyên đề : Phơng trình, bất phơng trình mũ và lôgarit 3 3) Phơng pháp logarit hoá Ví dụ 9. Giải PT: 2 3 8 6 x x x+ = (9) LG: Đkiện x -2 . Lôgarit