Đang tải... (xem toàn văn)
Tổ hợp tuyến tính.Tích vô hướng. Ba cách diễn đạt hệ phương trình tuyến tính: dạng hàng, dạng phương trình vectơ, dạng ma trận. Giải hệ phương trình bằng phương pháp khử Gauss : Ma trận bậc thang và trụ; Ma trận mở rộng;
$ GIỚI THIỆU VECTƠ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.1 GIỚI THIỆU VECTƠ Phép cộng vectơ Phép nhân xv Tích vô hướng ab ĐỊNH NGHĨA 1.1.1 Giả sử v1, v2, ,vn vectơ x1, x2, , xn Khi x1v1+x2v2+ +xnvn tổ hợp tuyến tính v1, v2, ,vn Nhận xét a) Khi vectơ v 0, tổ hợp xv lấp đầy đường thẳng b) Khi vectơ v1 v2 không phương, tổ hợp x1v1 + x2v2 lấp đầy mặt phẳng c) Khi ba vectơ v1, v2, v3 không đồng phẳng, tổ hợp x1v1+x2v2 +x3v3 lấp đầy không gian Biểu diễn vectơ hình học theo toạ độ v mp Oxy , ! x y : v = xi + y j x Gọi cặp số tọa độ y x v Ta đồng v = y x' x Giả sử u = , v = c vô hướng Ta có y ' y x x' u+v = y y ' uv = xx' + yy' cx cu = cy ( |u| = x + y ) 2 ĐỊNH NGHĨA 1.1.2 Gọi dãy gồm n số thực vectơ cột n - thành phần Tập vectơ cột n - thành phần ký hiệu Rn( không gian n-chiều) Tập vectơ hình học mặt phẳng R2 = không gian 2-chiều Tập vectơ hình học không gian R3 = không gian 3-chiều Các phép toán * Cộng hai vectơ + = * Nhân vectơ với vô hướng t = Định nghĩa phép nhân A với x sau Ax= = Hệ có DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN : Ax = b VD1.2.2 Dạng hàng x1 + 2x2 = 3x1 - 5x2 = Dạng cột é ù é ù é ù x1 ê +x2 ê = ê ú ú ú ë û ë û ë -5 û Dạng phương trình ma trận é ù é x1 ù é ù ê -5 ú ê x ú = ê ú ë û û êë úû ë 1.3 PHÉP KHỬ GAUSS a) Ma trận bậc thang trụ VD1.3.1 Quan sát ma trận sau 1 0 0 2 1 5 0 0 0 1 0 0 0 5 0 0 0 0 0 ĐỊNH NGHĨA 1.3.1 Ma trận bậc thang ma trận có đặc điểm: (1) Hàng gồm toàn số nằm hàng chứa số khác (2) Nếu hàng k toàn 0, số số đứng đầu hàng k+1 lớn số số đứng đầu hàng k Số khác không hàng gọi trụ VD1.3.2 é ù ê -1 ú có trụ 1, 2, ê ú êë 0 úû é ê 0 ê êë 0 0 ù ú có trụ 1, ú úû b) Ma trận mở rộng ĐỊNH NGHĨA 1.3.2 [ A | b] = rộng Đối với hệ (*) , ta gọi bảng số b1 ù ú b2 ú ma trận mở ú ú bm ú û c) Phương pháp giải số hệ tuyến tính đặc biệt ĐỊNH NGHĨA 1.3.2 Hệ dạng tam giác hệ a11 x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a22 x2 + + a2nxn = b2 TRỤ ann xn = bn hệ số aii khác (i = 1, , n) CÁCH GIẢI HỆ DẠNG TAM GIÁC Giải hệ phép ngược từ lên Hệ dạng tam giác có nghiệm VD1.3.2 Hệ 3x1 + 2x2 + x3 = x2 - x3 = 2x3 = ĐỊNH NGHĨA 1.3.4 Hệ dạng bậc thang hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng dạng bậc thang Ẩn có hệ số trụ gọi biến trụ Những ẩn lại gọi biến tự VD1.3.4 1x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1x3 + x4 + 2x5 = 3x5 = CÁCH GIẢI HỆ DẠNG BẬC THANG Trường hợp hệ chứa phương trình dạng = bi với bi khác 0: hệ vô nghiệm Trường hợp lại: Loại tất pt dạng = Trong phương trình, chuyển hạng tử chứa biến tự sang vế phải, gán biến giá trị thực tùy ý, để hệ dạng tam giác biến trụ Giải hệ dạng tam giác, tìm giá trị biến trụ d) Giải hệ phương trình tuyến tính Phép khử Gauss : chuyển hệ cho trước hệ phương trình tương đương có dạng bậc thang nhờ sử dụng phép toán sau I Đổi chỗ hai phương trình hệ II Lấy phương trình hệ trừ bội phương trình khác Chú ý Trong trình thực phép khử, xuất phương trình dạng = 0, ta loại khỏi hệ Còn xuất phương trình dạng = b với b khác 0, hệ vô nghiệm VD1.3.5 Giải toán Lưu lượng giao thông x1 - x2 = 160 x2 - x3 = -40 x3 - x4 = 210 -x1 + x4 = -330 VD1.3.5 Giải hệ x 3y z t x y z 2t x y z t 1 VD1.3.7 Số a,b làm cho hệ sau vô nghiệm x y 2z x y 6z b ay z NHỮNG Ý CHÍNH Ba cách diễn đạt hệ phương trình tuyến tính: dạng hàng, dạng phương trình vectơ, dạng ma trận Giải hệ phương trình phương pháp khử Gauss [...]... ý, để được hệ dạng tam giác đối với những biến trụ Giải hệ dạng tam giác, tìm được giá trị của những biến trụ d) Giải hệ phương trình tuyến tính bất kỳ Phép khử Gauss : chuyển hệ cho trước về hệ phương trình tương đương có dạng bậc thang nhờ sử dụng những phép toán sau đây I Đổi chỗ hai phương trình của hệ II Lấy một phương trình của hệ trừ đi bội của một phương trình khác Chú ý Trong quá trình thực... 1.3.4 Hệ dạng bậc thang là hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng dạng bậc thang Ẩn có hệ số là trụ được gọi là biến trụ Những ẩn còn lại được gọi là biến tự do VD1.3.4 1x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1 1x3 + x4 + 2x5 = 0 3x5 = 9 CÁCH GIẢI HỆ DẠNG BẬC THANG Trường hợp hệ chứa phương trình dạng 0 = bi với bi khác 0: hệ vô nghiệm Trường hợp còn lại: Loại đi tất cả các pt dạng 0 = 0 Trong mỗi phương trình, ... nghĩa là "cân bằng về sổ sách" VD1.1.2 1.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VD1.2.1 Bài toán Lưu lượng giao thông Mạng lưới giao thông ở một khu vực vào lúc cao điểm ở một khu vực Hãy xác định lưu lượng xe ở mỗi ngã tư Ta có hệ 4 pt, 4 ẩn x1 - x2 = 160 x2 - x3 = -40 x3 - x4 = 210 -x1 + x4 = -330 ĐỊNH NGHĨA 1.2.1 Một hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình n ẩn có DẠNG HÀNG a11x1 + a12x2 + + a1nxn... rộng Đối với hệ (*) , ta gọi bảng số b1 ù ú b2 ú là ma trận mở ú ú bm ú û c) Phương pháp giải một số hệ tuyến tính đặc biệt ĐỊNH NGHĨA 1.3.2 Hệ dạng tam giác là hệ a11 x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a22 x2 + + a2nxn = b2 TRỤ ann xn = bn trong đó các hệ số aii khác 0 (i = 1, , n) CÁCH GIẢI HỆ DẠNG TAM GIÁC Giải hệ bằng phép thế ngược từ dưới lên Hệ dạng tam giác có nghiệm duy nhất VD1.3.2 Hệ 3x1 +... y 2 z t 1 VD1.3.7 Số a,b nào làm cho hệ sau vô nghiệm x 4 y 2z 1 x 7 y 6z b ay z 4 NHỮNG Ý CHÍNH 1 Ba cách diễn đạt hệ phương trình tuyến tính: dạng hàng, dạng phương trình vectơ, dạng ma trận 3 Giải hệ phương trình bằng phương pháp khử Gauss ... bm aij và bj là những số thực, x1, x2, , xn là các ẩn (*) Ký hiệu vj = b= Hệ có dạng phương trình vectơ hay DẠNG CỘT: x1v1+ x2v2++ xnvn = b Kí hiệu A = hi = là ma trận hệ số , , x= ,b= Định nghĩa phép nhân A với x như sau Ax= = Hệ có DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN : Ax = b VD1.2.2 Dạng hàng x1 + 2x2 = 6 3x1 - 5x2 = 4 Dạng cột é 6 ù é 1 ù é 2 ù x1 ê +x2 ê = ê ú ú ú ë 4 û ë 3 û ë -5 û Dạng phương trình. .. thực hiện phép khử, nếu xuất hiện phương trình dạng 0 = 0, ta có thể loại nó khỏi hệ Còn nếu xuất hiện phương trình dạng 0 = b với b khác 0, thì hệ vô nghiệm VD1.3.5 Giải bài toán Lưu lượng giao thông x1 - x2 = 160 x2 - x3 = -40 x3 - x4 = 210 -x1 + x4 = -330 VD1.3.5 Giải hệ x 3y z t 3 2 x 2 y z 2t 8 3 x y 2 z t 1 VD1.3.7 Số a,b nào làm cho hệ sau vô nghiệm x 4 y 2z 1...* Một tổ hợp tuyến tính của v1, v2, ,vn là x1v1+x2v2+ +xnvn trong đó x1, x2, , xn là các vô hướng * Tích vô hướng của v =(x1, x2, , xn) và w =(y1, y2, , yn) là vw = x1y1 + x2y2 + + xnyn * Độ dài của vectơ v = (x1, x2, , xn) là |v| = (vv)1/2 = (x12 + x22 + + xn2)1/2 VD1.1.1 Trong một cửa hàng có 2 mặt hàng: (1) máy tính Macbook; (2) điện thoại Iphone Gọi qi là... 5x2 = 4 Dạng cột é 6 ù é 1 ù é 2 ù x1 ê +x2 ê = ê ú ú ú ë 4 û ë 3 û ë -5 û Dạng phương trình ma trận é 1 2 ù é x1 ù é 6 ù ê 3 -5 ú ê x ú = ê 4 ú ë û û êë 2 úû ë 1.3 PHÉP KHỬ GAUSS a) Ma trận bậc thang và trụ VD1.3.1 Quan sát những ma trận sau đây 1 4 0 2 0 0 2 1 5 5 4 3 0 0 2 0 0 0 1 2 4 0 0 0 3 2 0 0 0 0 5 4 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ĐỊNH NGHĨA