Gv: Nguyễn Văn Trình Tr ờng THPT Hậu lộc I Hàm số đa thức bậc ba I.Một số tính chất của hàm bậc ba 1. Hàm số có cực đại ,cực tiểu = acb 4 2 >0 2. Hàm số đồng biến trên > 0 0a 3. Hàm số nghịch biến trên < 0 0a 4. Để tìm giá trị của điểm cực trị ( Đờng thẳng đi hai điểm cực trị) trong tr- ờng hợp hoành độ cực trị là những số lẻ ,ta thực hiện phép chia đa thức y cho y ta đợc: y=y.g(x) +h(x) ta có: +Gọi ( ) 0 ; yx o là toạ độ điểm cực trịcủa đồ thi hàm số thì y( ) 0 x =0 +Do đó: y ( ) 0 x =y( ) 0 x .g( ) 0 x + h( ) 0 x = h( ) 0 x Khi đó : Đờng thẳng đi qua cực đại và cực tiểu của đồ thịhàm số có dạng: y= h(x) Chú ý: Nếu tìm đợc hai điểm cực trị lần lợt là A );( 11 yx và B );( 22 yx Thì đờng thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng: 12 1 12 1 yy yy xx xx = 5. Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng . Thật vậy, thực hiện phép tinh tiến đồ thị theo véc tơ OI Với I là điểm uốn có toạ độ là: +++= = dcxbxaxy a b x 0 2 0 3 00 0 3 Công thức đổi hệ trục toạ độ là += += 0 0 yYy xXx Thay x,y vào phơng trình hàm số ta đợc: Y+ dxXcxXbxXay ++++++= )()()( 0 2 0 3 00 <=> Y=a XxgX ).( 0 3 + Hàm số này là hàm lẻ nên đồ thị nhận điểm I ( ) 0 ; yx o làm điểm uốn. 6.Tiếp tuyến tại điểm uốn: 1 Gv: Nguyễn Văn Trình Tr ờng THPT Hậu lộc I Tếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số có hệ số góc nhỏ nhất nếu a>0 vàlớn nhất nếu a<0 trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số: Thật vậy, ta có y= a bac a b xacbxax 3 3 3 23 2 2 00 2 0 + +=++ * nếu a>0 thì K a bac NN 3 3 2 = đạt đợckhi x a b 3 0 = * nếu a>0 thì K a bac LN 3 3 2 = đạt đợckhi x a b 3 0 = Mà y=6ax +b=0 <=> x= a b 3 nên x a b 3 0 = chính là hoành độ điểm uốn => ĐPCM 7. Đồ thị hàm số cắt trục hoành.( Giao điểm của đồ thị với trục hoành) *Bài toán1: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại3 điểm phân biệt(hoặc phơng trình ax 3 + bx 2 + cx + d = o có 3 nghiệm pb) , thông thờng ta sử dụng các cách sau đây: Cách 1(ph ơng pháp đại số) Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là nghiệm của phơng trình: ax 3 + bx 2 + cx + d = o do đó: Ta có ax 3 + bx 2 + cx + d = o (a )0 <=> (x- )( a ) 2 lexx ++ =0 <=> =++= = 0)( 2 lexaxxg x (*) ycbt <= > pt (*) có 2 nghiệm pb x <= > > 0)( 0 * g Chú ý: Khi đó điểm A )0;( là mộtđiểm cố định của đồ thị hàm số. Cách2.Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb <=> < = 0)().( 0' 21 xyxy y 2 Có 2 nghiệm pb 21 , xx 1 x 2 x Gv: Nguyễn Văn Trình Tr ờng THPT Hậu lộc I * Bài toán2 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb có hoành độ d- ơng( hoặc phơng trình ax 3 + bx 2 + cx + d = o có 3 nghiệm dơng pb) Cách1(ph ơng pháp đại số) Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là nghiệm của phơng trình: ax 3 + bx 2 + cx + d = o do đó: Ta có ax 3 + bx 2 + cx + d = o (a )0 <=> (x- )( a ) 2 lexx ++ =0 <=> =++= >= 0)( 0 2 lexaxxg x (*) ycbt <= > pt (*) có 2 nghiệm dơng pb x <=> > > > 0)( 0. 0 0 g p s g Cách2.Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb có hoành độ dơng <=> < < = 0)(. 0)().( 0' 21 oya xyxy y * Bài toán3 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb có hoành độ âm ( Hoặc phơng trình ax 3 + bx 2 + cx + d = o có ba nghiệm âm pb) Cách1(Ph ơng pháp đại số) Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là nghiệm của phơng trình: ax 3 + bx 2 + cx + d = o do đó: Ta có ax 3 + bx 2 + cx + d = o (a )0 <=> (x- )( a ) 2 lexx ++ =0 <=> =++= <= 0)( 0 2 lexaxxg x (*) ycbt <= > pt (*) có 2 nghiệm âm pb x <=> > < > 0)( 0. 0 0 g p s g 3 Có 2 nghiệm pb 0,0 21 >> xx y(cđ) y(cđ) 1 x 2 x y(0) Gv: Nguyễn Văn Trình Tr ờng THPT Hậu lộc I Cách2 .Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb có hoành độ âm <=> < < = 0)(. 0)().( 0' 21 oya xyxy y Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu: Tìm giá trị của tham số để phơng trình ax 3 + bx 2 + cx + d = o (*) 1. Có 3 nghiệm phân biệt 2. Có 3 nghiệm dơng pb 3. Có 3 nghiệm âm pb Thì ta có thể sử dụng phơng pháp hám số : - Đa phơng trình (*) về dạng: f(x)= h(m) - Lập bảng biến thiên của hàm số y=f(x) ( Trên khoảng ( ); + hoặc trên khoảng );( + o hoặc trên khoảng )0;( ) tuỳ theo yêu cầu của bài toán là 1, 2 hay3. - Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cần tìm của tham số. Bài toán4 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tai 3 điểm có hoành độ 321 ,, xxx cách đều nhau.(Lập thành cấp số cộng) Cách1. (PP đại số) *ĐK cần : Hoành độ giao điểm là nghiệm của phơng trình ax 3 + bx 2 + cx + d = o (*) Giả sử pt(*) có 3 nghiêm 321 ,, xxx cách đều nhau ,khi đó ta có =++ =+ a b xxx xxx 321 231 2 <=> a b x 3 2 = Thay a b x 3 2 = vào phơng trình (*) ta tìm đợc tham số? *ĐK đủ: Thay giá trị của tham số vừa tìm đợc vào phơng trình (*) , giải pt(*) tìm ra nghiểmồi kết luận. 4 Có 2 nghiệm pb 0,0 21 << xx Gv: Nguyễn Văn Trình Tr ờng THPT Hậu lộc I Cách2: Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm cáchđều nhau khi và chỉ khi điểm uốn thuộc trục hoành( Vì điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị) ta có x a b 3 0 = là hoành độ điểm uốn =>y(- a b 3 )=0 => Giá trị của tham số 8. Với Đờng thẳng (d) đi qua điểm I( ); 11 yx và có hệ số góc m tiếp xúc với đồ thị hàm số y=f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (C) - lập pt đờng thẳng (d): y=m(x- 11 ) yx + - Đờng thẳng (d) tiếp xúc với ( C ) <= > hệ pt sau có nghiệm =++ +=+++ mcbxax yxxmdcxbxax 23 )( 2 11 23 - Sử dụng pp thế để tìm ra hệ số góc m rồi thay vào phơng trình đờng thẳng(d) ta đợc đờng thẳng cần tìm. Chú ý : Đờng thẳng (d) trong trờng hợp này cũng chính là tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Do đó có thể sử dụng pp trên để giải bài toán viết pt tiếp tuyến với ( C) đi qua điểm I( ); 11 yx cho trớc. 9. Đồ thị hàm số y=f(x)= ax 3 + bx 2 + cx + d (C) tiếp xúc với đờng thẳng y=kx+m Khi và chỉ khi hệ phơng trình sau có nghiệm: =++ +=+++ kcbxax mkxdcxbxax 23 2 23 10. Đặc biệt, Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành có thể sử dụng một trong 2 cách sau Cách1. Đồ thị ( C ) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi hệ phơng trình sau có nghiệm : = = 0' 0 y y ( Vì phơng trình của trục hoành là y=0) Cách2.( PP đại số) Hoành độ giao điểm là nghiệm của pt: ax 3 + bx 2 + cx + d =0 <= >(x- =++= = =++ (*)0)( 0))( 2 2 lexaxxg x lexax Ycbt <=> pt(*)có một nghiêm = x hoặc có nghiệm kép x 5 Gv: Nguyễn Văn Trình Tr ờng THPT Hậu lộc I <= > = = 0)( 0 0)( g g g 11. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm duy nhất ( phơng trình ax 3 + bx 2 + cx + d =0) Khi và chỉ khi hàm số đồng biến( Nghịch biến) trên hoặc đồ thị hàm số có hai cực trị nằm về một phía đối với trục hoành <= > > = 0)().( 0' )0'(0' 21 xyxy y xyy có hai nghiệm 21 , xx phân biệt 12. Đồ thị hàm số có cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành khi và chỉ khi y=0 có hai nghiệm 21 , xx trái dấu <=> P<0 13. Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành khi và chỉ khi có hai nghiệm 21 , xx phân biệt II. các bài tập th ờng gặp. Bài 1.Cho hàm số: y = x 3 mx + 4 m 1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 3 2.Tìm m để đồ thị có tiếp tuyến có hệ số góc bằng 8 tại điểm có hoành độ x = 2. Viết pt tiếp tuyến tại điểm đó 3.CMR: với mọi m đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm đó Bài 2.Cho hàm số: y = (x + a) 3 + (x + b) 3 x 1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi a = 1, b = 2 2.Tìm a, b để hàm số có cực đại và cực tiểu 3.CMR: đồ thị hàm số cắt Ox tại đúng một điểm 6 > = 0)().( 0' 21 xyxy y Gv: Nguyễn Văn Trình Tr ờng THPT Hậu lộc I Bài 3.Cho hàm số: y = 2x 3 + 3(m 1)x 2 + 6(m 2)x 1 (C m ) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 2 2.Viết pt tiếp tuyến của (Cm) qua điểm A(0, -1) 3.Tìm m để (C m ) có CĐ, CT và đờng thẳng đi qua hai điểm đó song song với đờng thẳng y = kx Bài 4.Cho hàm số: y = x 3 - 3(m + 1)x 2 + 2(m 2 + 4m + 1)x 4m(m + 1) (C m ) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 1 2.CMR: (C m ) luôn đi qua một điểm cố định 3.Tìm m để (C m ) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dơng Bài 5.Cho hàm số: y = x 3 - (m + 1)x 2 - (2m 2 - 3m + 2)x + 2m(2m - 1) (C m ) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 0 2.Tìm điểm cố định của (C m ). Tìm m để (C m ) tiếp xúc với Ox 3.Tìm m để (C m ) đồng biến trên [ ) + ;2 4.Tìm m để (C m ) tiếp xúc với đờng thẳng y = - 49x + 98 Bài 6. 1.Khảo sát và vẽ đồ thị y = x 3 + 3x 2 + 3x + 5 2.CMR: không tồn tại hai điểm nào đó trên đồ thị mà tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau 3.Tìm k để trên đồ thị có ít nhất một điểm mà tiếp tuyến của đồ thị tại đó vuông góc với y = kx Bài 7.Cho hàm số: y = x 3 + 3x 2 + mx + 1 (C m ) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 3 2.CMR: (C m ) cắt y = x 3 + 2x 2 + 7 tại hai điểm A, B phân biệt. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB 3.Tìm m để (C m ) cắt y = 1 tại C(0; 1), D, E phân biệt và tiếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau Bài 8.Cho hàm số: y = x 3 - 3x 2 + 2 (C) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị 2.Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua A(1, -1) 3.Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: x (x 3) 2 = m Bài 9.Cho hàm số: y = x 3 + (m - 1)x 2 (2m + 1)x - 2 (C m ) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 1 2.Tìm m để (C m ) tiếp xúc với Ox 3.Tìm m để (C m ) đạt cực trị tại các điểm có hoành độ x 1 , x 2 thoả mãn 2 2 2 2 1 =+ xx Bài 10.Cho hàm số: y = mx 3 - 3mx 2 + (2m + 1)x + 3 - m (C m ) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 4 2.Tìm m để (C m ) có cực đại và cực tiểu. Chứng minh rằng khi đó đờng thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị (C m ) luôn đi qua một điểm cố định 7 Gv: Nguyễn Văn Trình Tr ờng THPT Hậu lộc I Bài 11.Cho hàm số: y = 3 1 x 3 - 2x 2 + 3x + 1 (C) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị 2.Chứng minh A(2; 3 5 ) là tâm đối xứng của đồ thị 3.Tìm điểm trên (C) có hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó nhỏ nhất 4.Lập phơng trình tiếp tuyến của (C) song song với đờng thẳng y = 3x 1 Bài 12.Cho hàm số: y = 2x 3 + 3(m - 1)x 2 + 6(m - 2)x - 1 (C m ) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m = 2 2.Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) biết chúng đi qua A(0, -1) 3.Tìm m để (C m ) có 2 cực trị và đờng thẳng đi qua hai điểm đó vuông góc với đờng thẳng y = x Bài 13.Cho hàm số: y = x 3 - 3x 2 9x + m (C m ) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 0 2.Tìm m để (C m ) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Bài 14.Cho hàm số: y = 3 1 x 3 - 2x 2 + 3x (C) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị 2.Qua A( 3 4 ; 9 4 ) kể đợc mấy tiếp tuyến với đồ thị hàm số. Viết các phơng trình tiếp tuyến đó 3.CMR: không có tiếp tuyến nào khác của đồ thị hàm số song song với tiếp tuyến đi qua B(2; 3 2 ) của đồ thị hàm số Bài 15.Cho hàm số: y = 3 1 m x 3 + mx 2 + (3m 2)x (C) 1.Tìm m để hàm số: a.Đồng biến b.Cắt Ox tại 3 điểm phân biệt 2 Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 2 3 và suy ra đồ thị y = 6 1 x 3 + 2 3 x 2 + 2 5 x Bài 16.Cho hàm số: y = x 3 + mx 2 + 7x + 3 (C m ) 1.Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm CĐ, CT 2 Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 5 3.Tìm m để đồ thị hàm số có một cặp điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ Bài 17.Cho hàm số: y = f(x) = x 3 + x - 1 (C) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị 2 Giả sử f(x 0 ) = 0. Chứng minh 2 0 x - x 0 < 0 3.Từ đồ thị (C) hãy vẽ đồ thị y = 1 3 + xx Bài 18.Cho hàm số: y = x 3 - mx 2 + mx + 2m - 3 (C m ) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 1 8 Gv: Nguyễn Văn Trình Tr ờng THPT Hậu lộc I 2 Tìm m để hàm số có hai cực trị và hai điểm đó nằm về 2 phía của đờng thẳng x 3 = 0 3.CMR: đồ thị hàm số luôn đi qua hai điểm cố định. Viết pt đờng thẳng (d) đi qua hai điểm cố định đó và tìm m để (C m ) tiếp xúc với (d) Bài 19.Cho hàm số: y = x 3 - 3mx 2 + (m 1)x + 2 (C m ) 1.Chứng minh hàm số luôn có cực trị 2 Tìm m để hàm số có hai cực tiểu tại x = 2. Khảo sát và vẽ đồ thị với m tìm đợc 3.Biện luân theo k số nghiệm của phơng trình: x 2 2x 2 = 1 x k Bài 20.Cho hàm số: y = mx 3 (m 1)x 2 (2 + m)x + m - 1 (C m ) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C 1 ) khi m = 1 2 Tìm trên đờng thẳng y = 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ đợc 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C 1 ) 3.Tìm các điểm mà đồ thị (C m ) đi qua với mọi m 9 . b x 3 2 = Thay a b x 3 2 = vào phơng trình (*) ta tìm đợc tham số? *ĐK đủ: Thay giá trị của tham số vừa tìm đợc vào phơng trình (*) , giải pt(*) tìm ra. điểm A(0, -1) 3.Tìm m để (C m ) có CĐ, CT và đờng thẳng đi qua hai điểm đó song song với đờng thẳng y = kx Bài 4.Cho hàm số: y = x 3 - 3(m + 1)x 2 + 2(m