Tài liệu Luyện Thi Môn Toán Hocmai.vn – Học để thi ,học để làm ,học để chung sống ,học để biết CTV : Lê Đức Thọ ỨNG DỤNG CASIO GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ý TƯỞNG CỦA PHƯƠNG PHÁP Cho phương trình f  x, y   Giả sử ta chọn y  a (hoặc x  a  co nst ) Khi phương trình f  x   giả sử có nghiệm x  kan  b; a, b, k  Q, n  Z , ta hy vọng phân tích phương trình   f  x, y   được: f  x, y    x  ky n  b g  x, y   (Chú ý: Nếu phương tình f  x, y   có mối quan hệ tuyến tính x,y chắn ta phân tích thành nhân tử) 1.1 Các ví dụ minh họa dùng máy tính bỏ túi phân tích nhân tử Ví dụ 1: A  x2  y  5xy  4x  y Nhận xét: A tam thức bậc hai Giả sử ta cho y=1000, ta A   x  500  x  2998   x  y  x  y   Ví dụ 2: A  x2  xy  y  3x  36 y  130 Nhận xét: A tam thức bậc hai Giả sử ta cho y=1000, ta A   x  1990  x  987    x  y  10  x  y  13 Ví dụ 3: A  x3  xy  x2 y  y  x2  y Nhận xét: A tam thức bậc hai với y Giả sử ta cho x=1000, ta   A    y  1000000 y  999  x2  y  x  y  1 Ví dụ 4: A  x3 y  xy  x2  y  xy  Nhận xét: A tam thức bậc hai Giả sử ta cho x=1000, ta     A  1000  y    y  999999    xy  1 y  x  1000   Ví dụ 5: A  x3 y  xy  2x2  xy  y  Nhận xét: A tam thức bậc hai y Giả sử ta cho x=1000, ta     A  1000  y    y  99999    xy   x  y  500   Ví dụ 6: A  x2  y  5xy  4x  y Nhận xét: A tam thức bậc hai Giả sử ta cho y=1000, ta Tài liệu Luyện Thi Môn Toán Hocmai.vn – Học để thi ,học để làm ,học để chung sống ,học để biết CTV : Lê Đức Thọ A   x  500  x  2998   x  y  x  y   CÁC VÍ DỤ MINH HỌA   xy  x   2.1 Giải hệ phương trình:  2  2 x  x y  x  y  xy  y  Đại học khối D-2012 Nhận xét: Phương trình (2) hệ dạng tam thức bậc hai y Giả sử ta cho x=1000 Khi đó: phương trình (2) có hai nghiệm y  1000000  x2 ; y  2001  x  Bài giải:  Pt (2)  y  x   y  x 1   y  x2   y  2x 1   y  2x 1  y  x2 Kết hợp với Pt (1) ta được:     xy  x    xy  x    y  x  y  x     x  x    x  x   y   y 1    1  x  x     1    1     Vậy nghiệm hệ phương trình là: S   x; y   1;1 ,  ;  ,  ;           2  5 x y  xy  y  2( x  y)  2.2 Giải hệ phương trình:  2   xy( x  y )    x  y  Đại học khối A-2011 Nhận xét: Phương trình (2) hệ phương trình bậc theo ẩn x, y Giả sử cho y=1000, 1  phương trình có nghiệm x  Khi đó, phương trình (2) có nhân tử  xy  1 1000 y Bài giải:   pt (2)   xy  1 x  y    xy    2 x  y  2 2  5 x y  xy  y   x  y    5 x y  xy  y   x  y    Kết hợp pt(1) ta được:  2    xy  x  y  Tài liệu Luyện Thi Môn Toán Hocmai.vn – Học để thi ,học để làm ,học để chung sống ,học để biết CTV : Lê Đức Thọ 2   5 x y  xy  y   x  y   3 y  3x  y  TH 1:      xy   xy   y4  y2 1   x   x  1     y  x    y  1  y   5 x y  xy  y  x  y  TH 2:   x  y    x  y     x  y  x  y   2  x  y   x  y  x  y   2 x  5 y   2  2 x  x   x   x  1        y   y  1  y    y       2 2     Vậy nghiệm hệ phương trình là: S   x; y   1;1 ,  1; 1  ; ;  ,    5  5      2   xy  x  y  x  y 2.3 Giải hệ phương trình:   x y  y x 1  2x  y Đại học khối D-2008 Nhận xét: Phương trình (1) có dạng bậc theo ẩn x y Giả sử cho y=1000, phương trình (1) có nghiệm x  1000   y; x  2001  y  Bài giải: x  Điều kiện:  y  pt (1)   x  y  x  y  1   x  y  0(l )  x  y 1  x  y   x  y      y  1 y    y  1 y  y y  y    Kết hợp phương trình (2) ta được: x   x  1  n   l  y   y  1  Vậy hệ có nghiệm S   x; y    5;   Tài liệu Luyện Thi Môn Toán Hocmai.vn – Học để thi ,học để làm ,học để chung sống ,học để biết CTV : Lê Đức Thọ  y  xy  y   x  x  2.4 Giải hệ phương trình:   y  13  15  x  x  Đề thi thử đại học khối A-THPT Trần Phú –Hà Tĩnh– 2013 Nhận xét: Phương trình (1) có dạng trùng phương theo ẩn y Giả sử cho x=1000, phương trình (1) có nghiệm y  1001  x  1; y  992  x  Bài giải: Điều kiện: 1  x   15   pt (1)  y  x  y  x    y2  x 1   y  x  2    y  x 1 y  x 8 Kết hợp phương trình (2) ta được:   2 y  13  15  x  x      y  13  15  x  x   y2  x 1   y  x 1  TH 1:     3x  16  15  x  x     x  115  x   x  y2  x 1  y2  x 1    y  2  x   x   x    x  3(n); x  5 / 6(l ) 6 x  13x  15    y  x  (l ) TH 2:  y  13  15  x  x   Do   x  15  y  x   0(vn) Vậy nghiệm hệ phương trình là: S   x; y    3;  ,  3; 2   x   y  x y  2.5 Giải hệ phương trình:   x  xy  y  x  Nhận xét: Phương trình (1) có dạng bậc hai theo ẩn x y Giả sử ta cho y=1000, phương trình (1) có nghiệm x=1999=2y-1 Khi đó, phương trình (1) có nhân tử  x  y  1 Bài giải:  y  1 Điều kiện:  3 y  x  Tài liệu Luyện Thi Môn Toán Hocmai.vn – Học để thi ,học để làm ,học để chung sống ,học để biết  pt (1)  x  x   y  xy  x  y CTV : Lê Đức Thọ    x  y  1 x  y     x  y 1   x  6 y   x  y   x  6 y   Kết hợp phương trình (2) ta được:   x  xy  y  x   x  xy  y  x    x  y 1 x  y 1 TH 1:    x  xy  y  x     y  1   y  1 y  y  y     x  1  x  x  y 1     y  y  2 y  y    x  6 y   x  6 y   TH 2:   2   y     y   y  y  6 y  42 y  124 y  88    31  37  31  37 x  x    21    y  1  37  y  1  37   7   31  37 1 37   ; Vậy hệ có nghiệm S   x; y    1;0  ;  3;  ;    21      y  xy  x  2.6 Giải hệ phương trình:   y  xy  x  Nhận xét: Phương trình (1) phương trình bậc hai theo ẩn y, giả sử ta cho x=1000, phương trình (1) có nghiệm y  1; y  1999  x  Khi đó, phương trình (1) phân thích thành nhân tử  y  1 y  x  1  Bài giải: pt (1)   y  1 y  x  1  y 1   y  2x 1  y   y  x   Kết hợp phương trình (2) ta được:   y  xy  x   y  xy  x  y 1 y 1   TH 1:  5 x   x    Tài liệu Luyện Thi Môn Toán Hocmai.vn – Học để thi ,học để làm ,học để chung sống ,học để biết CTV : Lê Đức Thọ  y  x   y  x   TH 2:   y  xy  x  6 x  11x    x  x     y  y      2   1 4   Vậy hệ phương trình có nghiệm S   x; y    2;3 ;  ;1 ;  ;        2  2 x  x y  xy  y  x  y 2.7 Giải hệ phương trình:   2 x  xy  x  Nhận xét: Phương trình (1) phương trình bậc hai theo ẩn y giả sử cho x=1000, phương trình (1) có nghiệm y  1000   x; y  2000001  2x2  Khi đó, phương trình (1) thể phân tích thành nhân tử  y  x   y  2x2 1  Bài giải:   pt (1)   y  x  y  x    y  x   y  2x 1  y  x2   y   x   Kết hợp phương trình (2) ta được:  2 2 x  x   2 x  x x   x    y   x  y  1  TH 1:   x  x    x     y  10  17  y  10  17  y  x       17    17 TH 2:   x  x    x  x       17    17   ;10  17  ;  ;10  17   Vậy hệ phương trình có nghiệm S   x; y   1; 1 ;        2   x  y  xy  x  y  2.8 Giải hệ phương trình:  3 2   x  y  x y  y  1 Nhận xét: Phương trình (1) phương trình bậc theo ẩn x, giả sử cho y=1000 Khi đó, phương trình (1) có hai nghiệm x  1000  y; x  2001  y  Do đó, phương trình (1) phân tích thành nhân tử  x  y  x  y  1  Tài liệu Luyện Thi Môn Toán Hocmai.vn – Học để thi ,học để làm ,học để chung sống ,học để biết CTV : Lê Đức Thọ Bài giải: pt (1)   x  y  x  y  1  x  y  x  y 1  x  y  x  y   Kết hợp phương trình (2) ta được:   3 2 2  x  y  x y  y  1  x  y  x y  y  1    y  1 x  y x  y TH 1:     2   x  1  x  y  x y  y  1  2 x  x     x  1 x  y 1 TH 2:      y  1 15 y  21y  y   Vậy hệ phương trình có nghiệm S   x; y    1; 1 2  2 x  xy  xy  y  2.9 Giải hệ phương trình:   16 x  x  y   Nhận xét: Phương trình (1) phương trình bậc hai theo ẩn x, giả sử cho y=1000 Khi đó, phương y trình (1) có hai nghiệm x  4000000  y ; x  500  Do đó, phương trình (1) phân tích   thành nhân tử x  y  x  y   Bài giải:   pt (1)  x  y  x  y    x  y2  x  y   x  y  y  x1  Kết hợp phương trình (2) ta được:  16 x  x  y  14  16 x  x  y  14   x  y * TH 1:  16 x  14  ** Từ pt (*), suy ra: x  , kết hợp phương trình (**) suy hệ vô nghiệm    y  2x  y  2x  TH 2:   x  1 16 x  16 x  14   16 x  x  32 x  14      Tài liệu Luyện Thi Môn Toán Hocmai.vn – Học để thi ,học để làm ,học để chung sống ,học để biết CTV : Lê Đức Thọ  23  x x   x  x          23 y   y  y   y       2    ; Vậy hệ phương trình có nghiệm S   x; y   1;  ;       2  2 x  xy  y  x  y  2.10 Giải hệ phương trình:  2  x  y  x  y  Nhận xét: Phương trình (1) có dạng bậc hai ẩn x y, giả sử cho y=1000 Khi đó, phương 1001 y   trình (1) có hai nghiệm x  998   y  2; x  Do đó, phương trình (1) phân tích 2 thành nhân tử  x  y   x  y  1  Bài giải: pt (1)   x  y   x  y  1   y  2x 1  y  2 x  y  x   y   x  Kết hợp phương trình (2) ta được:   2  x  x  y  y   x  x  y  y  4  x   y  x  x     TH 1:  5 x  x    y   y  13   x  y  x  y  2 x TH 2:        xy  y 1 x  x  y  y    4 13  Vậy hệ phương trình có nghiệm S   x; y   1;1 ;  ;   5     x  3x  x  y  xy  2.11 Giải hệ phương trình:  2  2 y  3xy  x  3x  y Nhận xét: Phương trình (2) có dạng bậc hai theo ẩn x y, giả sử cho x=1000 Khi đó, phương trình (2) có hai 2999 3x   nghiệm y  3000  3x; y  Do đó, phương trình (2) phân tích thành 2  y  3x  y  3x  1  Tài liệu Luyện Thi Môn Toán Hocmai.vn – Học để thi ,học để làm ,học để chung sống ,học để biết CTV : Lê Đức Thọ Phương trình (1) phương trình bậc theo ẩn x, giả sử cho y=1000 Khi đó, phuognw trình (1) có   nghiệm x  Do đó, phương trình (1) phân tích thành  x  3 x2  y   Bài giải: pt (2)   y  x  y  x  1   y  3x   y  3x     pt (1)   x  3 x  y   x    x  y 1  y  3x  y  3x 3x  y   3x  y      Kết hợp phương trình (1); (2) ta được:   x  y    x   x  y    x  y  TH 1:  x   3 x   y  x  TH 2:    x  3x   y  3   y  4 TH 3:  x  1  x  x  y   x  y     x       TH 4:       x  y 1  2 x  x    y   y      1       ; Vậy hệ phương trình có nghiệm S   x; y    3; 4  ;  3;9  ;  ;  ;      4     y   x    x  2.12 Giải hệ phương trình:  2   y  x  xy  16 x  y  16  Nhận xét: Phương trình (2) có dạng bậc hai theo ẩn x y, giả sử cho x=1000 Khi đó, phương trình (2) có hai nghiệm y  5004  x  4; y  996   x  Do đó, phương trình (2) phân tích thành  y  5x  4 y  x  4  Bài giải: Tài liệu Luyện Thi Môn Toán Hocmai.vn – Học để thi ,học để làm ,học để chung sống ,học để biết CTV : Lê Đức Thọ pt (2)   y  x   y  x     y  5x   y  4 x  y  x   y   x  Kết hợp phương trình (1) ta được:   y   x    x   y   x    x  x   y     y  5x   y  5x  TH 1:     x  4  y  y  x  4  x x x            y   x  x   y   y   x TH 2:    6 x   x   x   y     y   x    x    4  Vậy hệ phương trình có nghiệm S   x; y    0; 4 ;  4;0 ;  ;0     BÀI TẬP ÁP DỤNG   x  x  xy  y  3.1 Giải hệ phương trình:  2  4 x y  3xy  y    y  xy  3x  y  3.2 Giải hệ phương trình:    x2  2 y   y 12   x  y  x 3.3 Giải hệ phương trình:  x  y   y  x2  x   2  x  y  3.4 Giải hệ phương trình:    y   x  y  1   y   x  y  x3  y  x y  xy 3.5 Giải hệ phương trình:  2 x  y   x  y   x    y  x  y  1 3.6 Giải hệ phương trình:   x  xy  y  x  2 xy  2 x  y  x  y  3.7 Giải hệ phương trình:   x  y  x2  y  Đề thi thử đại học-THPT Lê Qúy Đôn -HCM– 2010 2  4 y  16 xy  16 y  x  3x y  x  3.8 Giải hệ phương trình:    x  2y  x  y  Tài liệu Luyện Thi Môn Toán Hocmai.vn – Học để thi ,học để làm ,học để chung sống ,học để biết CTV : Lê Đức Thọ Đề thi thử đại học khối -THPT Hùng Vương -HCM– 2013      x  y  x  xy  y   x  y   3.9 Giải hệ phương trình:  4 x   16  y  x  Đề thi thử đại học khối A-THPT Lương Tài 2-Bắc Ninh – 2013  x3  3x  x  22  y  y  y  3.10 Giải hệ phương trình:  2 x  y  x  y   Đại học khối A,A1-2012 2 2 xy  x y  y   x  y   3.11 Giải hệ phương trình:  2  xy x  y   x  y   3xy  x   x  2y  6y  3.12 Giải hệ phương trình:  y  x  x  y  x  3y     3   x  y  y  3x   3.13 Giải hệ phương trình:  2  x  1 x  y  y     x  x   y  4  y  3.14 Giải hệ phương trình:    x  xy  y         x x2  y  y y   3.15 Giải hệ phương trình:   x   y    x x    y  3  y   3.16 Giải hệ phương trình:   x   y  3  x  x   y  3y  y 3.17 Giải hệ phương trình:  2  x  y  x  y    x3  3x   y  y  3.18 Giải hệ phương trình:  3 x   y  y 2  x  y   y  7x   3.19 Giải hệ phương trình:    y  y  x    3x  3   x  y  3x  x  y  3.20 Giải hệ phương trình:  2   x  y  x  y  10  y   x  y Tài liệu Luyện Thi Môn Toán Hocmai.vn – Học để thi ,học để làm ,học để chung sống ,học để biết CTV : Lê Đức Thọ 3   x  3x  y  y  3.21 Giải hệ phương trình:    x 1  y   2  x  x y  x  x  y 1 3.22 Giải hệ phương trình:  3 2   x  y   x  y   15  x  Đề thi thử ĐH – Bắc Ninh   x  y    x  y  x  3x  10 y  3.23 Giải hệ phương trình:  3   x  x  13x  y  y  10 THPT Thuận Thành – 3  7 x  y  3xy  x  y   12 x  x  3.24 Giải hệ phương trình:    x  y   3x  y  Đề thi thử ĐH – Hà Tĩnh   x  3x  y  1  2 y  y  1 3.25 Giải hệ phương trình:    x  y  4x  y  Đề thi thử ĐH – Thái Bình  x3  y  3xy  xy  x  y   3.26 Giải hệ phương trình:   y  x  y  1   3   x  y  xy  3.27 Giải hệ phương trình:  2   x  y  x  y  14  17  3x   x   y  14   y  3.28 Giải hệ phương trình:   2 x  y   3x  y  11  x  x  13  x  y   x  32   y  32  xy    y  15 y  23    3.29 Giải hệ phương trình:   x  x  y   2  4 x  xy  y  y  x  3.30 Giải hệ phương trình:  2  2 x  xy  y  3x  10 2  3x  3xy  y  x  y   3.31 Giải hệ phương trình:   3 y  xy  x  10 y   3  x  x  x  y  y  y  3.32 Giải hệ phương trình:  2   x  y  3x  xy  y   Tài liệu Luyện Thi Môn Toán Hocmai.vn – Học để thi ,học để làm ,học để chung sống ,học để biết CTV : Lê Đức Thọ 43  0 2 xy  y  xy  27 3.33 Giải hệ phương trình:  6 x3 y  3xy3  xy  x y  x  y   3   x  y   y   xy  1 x  y  1   x  y   x  3.34 Giải hệ phương trình:  2  3x  y  x  y   x  13   y  13  12  x  y   24   3.35 Giải hệ phương trình:  2 x  y  x  y   3 2   x  y  x y  xy  xy  y  x  3.36 Giải hệ phương trình:    x  y  x  2x  y       x  x   y  3  y   3.37 Giải hệ phương trình:   x  x  xy   x  11   3   x  y  y  y  2x  3.38 Giải hệ phương trình:  2  2 x  y  x  y   2  8 x  x  18 x  x y  xy  y  13 y  y 3.39 Giải hệ phương trình:  3  5 y  16 x  3  x  4x  y  y  3 2x  y    3.40 Giải hệ phương trình:  2  x  1 x  y   y        x3  y x3  y  y  x 3x   28 y  32  3.41 Giải hệ phương trình:   x   y   y 25  3  x  x  xy  y   24  3.42 Giải hệ phương trình:  2 x  x  xy  y  y     x2  y   x  y  3.43 Giải hệ phương trình:  2  x  x  y x  3x  y    2 y  y  x  x   x 3.44 Giải hệ phương trình:    y 1  y   x  3x  y  xy  x  y  3.45 Giải hệ phương trình:   x y  y 3x    x  y  Tài liệu Luyện Thi Môn Toán Hocmai.vn – Học để thi ,học để làm ,học để chung sống ,học để biết CTV : Lê Đức Thọ 2  8  x  y   3xy  x  y 3.46 Giải hệ phương trình:  2  4  x   y  x  y    3x    x  1  y   y 3.47 Giải hệ phương trình:    x  y  x  y   x  y    x  y   x  1 y    3.48 Giải hệ phương trình:   y x  x     x  y   3   x  3x  y  y  15 y  14 3.49 Giải hệ phương trình:    3 x  4 y  x  y 5 3   x  12 x  y  y  16  3.50 Giải hệ phương trình:  2  4 x   x  y  y   2   x  y  x  xy  y  3.51 Giải hệ phương trình:    x  y  x  y   x  y  x  y   y   x   x y  3.52 Giải hệ phương trình:   y  1 x    y  3  x  3x  y     2 y  x  x   x  y 3.53 Giải hệ phương trình:    y   x  xy x   x    y  x  y  1  3.54 Giải hệ phương trình:  x5  xy  y   3y       x   x  y y  3.55 Giải hệ phương trình:    x22 y2 5  x2  y    y  3.56 Giải hệ phương trình:  3 2 x  y  y  x  1  x  x  1     3   x  3x  y  y  3.57 Giải hệ phương trình:    x 1  y       2 x x   y y   3xy  x  y   3.58 Giải hệ phương trình:   x  2   y   y  y  xy  y  1  x  10 x 3.59 Giải hệ phương trình:    x  x   18  y Tài liệu Luyện Thi Môn Toán Hocmai.vn – Học để thi ,học để làm ,học để chung sống ,học để biết  CTV : Lê Đức Thọ   x  y  x  y  y  y   3.60 Giải hệ phương trình:   x  y   y  y  2  4 x  xy  y  x  y   3.61 Giải hệ phương trình:   8  x  y   2   x  y  xy  y  3.62 Giải hệ phương trình:  2  6 x  y  xy  x  y    y  2x  y  x 1   xy 3.63 Giải hệ phương trình:   2   xy  x  y   y   x   x y  3.64 Giải hệ phương trình:   x  y    y  3  x  x  y       x3  x    x2   x  1 1     y  1   x  y   y y  y  3.65 Giải hệ phương trình:   x  x 1  1   y2 y     2 x4  y  x2 y x  y   x2 3.66 Giải hệ phương trình:  y x2  y   xy  y  x     y  y  10  x  y  3  y   x   3.67 Giải hệ phương trình:   x  2y  y 1  x 1   2  x  y    x  1 y  1  3.68 Giải hệ phương trình:  ; x  3   y   8x  y   x  2   y  12  xy  13  3.69 Giải hệ phương trình:  x  xy  y 2  x y   x y x2  y   x3 y 1   y  2x  y 3.70 Giải hệ phương trình:  1 1     3x  y  y 1  Tài liệu Luyện Thi Môn Toán Hocmai.vn – Học để thi ,học để làm ,học để chung sống ,học để biết CTV : Lê Đức Thọ  1  y  x  y  x    x  y  1 y 3.71 Giải hệ phương trình:   2 y  3x  y   x  y  x  y  Đề thi ĐH KB – 2014    x 12  y  y 12  x  12  3.72 Giải hệ phương trình:    x  8x   y  Đề thi ĐH A – 2014