Đang tải... (xem toàn văn)
Hạng của ma trận và cách tìm. Một hàng (cột) của A được gọi là hàng trụ (cột trụ), nếu sau các phép toán hàng để đưa A về U thì hàng ( cột) đó chứa trụ. Tiêu chuẩn có nghiệm của hệ Ax = b (Định lý Kronecker Capelli). Cấu trúc nghiệm của hệ Ax = 0. Biện luận hệ Ax = 0. Cấu trúc nghiệm của hệ Ax = b. Biện luận hệ Ax = b
$.5 HẠNG CỦA MA TRẬN ⎧ x1 + 2x2 = ⇔ x1 + 2x2 = ⎨ ⎪⎩2x1 + 4x2 = ⎧ x1 + 2x2 + x3 = ⎪ ⎨2x1 + 4x2 + 2x3 = ⎪ x + x − x = 10 ⎩ ⇔ ? 5.1 ¡ HẠNG CỦA MA TRẬN ĐỊNH NGHĨA 5.1.1 Cho ma trận A - Dùng phép toán hang, biến đổi A ma trận bậc thang U - Số tất trụ U gọi hạng A, ký hiệu r(A) ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ A = ⎢ −1 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ B=⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎢ C=⎢ 0 ⎢ 0 ⎣ 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ VD5.1.1 Tìm r(A) A = ⎢ ⎢ ⎣ 10 10 13 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ VD5.1.2 Biện luận hạng ma trận theo m ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 3 −8 m ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Chú ý 1) r(A) = ⇔ A = O T 2) r(A) = r(A ) 3) Nếu A ma trận m×n r(A) ≤ min{m, n} 4) Nếu A ma trận n×n r(A) = n ⇔ detA ≠ ĐỊNH NGHĨA 5.1.2 Một hàng (cột) A gọi hàng trụ (cột trụ), sau phép toán hàng để đưa A U hàng ( cột) chứa trụ ⎡ 1 ⎢ VD5.1.4 A = ⎢ 2 ⎢ 3 10 ⎣ 10 13 ⎤ ⎥ ⎥→ U = ⎥ ⎦ ⇒ hàng hàng hàng trụ cột cột cột trụ ⎡ 1 ⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Định lý 5.1.1 Nếu r(A) = r, Ax = ⇔ Bx = 0, B gồm tất hàng trụ A VD5.1.5 ⎧ x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = ⎪ ⎨2x1 + 2x2 + 8x3 + 10x4 = ⎪3x + 3x + 10x + 13x = ⎩ ⎧ x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = ⇔ ⎨ ⎪⎩2x1 + 2x2 + 8x3 + 10x4 = Định lí 5.1.2 (Định lý Kronecker - Capelli) Nếu A ma trận m×n r(A) = r, Ax = b có nghiệm ⇔ r(A) = r([A b]) VD5.1.6 Tìm điều kiện b1, b2, b3 để hệ sau có nghiệm x1 + 2x2 + 3x3+ 5x4 = b1 2x1 + 4x2 + 8x3 + 12x4 = b2 3x1 + 6x2 + 7x3 + 13x4 = b3 5.2 ¡ CẤU TRÚC NGHIỆM CỦA Ax = VD5.2.1 Giải hệ x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 2x1 + 2x2 + 8x3 +10x4 = 3x1 + 3x2 +10x3 +13x4 =0 Giả ⎡1 ⎤ ⎡1 3⎤ A = ⎢2 10⎥ → ⎢0 4⎥ → ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣3 10 13⎥⎦ ⎢⎣0 4⎥⎦ ⎡1 3⎤ ⎢0 4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 0⎥⎦ ĐỊNH NGHĨA 5.2.1 Khi giải Ax = 0, cho biến tự 1, cho biến tự lại 0, ta nghiệm gọi nghiệm đặc biệt x2 = 1, x4 = VD5.2.1 x ⎡ −x − x ⎢ x2 ⎢ =⎢ ⎢ −x4 ⎢ x4 ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ x2 = 0, x4 = s1 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ −1 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ s2 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ −1 −1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Nghiệm hệ tách ⎡ −x − x ⎢ x2 ⎢ x=⎢ ⎢ −x4 ⎢ x4 ⎣ ⎤ ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ − − −x ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ −x ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = + =x +x ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −x4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − 1⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x4 ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ = x2 s + x4 s ĐỊNH NGHĨA 5.2.2 Nếu s1, , sk tất nghiệm đặc biệt Ax = 0, gọi c1s1+⋅⋅⋅+cksk, với c1, , ck số thực bất kỳ, nghiệm đầy đủ hay nghiệm tổng quát Ax = Định lý 5.2.1 Cho Ax = hệ n ẩn * Nếu r(A) = n, hệ có nghiệm (N(A) = {0}) * Nếu r(A) < n, hệ có tất n - r(A) nghiệm đặc biệt s1, , sn-r(A) N(A) gồm tất tổ hợp tuyến tính s1, , sn-r(A) Hệ Nếu Ax = có số phương trình nhỏ số ẩn có vô số nghiệm VD5.2.2 Giải hệ a) x1 + x2 = x1 - x2 = b) x + y + z = x - y + 2z = 2x + y + 2z = 5.3 ¡ CẤU TRÚC NGHIỆM CỦA Ax = b ĐỊNH NGHĨA 5.3.1 Một nghiệm Ax= b gọi nghiệm riêng, ký hiệu xp VD5.3.1 Hệ x1 - x2 + x3 = 2x1 + x2 - 3x3 = 10 có nghiệm riêng xp = (3, 1,-1) Tính chất Giả sử A ma trận m×n Ax = b có nghiệm xp * Nếu r(A) = n, xp nghiệm Ax = b * Nếu r(A) < n, Ax = b có vô số nghiệm xp phụ thuộc n - r(A) biến tự ĐỊNH NGHĨA 5.3.2 Nếu • xp nghiệm riêng Ax = b, • xn nghiệm đầy đủ Ax = 0, x = xp + xn gọi nghiệm đầy đủ hay nghiệm tổng quát Ax = b Cách tìm nghiệm tổng quát x = xp + xn Ax = b +) Biến đổi [A | b] → [U | c] ( xác định r biến trụ (n-r) biến tự do) +) Tìm nghiệm đặc biệt s1, , sn-r [U | c] (gán biến trụ 1, biến tự lại 0) để xác định xn +) Tìm nghiệm riêng xp [U | c] (gán biến tự giải biến trụ) VD5.3.2 Giải hệ a) x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 2x1 + 2x2 + 8x3 + 10x4 = 3x1 + 3x2 +10x3 +13x4 = b) x + 2y + 3z = 2x + y + 6z = 2x + y + 7z = 3x + y + 12z = NHỮNG Ý CHÍNH Hạng ma trận cách tìm Tiêu chuẩn có nghiệm hệ Ax = b (Định lý Kronecker - Capelli) Cấu trúc nghiệm hệ Ax = Biện luận hệ Ax = Cấu trúc nghiệm hệ Ax = b Biện luận hệ Ax = b [...]... là nghiệm riêng của Ax = b, • xn là nghiệm đầy đủ của Ax = 0, thì x = xp + xn được gọi là nghiệm đầy đủ hay nghiệm tổng quát của Ax = b Cách tìm nghiệm tổng quát x = xp + xn của Ax = b +) Biến đổi [A | b] → [U | c] ( xác định r biến trụ và (n-r) biến tự do) +) Tìm các nghiệm đặc biệt s1, , sn-r của [U | c] (gán từng biến trụ lần lượt bằng 1, các biến tự do còn lại bằng 0) để xác định xn +) Tìm một nghiệm. .. 2x + 2 y + 2z = 0 5.3 ¡ CẤU TRÚC NGHIỆM CỦA Ax = b ĐỊNH NGHĨA 5.3.1 Một nghiệm nào đó của Ax= b được gọi là một nghiệm riêng, ký hiệu là xp VD5.3.1 Hệ x1 - x2 + x3 = 1 2x1 + x2 - 3x3 = 10 có một nghiệm riêng xp = (3, 1,-1) Tính chất Giả sử A là ma trận m×n và Ax = b có nghiệm xp nào đó * Nếu r(A) = n, thì xp là nghiệm duy nhất của Ax = b * Nếu r(A) < n, thì Ax = b có vô số nghiệm xp phụ thuộc n - r(A)... một nghiệm riêng xp của [U | c] (gán các biến tự do bằng 0 rồi giải ra các biến trụ) VD5.3.2 Giải hệ a) x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1 2x1 + 2x2 + 8x3 + 10x4 = 6 3x1 + 3x2 +10x3 +13x4 = 7 b) x + 2y + 3z = 1 2x + 4 y + 6z = 2 2x + 5 y + 7z = 4 3x + 9 y + 12z = 9 NHỮNG Ý CHÍNH 1 Hạng của ma trận và cách tìm 2 Tiêu chuẩn có nghiệm của hệ Ax = b (Định lý Kronecker - Capelli) 3 Cấu trúc nghiệm của hệ Ax = 0 Biện... những số thực bất kỳ, là nghiệm đầy đủ hay nghiệm tổng quát của Ax = 0 Định lý 5.2.1 Cho Ax = 0 là hệ n ẩn * Nếu r(A) = n, thì hệ có nghiệm duy nhất (N(A) = {0}) * Nếu r(A) < n, thì hệ có tất cả n - r(A) nghiệm đặc biệt s1, , sn-r(A) và N(A) gồm tất cả những tổ hợp tuyến tính của s1, , sn-r(A) Hệ quả Nếu Ax = 0 có số phương trình nhỏ hơn số ẩn thì nó có vô số nghiệm VD5.2.2 Giải hệ a) x1 + x2 = 0 x1.. .Nghiệm của hệ có thể tách ⎡ −x − x 2 4 ⎢ x2 ⎢ x=⎢ ⎢ −x4 ⎢ x4 ⎣ ⎤ ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ − 1 − 1 −x ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ −x 4 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 1 0 ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ 0 ⎥ 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = + =x +x 2 4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −x4 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ − 1⎥ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ x4 ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ = x2 s 1 + x4 s 2 ĐỊNH NGHĨA 5.2.2 Nếu s1, , sk là tất cả các nghiệm đặc biệt của Ax = 0, gọi c1s1+⋅⋅⋅+cksk, với c1, , ck là những số thực bất kỳ, là nghiệm. .. 7z = 4 3x + 9 y + 12z = 9 NHỮNG Ý CHÍNH 1 Hạng của ma trận và cách tìm 2 Tiêu chuẩn có nghiệm của hệ Ax = b (Định lý Kronecker - Capelli) 3 Cấu trúc nghiệm của hệ Ax = 0 Biện luận hệ Ax = 0 4 Cấu trúc nghiệm của hệ Ax = b Biện luận hệ Ax = b