Đang tải... (xem toàn văn)
phương pháp dạy học tọa độ trong mặt phẳng không gian
DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG VÀ KHÔNG GIAN Nội dung phƣơng pháp tọa độ sách giáo khoa Giới thiệu sơ lƣợc lịch sử phƣơng pháp tọa độ Khi nhắc đến hình học khơng thể khơng lƣu tâm đến hình học giải tích , phân mơn mà thấy gắn kết hình học đại số hình học gải tích mơn nghiên cứu đơi tƣợng hình học cơng cụ đại số dựa phƣơng pháp tọa độ Thực chất phƣơng pháp tọa độ mặt phẳng : vị trí điểm đƣợc xác định giáo điểm hài điểm ( gọi hai điểm tọa độ) thuộc hai đƣờng tọa độ khác Phƣơng pháp tọa độ thành tựu thể kỷ XVII – XVIII nhƣng có nguồn gốc từ lịch sử cổ đại Tuy nhiên giai đoạn phát triển phƣơng pháp tọa độ bị kìm hãm chƣa có kí hiệu chữ chƣa có quan điểm tổng quát số Các nhà bác học ngƣời pháp fermat descarter cống hiến lớn việc xây dựng nên hình học giải tích nhờ dùng kí hiệu chữ nhà bác học ngƣời pháp đề xuất, fermat descarter ( độc lập nhau) đồng thời cống hiến cho khoa học phƣơng pháp - phƣơng pháp tọa độ, làm sở cho hình học giải tích ông xây dựng nên vào kỷ VII Việc chuyển phƣơng pháp tọa độ vào không gian ba chiều đƣợc thực vào cuối TK XVII, tiếp tục TK XVIII, cơng trình số nhà bác học mà trƣớc hết Clairot Euler Và cuối TK XVIII hình học giải tích đa trở thành mơn khoa học hồn chỉnh, đƣợc đƣa vào giảng dạy năm bậc đại học Nội dung trình bày SGK lớp 10 12 Phƣơng pháp tọa độ đƣợc chia thành hai phần: phần đầu đƣợc học “Phƣơng pháp tọa độ mặt phẳng” đƣợc giới thiệu chƣơng SGK Hình học 10( chuẩn nâng cao) sau mở rộng “Phƣơng pháp tọa độ không gian” phần đƣợc giới thiệu chƣơng SGK Hình học 12 (chuẩn nâng cao) Sách giáo khoa 10 Trong chƣơng III/ phƣơng pháp tọa độ mặt phẳng sử dụng phƣơng pháp tọa độ để tìm hiểu đƣờng thẳng, đƣờng tròn, đƣờng elip, ba đƣờng conic Nội dung SGK lớp 10 Bài 1: phương trình đường thẳng I/ phƣơng trình tham số đƣờng thẳng 1/ định nghĩa vectơ phƣơng Vectơ⃗⃗⃗⃗ đƣợc gọi vectơ phƣơng đƣờng thẳng d ⃗ vectơ ⃗ song song trùng với d ⃗ giá 2/ phƣơng trình tham số Định nghĩa: mặt phẳng Oxy cho đƣờng thẳng d qua điểm nhận⃗⃗⃗ làm vectơ phƣơng Với mặt phẳng, ta có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đó: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ { { Hệ phƣơng trình (1) đƣợc gọi phƣơng trình tham số đƣờng thẳng d, dó t tham số II/ Phƣơng trình tổng quát đƣờng thẳng 1/ định nghĩacủa vectơ pháp tuyến Vectơ ⃗ đƣợc gọi vectơ pháp tuyến đƣờng thẳng d ⃗ góc với vectơ phƣơng d ⃗ ⃗⃗⃗ vng 2/ phƣơng trình tổng qt đƣờng thẳng Định nghĩa: phƣơng trình với a b khơng đồngth ời 0, đƣợc gọi phƣơng trình tổng quát dƣờng thẳng Nếu đƣờng thẳng d có phƣơng trình là ⃗ có vectơ phƣơng ⃗ Bài 2: Phƣơng trình đƣờng trịn d có vectơ pháp tuyến 1/ phƣơngtrình đƣờng trịn có tâm bán kính cho trƣớc Phƣơng trình (2) phƣơng trình tiếp Cho M phƣơng trình tiếp tuyến (C) M có dạng: thuộc đƣờng trịn (C) tâm I(a;b) Bài 3:Phƣơng trình đƣờng elip Định nghĩa đƣờng elip: Cho hai điểm cố định F1 F2 độ dài không đổi 2a lớn F1F2.Elip tập hợp điểm M mặt phẳng cho :F1M+F2M=2a Các điểm F1,F2 gọi tiêu điểm elip.Độ dài F1F2=2c gọi tiêu cự elip Phƣơng trình tắc elip: Cho elip (E) có tiêu điểm F1(-c;0) F2(c;0); M(x;y) (E) cho F1M+F2M=2a x2 y Phƣơng trình tắc (E) có dạng: a b Với b2=a2-c2 Tóm lại: Nội dung chƣơng bao gồm kiến thức đơn giản nhất, môn hình học giải tích phẳng Có thể phân thành hai mảng nhƣ sau: Thứ nhất, diễn đạt tọa độ đối tƣợng khái niệm hình học quen thuộc (đƣờng thẳng, khoảng cách góc) biểu thị qua tọa độ tính chất nhƣ quan hệ đơn giản hình Thứ hai, đƣờng trịn, elip, hypebol, parabol lập phƣơng trình tắc đƣờng Từ phƣơng trình nghiên cứu, xem xét tính chất Sách giáo khoa đề cập số tính chất chung ba đƣờng elip, hypebol, parabol để đến khái niệm đƣờng conic Sách giáo khoa 12 Trong chƣơng III/ phƣơng pháp tọa độ mặt phẳng sử dụng phƣơng háp tọa độ để tìm hiểu hệ tọa độ khơng gian, phƣơng trình mặt phẳng, phƣơng trình đƣờng thẳng khơng gian Nội dung SGK 12 Bài 1: hệ tọa độ không gian I/ biểu thức tọa độ phép tốn vectơ ⃗ khơng gian Oxyz vectơ véctơ (k R) , góc tạo hai ⃗ ⃗ II/ tích vơ hƣớng Định lí: khơng gian Oxyz, tích vơ hƣớng hai vectơ đƣợc xác định cơng thức: ⃗ ⃗ III/ Phƣơng trình mặt cầu Định lí: khơng gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a,b,c) bán kính r có phƣơng trình là: Bài 2: phƣơng trình mặt phẳng I/vectơ pháp tuyến mặt phẳng Định nghĩa: cho mặt phẳng Nếu vectơ ⃗ khác có giá vng góc với mặt phẳng ⃗ đƣợc gọi vectơ pháp tuyến II/ phƣơng trình tổng quát mặt phẳng Định nghĩa: phƣơng trình có dạng , A,B,C khơng đồng thời 0, đƣợc gọi phƣơng trình tổng quát mặt phẳng III/ điều kiện để hai mặt phẳng song song, vng góc Trong khơng gian Oxyz cho hai mặt phẳng ( có phƣơng trình ( : : Khi ( có hai vectơ phap tuyến lần lƣợt là: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( { ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ { ⃗⃗⃗⃗ ( { ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ { Bài 3: phƣơng trình đƣờng thẳng khơng gian I/ phƣơng trình tham số đƣờng thẳng Định nghĩa: phƣơng trình tham số đƣờng thẳng d qua điểm nhận làm vectơ phƣơng phƣơng trình có dạng: { Trong t tham số II/ điều kiện để hai đƣờng thẳng song song cắt nhau, chéo Trong không gian Oxyz cho hai đƣờng thẳng d dcó phƣơng trình tha số lần lƣợt là: { ⃗⃗⃗ d gọi lấy điểm { : lần lƣợt vectơ phƣơng d d Ta có: d d { { ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ d d cắt hệ phƣơng trình { có nghiệm d d chéo hệ phƣơng trình { vơ nghiệm Tóm lại Từ sở kiến thức hệ trục tọa độ Oxy, phép tốn khơng gian Oxy, phƣơng trình đƣờng thẳng mặt phẳng phƣơng trình đƣờng trịn lớp 10 , lên hình học lớp 12 đƣợc mở rộng hệ tọa độ không gian chiều Oxyz , biểu thức tọa độ phép toán vectơ, đồng thời chƣơng biết thêm phƣơng trình đƣờng thẳng khơng gian phƣơng trình mặt cầu Đặc biệt biểu thức tọa độ tích vơ hƣớng (Trong khơng gian Oxyz, tích vơ hƣớng hai vectơ = (a1, a2, a3) ⃗ = (b1, b2, b3) đƣợc xác định công thức: ⃗⃗ = a1b1 + a2b2 + a3b3 ) Đặc điểm cách trình bày Sách giáo khoa 10 Trong phần phƣơng trình đƣờng thẳng, SGK giới thiệu phƣơng trình tham số trƣớc sau giời thiệu phƣơng trình đƣờng thẳng tổng quát Cách trình bày tự nhiên hợp lí nói tới đƣờng thẳng ta nghĩ tới việc xác định điểm vectơ phƣơng Ta có phƣơng trình tham số đƣờng thẳng qua điểm M (x0, y0) có vectơ phƣơng ⃗ { , với Phƣơng trình đƣờng thẳng tổng quát đƣờng thẳng qua điểm M0 (x0, y0) có vectơ pháp tuyến ⃗ = (a,b) với Phƣơng trình đƣờng thẳng qua điểm có hệ số góc k là: Trong chƣơng sách giáo khoa lớp 10 nâng cao không đƣa vào công thức xét vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng đại số mà cịn có hình học Đây công cụ đại số đƣa vào để giải vấn đề hình học Cách trình bày thứ tự phƣơng trình đƣờng thẳng có phần ngƣợc lại so với sách Phƣơng trình đƣờng thẳng tổng quát trƣớc phƣơng trình tham số sau Trong chƣơng có thiết lập mối quan hệ với đại số cách ra: phƣơng trình đƣờng thẳng đƣa dạng ; tan hệ số đƣờng thẳng Các công thức định thức không đƣợc đƣa vào sách mà đƣa vào sách hình học nâng cao Phƣơng pháp tọa độ mặt phẳng hình học đƣợc trình bày dựa kiến thức vectơ phép toán vectơ (phƣơng pháp giúp học sinh “đại số hóa” kiến thức có hình học, từ giải tốn hình học túy tính tốn) Sách giáo khoa hình học 10 đƣa khái niệm elip cách đơn giản qua phép đo theo trục, không đƣa khái niệm hypebol, parabol (xem nhƣ khái niệm học sinh biết đại số) nhằm mục tiêu giới thiệu cho học sinh hình thƣờng gặp thực tiễn, song khơng tìm hiểu sâu chúng Để giảm nhẹ lý thuyết, chứng minh phức tạp bỏ qua, thay hoạt động kiểm chứng minh họa đơn giản Chẳng hạn, bỏ qua chứng minh phƣơng trình tắc elip, phƣơng trình tổng quát đƣờng thẳng mặt phẳng Sách giáo khoa 12 Sách giáo khoa không đƣa định nghĩa phƣơng trình đƣờng, kiểu nhƣ: “Phƣơng trình F(x, y, z)= gọi phƣơng trình đƣờng thẳng d điểm M thuộc d tọa độ (x, y, z) M nghiệm phƣơng trình II.Những ưu điểm phương pháp tọa độ 1.Ưu điểm phương pháp tọa độ phục vụ lý thuyết : Nhƣ biết , sau giới thiệu khái niệm vectơ phép toán Các tác giả đƣa khái niệm hệ trục tọa độ mặt phẳng vào nội dung chƣơng trình tốn hình học lớp 10 Nếu nhƣ cấp II ,các em biết khái niệm hệ trục tọa độ cách đơn giản có trục : Trục Hồnh ( Ox ) Trục Tung (Oy) gốc tọa độ O giao trục lớp 10 , em có nhìn tổng qt , việc xây dựng khái niệm tọa độ vectơ hệ trục tọa độ , biết vectơ đơn vị , hay từ tọa độ điểm ban đầu cho trƣớc ,dựa vào công thức mà em tính khoảng cách điểm ,… Vd: Ở cấp , em chƣa thể tính dc khoảng cách điểm trục tọa độ Oxy , hay đơn giản tốn :” cho hình chữ nhật CDEF , biết tọa độ điểm C,E,F Tìm tọa độ điểm D “ , lúc học sinh cấp , em tìm đƣợc điểm D cách máy móc vẽ hình lên trục tọa độ , nhìn hình cách trực quan Vậy đặt vấn đề tọa độ số lớn liệu cách vẽ hình cịn sử dụng đƣợc hay khơng ? Các kiến thức hệ trục tọa độ lớp 10 giúp học sinh giải đƣợc vấn đề cách dễ dàng 10 y C D 20 x 15 10 5 10 15 20 F E 10 Không nhƣ , việc đƣa lý thuyết phƣơng pháp tọa độ giúp chuỗi kiến thức em liền mạch , giúp em có tiếp nối tốn đại số hình học Điều đƣợc thể qua việc phần đại số lớp 10 , em tiếp tục học khảo sát vẽ hàm số đơn giản Lúc , em biết dựa vào hàm số cho trƣớc , rút điểm tùy ý để vẽ đồ thị Vậy giả sử em thắc mắc , cho trƣớc tọa độ vài điểm chẳng hạn , liệu có tìm đƣợc phƣơng trình đồ thị hay khơng ??? Tất nhiên câu trả lời có , đƣợc thể qua nội dung chƣơng cuối phần tốn hình năm lớp 10 Khi học đến phần , em biết đƣợc cách xây dựng phƣơng trình số đƣờng quen thuộc nhƣ : đƣờng thẳng , đƣờng tròn , elip ,… Tƣơng tự nhƣ , sau lên lớp 11 , em đƣợc học nội dung hình học khơng gian Sau có kiến thức vững vàng hình học khơng gian , tác giả tiếp tục xây dựng hệ tọa độ không gian cho học sinh Và việc xây dựng hệ tọa độ khơng gian năm lớp 12 đƣợc xây dựng tƣơng tự nhƣ năm lớp 10 ( Các công thức tính khoảng cách điểm , tính góc vectơ , xây dựng phƣơng trình mặt phẳng , hình cầu , … Các tính chất song song , vng góc ,….) Tiếp theo ta nói đến vấn đề nội dung lý thuyết phƣơng pháp tọa độ Nhƣ biết , chƣơng trình phổ thông , phƣơng pháp tọa độ đƣợc xem nhƣ cơng cụ để giải tốn , tác giả giảm nhẹ phần lí thuyết , chứng minh phức tạp , khơng có ứng dụng nhiều đƣợc bỏ qua thay vào hoạt động kiểm chứng , đơn giản Các khái niệm đƣợc đƣa cách đơn giản nhằm giới thiếu cho em hình thƣờng gặp đời sống thức tiễn Việc nắm vững lý thuyết phƣơng pháp tọa đồ , giúp ích nhiều cho em việc giải toán Vd: Đối với tốn tích thể tích thiết diện hình học khơng gian , số tốn để tính đƣợc thể tích địi hỏi phải vẽ thêm đoạn thẳng hay chứng minh tính chất song song , vng góc đoạn thẳng phức tạp Tuy nhiên vững lý thuyết phƣơng pháp tọa độ , em lồng ghép , đƣa thiết diện vào hệ trục tọa độ ,từ đƣa tọa độ điểm sữ dụng công thức phƣơng pháp tọa độ để tính Việc đƣa phƣơng pháp tọa độ vào tốn hình học , giúp em giải số tốn mà có hình phức tạp , khó vẽ đƣợc , giúp em có cơng cụ để giải tốn nhanh chóng Tuy nhiên việc lạm dụng nội dung dẫn đến khả khơng hiểu chất tốn , hạn chế trí tƣởng tƣợng ,… Cuối tính thực tế lý thuyết phƣơng pháp tọa độ Ý nghĩa việc xây dựng lý thuyết phƣơng pháp tọa độ rât gần gũi với đời sống Chẳng hạn nhƣ cho bàn cờ vua , để xác định đƣợc vị trí quân xe quân mã bàn cờ Hay làm để xác định đƣợc ta vị trí trái đất … Chính lý thiết thực , mà ngƣời ta xây dựng hệ trục tọa độ , nhằm giải vấn đề Và ngày ứng dụng phƣơng pháp tọa độ, ngƣời ta xây dựng đƣợc thiết bị công nghệ cao , giúp ích nhiều sống , điển hình thiết bị định vị 2.ƢU ĐIỂM CỦA PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG GIẢI BÀI TẬP I Lịch sử hệ trục tọa độ Một hệ tọa độ Descartes xác định vị trí điểm (point) mặt phẳng (plane) cho trƣớc cặp số tọa độ (x, y) Trong đó, x y giá trị đƣợc xác định đƣờng thẳng có hƣớng vng góc với (cùng đơn vị đo) đƣờng thẳng gọi trục tọa độ (coordinate axis) (hoặc đơn giản trục); trục nằm ngang gọi trục hoành, trục đứng gọi trục tung; điểm giao đƣờng gọi gốc tọa độ (origin) có giá trị (0, 0) Hệ tọa độ ý tƣởng nhà toán học triết học ngƣời Pháp René Descartes thể vào năm 1637 hai viết ông Trong phần hai Phƣơng pháp luận (Descartes) (tiếng Pháp: Discours de la méthode, tựa Pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences), ông giới thiệu ý tƣởng việc xác định vị trí mộtđiểm hay vật thể bề mặt cách dùng hai trục giao để đo Cịn La Géométrie, ơng phát triển sâu khái niệm Descartes ngƣời có cơng hợp đại số hình học Euclide Cơng trình ơng có ảnh hƣởng đến phát triển ngành hình học giải tích, tích phân, khoa học đồ Ngoài ra, ý tƣởng hệ tọa độ đƣợc mở rộng khơng gian ba chiều (threedimensional space) cách sử dụng tọa độ Descartes (nói cách khác thêm trục tọa độ vào hệ tọa độ Descartes) Một cách tổng quát, hệ tọa độ n-chiều đƣợc xây dựng cách sử dụng n tọa độ Descartes (tƣơng đƣơng với n-trục) II HỆ TRỤC VNG GĨC OXY Có tốn hình học phẳng “hóc búa” gây khơng khó khăn, trăn trở cho ngƣời làm tốn Vì để tìm hiều giải pháp gặp tốn phƣơng pháp ứng dụng tọa độ Những câu hỏi tự nhiên đƣợc đặt là: - Dựa vào dấu hiệu nào, đặc điểm mà ta vận dụng cơng cụ tọa độ - Với toán việc xây dựng hệ trục tọa độ đƣợc hình thành qua cơng đoạn nào? - Liệu xác lập đƣợc quy tắc chung với bƣớc thực có trình tự việc vận dụng công cụ tọa độ hay không? Các nguyên tắc cần lƣu ý giải toán hình học túy cơng cụ tọa độ - Chọn hệ trục tọa độ Gốc tọa độ, trục tọa độ thƣờng gắn liền với điểm đƣờng đặc biệt tốn nhƣ : tâm đƣờng trịn, đỉnh góc vng, , trung điểm đoạn thẳng , chân đƣờng cao - Chuyển hóa ngơn ngữ hình học “thuần túy” sang ngơn ngữ tọa độ Chuẩn hóa độ dài đoạn thẳng đơn vị trục = √ Dễ thấy AIH AME nên √ Ƣu nhƣợc điểm phƣơng pháp giải tốn hình học phƣơng pháp tọa độ không gian góc khoảng cách a.Ƣu điểm - Phƣơng pháp tọa độ không gian giúp học sinh giải số tốn góc khoảng cách khơng gian đơn giản thuận tiện nhiều dùng phƣơng pháp tổng hợp - Lƣợng kiến thức kĩ để giúp học sinh giải tốn hình học thơng qua phƣơng pháp chủ yếu kiến thức tọa độ vector không gian, phƣơng trình đƣờng thẳng mối liên hệ chúng - Phƣơng pháp khơng q khó nên em học sinh trung bình việc sử dụng phƣơng pháp đơn giản nhiều so với phƣơng pháp tổng hợp chủ yếu dạy em cách đặt hệ trục tọa độ cho phù hợp b Nhƣợc điểm - Khơng phải tất tốn hình học giải phƣơng pháp tọa độ , với hình đặc biệt có cạnh quan hệ vng góc với sử dụng phƣơng pháp khơng việc tính tóa tọa độ khó khăn - Sử dụng phƣơng pháp địi hỏi phải có khả tính tốn tốt, phải nhớ đƣợc cơng thức phƣơng trình đƣờng thẳng mặt phẳng , công thức khoảng cách Các công thức giống nên đơi gây nhầm lăn III.Những khó khăn dạy học phƣơng pháp tọa độ - Biện pháp khắc phục: Đối với học sinh Có thể khẳng định rằng, học sinh trình độ việc mắc sai lầm giải tốn khơng tránh khỏi Có sai lầm ngơ nghê, nhƣng có sai lầm khơng dễ phát ta khơng nắm vững kiến thức cách chặt chẽ Trong toán học, có một, nhƣng sai vơ vàn tất sai lầm khơng nên tồn Mỗi sai lầm có nguyên nhân nó, ta tạm chia sai lầm làm ba loại nhƣ sau: - Sai lầm trình lĩnh hội việc ghi chép tính tốn - Sai lầm sử dụng định nghĩa, công thức - Sai lầm không nắm vững chất kiến thức Một loại khác lƣời học, khơng tâm vào việc học khơng nói tới Sau đây, ta tìm hiểu số sai lầm học sinh , phần thấy rõ nguyên nhân đƣợc chia loại trên: Sai lầm trình lĩnh hội việc ghi chép tính tốn - Khi đọc làm học sinh, ta thƣờng thấy sai lầm ghi sai đề bài, chép cẩu thả, dòng ghi nhƣng xuống dịng dƣới lại ghi sai, tính tốn nhanh nhƣng khơng cẩn thận,… Ví dụ 1: Khi viết đẳng thức vectơ lại quên ghi dấu mũi tên vectơ khơng ghi số GA GB GC Dẫn đến viết tọa độ vectơ AB (1;2) lại viết AB (1;2) Ví dụ 2: Khi viết tọa độ vectơ hay điểm lại khơng có dấu “ ; ” để ngăn cách thành phần tọa độ Chẳng hạn nhƣ: a(12) A (1,3, 1) ,… Ví dụ 3: Khi viết độ dài vectơ lại quên viết dấu “ ” Chẳng hạn: a6 Sai lầm sử dụng định nghĩa công thức - Một số học sinh không nắm vững định nghĩa, cơng thức định lí nên sai lầm giải toán, hƣớng giải toán đƣợc xác định Ví dụ : Khi viết hai vectơ quan tâm đến độ dài không quan tâm hƣớng vectơ, chẳng hạn nhƣ: Trong tam giác ABC, ta ln có : AB BC CA A B C Khi viết góc hai vectơ, học sinh thƣờng quên yếu tố gốc, chẳng hạn: Cùng hình vẽ trên, ta có AB, BC 60 Sai lầm khơng nắm vững chất vấn đề Ví dụ : Khi cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng Tìm điểm D để ABCD hình bình hành Thì điều kiện để ABCD hình bình hành AB DC Nhƣng xét toán cụ thể nhƣ sau: Cho ba điểm A (-2;-1), B (1;5), C (3;9) Tìm điểm D để ABCD hình bình hành Học sinh bắt đầu giải nhƣ sau: AB DC ABCD hình bình hành Ta có: AB (3;6) DC (3 xD ;9 yD ) Khi đó: xD xD AB DC 6 yD yD Vậy D (0;3) Qua lời giải trên, học sinh tƣởng đáp án điểm D đúng, nhƣng đâu biết lời giải sai Sai vì: Với ba điểm A, B, C cho thằng hàng nên không tồn điểm D thỏa mãn tốn Ngun nhân nhớ cách q máy móc, thấy tƣơng tự làm làm mà không kiểm tra xem định nghĩa ban đầu nhƣ 2.Đối với giáo viên : Phƣơng pháp tọa độ không gian cơng cụ giải tốn khơng gian quan trọng cho phép HS tiếp cận kiến thức hình học phổ thơng cách gọn gàng, sáng sủa có hiệu nhanh chóng, tổng qt, đơi khơng cần đến hình vẽ Nó có tác dụng tích cực việc phát triển tƣ sáng tạo, trừu tƣợng, lực phân tích, tổng hợp Hơn nội dung chƣơng phƣơng pháp tọa độ không gian nội dung quan trọng Hình học 12 Trong năm gần nội dung thƣờng xuyên xuất kì thi tốt nghiệp THPT kì thi Đại học, Cao đẳng, Trung học chuyên nghiệp chiếm số điểm khơng q (1, 5-2 điểm) Vì q trình giảng dạy giáo viên gặp số khó khăn sau: - Một số giáo viên nặng dạy học thuyết trình, giảng giải để đƣa lời giải mà chƣa quan tâm đến việc hình thành cho học sinh tri thức phƣơng pháp, chƣa dạy cho học sinh phƣơng pháp tƣ duy, nói cách khác chƣa dạy cho học sinh phƣơng pháp học phù hợp với đặc thù phân môn - Việc dạy học tập chủ đề phƣơng pháp toạ đô mă phẳng nhiều mang tính truyền thụ chiều, khó tạo hội cho học sinh tham gia vào trình phát giải vấn đề - Dạy học phƣơng pháp toạ đô mă phẳng chƣa đáp ứng đƣợc nhu cầu phát triển lực tƣ sáng tạo, lực phát giải vấn đề - GV gặp nhiều khó khăn việc lựa chọn PPDH cho vừa đảm bảo truyền tải đầy đủ nội dung, vừa phải đảm bảo phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo HS, phát triển họ lực phát GQVĐ Trong PPDH nƣớc ta nhiều bất cập hạn chế, tạo đƣợc động lực, hứng thú cho HS, nhiều kiến thức đƣợc truyền đạt tới HS mang tính áp đặt Những điều ảnh hƣởng tới kết đào tạo trƣờng phổ thông nói riêng giáo dục nƣớc nhà nói chung - Bên cạnh đa số HS cảm thấy khó khăn lĩnh hội kiến thức chƣơng vì: khả tƣởng tƣợng khơng gian đa số HS THPT thƣờng hạn chế nội dung kiến thức chƣơng liên quan chặt chẻ tới kiến thức chƣơng phƣơng pháp tọa độ mặt phẳng kiến thức hình học khơng gian 11 khiến cho giáo viên - - khó khăn việc hƣớng dẫn học sinh làm tập Học sinh học phƣơng pháp toạ độ mặt phẳng nói chung luyện tập nói riêng cịn mang tính thụ động, chƣa có hội tham gia hoạt động nhằm phát huy đƣợc tính tích cực, chủ động, sáng tạo Khơng khí học tập học chƣa sơi Kỹ trình bày lời giải đa số học sinh hạn chế Một số học sinh thƣờng lúng túng yêu cầu giải toán phƣơng pháp toạ độ mặt phẳng Khả phát giải vấn đề học sinh cịn Vì giáo viên phải dẫn dắt hình thành lối suy ngĩ tƣ logic cho em - Đứng trƣớc toán học sinh thƣờng lúng túng đặt câu hỏi: Phải định hƣớng lời giải tốn từ đâu? Một số học sinh có thói quen không tốt đọc đề chƣa kỹ vội làm ngay, có thử nghiệm dẫn đến kết quả, nhiên hiệu suất giải toán nhƣ khơng cao Với tình hình ấy, để giúp học sinh định hƣớng tốt q trình giải tốn giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xét tốn dƣới nhiều góc độ, khai thác yếu tố đặc trƣng tốn để tìm lời giải Trong việc hình thành cho học sinh khả tƣ theo phƣơng pháp giải điều cần thiết Việc trải nghiệm qua trình giải tốn giúp học sinh hồn thiện kỹ định hƣớng giải toán Đặc biệt, toán hình học khơng gian nói chung tốn tính thể tích khối đa diện nói riêng hầu hết học sinh, kể học sinh giỏi gặp nhiều khó khăn giải tập “Nguyên nhân thực trạng học sinh chƣa trang bị cho kiến thức phƣơng pháp tính đầy đủ hệ thống nên lúng túng đứng trƣớc toán” - Vận dụng dạy học phát giải vấn đề vào chủ đề Phƣơng pháp toạ độ mặt phẳng góp phần khắc phục khó khăn: giảm tình trạng thầy thuyết trình, hình thành tri thức phƣơng pháp, phát huy tính tích cực, tạo hứng thú cho học sinh tham gia giải tốn, góp phần thay đổi thái độ ngại học Phƣơng pháp toạ độ mặt phẳng …Qua đó, nhằm nâng cao chất lƣợng dạy học tiết luyện tập chủ đề Phƣơng pháp toạ độ mặt phẳng Quy trình dạy học phát giải vấn đề định lí tốn học - Bƣớc 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề + Giáo viên tạo tình gợi vấn đề chứa đựng nội dung định lí xuất phát từ nhu cầu nảy sinh thực tiễn nội toán học + Giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh, khái qt hóa, lật ngƣợc vấn đề để dự đốn, phát nội dung định lí phát biểu định lí - Buớc 2: Tìm giải pháp + Giáo viên dẫn học sinh suy ngƣợc, suy xi, phân tích, so sánh, đặc biệt hóa, qui lạ quen, huy động tri thức để tìm giải pháp chứng minh định lí - Bƣớc 3: Trình bày giải pháp + Giáo viên học sinh trình bày lại tồn q trình từ việc phát biểu định lí giải pháp chứng minh định lí - Bƣớc 4: Nghiên cứu sâu giải pháp + Biết nhận dạng thể định lí + Biết vận dụng định lí vào giải tập tốn học có liên quan + Biết phát biểu định lí lời lẽ diễn đạt nội dung định lí dƣới dạng ngơn ngữ khác + Biết khái qt hố, đặc biệt hố để tìm tính chất ứng dụng khác định lí - Áp dụng phƣơng pháp tọa độ vào giải toán gồm bƣớc sau + Bƣớc 1: Chọn hệ trục tọa độ + Bƣớc 2: Xác định tọa độ điểm liên quan, chuyển tốn hình học khơng gian thơng thƣờng thành tốn hình học tọa độ + Bƣớc 3: Tính tốn dựa vào cơng thức hình học tọa độ khơng gian + Bƣớc 4: Kết luận Biện pháp khắc phục Thực Trạng Đứng trƣớc tốn hình học toạ độ mặt phẳng học sinh thƣờng lúng túng đặt câu hỏi: “ Phải định hƣớng tìm lời giải tốn từ đâu ?” Một số học sinh có thói quen không tốt đọc đề chƣa kỹ vội làm ngay, có thử nghiệm dẫn tới kết quả, nhiên hiệu suất giải toán nhƣ không cao Mặt khác,sau học sinh tìm đƣợc lời giải cho tốn hình học toạ độ thƣờng không suy nghĩ, đào sâu thêm, học sinh khơng ý đến chất hình học toán nên làm nhiều tốn hình học toạ độ nhƣng khơng phân loại đƣợc dạng toán nhƣ chất tốn, phần học sinh ngại học hình học nghĩ hình học khó, phần giáo viên dạy khơng trọng khai thác hƣớng dẫn cho học sinh,do hiệu giải tốn khơng cao mà phân loại dạng tốn, phƣơng pháp giải tốn khơng rõ ràng Với tình hình ấy, để giúp học sinh định hƣớng tốt q trình giải tốn hình học toạ độ,ngƣời giáo viên cần phân tích chất tốn hình học để bổ trợ cho việc giải tốn hình học toạ độ, cần tạo cho học sinh thói quen xem xét tốn dƣới nhiều góc độ, khai thác yếu tố đặc trƣng hình học tốn để tìm lời giải, việc trải nghiệm qua trình giải tốn giúp học sinh hồn thiện kỹ định hƣớng giải tốn, việc trải nghiệm qua q trình giải tốn giúp học sinh hồn thiện kỹ định hƣớng giải tốn Vì vậy,việc phân tích chất tốn hình học để bổ trợ cho việc giải tốn hình học toạ độ suy nghĩ có chủ đích, giúp học sinh chủ động việc tìm kiếm lời giải nhƣ phân loại cách tƣơng đối tốn hình học toạ độ Với mong muốn giúp cho học sinh khắc phục khó khan giải tốn hình học toạ độ,tôi nêu biện pháp ,cũng nhƣ nêu cách định hƣớng tìm lời giải tốn hình học toạ độ dựa chất hình học tốn Các biện pháp khắc phục: Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ giải tốn thơng qua hay nhiều buổi học có hƣớng dẫn giáo viên Tổ chức rèn luyện khả định hƣớng giải toán học sinh Trong yêu cầu khả lựa chọn lời giải ngắn gọn sở phân tích tốn hình học phẳng tƣơng ứng Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin khả nắm vững kiến thức học sinh Trong tốn hình học toạ độ mặt phẳng yêu cầu học sinh thực phân tích chất hình học phẳng nhƣ đƣa hƣớng khai thác mở rộng cho toán Cung cấp hệ thống tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện Các ví dụ Một tốn hình học toạ độ đƣợc giải theo ba hƣớng sau: Hƣớng 1: Giải hồn tồn theo quan điểm hình học giải tích Hƣớng 2: Giải hồn tồn theo quan điểm hình học phẳng sau áp dụng vào toạ độ Hƣớng 3: Khai thác yếu tố hình học phẳng để giải tốn hình giải tích (Mỗi hƣớng giải tốn có ƣu riêng cho tốn nhƣng nói chung H3 thƣờng hiệu cả) Thực hành giải tốn: Bƣớc 1: Vẽ hình phẳng biểu thị cho toán.Trên sở kiện yêu cầu tốn phân tích yếu tố hình phẳng cần thiết để giải toán Bƣớc 2: Lập sơ đồ bƣớc giải tốn Bƣớc 3: Trình bày lời giải tốn theo sơ đồ bƣớc Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đƣờng tròn C : ( x 1)2 ( y 1)2 20 Tìm toạ độ đỉnh A biết AC=2BD, điểm B có hoành độ dƣơng thuộc đƣờng thẳng d : 2x y Giáo viên hƣớng dẫn: Bƣớc 1: Vẽ hình phẳng biểu thị cho tốn Phân tích yếu tố hình phẳng cần thiết để giải toán - Kẻ IH AB IH bán kính đƣờng nội tiếp hình thoi ABCD - Biết AIB tam giác vng I có đƣờng cao IH - Ta có AC 2BD AI 2BI Vậy tính đƣợc IB, IA B H A d I C D Bƣớc 2: Lập sơ đồ bƣớc giải tốn + Tính IH,IB,IA + Gọi toạ độ B tìm B + Lập pt AC, gọi toạ độ A tìm A Bƣớc 3: Trình bày lời giải tốn theo sơ đồ bƣớc Đƣờng trịn (C) có tâm I(1;-1), bán kính R Đặt BI x,( x 0) Do AC 2BD AI 2BI 2x Kẻ IH AB IH R 1 Trong AIB có : IA IB IH Suy IB Gọi B(k,2k – 5),k>0 1 2 4x x 20 x ( Do x 0) k =4 (nhận) Do IB = 2 (k – 1) +(2k – 4) =25 k= Với k=4 (loại k >0) B(4,3) Đƣờng thẳng AC qua I, nhận IB(3;4) làm véc tơ pháp tuyến phƣơng trình đƣờng thẳng AC : x= 1+ 4t ,t R,khi A(1+4t,-1-3t) y= -1-3t Ta có IA = 10 (4t)2 + (-3t)2 =102 Vậy: A(9; 7) A(7;5) Phân tích tốn Bài tốn hình phẳng tƣơng ứng t= t= -2 Trong mặt phẳng cho đƣờng tròn C(I;R) đƣờng thẳng d Nêu cách dựng hình thoi ABCD ngoại tiếp đƣờng tròn C(I;R) cho AC=2BD,biết điểm B thuộc đƣờng thẳng d Rõ ràng giải hình phẳng khơng đơn giản nhƣng việc giải thực khơng cần thiết, cần giải tốn toạ độ khơng phải tốn hình phẳng Đây ý quan trong tƣ giải toán tiếp cận theo H3: "phân tích chất hình học phẳng để định hƣớng giải tốn tốn hình học toạ độ " Chúng ta khơng giải tốn hình phẳng khơng phải phát biểu tốn hình phẳng tƣơng ứng điều khơng cần thiết cho việc giải tốn Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, phân giác góc A tam giác ABC cắt đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC D.Tìm toạ độ đỉnh B biết A(1;0), C (1 2; 2), D(3; 2) Giáo viên hƣớng dẫn: Bƣớc 1: Vẽ hình phẳng biểu thị cho tốn Phân tích yếu tố hình phẳng cần thiết để giải toán A - Phân giác góc A tam giác ABC cắt đƣờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC D nên D điểm cung BC, BC ID I C B -Lập BC suy B D Bƣớc 2: Lập sơ đồ bƣớc giải toán + Lập Pt đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC + Chứng minh BC ID + Lập pt BC tìm B Bƣớc 3: Trình bày lời giải tốn theo sơ đồ bƣớc Pt đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC có dạng: x2 y 2ax 2by c (C) Vì (C) qua A,C, D nên ta có hệ: 1 2a c 9 2 2(1 2)a 2( 2)b c 13 6a 4b c a 1 b c Đƣờng trịn (C) có tâm I (1; 2) , bán kính R Phân giác góc A tam giác ABC cắt đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC D nên D điểm cung BC, BC ID Đƣờng thẳng BC qua C, nhận ID(2;0) làm véc tơ pháp tuyến phƣơng trình đƣờng thẳng BC : x x2 y x y Toạ độ B nghiệm hệ: x 2; y 2 ) Vậy: B(1 2; 2) x y (Vì yB yC Phân tích tốn: Bài tốn hình phẳng tƣơng ứng Trong mặt phẳng cho ba điểm không thẳng hàng A,C,D.Dựng điểm B cho tam giác ABC nhận AD làm phân giác góc A tam giác ABC D nằm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Với toán xuất tính chất hình phẳng thực hữu ích mấu chốt để giải tốn.Nếu học sinh khơng phát hiiện đƣợc tính chất ''D điểm cung BC, BC ID '' khơng giải đƣợc tốn Lƣu ý mặt phƣơng pháp dạy chủ đề tọa độ trƣờng phổ thông Khi dạy lý thuyết Kiến thức chủ đề tọa độ chủ đề khó học sinh THPT Khi nói đến PPTĐ nói đến phƣơng pháp xác định đƣợc vị trí điểm trog mặt phẳng hay không gian, từ xác định đƣợc vị trí tính chất tập hợp điểm đƣờng mặt phẳng đƣờng mặt phẳng không gian Khi dạy PPTĐ, GV cần lƣu ý điểm sau: SGK trình bày đƣờng mặt đơn giản để HS hiểu đƣợc ý nghĩa PPTĐ GV không nên sâu vào khái niệm mà SGK bỏ qua Các kiến thức hình học đƣợc học lớp dƣới hỗ trợ đắc lực cho việc học hình học lớp 12 Chúng ta biết rằng, mặt phƣơng pháp, việc chuyển từ tốn hình học sang tốn đại số thƣờng dẫn đến việc giải toán dễ dàng Đại số đƣa cho hình học phƣơng pháp xác định xác để giải tốn mà cụ thể PPTĐ GV cần làm rõ cho HS: không gian điểm đƣợc đặc trƣng ba số thứ tự Ngƣợc lại, số có thứ tự xác định điểm khơng gian Cịn đƣờng mặt biến thành tập hợp số thứ tự kết hợp với phƣơng trình đại số, mà đƣờng mặt ứng với phƣơng trình hệ phƣơng trình, có điểm thuộc đƣờng mặt có tọa độ thõa mãn phƣơng trình hệ phƣơng trình cho Ta rút đƣợc tính chất đƣờng mặt cách xử lí phƣơng trình, hệ phƣơng trình theo phƣơng pháp đại số GV cần trọng rèn cho HS hai kĩ “đọc” “viết” phƣơng trình đƣờng, mặt Khi biết yếu tố xác định đƣờng hay mặt đó, viết đƣợc phƣơng trình biểu thị đối tƣợng Khi cho biết yếu tố xác định điểm đó, viết đƣợc tọa độ điểm Chẳng hạn: Nếu cho điểm M nằm Õ HS phải viết đƣợc tọa độ điểm M(x, 0, 0) Khi cho trƣớc phƣơng trình đƣơng mặt, HS phải đọc đƣợc số yếu tố liên quan Chẳng hạn phƣơng trình x + 2y – 3z = cho ta mặt phẳng qua gốc tọa độ có vectơ pháp tuyến ⃗ , phƣơng trình x2 + y2 + z2 - 2x -1 = cho ta mặt cầu tâm I(1; 0; 0) vá có bán kính √ Với PPTĐ, đối tƣợng quan hệ hình học thể dƣới số phƣơng trình giúp cho hình học phát triển dựa vào thành tựu đại số Tuy nhiên, với PPTĐ hình học lại trừu tƣợng bƣớc, dẫn đến thình trạng có “hố ngăn cách” hình học trực quan hình học với số phƣơng trình Từ học sinh dễ mắc phải “bệnh hình thức”, làm việc với số, phƣơng trình, hệ phƣơng trình cách túy đại số mà li hình ảnh trực quan, nên khó vận dụng đƣợc vào thực tiễn Vì vậy, GV cần ý nhiều đến vấn đề vận dụng trực quan hình học dạy chủ đề Nếu không giúp HS phát triển trí tƣởng tƣợng khơng gian, thấy đƣợc tƣơng hỗ phƣơng pháp tổng hợp PPTĐ HS gặp nhiều trở ngại học PPTĐ không gian Khi dạy PPTĐ không gian, GV cần làm cho học sinh hiểu rõ thấy đƣợc ý nghĩa khái niệm nhƣ vectơ pháp tuyến, vectơ phƣơng, ý nghĩa tham số phƣơng trình đƣờng thẳng, mặt phẳng… Mặt khác, cần tận dụng tốt tất hội có đƣợc tập để rèn cho HS khả phiên dịch từ ngơn ngữ hình học thơng thƣờng sang tọa độ vectơ ngƣợc lại GV cần hƣớng cho HS lƣu ý đến ứng dụng PPTĐ việc việc nghiên cứu kiện hình học, ứng dụng tích vơ hƣớng, tích có hƣớng hai vectơ, biểu thức tọa độ chúng điều kiện cộng tuyến hai vectơ, điều kiện đồng phẳng ba vectơ, biểu thị công thức tọa độ… Từ vận dụng tốt sử dụng PPTĐ để giải toán HHKG Bên cạnh đó, GV cần trọng yếu tố trực quan, đặc biệt trực quan nhờ hỗ trợ máy tính điện tử thơng qua khái thác phần mềm dạy học hình học, nhằm giúp học sinh khái qt kiểm chứng tính chất hình học, góp phần kích thích hứng thú, tạo ý, đào sâu kiến thức cho học sinh Đồng thời quan tâm khắc phục sai lầm học sinh thƣờng mắc phải; hƣớng dẫn cụ thể, chi tiết cho học sinh luyện tập thƣờng xun kĩ chuyển tốn hình học không gian sang sử dụng phƣơng pháp tọa độ Khi dạy tập PHƢƠNG PHÁP: Bƣớc 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp (chú ý đến vị trí gốc O) Bƣớc 2: Xác định tọa độ diểm liên quan Khi xác định tọa độ điểm ta dựa vào: •ý nghĩa hình học tọa độ diểm •dựa vào mối quan hệ hình học nhƣ nhau, vng góc, song song, •xem điểm cần tìm giao điểm mặt phẳng , đƣờng thẳng •dựa vào quan hệ góc Bƣớc 3: sử dụng kiến thức tọa độ để giải tập Các dạng toán thƣờng gặp: •Độ dài đoạn thẳng •khoảng cách tử điểm đến mặt phảng, đƣờng thẳng •Khoảng cách hai đƣờng thẳng •Góc hai đƣờng thẳng, hai mặt phẳng •Góc giửa đƣờng thẳng với mặt phẳng •Thể tích khối đa diện •Diện tích thiết diện •Chứng minh quan hệ vng góc, song song •B tốn cực trị, quỹ tích Bổ sung kiến thức 1) Nếu tam giác co diện tích S hình chiếu có diện tích S Bằng tích S với cosin góc ϕ mặt phẳng tam giác mặt phẳng chiếu S’ = S.cosϕ 2) Cho khối chóp S.ABC ba đƣờng thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A’, B’, C’ Khác với S, ta ln có: Vd:trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đƣờng thẳng : d1 : 2x – y + = 0, d2 : 3x + 6y -7 = lập phƣơng trình đƣờng thằng (d) qua điểm M(0,1) tạo với d 1, d2 tam giác cân giao điểm cùa d1, d2 giải: Phƣơng trình đƣờng phân giác góc tạo d1, d2 | √ | = | √ | x +3y -13 = (∆1) v 3x – y – = (∆2) Đƣờng thẳng cần tìm qua M(0,1) song song với ∆1 ∆2 KL : x +3y -13 = 3x – y – = TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Nhìn tốn hình theo tọa độ- Huynh Duy Thuy http://www.youtube.com/watch?v=hb5S1sEU_t4 http://luanvan.net.vn/luan-van/de-tai-ung-dung-phuong-phap-toa-do-giai-mot-sobai-toan-hinh-hoc-khong-gian-ve-goc-va-khoang-cach-47537/ http://luanvan.net.vn/luan-van/luan-van-xay-dung-va-su-dung-website-ho-tro-day- hoc-phan-kien-thuc-phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian-trong-chuong-19357/ Phƣơng pháp dạy học nội dung cụ thể mơn tốn – Bùi Văn Nghị http://luanvan.net.vn/luan-van/de-tai-ung-dung-phuong-phap-toa-do-giai-mot-sobai-toan-hinh-hoc-khong-gian-ve-goc-va-khoang-cach-47537/