Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc -------------------- Sáng kiến kinh nghiệm Tên đề tài: Sự tơng giao giữa đờng thẳng và parabol ************** a. Đặt vấn đề 1.lí do chọn đề tài 1.1 Cơ sở lí luận: Môn toán có vị trí đặc biệt quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của trơng THCS:Góp phần hình thành những con ngời có trình độ học vấn phổ thông cơ sở,đó là những con ngời biết rèn luyện để có tính độc lập,có t duy sáng tạo,phẩm chất đạo đức để đáp ứng yêu cầu hiện nay. Để thực hiện thành công nhiệm vụ đó phảI rèn cho học sinh phơng pháp học tập cũng nh phơng pháp giảng dạy giáo viên các bộ môn nói chung và môn toán nói riêng. Chơng trình toán rất rộng,các em đợc lĩnh hội nhiều kiến thức,các kiến thức đó lại có mối liên hệ chặt chẽ với nhau.Do vậy khi học các em cần nắm vững kiến thức cơ bản từ đó vận dụng chúng vào giảI các loại toán cụ thể.Để giúp các em học tập môn toán có kết quả tốt có nhiều tài liệu sách báo đã nói tới.Giáo viên không chỉ nắm đợc kiến thức mà điều cần thiết là phảI nắm đợc phơng pháp một cách linh hoạt,truyền thụ kiến thức một cách dễ hiểu nhất. Yêu cầu của dạng toán sự tơng giao của đờng thẳng và parabol là học sinh phảI nắm đợc cách vẽ đồ thị hàm số y=ax+b và đồ thị hàm số y=ax 2 (a0),biết cách giảI phơng trình bậc nhất một ẩn,phơng trình bậc hai một ẩn đã học ở lớp 8 và lớp 9. 1.2 Lí do thực tiễn: Trong tinh thần đỗi mới phơng pháp dạy học đối với môn toán,việc hình thành t duy lôgíc,phát huy tính tích cực độc lập của học sinh là hết sức quan trọng,việc học tập các ph- ơng pháp giải toán ,hình thành kĩ năng kĩ xão vận dụng các kiến thức toán học vào giảI các dạng toán cụ thể là hết sức cần thiết. Khi nghiên cứu việc học toán và giải toán của học sinh THCS có nhiều vấn đề cần bàn,ở đay khi đi nghiên cứu thực tế và trao đổi với các đồng nghiệp dạy toán ở THCS mà đặc biệt là giáo viên dạy toán 9 chúng tôI thấy loại toán về sự tơng giao giữa đờng thẳng và đờng thẳng,đờng thẳng và parabol vẫn thờng đợc đề cập tới trong các đề thi vào THPT và các em thờng gặp khó khăn:do không vẽ đợc đồ thị, hoặc cha nắm đợc nghiệm của phơng trình bậc nhất hai ẩn,điểm chung(nếu có) của hai đờng thẳng,đờng thẳng và parabol chính là nghiệm của phơng trình hoành dộ giao điểm. 2.Mục đích nghiên cứu: Ngay từ khi là học sinh phổ thông các em cần thấy đợc vai trò to lớn của toán học,giúp học sinh hoạt đọng hiệu quả trong mọim lĩnh vực nhờ kiến thức và phơng pháp toán học.Các bài toán về sự tơng giao của hai đồ thị đặt ra cho các em nhiều thách thức không nhỏ khi giảI các dạng toán này. Với ý nghĩa đó tôI muốn phân tích bài toán chỉ ra bản chất của vấn đề giúp học sinh hiểu và từ đó giảI đợc các bài toán dạng này để góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học toán ở tr- ơng THCS. 3.Phơng pháp nghiên cứu: 3.1 Phơng pháp nghiên cứu lí luận:đọc tài liệu và sách báo liên quan tới đồ thị hàm số,phơng trình bậc nhất một ẩn,phơng trình bậc hai một ẩn 3.2 Phơng pháp điều tra: Ra câu hỏi cho học sinh. 3.3Phơng pháp nghiên cứu:Quan sát học sinh học tập. B.GiảI Quyết vấn đề: VấN Đề 1: Trớc hết ta cần nhớ lại những liến thức cơ bản về sự tơng giao của hai đờng thẳng: Cho (C) là đồ thị của hàm số y=f(x) và một điểm A(x A; y A ) ta sẽ có: A ( ) ( ) A A C Y f X = A ( ) ( ) A A C Y f X Muốn tìm toạ độ điểm chung của đồ thị hàm số y=f(x) và y=g(x) ta tìm nghiệm của hệ ph- ơng trình: y=f(x) y=g(x) Vì vậy hoành độ giao điểm chung của hai đồ thị chính là nghịêm của hệ phơng trình trên.ta củng cần nhớ lại vị trí tơng đối của hai đờng thẳng:cho hai đờng thẳng y=ax+b (a 0 ) (D) y= ( 0)a x b a + ( )D phơng trình hoành độ giao điểm chung của (D) và ( )D là: ( ) a a x b b = (1) (D) // ( )D phơng trình (1) nghiệm a=a , và b b , (D) trùng ( )D phơng trình(1) có vô số nghiêm a=a , và b b , (D) cắt ( )D phơng trình(1) có một nghiệm a a , Dạng1:Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng. Ví dụ1: cho hai hàm số y=x+3 (d) và hàm số y=2x+1 (d , ) a)Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ. b)Tìm toạ độ giao điểm nếu có của hai đồ thị. Nhận xét:gặp dạng toán này học sinh thờng vẽ đồ thị hai hàm số trên rồi tìm toạ độ giao điểm (x;y) tuy nhiên gặp những bài khi x và y không là số nguyên thì tìm toạ độ bằng đồ thị sẽ gặp khó khăn khi tìm chính xác giá tri của x;y GiảI: a) vẽ đồ thị hai hàm số b)Hoành độ giao điểm là nghiệm của phơng trình:x+3=2x+1 x=2 suy ra y=5 Ví dụ2:Cho 3 đờng thẳng lần lợt có phơng trình: (D 1 ) y=x+1 (D 2 ) y=-x+3 (D 3 ) y=(m 2 -1)x+m 2 -5 (với m 1) Xác định m để 3 đờng thẳng (D 1 ) ,(D 2 ), (D 3 ) đồng quy. Nhận xét: 3 đờng thẳng (D 1 ) ,(D 2 ), (D 3 ) đồng quy tại một điểm nào đó chẳng hạn điểm A(x;y) thì rỏ ràng x;y là một nghiệm của 3 phơng trình trên hay x;y là nghiệm của 1 2 ( ) ( ) D D và là nghiệm của (D 3 ) Giải: Hoành độ giao điểm B của (D 1 ) ,(D 2 ) là:-x+3=x+1 x=1 thay vào y=x+1suy ra y=2 để 3 đ- ờng thẳng đồng quy thì (D 3 )phảI đi qua điểm B nên ta thay x=1;y=2 vào phơng trình (D 3 ) ta có: 2=(m 2 -1)1+m 2 -5 m 2 =4 m=2;m=-2. Vậy với m=2;m=-2thì 3 đờng thẳng (D 1 ) ,(D 2 ), (D 3 ) đồng quy. VấN Đề 2:Vị trí tơng đối giữa đờng thẳng (D) y=f(x) và parabol (P) y=g(x). Ta cần nhớ lại hoành độ điểm chung của (D)và (P) là nghiệm của phơng trình f(x)= g(x) (2).phơng trình(2) là phơng trình bậc hai.Ta thấy: (D) và (P) không có điểm chung phơng trình(2) vô nghiệm 0 < D) tiếp xúc (P) phơng trình(2) có một nghiệm 0 = D) cắt (P) tại hai điểm phơng trình(2) có hai nghiệm 0 > Sau đây là một số bài toán về sự biện luận giữa đờng thẳng và parabol. Dạng 1: Bài toán chứng minh Chứng minh rằng:Đờng thẳng (D):y=4x-3 tiếp xúc với parabol (P): y=2x 2 -4(2m-1)x+8m 2 -3 Nhận xét: Gặp dạng toán này học sinh sẽ lúng túng để tìm phơng pháp giải vì học sinh không nắm đợc đờng thẳng (D):y=4x-3 tiếp xúc với parabol (P): y=2x 2 -4(2m-1)x+8m 2 -3 tại một điểm thì điểm đó là nghiệm của hai phơng trình vậy phơng trình hoành độ giao điểm bắt buộc phải có nghiệm kép từ đó ta có cách giảI sau: GiảI: Hoành độ giao điểm chung của (D) và (P) là nghiệm của phơng trình: 2x 2 -4(2m-1)x+8m 2 -3=4x-3 2x 2 -8mx+8m 2 =0 x 2 +4mx+4m 2 =0 Ta có: 2 2 16 16 0m m = = với mọi giá trị của m nên Đờng thẳng (D):y=4x-3 tiếp xúc với parabol (P):y=2x 2 -4(2m-1)x+8m 2 -3 Dạng 2: Bài toán tìm điều kiện Ví dụ:Chứng minh rằng đờng thẳng (D):y=x+2m và parabol(P):y=-x 2 -x+3m a)Với giá trị nào của m thì(D) tiếp xúc với parabol(P). b) Với giá trị nào của m thì(D) cắt parabol(P)tại hai điểm phân biệt A và B.tìm toạ độ giao điểm A và B khi m=3 Nhận xét:tơng tự nh ví dụ trên ta sẽ đi xét sự có nghiệm của phơng trình bậc hai nếu có một nghiệm thì (D) và (P) có một điểm chung còn nếu có hai nghiệm thì (D) và (P) có hai điểm chung. Giải: a)Hoành độ giao điểm chung của (D) và (P) là nghiệm của phơng trình: -x 2 -x+3m=x+2m -x 2 -2x+m=0 Đờng thẳng (D) tiếp xúc với parabol (P) phơng trình (3) có nghiệm kép 0 = 4+4m=0 m=-1. b) Đờng thẳng (D) cắt parabol (P) phơng trình (3) có 2 nghiệm phân biệt 0 > 4+4m>0 m>-1. Khi m=3 thì hoành độ giao điểm của (D) và (P) là nghiệm của phơng trình -x 2 -2x+3=0 x=1 hoặc x=3 Từ đó suy ra toạ độ giao điểm A,B của (D) và (P) là:A(1;7) B(3;9). Dạng 3:Lập phơng trình tiếp tuyến Ví dụ:Cho đờng thẳng (D):y=ax+b tìm a và b biết: a) đờng thẳng (D) song song với đờng thẳng 2y+4x=5 và tiếp xúc với parabol (P):y=-x 2 b)Đờng thẳng (D) vuông góc với đờng thẳng x-2y+1=0 và tiếp xúc với parabol (P):y=-x 2 c) đờng thẳng (D) tiếp xúc với parabol(P):y=x 2 -3x+2 tại điểm C(3;2) Nhận xét:ở đây học sinh cần nhớ điều kiện để hai đờng thẳng song song va vuông góc để tìm ra giá trị của a sau đó vận dụng kiến thức nh dạng hai để giải Giải: a)Ta có: 2y+4x=5 y=-2x+5/2 nên phơng trình đờng thẳng (D) có dạng: y=-2x+b (b 5 2 ) theo cách tìm của dạng 2 ta tìm đợc b= 1 4 Vậy phơng trình đờng thẳng (D) là:y=-2x+1/4 b)Ta có: x-2y+1=0 y=1/2x+1/2.Đờng thẳng (D) vuông góc với đờng thẳng có phơng trình:x-2y+1=0 a.1/2=-1 a=-2 suy ra (D):y=-2x+b Theo cách làm của dạng 2,ta tìm đợc b=1.Vậy phơng trình đờng thẳng (D) có phơng trình là:y=-2x+1 c)Ta có:C(3;2) (D) 2=3a+b b=2-3a Theo cách làm của dạng 2 ta tìm đợc a=3 và suy ra b=-7 Vậy phơng trình đờng thẳng (D) có phơng trình là:y=3x-7 Dạng 4:Xác định toạ độ tiếp điểm. Ví dụ:Cho parabol (P):y=x 2 -2x-3 Tìm các điểm trên (P) mà tiếp tuyến của (P) tại điểm đó song song với đờng thẳng (D):y=- 4x. Giải: Gọi đờng thẳng tiếp xúc với (P) là (d). Do (d) song song với (D) nên d có dạng:y=-4x+b (b 0) .Hoành độ điểm chung của (p) và (d) là nghiệm của phơng trình: x 2 -2x-3=-4x+b x 2 +2x-3+b=0 (2) Ta thấy: (d) tiếp xúc với (P) phơng trình (2) có nghiệm kép 0 4 0 4b b = + = = Khi đó nếu điểm A(x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm của (P) và (d) thì(do A ( ); ( )p A d nên ta có hệ phơng trình; 2 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 0 4 4 x y x x y y x = = = = Dạng 5:Xác định parabol. Ví dụ:Xác định parabol (P):y=ax 2 +bx+c thoả mãn: a) (P) tiếp xúc với đờng thẳng (D) :y=-5x+15 v i qua hai im (0 ; -1) v (4 ; -5). b) (P) ct trc tung ti im cú tung bng 2 v ct ng thng (D) : y = x - 1 ti hai im cú honh l 1 v 3. Gii : a) (P) i qua hai im (0 ; -1) v (4 ; -5) Do ú parabol (P) l th ca hm s y = ax 2 - (1 + 4a)x - 1. Honh im chung ca (D) v (P) l nghim phng trỡnh : ax 2 - (1 + 4a)x - 1 = -5x + 15 ax 2 - 4(a - 1)x - 16 = 0 (5) ng thng (D) tip xỳc vi parabol (P) <=> Phng trỡnh (5) cú nghim kộp <=> = 0 <=> 4(a - 1)2 - 16a = 0 <=> (a + 1)2 = 0 <=> a = -1. Do ú : a = -1 ; b = 3 v c = -1. Vy (P) l th hm s y = -x2 + 3x - 1. b) Parabol (P) ct trc tung ti im cú tung bng 2 nờn (P) i qua im (0 ; 2). (P) ct ng thng (D) : y = x - 1 ti hai im cú honh l 1 v 3 <=> Giao im ca (P) vi ng thng (D) l : (1 ; 0) v (3 ; 2). Vy parabol (P) i qua ba im (0 ; 2) ; (1 ; 0) v (3 ; 2) khi v ch khi Do ú a = 1 ; b = -3 v c = 2. C.Kết quả và kinh nghiệm Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ đợc rút ra từ thực tế sau 6 năm giảng dạy của bản thân.Phần sự tơng giao giữa đờng thẳng và parabol còn nhiều bài toán và nhiều dạng nữa nh- ng với khả năng của mình tôI chỉ đề cập đến một số dạng toán cơ bản mà các em thờng gặp phảI trong các kỳ thi. Với việc làm nh đã nêu trên,bản thân tự nghiên cứu và áp dụng.Bớc đầu tôi thấy đợc kết quả nh sau: Trớc khi thực hiện chuyên đề này tôI cho hoc sinh lớp 9D là lớp tôi trực tiếp giảng dạy gồm 37 học sinh làm một bài toán giảI về sự tơng giao của đờng thẳng và đờng thẳng,đờng thẳng và parabol tôI gghi lại kết quả theo dỏi nh sau: Điểm 9,10: Điểm 5,6,7,8: Điểm dới trung bình: Sau khi thực hiện chuyên đề này tôI thấy kết quả nâng lên rỏ rệt: Điểm 9,10: Điểm 5,6,7,8: Điểm dới trung bình: Ngoài kết quả mà các em đã đạt đợc qua khảo sát tôi còn thu đợc một số kết quả còn quan trọng hơn nhiều đó là: -phần lớn học sinh đã say mê làm dạng toán này -Các em không còn lúng túng khi gặp dạng toán về sự tơng giao giữa các đồ thị -Các em có niềm tin say mê,hứng thú học toán,từ đó tạo cho các em tính độc lập suy nghĩ -Phát triễn t duy lôgíc,óc quan sát,suy luận toán học. -Trong quá trình giảI bài tập đã giúp các em có khả năng phân tích suy ngẫm kháI quát vấn đề một cách chặt chẽ không ngại khó mà rất tự tin vào khả năng học tập của mình. -Nhiều em học giỏi đã tìm ra các cách giải ngắn gọn hơn. Tuy nhiên bên cạnh các kết quả đạt đợc nh mong muốn thì vẫn còn một số học sinh yếu,lời học cha có khả năng tự giảI bài toán.Đối với các em yếu đây là một việc khó khăn.Một phần cũng là do khả năng học toán của các em còn nhiều hạn chế,mặt khác dạng toán này cũng khó,đòi hỏi t duy nhiều ở các em. Một yếu tố ảnh hởng nữa đó là khả năng giảng dạy của một giáo viên trẻ còn thiếu kinh nghiệm. Những điều mà bản thân đã thực hiện trên mặc dầu cha đạt đợc kết quả mĩ mãn nh tôi mong muốn,nhng tôI nghĩ nó đã góp vào tinh thần đổi mới pháp dạy và học mà nghành đang thực hiện. C.Kết Luận: . lập - Tự do - Hạnh phúc -------------------- Sáng kiến kinh nghiệm Tên đề tài: Sự tơng giao giữa đờng thẳng và parabol ************** a. Đặt vấn đề 1.lí. đờng thẳng 2y+4x=5 và tiếp xúc với parabol (P):y=-x 2 b)Đờng thẳng (D) vuông góc với đờng thẳng x-2y+1=0 và tiếp xúc với parabol (P):y=-x 2 c) đờng thẳng