các công thức tính tích phân 2

10 618 0
các công thức tính tích phân 2

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

các công thức tính tích phâncác công thức tính tích phâncác công thức tính tích phâncác công thức tính tích phâncác công thức tính tích phâncác công thức tính tích phâncác công thức tính tích phâncác công thức tính tích phâncác công thức tính tích phâncác công thức tính tích phâncác công thức tính tích phâncác công thức tính tích phâncác công thức tính tích phâncác công thức tính tích phâncác công thức tính tích phân

CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI LỜI NÓI ðẦU Ngày phép tính vi tích phân chiếm vị trí quan trọng Toán học, tích phân ñược ứng dụng rộng rãi ñể tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay, ñối tượng nghiên cứu giải tích, tảng cho lý thuyết hàm, lý thuyết phương trình vi phân, phương trình ñạo hàm riêng Ngoài phép tính tích phân ñược ứng dụng rộng rãi Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học, Thiên văn học, y học Phép tính tích phân ñược bắt ñầu giới thiệu cho em học sinh lớp 12, ñược phổ biến tất trường ðại học cho khối sinh viên năm thứ năm thứ hai chương trình học ðại cương Hơn kỳ thi Tốt nghiệp THPT kỳ thi Tuyển sinh ðại học phép tính tích phân có ñề thi môn Toán khối A, khối B khối D Bên cạnh ñó, phép tính tích phân nội dung ñể thi tuyển sinh ñầu vào hệ Thạc sĩ nghiên cứu sinh Với tầm quan trọng phép tính tích phân, mà viết số kinh nghiệm giảng dạy tính tích phân khối 12 với chuyên ñề “TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH - ðỔI BIẾN SỐ VÀ TỪNG PHẦN” ñể phần củng cố, nâng cao cho em học sinh khối 12 ñể em ñạt kết cao kỳ thi Tốt nghiệp THPT kỳ thi Tuyển sinh ðại học giúp cho em có tảng năm học ðại cương ðại học Trong phần nội dung chuyên ñề ñây, xin ñược nêu số tập minh họa tính tích phân chủ yếu áp dụng phương pháp phân tích, phương pháp ñổi biến số, phương pháp tích phân phần Các tập ñề nghị ñề thi Tốt nghiệp THPT ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng năm ñể em học sinh rèn luyện kỹ tính tích phân phần cuối chuyên ñề số câu hỏi trắc nghiệm tích phân Tuy nhiên với kinh nghiệm hạn chế nên dù có nhiều cố gắng trình bày chuyên ñề không tránh khỏi thiếu sót, mong ñược góp ý chân tình quý Thầy Cô Hội ñồng môn Toán Sở Giáo dục ðào tạo tỉnh ðồng Nai Nhân dịp xin cảm ơn Ban lãnh ñạo nhà trường tạo ñiều kiện tốt cho cảm ơn quý thầy cô tổ Toán trường Nam Hà, ñồng nghiệp, bạn bè ñã ñóng góp ý kiến cho hoàn thành chuyên ñề Tôi xin chân thành cám ơn./ Trang CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI MỤC LỤC Lời nói ñầu Mục lục I Nguyên hàm: I.1 ðịnh nghĩa nguyên hàm I.2 ðịnh lý I.3 Các tính chất nguyên hàm I.4 Bảng công thức nguyên hàm số công thức bổ sung II Tích phân: II.1 ðịnh nghĩa tích phân xác ñịnh II.2 Các tính chất tích phân II.3 Tính tích phân phương pháp phân tích Bài tập ñề nghị Tính tích phân phương pháp ñổi biến số 10 II.4 II.4.1 Phương pháp ñổi biến số loại ðịnh lý phương pháp ñổi biến số loại 13 Một số dạng khác dùng phương pháp ñổi biến số loại 14 Bài tập ñề nghị số 14 Bài tập ñề nghị số 15 Bài tập ñề nghị số 4: Các ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng 16 II.4.2 Phương pháp ñổi biến số loại 16 Bài tập ñề nghị số 21 Các ñề thi Tốt nghiệp trung học phổ thông 22 Các ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng 22 II.5 Phương pháp tích phân phần Bài tập ñề nghị số 6: Các ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng III 10 23 28 Kiểm tra kết giải tính tích phân máy tính CASIO fx570-MS 29 Bài tập ñề nghị số 7: Các câu hỏi trắc nghiệm tích phân 30 Phụ lục 36 Trang CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI I NGUYÊN HÀM: I.1 ðỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM: Hàm số F(x) ñược gọi nguyên hàm hàm số f(x) (a;b) với x∈(a;b): F’(x) = f(x) VD1: a) Hàm số F(x) = x3 nguyên hàm hàm số f(x) = 3x2 R b) Hàm số F(x) = lnx nguyên hàm hàm số f(x) = (0;+∞) x I.2 ðỊNH LÝ: Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a;b) thì: a) Với số C, F(x) + C nguyên hàm f(x) khoảng ñó b) Ngược lại, nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a;b) ñều viết dạng F(x) + C với C số Theo ñịnh lý trên, ñể tìm tất nguyên hàm hàm số f(x) cần tìm nguyên hàm ñó cộng vào số C Tập hợp nguyên hàm hàm số f(x) gọi họ nguyên hàm hàm số f(x) ñược ký hiệu: ∫ f(x)dx (hay gọi tích phân bất ñịnh) Vậy: ∫ f(x)dx = F(x)+C VD2: a) ∫ 2xdx = x + C b) ∫ sinxdx = - cosx + C c) ∫ cos x dx = tgx +C I.3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM: 1) ' ( ∫ f(x)dx ) = f(x) 2) ∫ a.f(x)dx = a ∫ f(x)dx (a ≠ ) 3) ∫  f(x) ± g(x)  dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx 4) ∫ f(x)dx = F(x)+C ⇒ ∫ f (u(x) ) u'(x)dx = F (u(x) )+C VD3: a) ∫ (5x - 6x + 8x )dx = x - 2x + 4x +C b) ∫ 6cosx.sinxdx = -6 ∫ cosx.d (cosx ) = -3cos x +C Trang CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI I.4 BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM: BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SƠ CẤP THƯỜNG GẶP 1/ ∫ du = u + C 1/ ∫ dx = x + C 2/ ∫ x α dx = x α +1 +C α +1 dx = ln x + C x 4/ ∫ e x dx = e x + C 3/ ∫ 5/ ∫ a x dx = NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ HỢP 2/ ∫ uα du = ( α ≠ -1) 3/ ∫ (x ≠ 0) uα +1 +C α +1 ( α ≠ -1) du = ln u + C (u = u(x) ≠ 0) u 4/ ∫ eu du = eu + C ax +C lna ( < a ≠ 1) 5/ ∫ au du = au +C lna ( < a ≠ 1) 6/ ∫ cosx dx = sinx + C 6/ ∫ cosu du = sinu + C 7/ ∫ sinx dx = -cosx + C 7/ ∫ sinu du = - cosu + C dx π = ∫ (1+ tg x ) dx = tgx + C (x ≠ + k π ) cos x dx 9/ ∫ = ∫ (1+ cotg x ) dx = -cotgx + C (x ≠ k π ) sin x 8/ ∫ du π = ∫ (1+ tg2u ) du = tgu + C (u ≠ + kπ ) cos u du = ∫ (1+ cotg2u ) du = -cotgu + C (u ≠ kπ ) 9/ ∫ sin u 8/ ∫ CÁC CÔNG THỨC BỔ SUNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM THƯỜNG GẶP: 1/ ∫ dx = x + C x 2/ ∫ ( ax + b ) dx = α 1/ a m a n = a m+n (x ≠ 0) ( ax + b ) a α +1 α +1 + C (a ≠ 0) 1 dx = ln ax + b + C (a ≠ 0) ax + b a 4/ ∫ e ax+b dx = e ax +b + C (a ≠ 0) a a kx 5/ ∫ a kx dx = + C ( ≠ k ∈ R, < a ≠ 1) k.lna 6/ ∫ cos ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C (a ≠ 0) a / ∫ sin ( ax + b ) dx = - cos ( ax + b ) + C (a ≠ 0) a 3/ ∫ / ∫ tgx dx = - ln cosx + C (x ≠ CÁC CÔNG THỨC LŨY THỪA: π + kπ ) 9/ ∫ cotgx dx = ln sinx + C (x ≠ k π ) 2/ am = a m-n ; n = a -n n a a 3/ m m a =a ; m n a =a n m CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC: a CÔNG THỨC HẠ BẬC: 1/ sin2 x = (1- cos2x ) 2/ cos2 x = (1+cos2x ) b CÔNG THỨC BIẾN ðỔI TÍCH THÀNH TỔNG cos ( a - b ) + cos ( a + b )  2 2/ sina.sinb = cos ( a - b ) - cos ( a + b )  3/ sina.cosb =  sin ( a - b ) + sin ( a + b )  1/ cosa.cosb = Trang CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI II TÍCH PHÂN: II.1 ðỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ðỊNH: Giả sử hàm số f(x) liên tục khoảng K, a b hai phẩn tử K, F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K Hiệu F(b) – F(a) ñược gọi tích phân từ a ñến b f(x) Ký hiệu: b b ∫ f(x)dx = F(x) = F(b)- F(a) a a II.2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN: a 1/ ∫ f (x )dx = a a 2/ b ∫ f (x )dx = − ∫ f (x )dx b b 3/ a b ∫ k.f (x )dx = k.∫ f (x )dx a b 4/ a b b ∫ [f (x ) ± g(x )]dx = ∫ f (x )dx ± ∫ g(x )dx a b 5/ (k ≠ 0) a c a b ∫ f(x)dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx a a với c∈(a;b) c b / Nếu f (x ) ≥ 0, ∀x ∈ [a;b ] ∫ f (x )dx ≥ a b b a a / Nếu f (x ) ≥ g(x ), ∀x ∈ [a;b ] ∫ f (x )dx ≥ ∫ g(x )dx b / Nếu m ≤ f (x ) ≤ M , ∀x ∈ [a;b ] m(b − a ) ≤ ∫ f (x )dx ≤ M (b − a ) a t / t biến thiên [a;b ] ⇒ G (t ) = ∫ f (x )dx nguyên hàm f (t ) G (a ) = a II.3 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH: b Chú ý 1: ðể tính tích phân I = ∫ f (x )dx ta phân tích f (x ) = k1f1(x ) + + km fm (x ) a Trong ñó: ki ≠ (i = 1,2, 3, , m ) hàm fi (x ) (i = 1,2, 3, , m ) có bảng nguyên hàm VD4: Tính tích phân sau: Trang CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” 1) I = ∫(3x - 4x +3)dx =(x - 2x +3x) GV: NGUYỄN DUY KHÔI 2 -1 -1 = (2 - 2.2 +3.2) -((-1)3 - 2.(-1)2 +3.(-1)) = 12 Nhận xét: Câu ta cần áp dụng tính chất sử dụng công thức 1/ 2/ bảng nguyên hàm 3x -6x + 4x - 2x + 2) I = ∫ dx x Nhận xét: Câu ta chưa áp dụng ñược công thức bảng nguyên hàm, trước hết tách phân số dấu tích phân (lấy tử chia mẫu) áp dụng tính chất sử dụng công thức 1/, 2/, 3/ bảng nguyên hàm 2 3x -6x + 4x - 2x + 4 ⇒ I= ∫ dx = (3x -6x + + )dx ∫1 x2 x x2 = (x -3x + 4x - 2ln |x |- ) = - 2ln2 x x -5x +3 3) I = ∫ dx x +1 Nhận xét: Câu ta chưa áp dụng ñược công thức bảng nguyên hàm, trước hết phân tích phân số dấu tích phân (lấy tử chia mẫu) áp dụng tính chất sử dụng công thức 1/, 2/ bảng nguyên hàm công thức 3/ bổ sung 2 x -5x +3   ⇒ I= ∫ dx = ∫  x − +  dx x +1 x +1  0   x2 2 =  -6x +9ln | x +1 | = -12 +9ln3 = 9ln3 -10 2 0 4) I = ∫ e x (2xe-x +5 x e-x -e-x ) dx Nhận xét: Câu 4: biểu thức dấu tích phân có dạng tích ta chưa áp dụng ñược công thức bảng nguyên hàm, trước hết nhân phân phối rút gọn áp dụng tính chất sử dụng công thức 1/, 2/, 5/ bảng nguyên hàm  5x 1 ⇒ I = ∫ e (2xe +5 e -e ) dx = ∫ (2x +5 -1 ) dx =  x + -x  = ln5  ln5  0 1 x -x x -x -x x π π 5) I = ∫(4cosx +2sinx - )dx =(4sinx - 2cosx - 2tgx) = 2 - - 2+2 = cos x 0 Nhận xét: Câu ta cần áp dụng tính chất sử dụng công thức 6/, 7/ 8/ bảng nguyên hàm Trang CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” π GV: NGUYỄN DUY KHÔI π 6) I = ∫(4sin2x - 12cos4x)dx = (-2cos2x - 3sin4x) = - -3 + = -1- Nhận xét: Câu ta cần áp dụng tính chất sử dụng công thức 6/ , 7/ bảng nguyên hàm phần công thức bổ sung π 12 7) I = ∫ sin (2x - π )dx Nhận xét: Câu học sinh sai sử dụng nhầm công thức 2/ bảng bảng nguyên hàm cột bên phải, ñã xem u = sin 2(2x - π ) (hơi giống ñạo hàm hàm số hợp) Với câu trước hết phải hạ bậc sử dụng công thức 6/ bảng nguyên hàm phần công thức bổ sung π π π 12  π  12 ⇒ I = ∫ sin (2x - )dx = ∫  - cos(4x - ) dx = ∫ (1 - sin4x )dx 0  0 12 π π  π 1 1 π =  x + cos4x  12 =  + cos 2  12   1  π 1  - 0 + cos0  = 24 - 16    π 16 8/ I = ∫ cos6x.cos2xdx Nhận xét: Ở câu 8: biểu thức dấu tích phân có dạng tích ta chưa áp dụng ñược công thức bảng nguyên hàm, trước hết phải biến ñổi lượng giác biến ñổi tích thành tổng áp dụng tính chất sử dụng công thức 6/ bảng nguyên hàm phần công thức bổ sung π π 16 16 ⇒ I = ∫ cos6x.cos2xdx = =  1 cos8x + cos4x dx = sin8x + sin4x ( )   ∫ 8  π 16  1 1 π π  11 2 sin + sin − sin + sin = + 1+  =     8 4  8  16   ( ) 9) I = ∫x -1dx -2 Nhận xét: Câu biểu thức dấu tích phân có chứa giá trị tuyệt ñối, ta hướng học sinh khử dấu giá trị tuyệt ñối cách xét dấu biểu thức x2 – [-2;2] kết hợp với tính chất 5/ tích phân ñể khử giá trị tuyệt ñối Trang CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” ⇒ I= ∫x -1 -1dx = -2 ∫ (x GV: NGUYỄN DUY KHÔI -1 )dx − ∫ ( x -1 ) dx + ∫ ( x -1 ) dx -2 -1 x  -1  x  x 2 =  -x  − -x  + -x  = 3  -2   -1  1 3 3 3x +9 dx x 4x -5 Nhận xét: Câu 10 ta không thực phép chia ña thức ñược câu 3, mặt khác biểu thức mẫu phân tích ñược thành (x -5)(x +1) nên ta tách biểu thức 3x+9 A B = + = dấu tích phân sau: (phương pháp hệ số x - 4x -5 x -5 x+1 x -5 x+1 bất ñịnh) 3 3x +9   ⇒ I= ∫ dx = ∫  dx = ( 4ln |x -5 |-ln |x +1 |) x - 4x -5 x -5 x +1  2 = 4ln2 -ln4 - 4ln3 +ln3 = 2ln2 -3ln3 = ln 27 10) I = ∫ Chú ý 2: ðể tính I = ∫ a'x + b' dx ax + bx + c (b2 - 4ac ≥ 0) ta làm sau: TH1: Nếu b2 - 4ac = , ñó ta có phân tích ax +bx + c = a(x + ⇒ I= ∫ b ) 2a b ba' ba' )+ b' b' dx dx 2a 2a dx = a' 2a + ∫ ∫ b b a x+ b a a(x + )2 (x + )2 2a 2a 2a a'(x + TH2: Nếu b2 - 4ac > ⇒ ax + bx + c = a(x - x1 )(x - x ) Ta xác ñịnh A,B cho A+ B = a' a'x + b' = A(x - x1 )+ B(x - x ) , ñồng hai vế ⇒  Ax1 + Bx = -b' A(x - x1 )+ B(x - x ) A B I= ∫ dx = ∫( + )dx a (x - x1 )(x - x ) a x - x x - x1 Trang CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI Chú ý 3: TH1: ðể tính I = ∫ P(x) dx ta làm sau: (x - a1 )(x -a2 ) (x -an ) A1 A2 An P(x) = + + + (x -a1 )(x -a2 ) (x -an ) (x -a1 ) (x -a2 ) (x -an ) TH2: ðể tính I = ∫ P(x) dx ta làm sau: (x -a1 ) (x -a2 )k (x -an )r m A1 A2 Am P(x) = + + + + (x - a m ) (x -a1 )m(x -a2 )k (x -an )r (x - a ) m (x - a ) m -1 P(x) dx với P(x) Q(x) hai ña thức: TH3: ðể tính I = ∫ Q(x) * Nếu bậc P(x) lớn bậc Q(x) lấy P(x) chia cho Q(x) * Nếu bậc P(x) nhỏ bậc Q(x) tìm cách ñưa dạng Nhận xét: Ví dụ gồm tập tính tích phân ñơn giản mà học sinh áp dụng bảng công thức nguyên hàm ñể giải ñược toán với phép biến ñổi ñơn giản nhân phân phối, chia ña thức, ñồng hai ña thức, biến ñổi tích thành tổng Qua ví dụ nhằm giúp em thuộc công thức nắm vững phép tính tích phân BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 1: Tính tích phân sau: 1) I = ∫(x x + 2x + 1)dx 2x x + x x - 3x + 2) Ι = ∫ dx x x -3x -5x +3 3) I = ∫ dx x -1 5) I = 4) I = ∫ (x + x - ) dx -2 π π 12 ∫ (sinx + cos2x - sin3x )dx 6) I = ∫ 4sinx.sin2x.sin3xdx π 16 7) I = ∫ cos 2xdx 8) I = ∫x + 2x -3 dx -2 dx 9) I = ∫ x -5x +6 10) I = ∫ dx x +1+ x x + 2x +6 11) I = ∫ dx (x - 1)(x - 2)(x - 4) x +1 12) I = ∫ dx (x -1)3 (x +3) xdx 13) I = ∫ x -6x +5 x dx 14) I = ∫ (1+ x )2 Trang CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI II.4 TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ðỔI BIẾN SỐ: II.4.1 Phương pháp ñổi biến số loại 1: b Ta có ý (SGK trang 123): Tích phân ∫ f(x)dx phụ thuộc vào hàm số f(x), a cận a b mà không phụ thuộc vào cách ký hiệu biến số tích phân Tức là: b b b a a a ∫ f(x)dx = ∫ f(t)dt = ∫ f(u)du = Trong số trường hợp tính tích phân mà không tính trực tiếp công thức hay qua bước phân tích ta không giải ñược Ta xét trường hợp sau: VD5: Tính tích phân sau: 1) I = 2 dx -x2 ∫ Phân tích: Biểu thức dấu tích phân có chứa bậc hai, ta không khử phép biến ñổi bình phương hai vế ñược, ta thử tìm cách biến ñổi ñưa bậc hai 2 dạng A , ñó ta liên tưởng ñến công thức: 1-sin x = cos x = cosx , ñó: π π ðặt x = 2sint ⇒ dx = 2costdt , t ∈ - ;   2 ðổi cận: x= 2 π ⇒ 2sint = ⇒t = 2 x =0 ⇒ π 2sint = ⇒ t = π π π 2cost.dt 2cost.dt π π =∫ = ∫ dt = t = ( t ∈ 0;  ⇒ cost > ) 2  6 -2sin t 2(1-sin t) 0 6 ⇒ I= ∫ Trong VD ta thay ñổi sau: I = ∫ ñược kết I = π Kết bị sai hàm số f (x) = dx Học sinh làm tương tự -x2 không xác ñịnh x= 2-x2 Do ñó ñề dạng Giáo viên cần ý: hàm số f (x) xác ñịnh [a;b] 2) I = ∫ - x dx Trang 10

Ngày đăng: 08/10/2016, 13:16

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan