Phòng Giáo dục và Đào tạo lâm thao ____________________________ đề thi chọn HọC sinh giỏi Môn : Toán - Lớp 9 - Năm học 2008-2009 Ngày thi: 08 tháng 12 năm 2008 ( Thời gian làm bài: 120' không kể thời gian giao đề ) __________________________________________________________ Bài 1: ( 3,0 đ) Cho biểu thức: P = + + + 1 2 1 1 : 1 1 aaaa a a a a a. Rút gọn biểu thức P . b. Tìm các giá trị của a sao cho P < 1. c. Tính giá trị của P nếu 3819 = a . Bài 2: ( 2,0 đ) a. Chứng minh rằng : A = nn 3 chia hết cho 6 với mọi số nguyên n. b. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: )1)(1()( 2 +=+ yxyx Bài 3: ( 1,5 đ) Chứng minh rằng : cbaaccbba 1009201019)1)(1(2008)1)(1(10)1)(1(30 +++++++ Với mọi a, b, c 1 Bài 4: ( 1,5 đ) Cho 0 x , Tìm giá trị nhỏ nhất của Q = 22 172 2 + ++ x xx . Bài 5: ( 2,0 đ) Cho tam giác ABC có trung tuyến BN và CM vuông góc với nhau tại G. Chứng minh rằng: a. AC 2 +AB 2 = 5.BC 2 b. Cotg B + cotg C 3 2 . ________________Hết________________ (Ngời coi thi không phải giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh .Số báo danh Phòng Giáo dục và Đào tạo lâm thao ____________________________ hớng dẫn chấm thi chọn HọC sinh giỏi Môn : Toán - Lớp 9 - Năm học 2008-2009 Bài Hớng dẫn chấm Điểm Bài 1 ( 3 đ) Cho biểu thức: P = + + + 1 2 1 1 : 1 1 aaaa a a a a a, Điều kiện có nghĩa: 1;0 aa 1 1 )1( )1)(1( . 1 1 )1)(1( 2 1 1 : 1 1 2 ++ = + + ++ = + + ++ = a aa a aa a aa aa a a a aa P b, P < 1 1 1 ++ a aa < 1 1 1 ++ a aa -1 < 0 0 1 2 < + a a 01 < a ( Vì a + 2 > 0 ) 1< a Kết hợp với ĐKXĐ => Với 10 < a thì P < 1 c, 3819 = a = 2 )34( => 34 = a => Thay vào biểu thức P tính đợc P = 2 315 33 3924 = 0,25 đ 1,0đ 0,75 đ 0,25 đ 0,75 đ Bài 2 ( 2 đ) a, Chứng minh rằng : A = nn 3 chia hết cho 6 với mọi số nguyên n. A = nn 3 = )1)(1( + nnn Vì A là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên luôn tồn tại 1 bội số của 3, 1 bội số của 2 => A 3 và A 2 . Vì (2;3) =1 nên A 6 b, Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: )1)(1()( 2 +=+ yxyx .1;1 0)1()1()( 0222222 12 222 22 22 == =++++ =++++ +=++ yx yxyx yxyxyx yxxyyxyx . 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Bài 3 (1,5đ) Chứng minh rằng : cbaaccbba 1009201019)1)(1(2008)1)(1(10)1)(1(30 +++++++ Với mọi a,b,c 0 Vì a,b,c 0 nên a + 1 > 0, a - 1 0,b +1 > 0, b 1 0, c+1 > 0 ,c-1 0 áp dụng bất đẳng thức Cô-si ab ba + 2 với a, b không âm ta có: 0,25đ )(15)1)(1(30)1)(1(2 babababa ++++ (1) Tơng tự ta có: )(5)1)(1(10 cbcb ++ ; (2) )(1004)1)(1(2008 acac ++ (3) . Cộng từng vế của (1) (2) và (3) ta đợc điều phải chứng minh 0,75 đ 0,5 đ Bài 4 (1,5đ) Cho 0 x , Tìm giá trị nhỏ nhất của Q = 22 172 2 + ++ x xx . 1 8 2 1 )1(2 16)1( 2 + + + = + ++ = x x x x Q . Vì 0 x nên 01 >+ x . áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 4 )1(2 8).1( 2 1 8 2 1 = + + + + + x x x x => Q 4 . Vậy GTNN của Q bằng 4 3 1 8 2 1 = + = + x x x . 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Bài 5 (2đ) Cho tam giác ABC có trung tuyến BN và CM vuông góc với nhau tại G. Chứng minh rằng: a, AC 2 +AB 2 = 5.BC 2 b, Cotg B +cotg C 3 2 . I G A B C N M D H a, BGC vuông tại G, theo Pi-ta-go có BC 2 = BG 2 + GC 2 Mà BG 2 = BM 2 MG 2 GC 2 = CN 2 GN 2 BC 2 =BM 2 MG 2 + CN 2 NG 2 = 2 22 4 MN ACAB + = 44 222 BCACAB + => 222 5BCACAB =+ b, Kẻ ,, BCGHBCAD Kéo dài AG cắt BC tại I => AI là trung tuyến của ABC . Ta có cotg B + cotg C = AD BC AD DC AD BD =+ (1) Vì AH // AD nên theo Ta-lét ta có: 3 1 == AI GI AD GH => AD = 3 GH (2) BC = 2 IC = 2GI ( T/c trung tuyến thuộc cạnh huyền) mà GI GH => BC 2GH (3) Thay (2) và (3) vào (1) ta đợc điều phải chứng minh. 1 đ 1 đ . ____________________________ đề thi chọn HọC sinh giỏi Môn : Toán - Lớp 9 - Năm học 2008-20 09 Ngày thi: 08 tháng 12 năm 2008 ( Thời gian làm bài: 120'. ____________________________ hớng dẫn chấm thi chọn HọC sinh giỏi Môn : Toán - Lớp 9 - Năm học 2008-20 09 Bài Hớng dẫn chấm Điểm Bài 1 ( 3 đ) Cho biểu thức: P =