Đang tải... (xem toàn văn)
1. Hai vectơ trực giao. Hai không gian con trực giao. Phần bù trực giao của một không gian con. 2. Định lý cơ bản của Đại số tuyến tính (Phần 2). Tổ hợp những cơ sở từ các không gian con. 3. Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn. Phương pháp trực giao hóa Gram-Schmidt 4. Ma trận trực giao.
$8.TÍNH TRỰC GIAO 8.1 ¡ TÍNH TRỰC GIAO CỦA BỐN KHÔNG GIAN CHỦ YẾU LIÊN QUAN ĐẾN MỘT MA TRẬN Định nghĩa 8.1.1 (a) Khi v⋅ w = ta nói vectơ v trực giao với vectơ w n (b) Giả sử V W không gian R Ta nói V trực giao với W vectơ v V trực giao với T vectơ w W: v⋅ w = hay v w = n n VD8.1.1 a) Vectơ ∈ R trực giao với vectơ R b) v = (2, -3, 1) w = (1, 1, 1) trực giao R3 c) V = {(x, 0, 0)| x∈R}, W = {(0, y, 0)| y∈R} hai không gian R ⇒ V trực giao với W 3 d) Cho {e1, e2, e3} sở tắc R V = Span(e1, e2), W = Span(e3) ⇒ V trực giao với W ⎡1⎤ ⎡1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡0⎤ e) Ax = ⎢ =⎢ ⎥ ⎥ ⎣5 7⎦ ⎢ ⎥ ⎣0⎦ ⎢⎣−1⎥⎦ ⇒ x = (1, 1, -1) trực giao với hàng A ⎡ ⎤ ⎥ ⇒ N(A) trực giao với C(AT) f) Cho A = ⎢ ⎢⎣ ⎥⎦ n Định nghĩa 8.1.2 Cho V không gian R Tập tất vectơ Rn mà trực giao với vectơ ⊥ V gọi phần bù trực giao V, ký hiệu V n V = {u ∈ R | u⋅w = với w ∈V} ⊥ n Nhận xét 1) Nếu V không gian R , V⊥ n không gian R ⊥ 2) V không gian lớn trực giao với V Định lý 8.1.1 (Định lý Đại số tuyến tính(Phần 2)) Nếu A ma trận m×n T ⊥ T N(A) = C(A ) N(A ) = C(A)⊥ VD8.1.3 Hãy tìm S⊥ a) S không gian sinh (1, 1, 1, 2) (1,1, 3, -1) b) S không gian nghiệm phương trình: x1 + 2x2 − x3 − x4 = n Định lý Nếu V không gian R , dim V + dim V⊥ = n Ngoài ra, {v1, , vr} sở V {vr+1, , vn} sở V⊥, {v1, , vr, vr+1, , vn} sở Rn Hệ Nếu A ma trận thực m×n, với x ∈R n ∃! xr ∈ C(AT) ∃! xn ∈N(A) cho x = xr + xn n Nếu < r(A) < n, R có sở gồm r cột trụ A T T (r hàng trụ A )và n - r nghiệm đặc biệt hệ Ax = VD8.1.4 ⎡1 0⎤ Cho ma trận A = ⎢ ⎥ ⎣0 1⎦ Hãy phân tích vectơ x ∈ R thành xr + xn 8.2 ¡ CƠ SỞ TRỰC CHUẨN VÀ PHƯƠNG PHÁP TRỰC GIAO HÓA GRAM-SCHMIDT Định nghĩa 8.2.1 (a) Tập vectơ {q1, q 2, , q k} R n gọi tập trực giao vectơ tập đôi trực giao, tức q i⋅ q j = i ≠ j n (b) Tập vectơ {q1, q 2, , q k} R gọi tập trực chuẩn tập trực giao vectơ tập ⎧0 i ≠ j có độ dài 1, tức q i⋅ q j = ⎨ ⎩1 i = j (c) Một sở tập trực giao gọi sở trực giao Một sở tập trực chuẩn gọi sở trực chuẩn 3 VD8.2.1 Trong R : { v1 =(1, 1, 1), v2 = (2, 1, -3), v3 = (4, -5, 1)} tập trực giao {e1, e2,e3} sở trực chuẩn ? Làm { v1, v2, v3 } tập trực chuẩn Phương pháp trực giao hóa Gram-Schmidt Giả sử {v1, v2, v3} độc lập V Xây dựng tập trực giao {q1, q 2, q 3} V +) Đặt q1 = v1 +) Đặt q = v2 + a q Tìm a cho q q = +) Đặt q = v3 + b q + c q2 Tìm b,c cho q q = 0, q3 q2= Chú ý: Muốn có tập trực chuẩn chia q i cho độ dài VD8.2.2 Cho sở R {v1 = (1, -1, 0), v2 = (2, 0, -2), v3 = (3, -3, 3)} Xây dựng sở trực chuẩn R Định nghĩa 8.2.2 Một ma trận thực Q cỡ n×n gọi ma trận trực giao vectơ cột Q lập thành tập trực chuẩn VD8.2.3 Một số ma trận trực giao ⎡1 ⎤ a) Q1 = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ( Phép biến đổi đồng nhất) ⎡1 ⎤ b) Q2 = ⎢ ⎥ −1 ⎣ ⎦ ( Phép đối xứng qua Ox) ⎡ cos α c) Q = ⎢ ⎣− sin α sin α ⎤ ( Phép quay vectơ góc α ) ⎥ cos α ⎦ Tính chất Nếu Q ma trận trực giao n×n, T a) Q Q = I T b) Q = Q -1 c) (Qv)⋅(Qw) = v⋅w d) ||Qv|| = ||v|| NHỮNG Ý CHÍNH Hai vectơ trực giao Hai không gian trực giao Phần bù trực giao không gian Định lý ĐSTT (Phần 2) Tổ hợp sở từ không gian Cơ sở trực giao, sở trực chuẩn Phương pháp trực giao hóa Gram-Schmidt Ma trận trực giao